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专题03 函数的概念与性质（十四大题型10 大易错题）
【题型1 求具体函数的定义域】
1．（2024·山东·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用集合交集的定义求解即可.
【详解】
,故
.
故选：A.
2．（2020·福建·一模）已知全集
，集合
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合
，由补集和交集定义可求得结果.
【详解】
，
，
，
.
故选：
.
【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基
础题.
1
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3．（23-24 高三下·四川雅安·开学考试）已知集合
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据绝对值不等式的解法及函数定义域的求法，由集合并集可得结果.
【详解】由
，解得
，所以
．
因为函数
的定义域为
，所以
，
所以
，
故选：B.
4．（2022·全国·模拟预测）设函数
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求
的定义域，再利用复合函数求
的定义域.
【详解】由题意得，
，解得
函数
满足
，解得
，
即函数
的定义域为
.
故选:A
【题型2 求抽象函数的定义域】
5．（23-24 高一上·湖北·阶段练习）已知函数
的定义域是
，则函数
2
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的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可.
【详解】因为函数
的定义域是
，所以
，
所以
，所以函数
的定义域为
，
所以要使函数
有意义，则有
，解得
，
所以函数
的定义域为
.
故选：A.
6．（23-24 高三上·四川遂宁·期中）函数
的图象恒过点
，
函数
的定义域为
，
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题可知，当
时，即可求出定点坐标
，即可求得
的解析式，进
而可得
的解析式，再结合抽象函数的定义域求得
的定义域，结合函数的单调性即
可求解.
【详解】当
时，即
，则
，
3
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所以
恒过定点
，
则
，定义域为
，由
，得
，
则
的定义域为
，
则
，
又
在
上单调递增，则
在
上单调递增，
则
，
，
所以函数
的值域为
.
故选：C
7．（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数
的定义域为
，则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数
的定义域，对于函数
，可列出关于
的不等式组，由此可得出函数
的定义域.
【详解】因为函数
的定义域为
，则
，可得
，
所以，函数
的定义域为
，
对于函数
，则有
，解得
，
4
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因此，函数
的定义域为
.
故选：C.
【题型3 已知函数定义域求参数】
8．（21-22 高三上·江西·阶段练习）已知函数
的定义域与值域均为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】根据函数的定义域可得
，
，
，再根据函数的值域即可得出答案.
【详解】解：∵
的解集为
，
∴方程
的解为
或4，
则
，
，
，
∴
，
又因函数的值域为
，
∴
，∴
.
故选：A.
9．（23-24 高三下·福建·开学考试）已知函数
的值域为
，则实
数a 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】
利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】当
时，
5
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若
，可得
；
若
，
，函数
的值域不可能为
；
②当
时，
，
所以函数
在
，
上单调递增，
若函数
的值域为
，只需
，可得
．
由上知，实数a 的取值范围为
．
故答案为：
【题型4 求函数的解析式】
10．（2023·重庆·模拟预测）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用换元法令
，代入运算求解即可.
【详解】令
，则
，由于
，则
，
6
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可得
，
所以
.
故选：B.
11．（2022·全国·模拟预测）已知函数
满足
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将
换成
，得到即
，联立方程组求得
的解析
式，进而求得
的值.
【详解】由
，将
换成
，可得
，
即
，
联立方程组
，解得
，
所以
.
故选：B.
12．（2024·全国·模拟预测）若函数
满足对任意的实数m，n 都有
，则曲线
在
处的切线方程为（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知可得
，利用多项式相等可得
，
再利用导数的几何意义可得答案.
【详解】因为
，
所以
，
设
，则
，
因为
，
，
所以
，
，得
，
则
，
，所以
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，
即
.
故选：D．
13．（2023·全国·模拟预测）已知
，则曲线
在
处的切线方程为（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将
换成
，与原式联立得到
，
利用换元法求出函数
的解析式，进而写出
的解析式，从而求得切线方程.
【详解】因为
①，
将
换成
，得
②，
，得
，
令
，
，
则
，故
，
故
，
则
，
所以
，
，
故切点为
，切线斜率为
，故切线方程为
.
故选：C.
【题型5 求函数的值域】
14．（2024·安徽·模拟预测）已知
，
，则
（ ）．
A．
B．
9
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C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数定义域和值域的求法可分别确定集合
，由交集定义可得结果.
【详解】由
得：
或
，即
；
，
，即
，
.
故选：B.
15．（2024·江苏·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先解绝对值不等式求出集合
，再根据幂函数的性质求出集合
，最后根据交
集的定义计算可得.
【详解】由
，即
，解得
，
所以
，
又
，
所以
.
