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机密★启用前
2025 年中考数学第一次模拟测试卷
注意事项：
1．全卷满分120 分，答题时间为120 分钟。
2．请将各题答案填写在答题卡上。
一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分）
1．在﹣3，2，﹣1，0 这四个数中，比﹣2 小的数是（ ）
A．﹣3
B．2
C．﹣1
D．0
2．下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．2022 年10 月12 日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3 名航天员演示了在微
重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达
到150 万次，数据150 万用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×105
B．0.15×105
C．1.5×106
D．1.5×107
4．下列运算正确的是（ ）
A．2a3﹣a2＝a
B．（a3）2＝a5 C．2a3•3a2＝6a5
D．﹣8a2÷4a＝2
5．某校对部分参加研学活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如下表：
年龄
13
14
15
16
人数
1
3
4
2
则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15
B．15，13
C．15，14
D．14，15
6．如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC，∠BAC＝a，AC＝6 米．现
要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1 米，则地毯的面积至少需要
（ ）平方米．
A．6tanα+6
B．
+6
C．
D．
7．如图，在△ABC 中，DE∥AB，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知一次函数y＝（4﹣m）x﹣3，y 随x 的增大而减小，则m 的值可能是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
9．如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 为⊙O 上两点，若∠BCD＝25°，则
∠ABD 的大小为（ ）
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
10．如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E，F，使DE＝AD，DF＝BD，
连接BF 分别交CD，CE 于H，G，下列结论：①HF＝2HG；
②∠GDH＝∠GHD；③图中有8 个等腰三角形；④S△CDG＝
S△DHF．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二．填空题（共6 小题，满分24 分，每小题4 分）
11．分解因式：3x2﹣3＝ ．
12．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 ．
13．不等式组
的解为 ．
14．关于x 的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0 有两个不相等的实数根，则k 的取值
范围是 ．
15．如图，已知A 为反比例函数y＝（x＜0）图象上的一点，过点A 作
AB⊥y 轴，垂足为B．若△OAB 的面积为1，则k 的值为 ．
16．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
点E 是AB 边上一动点，过点E 作DE⊥AB 交AC 边于点D，
将∠A 沿直线DE 翻折，点A 落在线段AB 上的F 处，连接
FC，当△BCF 为等腰三角形时，AE 的长为 ．
三．解答题（共8 小题，满分66 分）
17．（6 分）计算：（）﹣1+3tan30°+|1﹣
|﹣（3.4﹣π）0．
18．（6 分）先化简
÷（
﹣x﹣1），再从﹣2，﹣1，0，1，2 中选一个合适的
数作为x 的值代入求值，
19．（6 分）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增
加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用600 元购进乒乓球若干盒，第二次
又用600 元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的倍，购进数量比
第一次少了30 盒，求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？
20．（8 分）某居民小区为宣传生活垃圾分类，开展了相关知识测试，并随机抽取50 户
的成绩分成A、B、C、D、E 五个等级，制成如下统计图表，部分信息如下：
等级
分数
频数
A
90≤x≤100
11
B
80≤x＜90
m
C
70≤x＜80
10
D
60≤x＜70
n
E
x＜60
3
（1）频数统计表中有两个数字模糊不清，分别记为m，n，直接写
出m＝ ，n＝ ．
（2）求这50 户的成绩的中位数所在的等级以及扇形统计图中D 等级
所对应的扇形的圆心角度数．
（3）已知这个居民小区共有1200 户，这次测试成绩在A 和B 两个等级者为优秀，请
你估计该小区测试成绩为优秀的有多少户．
21．（9 分）如图，分别位于反比例函数y＝，y＝在第一象限图
象上的两点A、B，与原点O 在同一直线上，且
＝．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）过点A 作x 轴的平行线交y＝的图象于点C，连接BC，求△ABC 的面积．
22．（9 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点D 是边BC 的中
点．以BD 为直径作圆O，交边AB 于点P，联结PC，交AD
于点E．
（1）求证：AD 是圆O 的切线．
（2）若PC 是圆O 的切线，BC＝4，求PE 的长．
23．（10 分）如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝6，E 是AD 边上的一个动点，将
四边形BCDE 沿直线BE 折叠，得到四边形BC′D′E，连接AC′，AD′．
（1）若直线DA 交BC′于点F，求证：EF＝BF；
（2）当AE＝
时，求证：△AC′D′是等腰三角形；
（3）在点E 的运动过程中，求△AC′D′面积的最小值．
