微专题26 动态圆与磁聚焦、磁发散模型 跟踪练习
基础过关
一．选择题：
1.(2025·浙江温州模拟)如图所示,在xOy 平面内,有一粒子源沿x 正方向发射速率
相等的带正电的粒子,形成宽为R 且关于x 轴对称的粒子流。粒子流沿x 方向射
入一个半径为R、中心位于原点O 的圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直xOy 平面
向里。已知沿x 轴入射的粒子经磁场偏转后从P 点射出。
若粒子在磁场中运动的最短时间为t,则粒子在磁场中运动
的最长时间为( )
A.3
2t B.2t
C.3t D.4t
2.(2025·重庆沙坪坝模拟)如图,空间分布着磁感应强度大小为B、方向垂直纸
面向外的匀强磁场。关于O 点对称的薄板MN 的长度为3a,O 点到MN 的距离为
a。O 点有一粒子源,能沿纸面内任意方向发射速率相同、质量为m、电荷量为q
的带正电粒子。已知水平向右发射的粒子恰能垂直打在MN 上,打到MN 上、下
表面的粒子均被吸收。不计粒子的重力,则被MN 吸收的粒子在磁场中运动的最
长时间为( )
A.5 π m
3qB B. 3 π m
2qB
C.π m
qB D. π m
2qB
3.(2025·河北承德模拟预测)如图所示,直角△ABC 内(包括边界)存在垂直纸面向
外的匀强磁场,∠ACB=30°,∠ABC=90°,在AB 边上距离A 点为L 的O 点有一个
质子源,向AB 边右侧180°范围内发射速度大小相同、方向不同的质子,所有质
子恰好不能从AC 边和BC 边离开三角形区域。则直角△ABC 的面积至少为(
)
A.(1+ 2❑√3
3 )
L2 B.2(1+ 2❑√3
3 )
L2
C.(2+ 7 ❑√3
6 )
L2 D.(4 + 7 ❑√3
3 )
L2
4.(多选)如图所示,正方形区域abcd 内存在匀强磁场,磁场方向垂直纸面向里。
两个质量均为m、电荷量均为q 的带电粒子甲、乙从ad 边的中点M 以不同的速
率均沿纸面与Md 成θ=30°角射入磁场,甲恰好不从ab 边射出磁场,乙恰好从bc
边的中点N 射出磁场。不计粒子的重力和粒子间的相互作用力,则( )
A.两粒子均带负电
B.两粒子射出磁场时速度方向相反
C.甲、乙在磁场中运动的速率之比为❑√3∶1
D.甲、乙在磁场中运动的路程之比为5❑√3∶6
5.(多选)(2025·云南大理模拟预测)如图,ABCDE 虚线区域存
在
垂直纸面的匀强磁场,磁感应强度大小为B,DE 是半径为R 的四分之一圆弧,圆
心为O,其中A、E、O 在同一条直线上,位于F 点的粒子源垂直AE 射出各种速
度大小不等的带电粒子,粒子在磁场的作用下向右偏转。已知粒子质量均为m、
电荷量均为q,F 点到E 点的距离为(❑√2-1)R,则从弧DE 射出
的
粒子,运动的可能时间为( )
A. π m
3qB B. π m
2qB
C.2π m
3qB D. 4 π m
3qB
6.(多选)(2025·福建龙岩一模)如图所示,一个半径为R 的圆形区域内分布磁感应
强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。一粒子源从圆上的A 点向各个
方向不停地发射出相同速率的带负电粒子,粒子的质量均为m、所带电荷量均为
q、运动的半径均为r,粒子重力忽略不计。下列说法正确的是( )
A.若r=2R,则粒子在磁场中运动的最长时间为π m
3qB
B.若r=2R,则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是半个圆周
C.若r=1
2R,则粒子在磁场中运动的最长时间为π m
qB
D.若r=1
2R,则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周
7.(多选)如图所示,a、b 是直线上间距为4d 的两点,也是半圆直径的两个端点,c