故选：C
16．（2024·全国·模拟预测）已知集合
，
，则
等于（ ）
A．
B．
10
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C．
D．
【答案】C
【分析】根据绝对值函数和一次函数的值域得到集合
,利用交集定义即得.
【详解】由题意，得集合
，
，所以
．
故选:C．
17．（2023·河北邢台·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先分别求出集合
中元素范围，再求交集即可.
【详解】
，
，
则
.
故选：B.
【题型6 判断与证明函数的单调性】
18．（23-24 高三上·江苏南通·阶段练习）已知
是定义在
上的偶函数，
是定义
在
上的奇函数，且
在
单调递减，则（ ）
A．
在
单调递减
B．
在
单调递减
C．
在
单调递减
D．
在
单调递减
【答案】D
11
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【分析】举反例排除A、B、C，令
即可，然后根据已知条件证明
在
上分别单调递增、单调递减，从而由单调性的定义即可判断D 选项正
确.
【详解】不妨设
，满足题意，
此时
在
单调递增，故A 选项错误；
在
单调递增，故B 选项错误；
在
单调递增，故C 选项错误；
对于D 选项，因为
是定义在
上的偶函数，
是定义在
上的奇函数，
所以有
，
又
在
单调递减，且当
时，有
，
所以由复合函数单调性可知，
在
上分别单调递增、单
调递减，
不失一般性，不妨设
，则
，
，
所以
在
单调递减，故D 选项正确.
故选：D.
19．（2023·山东·模拟预测）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据奇偶函数的性质，以及函数增减的性质，逐个选项进行判断可得答案.
【详解】A 选项，
为奇函数，且单调递增，故A 正确；
12
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B 选项，
是奇函数，在
，
上递减，故B 错误；
C 选项，
偶函数，故C 错误；
D 选项，
是奇函数，且单调递减，故D 错误，．
故洗：A
20．多选题（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数
是
上的奇函数，且过点
，对
于一切正实数
，都有
． 当
时，
恒成立，则
（ ）
A．
B．
在
上是单调函数
C．
有三个零点
D．当
时，
【答案】ACD
【分析】对于A，赋值
即可判断；对于B，分别赋值
、
和
求出
和
即可判断；对于C，探究
在
上的单调性，结
合
、
和函数奇偶性即可判断；对于D，由函数单调性以及研究特殊值
，
，
即可得解.
【详解】由题
，
13
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对于A：令
，
，所以A 正确；
对于B：令
，
，得
；
令
，
，得
，
令
，
，得
，所以B 不正确；
对于C：当
时，
，得
，
故
，即
又
即
，
所以
，设
，
则
，
因为
，所以
，
，
因为当
时，
恒成立，
所以
，即
，
故
在
上单调递增，
又
，
，且函数
是
上的奇函数，
所以
，故
有三个零点． 所以C 正确；
14
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对于D：当
时，
因为
在
上单调递增，
，
，所以
；
当
时，因为
，
，
，
，
，
由奇函数
在
上单调递增，所以
；
所以当
时，
.所以D 正确.
故选：ACD．
【点睛】关键点睛：探究函数
零点个数和根据函数值
，求解变量
的关键
是巧妙赋值实现
，从而结合奇偶性探究得出函数在R 上的
单调性.
21．多选题（2024·辽宁丹东·二模）已知函数
的定义域为
，满足
，
当
，
，则（ ）
A．
B．
在
上单调递减
C．
在
上有极小值
D．
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【答案】ABD
【分析】对于A，代值
即可；对于B，求出
的函数
即可判断单调性；对于C，求出
的函数
，并通过导数判断极值即可；对于D，列出
，并根据对称性计算每个函数值即
可.
【详解】A 选项：因为
，
当
时，
，
所以
，
所以
，故A 正确．
B 选项：令
，
所以
，
所以
，
即
，
所以
，
所以
，
当
时，
在
上单调递减，且
，
当
时，
在
上单调递减，且
，
16
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所以
在
上单调递减，故B 正确．
C 选项：令
，
所以
，
所以
，
即
，
由B 可得，
，
所以
，
则
在
上递增，在
上递减，
所以
在
上有极大值，故C 不正确．
D 选项：
根据对称性，
由
，
所以
，
，
所以
由
时，
得
，
17
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即
，故D 正确．
故选：ABD.
22．多选题（2024·全国·模拟预测）定义在
上的函数
满足下列条件：（1）
；（2）当
时，
，则（ ）
A．
B．当
时，
C．
D．
在
上单调递减
【答案】AB
【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，A，取
可得；B，取
，再由条件当
时，
推理可得；对于C，虽能用基本不等式，但因
在
上的符号不
定，得不出结论；对于D，运用单调性定义法推导得出相反结论，排除.
