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专题02 函数及其应用、指对幂函数
易错点一：对函数定义域、值域及解析式理解存在偏差（定义域、值域及
解析式的求算）
已知函数的具体解析式求定义域的方法
法1：若
是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域
的交集.
法2：复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自
变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可.
函数解析式的常见求法
法1：配凑法：已知
，求
的问题，往往把右边的
整理或配凑成只含
的式
子，然后用
将
代换.
法2：待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数
可
设为
，其中
是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出
即可.
法3：换元法：已知
，求
时，往往可设
，从中解出
，代入
进行换元.
1
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应用换元法时要注意新元的取值范围.
法4：解方程组法：已知
满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如
(或
)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出
．
分段函数
第一步：求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解
析式求值．
第二步：当出现
的形式时，应从内到外依次求值．
第三步：当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。
结论：复合函数：
一般地，对于两个函数
和
，如果通过变量
可以表示成
的函数，那么称这个函数
为函数
和
的复合函数，记作
，其中
叫做复合函数
的外层
函数，
叫做
的内层函数.
抽象函数的定义域的求法：
(1)若已知函数
的定义域为
，则复合函数
的家义域由
求出.
(2)若已知函数
的定义域为
，则
的定义域为
在
时的值域.
易错提醒：函数的概念
①一般地，给定非空数集
，
，按照某个对应法则
，使得
中任意元素
，都有
中唯一确定的
与之对应，那么从集合
到集合
的这个对应，叫做从集合
到集合
的一个函数.记作：
，
.集合
叫做函数的定义域，记为
，集合
叫做值域，记为
.
②函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
③函数表示法：函数书写方式为
，
2
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④函数三要素：定义域、值域、对应法则.
⑤同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
①分式的分母不为零；
②偶次方根的被开方数大于或等于零：
③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
④零次幂或负指数次幂的底数不为零；
⑤三角函数中的正切
的定义域是
且
；
⑥已知
的定义域求解
的定义域，或已知
的定义域求
的定义域，遵循两点：
①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
⑦对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
基本初等函数的值域
①
的值域是
.
②
的值域是：当
时，值域为
；当
时，值域为
．
③
的值域是
.
④
且
的值域是
.
⑤
且
的值域是
.
分段函数的应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，
即分段函数问题，分段解决．
例．函数
的定义域为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
变式1：设
，若
，则
（ ）
A．14
B．16
C．2
D．6
变式2：已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3：已知函数
，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的值域为
1．已知函数
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
2．给出下列
个函数，其中对于任意
均成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
，则
（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
4．已知函数
满足
，则
可能是（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
易错点二：忽视单调性与单调区间的主次（函数的单调性与最值）
1.函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。
2.函数
在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。
3.函数的单调定义中的
、
有三个特征：（1）任意性（2）有大小（3）属于同一个单调区间。
4.求函数的单调区间必须先求定义域。
5.判断函数单调性常用以下几种方法：
方法1：定义法：一般步骤为设元
作差
变形
判断符号→得出结论.
5
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方法2：图象法：如果
是以图象形式给出的，或者
的图象易作出，则可由图象的上升或下䧏确
定单调性.
方法3：导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.
方法4：性质法：（1）对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及
增减性质进行判断；
6.求函数最值（值域）的常用方法
方法1：单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
方法2：图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
方法3：基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
方法4：导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
结论：
1.单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设
，
是
定义域内一个区间上的任意两个量，且
；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
（3）记住几条常用的结论：
结论1：若
是增函数，则
为减函数；若
是减函数，则
为增函数；
结论2：若
和
均为增（或减）函数，则在
和
的公共定义域上
为增（或
减）函数；
结论3：若
且
为增函数，则函数
为增函数，
为减函数；
结论4：若
且
为减函数，则函数
为减函数，
为增函数．
易错提醒：1.函数的单调性
（1）单调函数的定义
6
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一般地，设函数
的定义域为
，区间
：
如果对于
内的任意两个自变量的值
，
当
时，都有
，符号一致那么就说
在区间
上是增函数．
如果对于
内的任意两个自变量的值
，
，当
时，都有
，符号相反那么就说
在区间
上是减函数．
①属于定义域
内某个区间上；
②任意两个自变量
，
且
；
③都有
或
；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象上坡路，减函数的图象下坡路．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数
在区间
上是增函数或减函数，那么就说函数
在区间
上具
有单调性，
称为函数
的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数
是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是
减函数.