位于ab 上,且ac=d,直线上方存在着磁感应强度大小为B、垂直于半圆平面的匀
强磁场(未画出),其中半圆内部没有磁场。一群比荷为k 的同种带电粒子从a、c
之间以相同的速率垂直于ab 射入圆弧区域,所有粒子都能通过b 点,不计粒子间
的相互作用和粒子的重力,则( )
A.粒子的速率为2dBk
B.粒子的速率为dBk
C.从c 点射入的粒子在磁场中运动的时间为2π
3kB
D.从c 点射入的粒子在磁场中运动的时间为4 π
3kB
能力提升
一．选择题：
8.(2025·河北唐山高三期末)空间存在垂直纸面向外的匀强磁场(未画出),A、B、
C、D、E 为磁场中的五个点,AB=DE,C 为BD 中点,AB 平行于DE,如图所示。
一束带正电的同种粒子垂直AB 由A 点沿纸面向上射入磁场,各粒子速度大小不
同,经过一段时间后第一次到达虚线位置。用tB、tC、tD、tE
分别表示第一次到达B、C、D、E 四点的粒子所经历的时
间,下列说法正确的是( )
A.tB>tC>tD>tE B.tB>tC=tE>tD
C.tB>tC>tE=tD D.tB=tE>tC>tD
9.(2025·安徽卷,7)如图,在竖直平面内的Oxy 直角坐标系中,x 轴上方存在垂直纸
面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。在第二象限内,垂直纸面且平行于x
轴放置足够长的探测薄板MN,MN 到x 轴的距离为d,上、 下表面均能接收粒子。
位于原点O 的粒子源,沿Oxy 平面向x 轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒
子。已知粒子所带电荷量为q,质量为m,速度大小均为qBd
m 。不计粒子的重力、
空气阻力及粒子间的相互作用,则( )
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B.薄板的上表面接收到粒子的区域长度为❑√3d
C.薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D.薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为π m
6qB
10.(多选) (2025·黑龙江模拟预测)如图所示,等腰直角三角形
区域分布有垂直纸面向里的匀强磁场,腰长AB=2 m,O 为BC
的中点,磁感应强度B=0.25 T,一群质量m=1×10-7 kg、电荷
量q=-2×10-3 C 的带电粒子以速度v=5×103 m/s 垂直于BO,从BO 之间射入磁
场区域,带电粒子不计重力,则( )
A.在AC 边界上有粒子射出的长度为(❑√2-1)m
B.C 点有粒子射出
C.在AB 边界上有粒子射出的长度为1 m
D.磁场中运动时间最长的粒子从底边距B 点(❑√2-1)m 处入射
11.(多选)(2025·辽宁大连模拟预测)如图所示,多边形区域内有磁感应强度大小为
B、方向垂直纸面向里的匀强磁场(边界处有磁场),粒子源P 可以沿底边向右发
射质量为m、电荷量为+q 的粒子,粒子速率各不相同;右侧边界中点处有一粒子
源Q 可以在纸面内沿各个方向向磁场内部发射质量为m、电荷量为-q、速率为
v1=qBa
m
的粒子。下列说法正确的是( )
A.由粒子源P 发射的粒子,能够到达的边界长度为3a
B.由粒子源P 发射的粒子,能够到达的边界长度为4a
C.由粒子源Q 发射的粒子,首次到达边界(除Q 所在的边界)的最短时间为π m
3qB
D.由粒子源Q 发射的粒子,首次到达边界的最长时间为π m
qB
二．计算题：
12.(2025·重庆八中模拟预测)如图所示,在PM 和QK 之间有大量相同的带电
粒子以初速度v0沿水平方向射入半径为R 的圆形区域,PM 与圆心O 在同一水平
