北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
综合测试卷(一)
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
2-i
1.(2020浙江超级全能生第一次联考,2)已知复数z= (i为虚数单位),则复数z的模等于 ( )
1+i
√10 3√2 √5
A. B. C.√3 D.
2 2 2
答案 A 由于z=2-i= (2-i)(1-i) =1-3i ,∴|z|=|1 - 3 i |=√ (1) 2 + ( - 3) 2 =√10.故选A.
1+i (1+i)(1-i) 2 2 2 2 2 2
2.(2019江西南昌外国语学校适应性测试,1)已知集合M={x|0<x<5},N={x|m<x<6},若M∩N={x|3<x<n},则m+n等
于 ( )
A.9 B.8 C.7 D.6
答案 B 因为M∩N={x|0<x<5}∩{x|m<x<6}={x|3<x<n},所以m=3,n=5,因此m+n=8.故选B.
3.(2020九师联盟9月质量检测,3)埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,世界七大奇迹之一,其中较为著名
的是胡夫金字塔,令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿,还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.
如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍,得到的商为3.14159,这就是圆周率较为精确的近似值.金字
塔底部为正方形,整个塔形为正四棱锥,经古代能工巧匠建设完成后,底座边长大约为230米.因年久风化,顶端
剥落10米,则胡夫金字塔现高大约为 ( )
A.128.4米 B.132.4米 C.136.4米 D.140.4米
答案 C 本题主要考查空间几何体的结构特征,考查数学抽象、数学运算的核心素养.由已知条件“胡夫金
230×4
字塔的底部周长除以其高度的两倍,得到商为3.14159”可得,胡夫金字塔的原高为 ≈146.4
2×3.14159
米,则胡夫金字塔现高大约为146.4-10=136.4米,故选C.
5
4.(2019广西梧州调研,6)若抛物线x2=2py(p>0)上一点(1,m)到其准线的距离为 ,则抛物线的方程为 ( )
4
A.x2=y B.x2=2y或x2=4y
C.x2=4y D.x2=y或x2=4y
1 1 p 5 1
答案 D 由已知可得m= ,则 + = ,化简得2p2-5p+2=0,解得p= 或p=2,所以抛物线方程为x2=y
2p 2p 2 4 2
或x2=4y.
5.(2018湖南张家界三模,4)已知变量x,y之间的线性回归方程为^=-0.7x+10.3,且变量x,y之间的一组相关数
y
据如下表所示,则下列说法错误的是 ( )
x 6 8 10 12
y 6 m 3 2
A.变量x,y之间成负相关关系
B.可以预测,当x=20时,^=-3.7
y
C.m=4
D.该回归直线必过点(9,4)
答案 C 由-0.7<0,得变量x,y之间成负相关关系,故A说法正确;
当x=20时,^=-0.7×20+10.3=-3.7,故B说法正确;
y
第1页共12页第1页共12页
北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
1 1 11+m 11+m
由表格数据可知x= ×(6+8+10+12)=9,y= ×(6+m+3+2)= ,则 =-0.7×9+10.3,解得m=5,故C说
4 4 4 4
法错;
6+5+3+2
由m=5,得y= =4,所以回归直线必过点(9,4),故D说法正确.故选C.
4
6.(2019广东佛山教学质量检测(一),7)若曲线y=ex在x=0处的切线也是曲线y=lnx+b的切线,则b= ( )
A.-1 B.1 C.2 D.e
答案 C y=ex的导数为y'=ex,则曲线y=ex在x=0处的切线斜率k=1,
1 1
则曲线y=ex在x=0处的切线方程为y-1=x,即y=x+1.y=lnx+b的导数为y'= ,设切点为(m,n),则 =1,解得m=1,
x m
则n=2,即有2=ln1+b,解得b=2.故选C.
7.(2020四川邻水实验学校第一次月考,5)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,将函
π
数f(x)的图象向左平移 个单位,得到函数g(x)的图象,则当x∈[0,π]时,不等式g(x)<1的解集为( )
6
A.[ π] B.[7π ]
0, ,π
4 12
C.[ π)∪(7π ] D.(π 7π)
0, ,π ,
4 12 4 12
答案 C 由题图可得A=2,
3 7π π 3 9π
T= + , T= ,∴T=π,
4 12 6 4 12
2π
∴ =π,∴ω=2,f(x)=2sin(2x+φ).