2．函数的最值
前提：一般地，设函数
的定义域为
，如果存在实数
满足
条件：（1）对于任意的
，都有
；（2）存在
，使得
结论
为最大值
（1）对于任意的
，都有
；（2）存在
，使得
结论
为最小值
例．若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．下列函数中，满足“对任意的
，使得
”成立的是（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
变式2．若定义在
上的函数
同时满足：①
为奇函数；②对任意的
，
且
，都有
，则称函数
具有性质
．已知函数
具有性质
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．定义在
上的函数
满足：对
，且
都有
，则不等
式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
1．已知函数
，若对于一切的实数
，不等式
恒成立，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
是定义在
上的奇函数，且对任意的
，都有
，且
，则
8
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不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
，且
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
的定义域为
，
的图象关于点
对称，
，且对任意的
，
，满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
，关于
的不等式
在
上恒成立，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．
为定义在
上的偶函数，对任意的
，都有
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
9
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C．
D．
7．函数
，其中
，则满足
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认
识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，
这也正是导数的几何意义．设
是函数
的导函数，若
，对
，
，且
，
总有
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．设函数
，则（ ）
A．
的一个周期为
B．
在
上单调递增
C．
在
上有最大值
D．
图象的一条对称轴为直线
10
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11．已知函数
，则（ ）
A．函数
为奇函数
B．当
时，
或1
C．若函数
有且仅有一个零点，则实数
的取值范围为
D．若函数
在区间
上的值域为
，则实数
的取值范围为
易错点三：奇偶性的前提及两个函数与一个函数的区别（函数的奇偶性、
周期性、对称性）
1.奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数
是偶函数
函数
的图象关于
轴对称；
函数
是奇函数
函数
的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数
在
处有意义，则有
；
偶函数
必满足
.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的
两个区间上单调性相同.
(5)若函数
的定义域关于原点对称，则函数
能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记
，
，则
.
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(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的
函数，如
.
对于运算函数有如下结论：奇
奇=奇；偶
偶=偶；奇
偶=非奇非偶；
奇
奇=偶；奇
偶=奇；偶
偶=偶.
(7)复合函数
的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数
或函数
．
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或函数
．
注意：关于①式，可以写成函数
或函数
．
偶函数：①函数
．
②函数
．
③函数
类型的一切函数．
④常数函数
2.周期性技巧
结论1：若对于非零常数m 和任意实数x ，等式f (x+m)=−f (x)恒成立，则f (x)是周期函数，且2m 是
它的一个周期.
证明：f (x+2m)=f (x+m+m)=−f (x+m)=f (x)∴T=2m
也可理解为：平移m 个单位到谷底，再平移一个单位到巅峰，再平移一个单位又到谷底，则谷底与谷底的
距离为2m ，∴T=2m
结论2：定义在
上的函数
，对任意的
，若有
(其中
为常数，
)，
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则函数
是周期函数，
是函数的一个周期.
证明：f (x−a+a)=f (x−a+b)⇒f (x)=f (x+b−a)∴T=|b−a|
口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）⇒只研究x 前的正负.
结论3：定义在
上的函数
，对任意的
，若有
(其中
为常数，
)，则函数
是周期函数，
是函数的一个周期.
证明：
先向左平移a 个单位得f (x−a+a)=−f (x−a+b)
⇒f (x)=−f (x+b−a)令b−a=m' ⇒f (x)=−f (x+m
')如同结论1
结论4：定义在
上的函数
，对任意的
，若有
，(或
)(其中
为常数，
)，则函数
是周期函数，
是函数的一个周期.
证明：
f (x+a)=± 1
f (x) ，
f (x+2a)=f (x+a+a)=±
1
f (x+a)=f (x)∴T=2|a|
结论5:定义在
上的函数
，对任意的
，有f (a+x)=f (a−x)且f (b+x)=f (b−x)，
(其中a,b 是常数，a≠b )则函数y=f (x)是周期函数，2|a−b|是函数的一个周期.
另一种题干出现的信息：①若
的图象关于直线x=a, x=b 都对称，则等价于
f (a+x)=f (a−x)且f (b+x)=f (b−x)，则
为周期函数且T=2|a−b|.