直线上,PM 和QK 间的距离为0.5R,圆形区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁
场(图中未画出),所有粒子均从O 点正下方的N 点射出圆形区域,已知带电粒子
的质量为m,带电荷量为q,不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用。求:
(1)匀强磁场的磁感应强度B 大小;
(2)匀强磁场的最小面积S。
培优训练
一．计算题：
13.(2025·山西阳泉模拟)如图所示,平面内有一个半径为R 的圆形区域,右侧存在
一个截面为矩形的区域abcd,两个区域的切点O 为ad 边的中点,ab=R,bc=2R,bc
和cd 边上分别有接收屏(接收屏的长度等于矩形区域的边长)。两个区域内存在
垂直纸面向外且相同的匀强磁场(两区域磁场方向平行),磁感应强度B=mv0
qR ,现
有一簇粒子(质量为m,电荷量为+q)以速度v0、方向竖直向上
垂直磁场进入圆形区域(粒子的射入范围等于圆形区域的直
径且分布均匀),不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用力,
射出矩形边界后的粒子不再考虑。求:
(1)沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动时间t;
(2)矩形区域内粒子所经过的面积S;
(3)打到cd 屏上的粒子数占进入矩形区域粒子数的比例N。
参考答案：
1.答案 B 解析 已知沿x 轴入射的粒子经磁场偏转后从P 点射出,则粒子的运
动半径为R,则所有粒子都从P 点射出,如图所示,圆弧轨迹对应的最小圆心角为
60°,最大圆心角为120°,则t= 60°
360°T,t'=120°
360°T,解得t'=2t,故B 正确。
2.答案 A 解析 粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角越大,在磁场中运动的时间
越长,由题可知,水平向右发射的粒子恰能垂直打在MN 上,则粒子的轨迹半径为
a,打到MN 上、下表面的粒子均被吸收,如图所示有两种情况,打在MN 上表面
时(轨迹1),粒子运动轨迹的最大圆心角为3 π
2 ,当粒子打在MN 下表面时(轨迹
2),若OP 为轨迹圆的弦,则轨迹所对圆心角最大,其中PQ=❑√3d>PN=3
2d,则粒子
运动轨迹的最大圆心角为5 π
3
,根据qvB=m4 π
2r
T
2
=mv
2
r
,可知T=2π m
qB
,粒子在磁
场中运动的时间为t=θm
qB ,故粒子在磁场中运动的最长时间为t=5 π m
3qB ,故A 正确。
3.答案 C 解析 如图所示,由题意可知,质子从O 点竖直向上进入磁场时轨迹
应恰好与AC 边相切,由几何关系可知tan 30°= r
L,所以r=
❑√3
3 L,质子恰好不从
BC 边离开时的运动轨迹为与BC 边相切的半圆,故AB 边长的最小值为AB
=L+2r=(1+ 2❑√3
3 )
L,所以直角△ABC 的面积的最小值为Smin=1
2 AB·BC=❑√3
2 AB
2=
(2+ 7 ❑√3
6 )
L2,故C 正确。
4.答案 BD 解析 根据左手定则判断知,两粒子均带正电,A 错误;题中“甲恰
好不从ab 边射出磁场”说明甲运动的圆轨迹与ab 相切,“乙恰好从bc 边的中
点N 射出磁场”说明乙运动的圆轨迹的圆心在MN 的垂直平分线上。甲、乙在
磁场中运动的轨迹如图,甲射出磁场时速度方向与ad 间夹角为30°,乙射出磁场
时速度方向与cb 间夹角为30°,两粒子射出磁场时速度方向相反,B 正确;设甲、
乙的轨道半径分别为r1、r2,正方形区域边长为L,则α=90°-θ=60°,r1+r1sin θ= L
2
,r2sin α= L
2
,解得r1= L
3
,r2= L
❑√3
,由r=mv
qB 得v1
v2
=r1
r2
= 1
❑√3
,C 错误;甲、乙在磁场中
