北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§3.6 函数的图象
专题检测
1.(2020北京八中三月模拟,5)已知函数f(x)的图象与函数g(x)=2x的图象关于x轴对称,则f(x)= ( )
A.-2x B.2-x
C.-logx D.logx
2 2
答案 A 由函数f(x)的图象与函数g(x)=2x的图象关于x轴对称,得f(x)=-g(x)=-2x,故选A.
2.函数f(x)的图象是两条直线的一部分(如图所示),其定义域为[-1,0)∪(0,1],则不等式 f(x)-f(-x)>-1的解集是
( )
A.{x|-1≤x≤1且x≠0}
B.{x|-1≤x<0}
C.{ | 1 }
x -1≤x<0或 <x≤1
2
D.{ | 1 }
x -1≤x<- 或0<x≤1
2
答案 D 由题图可知, f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
1 1
∴f(x)-f(-x)>-1⇔2f(x)>-1⇔f(x)>- ⇔-1≤x<- 或0<x≤1.故选D.
2 2
3.现有四个函数:①y=xsin x;②y=xcos x;③y=x|cos x|;④y=x·2x.它们的图象(部分)如下,但顺序已被打乱,则按照
从左到右的顺序将图象对应的函数序号排列正确的一组是 ( )
A.④①②③ B.①④③② C.③④②① D.①④②③
答案 D 函数y=xsin x是偶函数,由图象知,函数①对应第一个图象;函数y=xcos x是奇函数,且当x=π时,y=-
π<0,故函数②对应第三个图象;函数y=x|cos x|为奇函数,且当x>0时,y≥0,故函数③与第四个图象对应;函数
y=x·2x为非奇非偶函数,与第二个图象对应.综上可知,选D.
4.(2018北京海淀一模,7)下列函数中,其图象上任意一点P(x,y)的坐标都满足y≤|x|的函数是 ( )
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A.f(x)=x3 B.f(x)=√x
C.f(x)=ex-1 D.f(x)=ln(x+1)
答案 D 在同一直角坐标系中分别作出A,B,C,D选项中y=f(x)和y=|x|的图象,如图所示.
由图象可知选D.
5.(2019北京朝阳期中,7)已知函数f(x)={ 2x,x<0, 当1≤m<3时,方程f(x)=-1x+m的根的个数为
f (x-2),x≥0, 2 4 8
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
1 1 1 3
答案 C 方程f(x)=- x+m的根的个数,即函数y=f(x)与y=- x+m的图象的交点个数.当m= 或m= 时,在
8 8 2 4
同一坐标系下画出两个函数的图象如图所示,
1 3 1 3 1
由图可知,当 ≤m< 时,两个函数的图象总是有3个交点,即当 ≤m< 时,方程f(x)=- x+m有3个根,故选
2 4 2 4 8
C.
6.(2019安徽合肥二模,9)设函数f(x)={|lnx|,x>0,
若函数g(x)=f(x)-b有三个零点,则实数b的取值范
ex(x+1),x≤0.
围是( )
A.(1,+∞) B.( - 1 ,0 )
e2
C.(1,+∞)∪{0} D.(0,1]
答案 D 令g(x)=f(x)-b=0,函数g(x)=f(x)-b有三个零点等价于f(x)=b有三个根,当x≤0时, f(x)=ex(x+1),则f
'(x)=ex(x+1)+ex=ex(x+2),由f '(x)<0得ex(x+2)<0,即x<-2,此时f(x)为减函数,
由f '(x)>0得ex(x+2)>0,即-2<x<0,此时f(x)为增函数,
1
即当x=-2时, f(x)取得极小值f(-2)=- .作出f(x)的图象如图,要使f(x)=b有三个根,则0<b≤1,故选D.
e2
7.(2018浙江名校协作体,5)已知函数f(x)=ax3+x2+x+b,下列图象一定不能表示f(x)的图象的是 ( )
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答案 D f '(x)=3ax2+2x+1,
当a=0时, f '(x)=2x+1,显然此时f(x)存在一个极值.