ω
∵f(7π)=2,即2sin(7π )=2.
+φ
12 6
∴sin( 7π)=1,φ+7π=π+2kπ,k∈Z,
φ+
6 6 2
2π
∴φ=2kπ- ,k∈Z.
3
2π
∵|φ|<π,∴φ=- ,
3
第2页共12页第2页共12页
北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
∴f(x)=2sin( 2x- 2π).将f(x)的图象向左平移 π 个单位得g(x)=2sin [ 2 ( x+ π) - 2π] =2sin( 2x- π)的
3 6 6 3 3
图象.
∵0≤x≤π,∴0≤2x≤2π,
π π 5π
∴- ≤2x- ≤ ,∵g(x)<1,
3 3 3
∴sin( π)<1,
2x-
3 2
π π π 5π π 5π
∴- ≤2x- < 或 <2x- ≤ .
3 3 6 6 3 3
π 7π
∴0≤x< 或 <x≤π.
4 12
即x∈[ π)∪( 7 ].故选C.
0, π,π
4 12
8.(2018山东枣庄二模,8)若(x2-a)( 1) 10 的展开式中x6的系数为30,则a等于 ( )
x+
x
1 1
A. B. C.1 D.2
3 2
答案 D ( x+ 1) 10 的展开式的通项为T r+1 = Cr ·x10-r·(1) r = Cr ·x10-2r,
x 10 x 10
令10-2r=4,解得r=3,
所以x4项的系数为 C3 ;
10
令10-2r=6,解得r=2,
所以x6项的系数为 C2 ,
10
所以(x2-a)·(
x+
1) 10 的展开式中x6的系数为
C3
-a
C2
=30,
x 10 10
解得a=2.故选D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得
5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.下列结论正确的是 ( )
3
A.若tanα=2,则cos2α=
5
1
B.若sinα+cosβ=1,则sin2α+cos2β≥
2
C.“∃x∈Z,sinx∈Z”的否定是“∀x∈Z,sinx∉Z”
0 0
第3页共12页第3页共12页
北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
π
D.将函数y=|cos2x|的图象向左平移 个单位长度,所得图象关于原点对称
4
答案 BC
cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-sin2α=1-tan2α=-3,故A错误;sinα+cosβ=1⇒sinα=1-
cos2α+sin2α 1+tan2α 5
cosβ,sin2α+cos2β=(1-cosβ)2+cos2β=2( 1) 2 +1≥1,故B正确;先将存在量词“∃”改为全称量词
cosβ-
2 2 2
“∀”,再否定结论,故C正确;易得图象平移后所得图象对应的函数解析式为y=|sin2x|,图象关于y轴对称,故
D错误,故选BC.
10.某同学在微信上查询到近十年全国高考报名人数、录取人数和山东夏季高考报名人数的折线图,其中
2019年的录取人数被遮挡了.他又查询到近十年全国高考录取率的散点图,结合图中的信息判定下列说法正
确的是 ( )
A.全国高考报名人数逐年增加
B.2018年全国高考录取率最高
C.2019年高考录取人数约820万
D.2019年山东高考报名人数在全国的占比最小
答案 BCD 由题图可知全国高考报名人数2013年比2012年少,故A错;由题图可知2018年全国高考录取
率最高,为81.1%,故B对;1031×79.5%=819.645≈820,故C对;由题图易知2019年山东高考报名人数在全国的
56
占比最小,为 ≈0.054,故D对,故选BCD.
1031
11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2√3,c=3,A+3C=π,则下列结论正确的是 ( )
√3 √2
A.cosC= B.sinB=
3 3
第4页共12页第4页共12页
北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
C.a=3 D.S =√2
△ABC
b c 2√3 3 √3
答案 AD ∵A+B+C=π,A+3C=π,∴B=2C,又 = ,∴ = ,∴cosC= ,故A对;由cosC=
sinB sinC sin2C sinC 3
3
√3 √6 b c 2√3 2√2 6 1
(0<C<π)得sinC= ,∵ = ,∴ =√6,∴sinB= ,故B错;cos2C=1-2sin2C=1-2× =-
3 3 sinB sinC sinB 3 9 3
3
,sin2C=sinB=2√2,cosA=cos(π-3C)=-cos3C=-cos(C+2C)=-[√3 ( 1) √6 2√2]=5√3,a2=b2+c2-
× - - ×
3 3 3 3 3 9
5√3 5√3 √6 1 1
2bccosA=12+9-2×2√3×3× =1,故C错;∵cosA= (0<A<π),∴sinA= ,S = bcsinA= ×2√3×3×
9 9 9
△ABC
2 2
√6
=√2,故D对,故选AD.