运动的路程之比为(360°−2θ)r1
2α r2
=5 ❑√3
6
,D 正确。
5.答案 BC 解析 设粒子从弧DE 射出时射出点与F 点的连线与OF 的夹角为
θ,粒子在磁场中匀速圆周运动的圆心角为α,如图所示,由图可知,θ 越大α 越小,
当射出点与F 点的连线与弧DE 相切时,θ 最大,此时α 最小,设此时的射出点为
G,有
sin θ=OG
OF =
R
(❑√2−1)R+ R=
❑√2
2 ,即θ=45°
所以α 的最小值为90°,另当θ 为零时α 最大,最大值为180°,所以从弧DE 上射
出的粒子在磁场匀速圆周运动的时间范围为1
4T≤t≤1
2T,又qvB=mv
2
r ,T=2π r
v ,
得T=2π m
qB ,所以π m
2qB≤t≤π m
qB ,故B、C 正确。
6.答案 AD 解析 若r=2R,根据几何关系可知,粒子沿不同方向射入磁场,会从
磁场圆的不同位置出射,范围是整个圆周长;其中粒子在磁场中运动的时间最长
时,运动轨迹的弦是磁场区域的直径,作出轨迹如图甲所示,因为r=2R,则圆心角
α=60°,粒子在磁场中运动的最长时间为tmax= 60°
360°T=1
6×2π m
qB = π m
3qB,故A 正确,
B 错误;若r=1
2R,粒子在磁场圆的出射点都在AP 之间,如图乙所示,由几何关系
可知,AP 弧长对应的圆心角为60°,所以粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六
分之一个圆周,在磁场中运动时间最长的粒子正好转过了一周,时间为tmax=T=
2π m
qB ,故C 错误,D 正确。
甲 乙
7.答案 AD 解析 画出粒子的运动轨迹如图甲所示,由几何关系可知,四边形
eO1bO 为菱形,可知粒子运动的轨迹半径为r=2d,根据qvB=mv
2
r 可得粒子的速率
为v=2dBk,A 正确,B 错误;粒子从c 点射入时,其轨迹如图乙所示,由几何关系可
知,粒子运动的轨迹圆心正好在圆弧ab 上,在磁场中转过的角度为240°,则运动
时间t=240°
360°T=4 π m
3qB = 4 π
3kB,C 错误,D 正确。
8.答案 B 解析 粒子通过B、C、D、E 各点的轨迹如图所示,由几何关系可知,
从A 到B,粒子运动轨迹对应的圆心角为180°;由几何关系知A、C、E 三点位于
同一直线上,从A 到C 和A 到E,粒子运动轨迹对应的圆心角小于180°,且相等;
从A 到D,粒子运动轨迹对应的圆心角最小;带电粒子垂直进入匀强磁场后做匀
速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有qvB=mv
2
r ,可得v=qBr
m ,运动周期T=2π r
v =
2π m
qB ,周期与速度无关,由t= θ
2π T 可知,粒子从A 点沿纸面向上射入磁场,运动
轨迹对应的圆心角越大,运动时间越长,所以tB>tC=tE>tD,故B 正确。
9.答案 C 解析 粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力有
qvB=mv
2
r ,解得粒子的运动半径为r=d,A 错误;当粒子恰好经过薄板最右端打到
薄板上表面时,粒子打到薄板上表面的位置距N 点最远,当粒子沿x 轴正方向射
出时,粒子打到薄板上表面的位置距N 点最近,对应运动轨迹如图甲所示,由几
何关系可知,薄板的上表面接收到粒子的区域长度Δx1=2rcos 30°-r=(❑√3-1)d,B
错误;结合B 项分析可知,粒子能打到薄板下表面的最右端,当粒子的运动轨迹与
薄板相切时,粒子打到薄板下表面的位置距N 点最远,轨迹如图乙所示,由几何
关系可知,薄板的下表面接收到粒子的区域长度Δx2=d,C 正确;粒子在磁场中的
运动周期T=2π r
v =2π m
qB ,又t=
θ
360°T,故粒子运动轨迹所对圆心角越小,运动时间