{ a>0, 1
当 即a≥ 时, f '(x)≥0恒成立,此时f(x)在R上单调递增,所以选项A可能.当
Δ=4-12a≤0, 3
{ a≠0, 1
即a< 且a≠0时, f '(x)=3ax2+2x+1=0有两个解,即存在两个极值,所以选项B,C可能.当
Δ=4-12a>0, 3
{ a<0,
时无解.综上可知,不存在f '(x)≤0恒成立的情况,即不存在f(x)在R上单调递减的情况,故
Δ=4-12a≤0
选D.
8.(2019安徽安庆二模,7)若函数f(x)=logx(a>0且a≠1)的定义域与值域都是[m,n](m<n),则a的取值范围是(
a
)
A.(1,+∞) B.(e,+∞)
1
C.(1,e) D.(1, )
ee
答案 D f(x)=logx的定义域与值域相同,
a
等价于方程f(x)=logx=x有两个不等的实数解.
a
lnx lnx
∵logx=x,∴ =x,∴ln a= 有两个不等实数解,
a
lna x
lnx
问题等价于直线y=ln a与函数y= 的图象有两个交点.
x
lnx
作函数y= 的图象,如图所示.
x
1 1 lnx
根据图象可知,当0<ln a< ,即1<a< 时,直线y=ln a与函数y= 的图象有两个交点.故选D.
e
ee
x
9.(2019北京石景山一模文,8)当x∈[0,1]时,下列关于函数y=(mx-1)2的图象与y=√x+m的图象交点个数说法
正确的是 ( )
A.当m∈[0,1]时,有两个交点
B.当m∈(1,2]时,没有交点
C.当m∈(2,3]时,有且只有一个交点
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D.当m∈(3,+∞)时,有两个交点
答案 B y=(mx-1)2=m2( 1) 2 的图象是由y=x2的图象向右平移1个单位,再将函数值放大m2倍得到的;
x-
m m
y=√x+m的图象是由y=√x的图象向左平移m个单位得到的.
当m=0时,函数y=1与函数y=√x在[0,1]上只有一个交点,故排除A.
当m∈(1,2]时,在同一坐标系下,作出两个函数的图象如图:
由图可知在[0,1]上两个函数图象没有公共点.选项B正确.
当m∈(2,3]时,不妨取m=2.1,在同一坐标系下作出两个函数的图象如图:
由图象可知m=2.1时无交点,选项C错误.
当m∈(3,+∞)时,(m-1)2>√m+1.在同一坐标系下,作出两个函数的图象,如图:
故由图象得到选项D错误,应该是一个交点.
综上所述,选B.
10.(2017浙江名校协作体,17)设函数f(x)=x2-2ax+15-2a,x∈(0,+∞)的两个零点分别为x,x,且在区间(x,x)上恰
1 2 1 2
好有两个正整数,则实数a的取值范围是 .
答案 (31 19]
,
10 6
x2+15
解析 令f(x)=0,即x2+15=2a(x+1),所以 =2a,令x+1=t,则t>1,
x+1
(t-1)2+15
问题转化为 =2a在(1,+∞)上的两个解t,t 之间恰有两个正整数.
1 2
t
16
作出函数y=t+ -2和y=2a的图象(如图所示).
t
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易知,仅需t=3,t=5恰有一个满足条件即可,
19 31
而当t=3时,y= ;t=5时,y= .
3 5
31 31 31 31 31 44 11
当2a= ,即a= 时, f(x)=x2- x+15- =x2- x+ .令f(x)=0,解得x= ,x=4.此时(x,x)内只有1个正
1 2 1 2
5 10 5 5 5 5 5
整数.故31<2a≤19,所以31<a≤19,因而实数a的取值范围是(31 19].