9
12.如图,点E为正方形ABCD边CD上异于点C,D的动点,将△ADE沿AE翻折成△SAE,在翻折过程中,下列说
法正确的是 ( )
A.存在点E和某一翻折位置,使得SB⊥SE
B.存在点E和某一翻折位置,使得AE∥平面SBC
C.存在点E和某一翻折位置,使得直线SB与平面ABC所成的角为45°
D.存在点E和某一翻折位置,使得二面角S-AB-C的大小为60°
答案 ACD 当SE⊥CE时,SE⊥AB,SE⊥SA,又AB∩SA=A,∴SE⊥平面SAB,∴SE⊥SB,故A正确;若AE∥平面
SBC,则AE∥BC,这与已知矛盾,故B错误;如图所示,作DF⊥AE交BC于F,交AE于G,S在平面ABCE内的射
影为O,易知O在GF上,连接BO,故∠SBO为直线SB与平面ABC所成的角,设二面角S-AE-B的平面角为
12 12 12
α,AD=4,DE=3,则AE=DF=5,CE=BF=1,DG= ,OG= cosα,若存在∠SBO=45°,则只需满足SO=OB= sinα,
5 5 5
在△OFB中,根据余弦定理得(12 ) 2 =12+(13 12 ) 2 -2·(13 12 )·cos∠OFB,解得
sinα - cosα - cosα
5 5 5 5 5
2
cosα= ,故C正确;过O作OM⊥AB交AB于M,连接SM,OA,则∠SMO为二面角S-AB-C的平面角,取二面角S-
3
DG
π π π
AE-B的平面角为60°,故只需满足DG=2OG=2OM,设∠OAM=θ, <θ< ,则∠DAG= -2θ,AG= (π )
8 4 2 tan -2θ
2
OG √5
= ,∴2tanθ·tan2θ=1,解得tanθ= ,故D正确,故选ACD.
tanθ 5
第5页共12页第5页共12页
北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.三名旅游爱好者商定,新冠肺炎疫情全面结束后,前往湖北省的武汉、宜昌、黄冈三个城市旅游.如果三人
均等可能地前往上述三个城市之一,则他们选择同一个城市的概率是 .
1
答案
9
1
解析 每个人都有3种选择,共有33=27种,去同一个城市有3种结果,故概率为 .
9
2√3
14.已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|= |a|,则向量a+b与a-b的夹角为 .
3
π
答案
3
解析 将|a+b|=|a-b|两边平方,得a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b,∴a·b=0.
2√3
将|a+b|= |a|两边平方,
3
4
得a2+b2+2a·b= a2,
3
1
∴b2= a2.
3
设a+b与a-b的夹角为θ,
2
a2-b2 a2
(a+b)·(a-b) 3 1
∴cosθ= =2√3 2√3 = = .
|a+b|·|a-b| |a|· |a| 4 2
3 3
a2
3
π
又∵θ∈[0,π],∴θ= .
3
15.(2020百师联盟第一次联考,16)已知双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0),F,F 为其左、右焦点,线段FA垂直于直线
1 2 2
a2 b2
b
y= x,垂足为点A,与双曲线交于点B,若⃗F B=⃗BA,则该双曲线的离心率为 .
a 2
答案 √2
解析 由题意可知线段FA所在的直线方程为y=-a(x-c),与y=bx联立,解得A(a2 ab),易知B为线段
2 ,
b a c c
FA的中点,所以B(c2+a2 ab),将B点坐标代入双曲线方程得b2· (a2+c2)2 -a2·a2b2 =a2b2,得c2=2a2,
2 ,
2c 2c 4c2 4c2
c
又因为e>1,所以e= =√2.
a
16.(2020广东广雅中学、执信中学、六中、深外四校八月联考,16)把平面图形M上的所有点在一个平面上
的射影构成的图形M'称为图形M在这个平面上的射影.如图,在长方体ABCD-EFGH中,AB=5,AD=4,AE=3.则
△EBD在平面EBC上的射影的面积是 .