②若
为偶函数且图象关于直线x=a 对称，则
为周期函数且T=2|a|
证明：f (a+x)=f (a−x)向左平移a 个单位，得f (x−a+a)=f (a−[x−a])
⇒f (x)=f (2a−x)，同理⇒f (x)=f (2b−x)，⇒f (2a−x)=f (2b−x)
利用口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）⇒只研究x 前的正负.秒出周期
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结论6:若定义在
上的函数
对任意实数
，恒有f (x)=f (a+x)+f (x−a)成立(a≠0 )，
则
是周期函数，且6|a|是它的一个周期.
证明：由函数f (x)=f (a+x)+f (x−a)⇒f (x+a)=f (x+2a)+f (x)
⇒f (x)=f (x+2a)+f (x)+f (x−a)⇒f (x−a)=−f (x+2a)，向右平移a 个单位得
f (x)=−f (x+3a)⇒f (x+3a+3a)=−f (x+3a)=f (x)∴T=6|a|
口诀：内同号，外异号，内部只差需2 倍，出现周期很easy .
结论7:若对于非零常数m 和任意实数x ，等式
成立，则
是周期函数，且4 m是
它的一个周期.
证明：
f (x+2m)=−1
f (x) 如同结论4，
f (x+2m+2m)=−
1
f (x+2m)=f (x)
∴T=4 m
结论8:若对于非零常数m 和任意实数x ，等式
成立，则
是周期函数，且2m 是
它的一个周期.
证明：
∴T=2m
结论9:若对于非零常数m 和任意实数x ，等式
成立，则
是周期函数，
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且3m是它的一个周期.
证明：
得
∴T=3m
结论10:①若定义在
上的函数
的图象关于两点A(a, y0),B(b, y0)都对称，则
是周期函数，
且2|b−a|是它的一个周期.
②若奇函数
的图象关于点A (a,0)对称，则
是周期函数，且2|a|是它的一个周期.
证明：函数y=f (x)满足f (a+x)+f (a−x)=2 y0 且f (b+x)+f (b−x)=2 y0，
则f (x)=2 y0−f (2a−x)=2 y0−f (2b−x)⇒f (2a−x)=f (2b−x)
利用口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）⇒只研究x 前的正负.秒出周期
结论11:①若定义在
上的函数
的图象关于点A(a, y0)和直线x=b 都对称，则
是周期函数，
且4|b−a|是它的一个周期.
②若奇函数
的图象关于直线x=a 对称，则
是周期函数，且4|a|是它的一个周期.
证明：函数y=f (x)满足f (a+x)+f (a−x)=2 y0 且f (b+x)=f (b−x)，
则f (x)=2 y0−f (2a−x)=f (2b−x)⇒f (x)=2 y0−f (2b−2a+x)=2 y0−f (2a−x)
∴f (2b+x)=2 y0−f (2a+x)⇒f (x)=2 y0−f (2b−2a+x)
∴f (x)=2 y0−f (2b−2a+x)=2 y0+f (4 b−4 a+x)−2 y0∴T=4|b−a|
3.对称性技巧
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（1）若函数
关于直线
对称，则
．
（2）若函数
关于点
对称，则
．
（3）函数
与
关于
轴对称，函数
与
关于原点对称．
结论：
1.(1)如果一个奇函数
在原点处有定义，即
有意义，那么一定有
.
(2)如果函数
是偶函数，那么
.
2.函数周期性常用结论
对
定义域内任一自变量的值
:
(1)若
，则
.
(2)若
，则
.
(3)若
，则
.
3.对称性的三个常用结论
(1)若函数
是偶函数，则函数
的图象关于直线
对称.
(2)若对于
上的任意
都有
或
，则
的图象关于直线
对
称.
(3)若函数
是奇函数，则函数
的图象关于点
中心对称.