【详解】对于A 项，由
，取
，得，
，故
A 项正确；
对于B 项，由
，取
，因
，故
，即
，
当
时，
，则
，故
，即
，故B 项正确；
18
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对于C 项，由
，取
，可得，
，整理得，
，
因
，
，当且仅当
时取等号，但因
的符号不能确定，故不一定有
，
即
不一定成立，故C 项错误；
对于D 项，任取
，则
，依题意，
，而
，
则
，即
，即
在
上是增函数.于是，对
于
，
任取
，因
，则
，即
，即函数
在
上单调递增，故D 项错误.
故选：AB.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质判断和应用，属于难题.
解决此类题的关键在于观察已知抽象函数式的特征，巧用赋值代入法，对称取值法和定义
推导法进行推理判断，即可得出正确结论.
【题型7 利用函数单调性求参数】
23．（23-24 高一下·湖南长沙·期中）若函数
在
上单调递减，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】B
【分析】根据复合函数的单调性可得
且
，解之即可求解.
【详解】易知函数
在
上单调递增，又函数
在
上单调递减，
所以
且
，解得
．
即实数a 的取值范围为
故选：B
24．（2024·全国·模拟预测）函数
在
上单调递增，则实数a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据对数函数与复合函数的单调性，可得内函数的单调性，利用其最值以及二次
函数单调性，建立不等式，可得答案.
【详解】令
，则
．
当
时，
在
上单调递增，
则由复合函数的单调性可知
在
上单调递增，
且
在
上恒成立，
所以
，解得
或
（舍去）．
所以
在
上单调递增，
则
，解得
．
当
时，
在
上单调递减，
则由复合函数的单调性可知
在
上单调递减，
20
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且
在
上恒成立，
所以
，解得
或
（舍去）．
所以
在
上单调递减，
则
，解得
，与
矛盾．
综上所述，
.
故选：C．
25．（2024·山东·二模）已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得
，再由
，进而求得
的取值范围.
【详解】由函数
的对称轴是
，
因为函数在区间
上是增函数，所以
，解得
，
又因为
，因此
，所以
的取值范围是
.
故选：A．
26．多选题（23-24 高三下·湖北·开学考试）设函数
且
在区
间
上单调递减，则
的取值可以为（ ）
21
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A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】利用导数可求得
的单调性，由此可得
的大致图象；分
别在
和
的情况下，根据复合函数单调性可确定
的单调性，结合
的图象可构造不等式组求得
的范围.
【详解】令
，
，
，
当
时，
；当
时，
；
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
令
，解得：
或
，
的大致图象如下图所示，
当
时，若
在
上单调递减，则
在
上单调递减，
，解得：
；
当
时，若
在
上单调递减，则
在
上单调递增，
或
，解得：
；
22
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综上所述：实数
的取值范围为
，
可能的取值为
和
.
故选：AC.
27．（2021·陕西咸阳·二模）已知函数
在区间
上为增函数，则
的
取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意结合二次函数的性质分析运算.
【详解】由题意可知：函数
开口向上，对称轴
，
因为函数
在区间
上为增函数，则
，
解得
，所以
的取值范围为
.
故答案为：
.
【题型8 利用函数单调性比较大小】
28．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数
，记
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对
求导，求出
的单调性，再由
可知
的图象关于直
线
对称，则
，结合
的单调性，即可求出
的大小.
23
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【详解】
的定义域为
，
，所以
，
令
可得：
，令
可得：
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
又因为
所以
的图象关于直线
对称，
又
，
所以
，
又
，故
．
故选：B.
29．（23-24 高二下·云南玉溪·期中）已知实数
满足
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由对数函数单调性得
，构造函数
，由函数的单调性得
及，即可得出判断．
【详解】由对数函数单调性得，
，
构造函数
，则
，
因为
和
单调递增，所以
单调递增，
24
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因为
，即
，所以
，
又
，所以
，即
，
所以
，
故选：A．
30．（2024·江西宜春·模拟预测）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用作商法可得
；构建函数
，
，利用导数判断
的单
调性，可得
，构建
，
，利用导数判断
的单调性，可得
.