第6页共12页第6页共12页
北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 2√34
解析 连接HC,过D作DM⊥HC于M,连接ME,MB,因为BC⊥平面HCD,DM⊂平面HCD,所以BC⊥DM,因
为BC∩HC=C,所以DM⊥平面HCBE,即D在平面HCBE内的射影为M,所以△EBD在平面HCBE内的射影为
△EBM,在长方体中,HC∥BE,所以△MBE的面积等于△CBE的面积,所以△EBD在平面EBC上的射影的面积为
1
×√52+32×4=2√34.
2
四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
√5
17.(10分)如图,在△ABC中,AD∶DC=5∶3,BD=1,sinA= ,⃗BA·⃗BD=0.
5
(1)求BC的长度;
(2)若E为AC上靠近A的四等分点,求sin∠DBE.
解析 (1)∵⃗BA·⃗BD=0,∴BA⊥BD,
√5
在△ABD中,BD=1,sinA= ,
5
√5
∴AD=√5,cos∠ADB= , (2分)
5
3√5
又∵AD∶DC=5∶3,∴DC= , (3分)
5
√5
在△BCD中,cos∠BDC=- ,
5
∴BC2=CD2+BD2-2×CD×BD×cos∠BDC=9+1-2×3√5×1×( √5)=4,
-
5 5 5
∴BC=2. (5分)
1 2√5 2√5
(2)由(1)知,AB=2,AE= AC= ,cosA= ,
4 5 5
4 2√5 2√5 8
在△ABE中,BE2=AB2+AE2-2×AB×AE×cosA=4+ -2×2× × = ,
5 5 5 5
第7页共12页第7页共12页
北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
2√10
∴BE= , (7分)
5
3√5 2√5
在△BDE中,易知DE= ,sin∠BDE= , (8分)
5 5
DE BE
∵ = ,
sin∠DBE sin∠BDE
DE×sin∠BDE 3√10
∴sin∠DBE= = .(10分)
BE 10
1 1
18.(12分)(2020新疆哈密月考,17)已知数列{a},{b},其中a=5,b=-1,且满足a= (3a -b ),b=- (a -
n n 1 1 n n-1 n-1 n n-1
2 2
3b ),n∈N*,n≥2.
n-1
(1)求证:数列{a-b}为等比数列;
n n
{3×2n-1}
(2)求数列 的前n项和S.
n
a a
n n+1
解析 (1)证明:a
n
-b
n
=1(3a
n-1
-b
n-1
)-(
-
1)(a
n-1
-3b
n-1
)=2(a
n-1
-b
n-1
),n∈N*,n≥2,
2 2
又a-b=5-(-1)=6,所以{a-b}是首项为6,公比为2的等比数列.
1 1 n n
(2)由(1)知,a
n
-b
n
=3×2n.①
因为a
n
+b
n
=1(3a
n-1
-b
n-1
)+(
-
1)(a
n-1
-3b
n-1
)=a
n-1
+b
n-1
,n∈N*,n≥2,
2 2
又a
1
+b
1
=5+(-1)=4,所以{a
n
+b
n
}为常数列且a
n
+b
n
=4.②
联立①②得a=3×2n-1+2,
n
故3×2n-1 = 3×2n-1 = 1 - 1 .
a a (3×2n-1+2)(3×2n+2) 3×2n-1+2 3×2n+2
n n+1
所以S n =( 1 - 1 )+( 1 - 1 )+…+( 1 - 1 )=1-
3×20+2 3×21+2 3×21+2 3×22+2 3×2n-1+2 3×2n+2 5
1
.
3×2n+2
19.(12分)(2020广东广州第十六中学质量检测(一),19)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面
ABCD,AB∥CD,AD=DC=AP=2,AB=1,BC=√5.
(1)证明:AB⊥平面PAD;
(2)若E为棱PC上一点,满足BE⊥AC,求二面角E-AB-P的余弦值.