易错提醒：奇偶性的前提及两个函数与一个函数的区别
1．函数的奇偶性
由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个
，
也在
定义域内(即定义域关于原点对称)．
2．函数的对称性
(1)若函数
为偶函数，则函数
关于
对称．
(2)若函数
为奇函数，则函数
关于点
对称．
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(3)若
，则函数
关于
对称．
(4)若
，则函数
关于点
对称．
例 ．设函数
的定义域为
，且
是奇函数，
是偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．已知函数
是定义域为
的偶函数，
是奇函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
是以4 为周期的函数
D．
的图象关于
对称
变式2．已知函数
，下列结论中：①当
时，
的最小值为3；②函数
是奇函数；③函数
的图象关于点
对称 ；④
是
图象的一条切线，
正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
变式3．已知定义域为
的函数
满足
，
，当
时，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
1．已知函数
的定义域为
，
，当
时，
，则
的值为（ ）
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A．
B．
C．1
D．2
2．定义在R 上的奇函数
满足
是偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．2
3．已知函数
与
的定义域均为
，
，
，且
，
为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A．
的周期为4
B．
C．
D．
4．已知函数
和其导函数
的定义域都是
，若
与
均为偶函数，则（ ）
A．
B．
关于点
对称
C．
D．
5．已知非常数函数
及其导函数
的定义域均为
，若
为奇函数，
为偶函数，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
的定义域为
，并且对
，都有
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
的图象关于
对称
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B．函数
为偶函数
C．
D．若
时，
，则
时，
7．已知函数
的定义域为
，函数
的图象关于点
对称，且满足
，则下列
结论正确的是（ ）
A．函数
是奇函数
B．函数
的图象关于
轴对称
C．函数
是最小正周期为2 的周期函数
D．若函数
满足
，则
8．已知定义在
上的偶函数满足
，且当
时，
是减函数，则下列四个命题
中正确的是（ ）
A．
B．直线
为函数
图象的一条对称轴
C．函数
在区间
上存在3 个零点
D．若
在区间
上的根为
，则
易错点四： 遗漏幂函数的特征及二次函数弦长公式（幂函数与二次函数）
1、根据图象高低判断幂指数大小的方法
幂函数的幂指数的大小，大都可通过幂函数的图象与直线
的交点纵坐标的大小反映.一般地，
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在区间
上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近
轴(简记为“指大、图低”)，在区间
上，
幂函数中指数越大，图象越远离
轴(不包括幂函数
，在区间
上，幂函数中指数越大，函数图
象越靠近
轴(简记为“指大图低")，在区间
上，幂函数中指数越大，函数图象越远离
轴.
2、对于函数
，若是二次函数，就隐含
，当题目未说明是二次函数时，就要分
和
两种情况讨论.在二次函数
中，
的正负决定抛物线开口的方向
的
大小决定开口大小)
确定抛物线在
轴上的截距，
与
确定顶点的横坐标(或对称轴的位置).
3、根据二次函数单调性求参数范围，常转化为二次函数图象的对称轴与单调区间的位置关系，若二次函
数在某区间上单调，则该区间在对称轴的一侧，若二次函数在某区间上不单调，则对称轴在该区间内（非
端点），
4、二次函数在闭区间上的最值
二次函数在闭区间上必有最大值和最小值.它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比
较大小，最后确定最值.
结论：
1.幂函数
在第一象限内图象的画法如下：
①当
时，其图象可类似
画出；
②当
时，其图象可类似
画出；
③当
时，其图象可类似
画出．
2．实系数一元二次方程
的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
⇔
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（2）方程有两个不等负根
⇔
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
⇔
3.一元二次方程
的根的分布问题
一般情况下需要从以下4 个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴
与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正
负.
设
为实系数方程
的两根，则一元二次
的根的分布
与其限定条件如下所示.
①
，
限定条件
②
限定条件
③
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限定条件
在区间
内没有实根
O
n
m
y
x
限定条件
O
n
m
y
x
限定条件
O
n
m
y
x
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限定条件
O
n
m
y
x
限定条件
O
n
m
y
x
限定条件
在区间
内有且只有一个实根
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O
n
m
y
x
限定条件
O
n
m
y
x
限定条件
在区间
内有两个不等实根
O
n
m
y
x
限定条件
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4.有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区
间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意
对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；
③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数
值正负.
易错提醒：幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①
的系数为1；
②
的底数是自变量；
③指数为常数.
掌握二次函数解析式的三种形式（不能忘记最后一种）
（1）一般式：
；
（2）顶点式：
；其中，
为抛物线顶点坐标，
为对称轴方程.
（3）两点式：
，其中，
是抛物线与
轴交点的横坐标.
与
轴相交的弦长
当
时，二次函数
的图像与
轴有两个交点
和
，
.