越短,结合B、C 项分析可知,打在薄板下表面右端的粒子运动时间最短,结合几
何关系有tmin= 60°
360°·2π m
qB = π m
3qB,D 错误。
10.答案 ACD 解析 带电粒子在磁场中偏转,根据洛伦兹力提供向心力,有
qvB=mv
2
r
,解得粒子在磁场中运动的轨道半径为r=mv
qB
=1×10
−7×5×10
3
2×10
−3×0.25
m=1
m,作出粒子在磁场中的运动轨迹图,如图所示。由图可知,能从AC 边有粒子射
出的长度为DE=❑√2r-r=(❑√2-1)m,故A 正确;粒子不可能到达C 点,故B 错误;由
图可知,在AB 边界上有粒子射出的长度为BF=r=1 m,故C 正确;磁场中运动时
间最长的粒子运动半个圆周,轨迹与AB、AC 相切,由图可知从底边距B 点(❑√2
-1)m 处入射,故D 正确。
11.答案 AC 解析 由粒子源P 发射的粒子轨迹的圆心在图甲中虚线LL'上,如
图甲所示,由qvB=mv
2
r 可知r=mv
qB ,轨迹半径r 随速度增大而增大。当r≤a
2时,粒
子能够到达MP 之间;当a
2<r≤a 时,粒子能够到达MA 之间;当r>a 时,粒子能够
到达QD 之间,故A 正确,B 错误;由粒子源Q 发射的粒子,速率相同,将v1=qBa
m
代入qv1B=mv1
2
r1
,可得r1=a,如图乙所示,粒子首次到达M 点的时间最短,由几何
关系可知α=60°,则tmin=1
6T=1
6·2π a
v1 = π m
3qB ,粒子恰好没有落在M 点时,落点为N,
此时对应首次到达边界的最长时间,由几何关系可知β<180°,所以tmax<T
2 =π m
qB ,
故C 正确,D 错误。
12.答案 (1)m v0
qR (2)(π −6+3 ❑√3)R
2
6
解析 (1)根据题意可知,粒子的运动满足磁聚焦条件,则粒子在磁场中的轨迹半
径等于圆形磁场的半径,即r=R。由洛伦兹力提供向心力,有
qv0B=mv0
2
r
解得B=m v0
qR
。
(2)画出两临界粒子的运动轨迹如图所示,
设轨迹MN 与虚线劣弧围成的面积为S1,轨迹KN 与虚线劣弧围成的面积为S2,
根据几何关系有θ=60°
则S1=2(
π R
2
4
−R
2
2 )
,S2=2(
π R
2
6
−
❑√3 R
2
4 )
解得匀强磁场的最小面积S=S1-S2=(π −6+3 ❑√3)R
2
6
。
13.答案 (1) π R
2v0
(2)(
π
4 +1)
R2 (3)❑√3
4
解析 (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,则有qv0B=m
v0
2
r
解得r=R
沿着半径射入的粒子一定沿半径射出,根据几何关系可知,粒子在圆形磁场中的
轨迹为四分之一圆弧,则运动时间为t=T
4 ,其中T=2π r
v0 =2π R
v0 ,解得t= π R
2v0。
(2)结合上述可知,粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径等于圆形磁场区域的半
径,根据圆形磁场区域的磁汇聚规律可知,所有粒子经过圆形磁场均可由切点O
进入矩形磁场内部,速度方向为任意方向,根据几何关系可知,沿平行于Oa 方向
射入的粒子打在b 点,则矩形区域内粒子经过的面积如图甲中阴影部分所示,由
几何关系可得
S=(
π
4 +1)
R2。
(3)打在cd 屏上的粒子运动轨迹如图乙所示
打到c 点的粒子进入矩形区域时的速度方向与ad 边垂直,是由f 点射入的粒子。
假设从e 点射入的粒子正好打在d 点,由于粒子半径与Od 的长度相等,该方向的
粒子运动轨迹对应的圆心角为θ=60°,由图乙可知ef 为打到cd 边的粒子分布,此
时入射点和圆形磁场的圆心连线与水平方向的夹角为30°,则打在cd 边上的粒子
占进入矩形区域内粒子个数比为N= R cos30°
2 R
=
❑√3
4 。