解析 (1)证明:∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.
取CD中点F,连接BF,∵AB∥DF且AB=DF=1,
第8页共12页第8页共12页
北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
∴四边形ABFD是平行四边形,则BF=AD=2,
∵BF2+CF2=22+12=5=BC2,
∴BF⊥CF,∴四边形ABFD是矩形,
∴AB⊥AD,∵PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD.
(2)由(1)及已知得AB,AD,AP两两垂直,
以AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),
∴⃗CP=(-2,-2,2),⃗AC=(2,2,0).
由E点在棱PC上,设⃗CE=λ⃗CP=(-2λ,-2λ,2λ)(0≤λ≤1),
则E(2-2λ,2-2λ,2λ).
故⃗BE=⃗BC+⃗CE=(1-2λ,2-2λ,2λ),
3
由BE⊥AC,得⃗BE·⃗AC=2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ= ,
4
即 =( 1 1 3),
⃗BE - , ,
2 2 2
设平面ABE的法向量为n=(a,b,c),
{
a=0,
由{n·⃗AB=0,得
1 1 3
n·⃗BE=0, - a+ b+ c=0.
2 2 2
令c=1,则n=(0,-3,1).
取平面ABP的法向量i=(0,1,0),
设二面角E-AB-P的平面角为α,
i·n -3 3√10
则cosα= = =- .
|i|·|n| √10 10
由图知二面角E-AB-P为锐二面角,
3√10
故二面角E-AB-P的余弦值为 .
10
20.(12分)(2020河南安阳检测,19)一间宿舍内住有甲、乙两人,为了保持宿舍的干净整洁,他们每天通过小游
戏的方式选出一人值日,游戏规则如下:第1天由甲值日,随后每天由前一天值日的人掷两枚正方体骰子(点数
为1~6),若得到两枚骰子的点数之和小于10,则前一天值日的人继续值日,否则当天换另一人值日.从第2天开
始,设“当天值日的人与前一天相同”为事件A.
第9页共12页第9页共12页
北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
(1)求P(A);
(2)设P(n∈N*)表示“第n天甲值日”的概率,则P=1,P=aP +b(1-P )(n=2,3,4,…),其中a=P(A),b=P(A).
n 1 n n-1 n-1
(i)求P 关于n的表达式;
n
(ii)这种游戏规则公平吗?说明理由.
解析 (1)由题意知A表示“当天值日的人与前一天不同”,即前一天值日的人掷两枚骰子所得点数之和大
于或等于10,掷两枚骰子所得点数的情况有6×6=36种,
事件A包含的情况有(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共6种情况,
6 5
∴P(A)=1-P(A)=1- = .
36 6
5 1 2 1
(2)(i)由(1)可知P= P + (1-P )= P + .
n n-1 n-1 n-1
6 6 3 6
整理,得P
n
-1=2(
P -
1),n=2,3,4,…,
2 3 n-1 2
∴{ 1}是首项为P-1=1,公比为2的等比数列,
P - 1
n 2 2 2 3
即P
n
-1=1(2) n-1 ,
2 2 3
∴P
n
=1(2) n-1 +1,n∈N*.
2 3 2
(ii)不公平.理由如下:
∵P
n
=1(2) n-1 +1>1恒成立,
2 3 2 2
1
即甲每天值日的概率都大于 ,
2
∴甲每天值日的概率都比乙每天值日的概率大,故不公平.
思路分析 (1)由题意知事件A表示“当天值日的人与前一天不同”,即前一天值日的人掷两枚骰子所得点
数之和大于或等于10,掷两枚骰子所得点数的情况有6×6=36种,利用列举法求出事件A包含的情况有6种,
从而求出P(A).
(2)(i)由(1)可知P=5P +1(1-P )=2P +1,从而{ 1}是首项为P-1=1,公比为2的等比数列,从而求
n n-1 n-1 n-1 P - 1
6 6 3 6 n 2 2 2 3
出P 关于n的表达式.
n
1
(ii)推导出甲每天值日的概率都大于 ,即甲每天值日的概率都比乙每天值日的概率大,故不公平.