例 1 若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．若函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
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变式2．已知函数
，若
在
上单调递增，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．已知
是定义域为
的函数，且
是奇函数，
是偶函数，满足
，若对任意的
，都有
成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
1．已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若幂函数
在
上单调递减，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．-2
3．已知函数
在
上为奇函数，则不等式
的解集满足（ ）
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A．
B．
C．
D．
4．已知
为奇函数，当
时，
，当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
的解集是
，则下列说法正确的是（ ）
A．不等式
的解集是
B．
的最小值是
C．若
有解，则m 的取值范围是
或
D．当
时，
，
的值域是
，则
的取值范围是
6．已知函数
，函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
有3 个不同的零点，则a 的取值范围是
B．若
有4 个不同的零点，则a 的取值范围是
C．若
有4 个不同的零点
，则
D．若
有4 个不同的零点
，则
的取值范围是
7．已知函数
(即
，
)则（ ）
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A．当
时，
是偶函数
B．
在区间
上是增函数
C．设
最小值为
，则
D．方程
可能有2 个解
8．已知函数
，若
的最小值为
，则实数a 的值可以是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．设
，函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．关于
的方程
，下列命题正确的有（ ）
A．存在实数
，使得方程无实根
B．存在实数
，使得方程恰有2 个不同的实根
C．存在实数
，使得方程恰有3 个不同的实根
D．存在实数
，使得方程恰有4 个不同的实根
易错点五： 根式奇偶讨论（指对数函数考点）
指数
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1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底
数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
4.有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换
而得到．特别地，当底数a 与1 的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1 与图象的交点进行判断．
5.利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用
函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；
6.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调
性转化为一般不等式求解；
7.解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。
对数：
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然
后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、
商、幂再运算.|
3.
，且
是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
4.识别对数函数图象时，要注意底数
以1 为分界：当
时，是增函数；当
时，是减函数.注意
对数函数图象恒过定点
，且以
轴为渐近线.
5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
6.比较对数值的大小
(1)若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较
(2)若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较
(3)若底数、真数均不同，引入中间量进行比较
解决对数函数的综合应用有以下三个步骤:
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第一步：求出函数的定义域；
第二步：判断对数函数的底数与1 的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及
其单调性，就必须对底数进行分类讨论；
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性
结论：
1.画指数函数
，且
的图象，应抓住三个关键点:
2.在第一象限内，指数函数
且
的图象越高，底数越大.
3.有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域与值域
形如
的函数的定义域就是
的定义域.
求形如
的函数的值域，应先求出
的值域，再由单调性求出
的值域.若
的范围不确定，
则需对
进行讨论.
求形如
的函数的值域，要先求出
的值域，再结合
的性质确定出
的值域.
(2)判断复合函数
的单调性
令
，如果复合的两个函数
与
的单调性相同，那么复合后的函数
在
上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数
在
上是减函数.
换底公式的两个重要结论
(1)
(2)
.其中
，且
，且
.
对数函数
，且
的图象过定点
，且过点
，函数图象只在第一、四象限.
易错提醒：根式的性质：当
为奇数时，正数的
次方根是一个正数，负数的
次方根是一个负数.当
为偶数时，正数的
次方根有两个，它们互为相反数.
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例 ．设函数
的定义域为
，其图象关于直线
对称，且
.当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
为偶函数
B．
C．
的图象关于直线
对称
D．
在区间
上单调递减
变式1、设偶函数
在
上单调递增，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2、已知函数
，则（ ）
A．
的最小值为1
B．
，
C．
D．
变式3、已知
，则下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
1．下列说法正确的是（ ）
A．函数
的图像恒过定点
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B．“
”的必要不充分条件是“
”
C．函数
的最小正周期为2
D．函数
的最小值为2
2．某数学课外兴趣小组对函数
的性质进行了探究，得到下列四个命题，其中
正确的命题有（ ）
A．函数
的图象关于
轴对称
B．当
时，
是增函数，当
时，
是减函数
C．函数
的最小值是
D．函数
与
有四个交点
3．给出下列说法，错误的有（ ）
A．若函数
在定义域上为奇函数，则
B．已知
的值域为
，则
的取值范围是
C．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
D．已知函数
，则函数
的值域为
4．给出下列说法，错误的有（ ）
A．若函数
在定义域上为奇函数，则
B．已知
的值域为
，则a 的取值范围是
C．已知函数
满足
，且
，则
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D．已知函数
，则函数
的值域为
5．已知定义域为
的函数
满足
，
的部分解析式为
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
在
上单调递减
B．若函数
在
内满足
恒成立，则
C．存在实数
，使得
的图象与直线
有7 个交点
D．已知方程
的解为
，则
6．下列选项正确的是（ ）
A．
B．若正实数a，b 满足
，则
C．
的最小值为
D．已知正实数a、b，若
，则
的最小值为9
7．已知函数
，实数
，
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
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8．已知函数
，则（ ）
A．当
时，
的定义域为R
B．
一定存在最小值
C．
的图象关于直线
对称
D．当时，的值域为R
34