24．（12 分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c 与y 轴交于点C，与x 轴交于A（﹣1，
0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△ACP 的周长最小？若存在，
求出点P 的坐标和△ACP 的周长的最小值，若不存在，请说明理由．
（3）点M 为抛物线上一动点，点N 为x 轴上一动点，当以A，C，M，N 为顶点的四
边形为平行四边形时，直接写出点M 的横坐标．
参考答案
一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分）
1．A．2．C．3．C．4．C．5．A．6．A．7．A．8．D．9．D．10．B．
二．填空题（共6 小题，满分24 分，每小题4 分）
11．【解答】解：3x2﹣3，
＝3（x2﹣1），
＝3（x+1）（x﹣1）．
12．【解答】解：点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．
故答案是：（2，﹣3）．
13．【解答】解：
，
解得，0＜x≤4．
故答案为：0＜x≤4．
14．【解答】解：根据题意得k﹣1≠0 且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，
解得k＜2 且k≠1，
所以k 的取值范围是k＜2 且k≠1．
故答案为：k＜2 且k≠1．
15．【解答】解：∵AB⊥y 轴，
∴S△OAB＝
|k|＝1，
而k＜0，
∴k＝﹣2．
故答案为﹣2．
16．【解答】解：由翻折变换的性质得：AE＝EF，
∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝
＝13，
设AE＝EF＝x，则BF＝13﹣2x；
分三种情况讨论：
①当BF＝BC 时，13﹣2x＝5，
解得：x＝4，
∴AE＝4；
②当BF＝CF 时，F 在BC 的垂直平分线上，
∴F 为AB 的中点，
∴AF＝BF，
∴x+x＝13﹣2x，
解得：x＝
，
∴AE＝
；
③当CF＝BC 时，作CG⊥AB 于G，如图所示：
则BG＝FG＝
BF，
根据射影定理得：BC2＝BG•AB，
∴BG＝
＝
＝
，
即
（13﹣2x）＝
，
解得：x＝
，
∴AE＝
；
综上所述：当△BCF 为等腰三角形时，AE 的长为：4 或
或
；
故答案为：4 或
或
．
三．解答题（共8 小题，满分66 分）
17．【解答】解：原式＝4+3×
+
﹣1﹣1
＝4+
+
﹣1﹣1
＝2+2
．
18．【解答】解：原式＝
÷
＝
•
＝﹣
，
∵x≠0 且x≠1，x＝2，
∴x 只能取﹣2 或﹣1，
当x＝﹣1 时，原式＝﹣
＝﹣
．
19．【解答】解：设第一次每盒乒乓球的进价是x 元，则第二次每盒乒乓球的进价是
x 元，
由题意得：
＝
+30，
解得：x＝4，
经检验：x＝4 是原分式方程的解，且符合题意，
答：第一次每盒乒乓球的进价是4 元．
20．【解答】解：（1）m＝50×40%＝20，
n＝50﹣11﹣20﹣10﹣3＝6，
故答案为：20，6；
（2）∵中位数是数据从大到小排列的第25 和第26 个的平均数，
∴这50 户的成绩的中位数在的B 等级，
D 等级所对应的扇形的圆心角度数是360°×
＝43.2°；
（3）1200×
＝744（户），
答：估计该小区测试成绩为优秀的有744 户．
21．【解答】解：（1）作AE、BF 分别垂直于x 轴，垂足为E、F．
∵△AOE∽△BOF，又
＝
，
∴
＝
＝
＝
．
由点A 在函数y＝
的图象上，
设A 的坐标是（m，
），
∴
＝
＝
，
＝
＝
，
∴OF＝3m，BF＝
，即B 的坐标是（3m，
）．
又点B 在y＝
的图象上，
∴
＝
，
解得k＝9，
则反比例函数y＝
的表达式是y＝
；
（2）由（1）可知，A（m，
），B（3m，
），
又已知过A 作x 轴的平行线交y＝
的图象于点C．
∴C 的纵坐标是
，
把y＝
代入y＝
得x＝9m，
∴C 的坐标是（9m，
），
∴AC＝9m﹣m＝8m．
∴S△ABC＝
×8m×
＝8．
22．【解答】解：（1）∵AB＝AC，D 是BC 的中点，
∴AD⊥BC，BD＝DC，
∵OD 是⊙O 的半径，
∴AD 是圆O 的切线；
（2）连接OP，
∵BC＝4，
∴BD＝DC＝2，
∵BD 为直径，
∴BO＝OD＝1，
∵EP 为⊙O 切线，
∴OP＝1，
∵OC＝3，
∴在 Rt△OPC 中，OP2+OC2＝PC2，
∴
，
∵∠EDC＝∠PCO，∠EDC＝∠OPC＝90°，
∴△EOC∽△POC，
∴
，
∴
，
∴
，
∴PE＝PC﹣EC＝
＝
．
23．【解答】（1）证明：由折叠得：∠FBE＝∠CBE，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴EF＝BF；
（2）解：在Rt△ABE 中，∵AB＝4，AE＝
，
∴BE＝
＝
，
∴∠ABE＝30°，
∴∠AEB＝60°，
由（1）知：EF＝BF，
∴△BEF 是等边三角形，
∵AB⊥EF，
∴AE＝AF，
如图1，过A 作AH⊥C'D'，
∵FC'⊥C'D'，ED'⊥C'D'，
∴FC'∥AH∥ED'，
∴C'H＝D'H，
∵AH⊥C'D'，
∴AC'＝AD'，
∴△AC′D′是等腰三角形；
（3）如图1，S△C'D'A＝
AH•C'D'，
∵C'D'＝CD＝4 为定值，
∴当AH 最小时，△AC′D′面积最小，
如图2，当C'、A、B 三点共线时，此时H 与C'重合，△AC′D′面积最小，
由折叠得：BC＝BC'＝6，∠C＝∠C'＝90°，
∵AB＝4，
∴AC'＝6﹣4＝2，
△AC′D′面积的最小值＝
＝
＝4．
24．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴
，
解得
，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）抛物线的对称轴上存在点P，使得△ACP 的周长最小，理由如下：
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A、B 点关于直线x＝1 对称，
∴PA＝PB，
∴△ACP 的周长＝AC+AP+CP＝AC+PB+CP≥AC+BC，
∴当B、C、P 三点共线时，△ACP 的周长有最小值，
当x＝0 时，y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC 的解析式为y＝kx+m，
∴
，
解得
，
∴y＝﹣x+3，
∴P（1，2），
∵AC＝
，BC＝3
，
∴△ACP 的周长的最小值为
+3
；
（3）设M（x，﹣x2+2x+3），N（n，0），
当AC 为平行四边形的对角线时，
∴
，
解得
（舍）或
，
∴M（2，3）；
当AM 为平行四边形的对角线时，
∴
，
解得
（舍）或
，
∴M（2，3）；
当AN 为平行四边形的对角线时，
∴
，
解得
或
，
∴M（1+
，﹣3）或（1﹣
，﹣3）；
综上所述：M 点横坐标为2 或1+
或1﹣
．
