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保密★启用前
2025 届新高三学情摸底考02（新课标卷）
数学
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出
的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的
位置上.
1．设集合
，则
的元素的个数为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】分析：分别求出A 和B，再利用交集计算即可.
详解：
，
，
则
，交集中元素的个数是5.
故选：C.
2．
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用复数的乘法和除法运算求解.
【详解】解：
．
故选：C．
1
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3．已知向量
，若
与
方向相反，则
=（ ）
A．54
B．8
C．
D．
【答案】B
【分析】利用给定条件求出m，再利用向量线性运算的坐标表示及坐标求模，计算作答.
【详解】向量
，
与
方向相反，则
，解得
，
即
，则
，
所以
.
故选：B
4．已知函数
在
上满足
，则曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先对
求导数，将
代入导数求得
，再将
代入
，求得
，用点斜式求出直线方程即可．
【详解】由
，两边求导得：
即
所以
，因此
，即
又
，即
2
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故
在
处的切线方程为
即
．
故选：C．
5．已知
在点
处的切线的倾斜角为
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，求得
，再利用同角三角函数关系，求得齐次式的值即
可.
【详解】因为
，故可得
，
则在点
处的切线斜率
；
又因为
.
故选：A.
6．点
的直线中，被圆
截得的最长弦所在的直线方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】要使得直线被圆
截得的弦长最长，则直线必过圆心，利用斜率公式求得斜率，
结合点斜式方程，即可求解.
【详解】由题意，圆
，可得圆心坐标为
，
要使得直线被圆
截得的弦长最长，则直线必过圆心，
可得直线的斜率为
，所以直线的方程为
，
3
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即所求直线的方程为
.
故选：A.
7．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，它是一种绕一个支点高速转动的刚体，种类很多，
其中有一种金属陀螺（如图），它的形状可以认为是上半部分为圆柱，下半部分为倒置的
圆锥；现知尖底长
为3，柱体与锥体部分高之比
，底周长为
，则陀螺的表面
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用已知条件得到底面半径，圆柱母线长以及圆锥的高，进而得到圆锥的母线
长，再利用圆柱和圆锥的表面积公式求解即可.
【详解】由底周长为
，
可得底面半径
，
又现知尖底长
为3，柱体与锥体部分高之比
，
得圆柱的高即母线长为
，圆锥的高为，
圆锥的母线长为
，
则陀螺的表面积为：
；
故选：D.
4
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8．已知
，
分别是双曲线
的左、右焦点，过
的直线与圆
相切且分别交双曲线的左、右两支于
、
两点，若
，则双曲线的
渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义结合几何性质，利用圆的切线形成的垂直关系和余弦定理构造
齐次式求解.
【详解】由双曲线的定义可知
，
，
在
中，
，
整理得
.
解得
，
所以双曲线的渐近线方程为
.
故选：C
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分
分，有选错的得0 分.
9．在下列关于概率的命题中，正确的有（ ）
A．若事件A，B 满足
，则A，B 为对立事件
B．若事件A 与B 是互斥事件，则A 与
也是互斥事件
C．若事件A 与B 是相互独立事件，则A 与
也是相互独立事件
5
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D．若事件A，B 满足
，
，
，则A，B 相互独立
【答案】CD
【分析】对于A：举反例判断命题不成立；对于B：由互斥事件的定义直接判断；对于
C：由相互独立事件的性质直接判断；对于D：利用公式法直接判断.
【详解】对于A：若事件A、B 不互斥，但是恰好
，满足
，但是A，B 不是对立事件.故A 错误；
对于B：由互斥事件的定义可知，事件A、B 互斥，但是A 与
也是互斥事件不成立.故B
错误；
对于C：由相互独立事件的性质可知：若事件A 与B 是相互独立事件，则A 与
也是相互
独立事件.故C 正确；
对于D：因为事件A，B 满足
，
，
，所以
，
所以A，B 相互独立.
故选：CD
10．已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数
的最小正周期为
，则其图象关于直线
对称
B．若函数
的最小正周期为
，则其图象关于点
对称
C．若函数
在区间
上单调递增，则
的最大值为2
D．若函数
在
有且仅有5 个零点，则
的取值范围是
【答案】ACD
【分析】根据最小正周期可以计算出
，便可求出对称轴和对称点，可判断A、B 选项；
根据正弦型函数的单调性可以推出
的值，可判断C 选项；根据零点情况可以求出
的取
6
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值范围，可判断D 选项.
【详解】
选项：
的最小正周期为
，故
正确；
B 选项：
的最小正周期为
，故B 错误；
C 选项：
又函数
在
上单调递增
，故C 正确；
D 选项：
又
在
有且仅有个零点，则
，故D 正确.