,
5 3 10 6 10 6
11.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,17)在直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点.如果函数f(x)
的图象恰好通过k(k∈N*)个格点,则称函数f(x)为k阶格点函数,给出下列函数:①f(x)=lo x;②f(x)=(1) x
g
√2 2
;③f(x)=3√2x2-6√2x+3√2+1;④f(x)=sin4x+cos4x.其中是一阶格点函数的为 .(只填序号)
答案 ③④
解析 函数f(x)=lo x的图象过格点(2n,2n),其中n∈N,有无数个格点,故不是一阶格点函数; f(x)=(1) x 的图
g
√2 2
象过格点(-n,2n),其中n∈N,有无数个格点,故不是一阶格点函数; f(x)=3√2(x-1)2+1的图象过格点(1,1),且当
1 3
x≠1,x∈Z时, f(x)的值不是整数,故是一阶格点函数; f(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1- sin22x= +
2 4
1cos 4x,显然f(x)的值域为[1 ],要使f(x)的值是整数,则f(x)=1,此时cos 4x=1,得x=kπ,k∈Z,当且仅当
,1
4 2 2
k=0时,x取整数,故是一阶格点函数.
12.(2018浙江镇海中学阶段性测试,17)已知函数y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]上的图象如下图所示.给出下列四个命
题:
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①方程f(g(x))=0有且仅有6个根;
②方程g(f(x))=0有且仅有3个根;
③方程f(f(x))=0有且仅有5个根;
④方程g(g(x))=0有且仅有4个根.
其中正确的命题为 .
答案 ①③④
解析 由题图知方程f(t)=0有三个根,t∈(-2,-1),t=0,t∈(1,2),
1 2 3
由题图知方程g(x)=t 有两个不同的根,方程g(x)=t=0有两个不同的根,方程g(x)=t 有两个不同的根,则方程
1 2 3
f(g(x))=0有且仅有6个根.故①正确.
由题图知方程g(u)=0有两个根u∈(-2,-1),u∈(0,1),
1 2
由题图知方程f(x)=u 只有1个根,方程f(x)=u 有三个不同的根,则方程g(f(x))=0有且仅有4个根.故②不正确.
1 2
由题图知方程f(x)=t 只有1个根,方程f(x)=t=0有三个不同的根,方程f(x)=t 只有1个根,则方程f(f(x))=0有且
1 2 3
仅有5个根.故③正确.
由图知方程g(x)=u 有两个不同的根,方程g(x)=u 有两个不同的根,则方程g(g(x))=0有且仅有4个根.故④正确.
1 2
故①③④正确.
13.(2017浙江衢州质量检测(1月),22)已知函数f(x)=|x2-a|,g(x)=x2-ax,a∈R.
(1)当a=1时,求f(x)在区间[-1,1]上的最大值;
(2)求f(x)在区间[-1,1]上的最大值M(a)的最小值;
(3)若关于x的方程f(x)+g(x)=0在(0,2)上有两个解,求a的取值范围.
解析 (1)当a=1时, f(x)=|x2-1|, f(x)在区间[-1,1]上的最大值为1.
(2)由于f(x)=|x2-a|在区间[-1,1]上是偶函数,故只需考虑f(x)在区间[0,1]上的最大值即可.
若a≤0,则f(x)=x2-a,它在[0,1]上是增函数,故M(a)=1-a.
1 1
当0<a< 时,M(a)=1-a,当a≥ 时,M(a)=a,
2 2
1 1
故当a= 时,M(a)取得最小值,且最小值为 .
2 2
(3)令y=f(x)+g(x)=|x2-a|+x2-ax.
当a=0时,y=2x2.令y=0,得x=0,不符合题意.
a
当a<0时,y=2x2-ax-a的图象的对称轴为x= <0,故y在(0,2)上单调递增,当x=0时,y=-a>0,故方程f(x)+g(x)=0
4
在(0,2)上不存在解.
当a>0时,y={2x2-ax-a(x<-√a或x>√a),
-ax+a(-√a≤x≤√a),
令h(x)=2x2-ax-a.由h(0)=-a<0知,方程h(x)=0在(0,+∞)只有一解,
又x=1是方程-ax+a=0的解,所以a≥1,方程h(x)=0在(1,2)上必有一解.
8
由h(1)h(2)<0,得(2-2a)(8-3a)<0,所以1<a< ,
3
8
综上所述,a的取值范围为1<a< .
3
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