2
21.(12分)(2020河南、安徽部分重点中学10月联考,21)已知椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为
a2 b2
√2
F、F,上顶点为A,△AFF 的面积为1,且椭圆C的离心率为 .
1 2 1 2
2
第10页共12页第10页共12页
北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)点M在椭圆上且位于第二象限,过点F 作直线l⊥MF,过点F 作直线l⊥MF,若直线l,l 的交点N恰好在
1 1 1 2 2 2 1 2
椭圆C上,求点M的坐标.
c √2
{ = ,
a 2
解析 (1)由题意可得
1
·2c·b=1,
2
a2-b2=c2,
{a=√2,
结合a>b>0,解得 (3分)
b=1,
c=1.
x2
所以椭圆C的标准方程为 +y2=1. (4分)
2
(2)由(1)知,F(-1,0),F(1,0). (5分)
1 2
设M(x,y),则x<0,y>0.
0 0 0 0
当x=-1时,l 与l 相交于点F,不符合题意. (6分)
0 2 1 2
y y
当x 0 ≠-1时,直线MF 1 的斜率为 0 ,直线MF 2 的斜率为 0 .
x +1 x -1
0 0
x +1 x -1
因为l
1
⊥MF
1
,l
2
⊥MF
2
,所以直线l
1
的斜率为-
0
,直线l
2
的斜率为-
0
. (8分)
y y
0 0
x +1
所以直线l 1 的方程为y=- 0 (x+1),直线l 2 的方程为
y
0
x -1
y=-
0
(x-1).
y
0
x2-1
联立l 1 和l 2 的方程,解得x=-x 0 ,y= 0 ,
y
0
(
x2-1)
所以N -x , 0 . (10分)
0 y
0
x2-1
因为点M,N在椭圆C上,由椭圆的对称性,可知 0 =±y 0 ,所以 x2- y2=1或 x2+ y2=1.
y 0 0 0 0
0
{x2- y2=1, { x =- 2√3 , {x2+ y2=1,
由 0 0 结合x<0,y>0,解得 0 3 而 0 0 无解,
x2 0 0 x2
0+ y2=1 √3 0+ y2=1
2 0 y = . 2 0
0 3
第11页共12页第11页共12页
北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
所以点M的坐标为( 2√3 √3).(12分)
- ,
3 3
lnx+a
22.(12分)(2020黑龙江哈尔滨第六中学调研,21)已知函数f(x)= (a∈R),g(x)=e2x-2.
x
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≤g(x)在(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
解析 (1)f(x)的定义域为(0,+∞).
1-lnx-a
f'(x)= ,令f'(x)=0,得x=e1-a,所以
x2
当0<x<e1-a时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x>e1-a时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
故f(x)的单调递增区间为(0,e1-a),单调递减区间为[e1-a,+∞).
lnx+a
(2)由f(x)≤g(x)得 ≤e2x-2,即a≤x(e2x-2)-lnx,
x
令h(x)=x(e2x-2)-lnx(x>0),则h'(x)=(2x+1)e2x-1+2x=(2x+1)(
e2x-
1),
x x
1 1
令F(x)=e2x- (x>0),则F'(x)=2e2x+ >0(x>0),
x x2
所以F(x)在(0,+∞)上单调递增,
又F(1)= -4<0,F(1)=e-2>0,
√e
4 2
所以F(x)有唯一的零点x
0
,且x
0
∈(1
,
1).
4 2
当x∈(0,x)时,F(x)<0,则h'(x)<0,h(x)单调递减;
0
当x∈(x,+∞)时,F(x)>0,则h'(x)>0,h(x)单调递增.
0
所以h(x)
min
=h(x
0
)=x
0
(e2x 0-2)-lnx
0
,
又因为F(x 0 )=0,即 e2x
0
= 1 ,所以h(x 0 )=x 0 ( 1 -2 )-ln 1 =1-2x 0 +2x 0 =1,
x x e2x
0
0 0
所以a≤1,故a的取值范围是(-∞,1].
解后反思 本题第(2)问中,由单调性可得h(x
0
)=x
0
(e2x
0-2)-lnx
0
为函数h(x)的最小值,由F(x
0
)=0换元可得
h(x)=1,这种设而不求的解题思想在导数中常用
0
第12页共12页