故选：ACD
11．已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
的值域为
B．若
，则过原点有且仅有一条直线与曲线
相切
C．存在
，使得
有三个零点
D．若
，则
的取值范围为
【答案】ABD
7
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【分析】A 选项，根据
趋近于0 时，函数值趋近于负无穷，当
趋近于正无穷时，函数值
趋近于正无穷得到A 正确；B 选项，求导，设出切点，得到切线方程，把点
代入切线
方程得
，此方程只有一个根，故B 正确；C 选项，分
与
两
种情况，推导出
至多两个零点；D 选项，先得到
不合要求，
满足要求，考
虑
，
时，满足要求，故只需
时，
恒成立，若
，
，故不合要求，若
，结合导函数得到函数单调性和最值，
得到
满足要求，得到答案.
【详解】A 选项，若
，则
，
故
，
当
趋近于0 时，
趋近于负无穷，此时
趋近于负无穷，
当
趋近于正无穷时，
和
都趋近于正无穷，函数值趋近于正无穷，
因此函数
的值域为R，A 正确；
B 选项，函数定义域为
，
时，
，
因为
时，
，故
，
则
，设切点坐标为
，故
，
则在
处，
的切线方程为
，
把点
代入切线方程得，
，
8
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化简得
，
当
时，
，此方程无解，
当
时，
，此方程无解，
当
时，
，且函数
此时为增函数，
故方程
只有
这1 个解，
即过原点有且仅有一条切线和
相切，B 正确；
C 选项，
，当
时，
，
，
则
，故
单调递减，故在此区间上函数最多一个零点，
要想这个零点存在，需
，
当
时，
，
，
则
，显然这是一个增函数，
要想
函数零点尽可能多，则需存在一个
使得
成立，
此时
在
上单调递减，在
上单调递增，
若在
上存在一个零点，则
，
故此时在
上只存在一个零点，此时函数一共有两个零点，不合要求，
若在
上不存在零点，则
，
又
在
上单调递减，在
上单调递增，
故此时函数最多有两个零点，不合要求，
综上，不存在
，使得函数存在三个零点，C 错误；
9
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D 选项，由A 知，当
时，函数的值域为R，不满足
，
当
时，
，满足要求，
当
时，
时，
，满足要求，
故只需
时，
恒成立，
若
，
，故不合要求，
若
，
，
则
，显然这是一个增函数，
，
函数
单调递增，则
，
故
满足题意，又
也满足要求，
因此
，D 正确；
故选：ABD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．用1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数
，若满足
的五位数
有
个，则在
的展开式中，
的系数是 ．
（用数字作答）
【答案】56
【分析】根据给定条件，利用组合计数问题求出
，再利用二项式定理结合组合数性计算
即得.
【详解】由五位数
满足
，得
，从2、3、4、5 中任取两个分别作
，另两个为
，
因此
，
的展开式中
的系数为：
10
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.
故答案为：56
13．在
中，角
所对的边分别为
，若
，则
．
【答案】
【详解】试题分析：由正弦定理得
，即
，且
，所以
，
，所以
,故应填
.
14．已知椭圆
的方程为
，
，
为椭圆
的左右顶点，
为椭圆
上不同于
.
的动点，直线
与直线
，
分别交于
，
两点，若
，则过
，
，
三点的圆必过
轴上不同于点
的定点，其坐标为 .
【答案】
【分析】利用椭圆的性质首先证明
，然后结合题意设出直线方程，由点的坐
标确定圆的直径所在的位置，最后由直线垂直的充分必要条件可得点D 的坐标.
【详解】首先证明椭圆的一个性质：
椭圆
，点
是椭圆上关于原点对称的两点，
是椭圆上异于
上的一个点，则
.
证明如下：设
，
，
，
11
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由于点
是椭圆上的两点，故
，
两式作差可得：
，
此时
.
故结论成立.
回到本题，由题意可知：
，
设直线PA 的方程为：
，则
，
设直线PB 的方程为：
，则
，
故
，
故
为外接圆的直径，
设所求的点为
，
则：
，
即
，解得：
，(
舍去).
综上可得：所求点的坐标为：
.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15．（13 分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是
文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.衢州市某学校为提高学生对文明城市
创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，已知所有学生的竞赛成绩均位于区间
，从中随机抽取了40 名学生的竞赛成绩作为样本，绘制得到如图所示的频率分布
12
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直方图.
(1)求图中
的值，并估计这40 名学生竞赛成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组
区间的中点值代替）；
(2)利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于80 分的学生中抽取7 人组成创建文明
城市知识宣讲团.若从这选定的7 人中随机抽取2 人，求至少有1 人竞赛成绩位于区间
的概率.
【答案】(1)
，平均数74.5，中位数为75；(2)
.
【分析】（1）利用各小矩形的面积和为1 可求
，利用组中值可求平均数，利用面
积等分可求中位数.
（2）利用列举法及古典概型的概率公式可求概率.
【详解】（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
所以
，解得
.
所以样本中40 名学生的竞赛成绩的平均数
.
设这40 名学生的竞赛成绩的中位数为
，
由于前2 组频率之和为0.35，前3 组频率之和为0.65，
故中位数落在第3 组，于是有
，解得
.
即这40 名学生的竞赛成绩的中位数为75.
（2）由分层随机抽样可知，在区间
应抽取5 人，
记为a，b，c，d，e，在区间
应抽取2 人，记为A，B，
13
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从中任取2 人的所有可能结果为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共21 种.
其中至少有一人测试成绩位于区间
内有：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共11 种.
所以，至少有一人的测试成绩位于区间
内的概率为
.
16．（15 分）已知数列
是各项均为正数的等比数列，前
项和为
，
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
，
为数列
的前
项和，求
.
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）由
，利用等比数列的通项公式，得到
，求得
，即
可求解数列的通项公式；
（2）由（1）可得
，利用乘公比错位相减法和等差数列的求和公式，即可求
解.
【详解】（1）由题意，因为
，
得
，即
，
设公比为
，所以
，又
，所以
.
14
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（2）由（1）可得
，
所以
其中
①
②
-
①②得
，
所以
.
17．（15 分）在四棱锥
中，
为正三角形，平面
平面ABCD，E 为
AD 的中点，
，
，
．
（1）求证：平面
平面PAD；
（2）在棱CD 上是否存在点M，使得
平面PBE？若存在，求出
的值；若不存在，
说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
.
【分析】（1）推导出
，从而
平面ABCD，进而
，然后可证得
平面PAD，得证平面
平面PAD．
（2）在棱CD 上假设存在点M，使得
平面PBE，由
平面ABCD，得
15
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要使
平面PBE 成立，只需
成立，建立空间直角坐标系，利用向量法能求
出
．
【详解】证明：（1）
为正三角形，E 为AD 的中点，
．
平面
底面ABCD，平面
底面
，
平面ABCD．
平面ABCD，
．
，
，
．
，
面
平面PAD．
平面PCD，
平面
平面PAD．
（2）在棱CD 上假设存在点M，使得
平面PBE．
平面ABCD，
．
要使
平面PBE 成立，只需
成立．
以过
与
平行的直线为
轴，
为
轴，
为轴建立如图所示的空间直角坐标系
，则
，
，
，
，
，
设
，
，即
．
16
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，
，
．
．
，
由
，得
，即
解得
．
故
．
18．（17 分）已知动圆C 的圆心在x 轴上，且经过点
，动圆C 与x 轴的另一个交
点为A，与y 轴的一个交点为B，过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，两条垂线交
于点M.
(1)求点M 的轨迹方程；
(2)设点M 的轨迹为E，曲线E 上一点
，过点P 的直线PS，PT 交曲线E 于S，T 两
点，且PS⊥PT，求证：直线ST 过定点，并求出定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据
建立等式即可求解；
（2）先求出点
，再根据题意分别求出
和
，再由直线的两点式得到直线ST 的方程即可求解.
【详解】（1）由题意设
，则
，
，且
，得到
，即
，故M 的轨迹方程为
.
（2）由（1）知点
，直线PS，PT 斜率存在且不为0，不妨设直线PS 的斜率为k，
则直线PS 的方程为
，联立
与
，消掉x 得到
17
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，设点
，则
，得到
，
代入直线方程得到
，
，
因为PS PT
⊥
，将点S 坐标中的k 换成
，得到
，
则
，
直线ST 的方程为
，化简得到
，
所以直线ST 过定点
.
19．（17 分）给出以下三个材料：①若函数
可导，我们通常把导函数
的导数叫
做
的二阶导数，记作
.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作
，三
阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，
阶导数的导数叫做
阶导数，记作
.②若
，定义
.③若函数
在包含
的某个开区间
上具有
阶的导数，那么对于任一
有
，我
们将
称为函数
在点
处的
阶泰勒展开式.例如，
在点
处的
阶泰
勒展开式为
.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出
在点
处的阶泰勒展开式
，并直接写出
在点
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处的阶泰勒展开式
；
(2)比较（1）中
与
的大小.
(3)证明：
.
【答案】(1)
,
；(2)答案见解析；(3)证明过程见解析.
【分析】（1）根据
在点
处的
阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；
（2）令
，利用导数可求得
在
上单调递增，结合
可得
的正负，由此可得
与
的大小关系；
（3）令
，利用导数可求得
，即
；①当
时，由
，
，可直接证得不等式成立；②当
时，
分类讨论，由此可证得不等式成立.
【详解】（1）
，
，
，
，
，
，
，即
；
同理可得：
；
（2）由（1）知：
，
，
令
，则
，
，
，
在
上单调递增，又
，
19
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当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递
增；
，
，
在
上单调递增，又
，
当
时，
；当
时，
；
综上所述：当
时，
；当
时，
；当
时，
；
（3）令
，则
，
，
在
上单调递增，
又
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，即
；
在点
处的
阶泰勒展开式为：
，
，当且仅当
时取等号，
①当
时，由（2）可知，
，当且仅当
时取等号，所以
；
②当
时，设
，
，
，
，
20
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当
，由（2）可知
，所以，
，即有
；
当
时，
，
所以，
时，
单调递减，从而
，即
．
综上所述：
.
21