【详解】显然
，
，
因为
，所以
；
又因为
，
，
令
，
．则
，
可知
在
上单调递增，
则
，可得
，
令
，
，则
在
内恒成立，
可知
在
内单调递增，
则
，即
，所以
；
综上所述：
．
故选：A．
25
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31．（2024·辽宁·二模）已知定义在R 上的函数
，设
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数并判断奇偶性，通过导函数求出函数的单调区间，根据函数单调性比较
大小即可
【详解】令
，因为
，
所以
为偶函数．
，
因为当
时，
，
，此时
，
所以
在
上单调递增．
因为
，
，
，
因为
，
，
，
所以
，所以
，
即
．
故选：A．
【题型9 利用函数单调性解不等式】
32．（2024·广东广州·模拟预测）已知定义在
上的函数
的导函数为
，且
26
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.对于任意的实数
，均有
成立，若
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，然后由已知可得
的单调性，最后将不等式转
化为
，即可得到答案.
【详解】
，令
，
则
，则
在
上单调递增.
由
，
为奇函数，得
，则
，
从而原不等式
可化为
，即
，此即为
.
由于
在
上单调递增，故这等价于
，所以不等式的解集为
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造新的函数并利用已知条件.
33．（2024·宁夏银川·三模）己知定义在R 上的奇函数
的图象是一条连续不断的曲线，
是
的导函数，当
时，
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
27
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【答案】D
【分析】根据
构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所
以可知
在
时是单调递增函数，再结合已知条件又可知
是
偶函数，利用单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】令
，则
，
因为当
时，
，所以
在
上单调递增，
又
为奇函数，且图象连续不断，所以
为偶函数，
由
，得
，解得
或
故选：D.
【点睛】关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，
以及函数与导数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
34．（2024·湖南永州·三模）已知函数
，其中是自然对数的底
数.若
，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求导后结合基本不等式可得
在
上单调递增，令g
，从而可得
在
上单调递增，且
为奇函数，从而可化为
，求解即可.
【详解】
，
在
上单调递增.
28
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令
，
在
上单调递增，
因为
，所以
为奇函数，
则
化为
所以
，解得
，
.
故选：C
35．（2024·湖北武汉·二模）已知函数
，则关于
的不等式
的
解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.
【详解】由
，故
在
上单调递增，
由
，有
，即
.
故选：A.
36．（2024·山东潍坊·三模）已知函数
的导函数为
，且
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.
29
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【详解】不等式
等价于
，即
，
构造函数
，所以
，
因为
时，
，所以
对
恒成立，
所以
在
单调递减，
又因为
，
所以不等式
等价于
，所以
，
即
的解集为
.
故选：A.
37．（2024·湖南长沙·三模）已知函数
则不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】由函数解析式可得
在
上单调递增，令
，不等式
为变为
，利用单调性可得不等式的解集.
【详解】函数
在
上单调递增，
又
在
上单调递增，又
，
所以
在
上单调递增.
设
，可得
在
上单调递增.
又
，所以原不等式可化为
，
30
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所以原不等式的解集为
.
故答案为：
.
【题型10 判断与证明函数的奇偶性】
38．（2024·山东·模拟预测）已知函数
，
均是定义在
上的连续函数，
为
的导函数，且
，
，若
为奇函数，则
下列说法正确的是（ ）
A．
是周期函数
B．
为奇函数
C．
关于
对称
D．存在
，使
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用赋值法变换给定等式可得
及
，再结合奇函数及等差数列通项求解、复合函数求导求解判断即得.
【详解】函数
，
均是定义在
上的连续函数，
①，
②，将②式中
换为
得
③，
①+③得
，则
的图象关于点
中心对称；
将②式中
换为
得：
④，
①-④得：
，因此
不是奇函数，B 错误；
，即
，所以
关于
对称，C 正确；
由
及
为奇函数，得
，
31
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即
，而
，
，则
，
当
时，数列
是首项为3，公差为6 的等差数列，
则
，
当
时，数列
是首项为6，公差为6 的等差数列，
则
，因此
时，
，显然
满足上式，
即
，
，显然
无周期性，且
无解，AD 错误.
故选：C
【点睛】结论点睛：函数
的定义域为D，
，
①存在常数a，b 使得
，则函数
图象
关于点
对称.
②存在常数a 使得
，则函数
图象关于直线
对称.
39．（2024·广西河池·模拟预测）已知
且
，则“
”是“函数
为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由“函数
为偶函数”，可得
，结合充分条件与必要条件的性
质即可判断.
【详解】若函数
为偶函数，由定义域为
，则有
，
即
，即
对任意的
恒成立，
32
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即有
，故
，
由“
”是“
”的充分不必要条件，
故“
”是“函数
为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A.
【题型11 利用函数奇偶性求值求参数】
40．（2024·甘肃兰州·三模）若函数
为奇函数，则实数
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】由函数
为奇函数，根据奇函数的性质得到
，分别代入并列出关
于
的方程，即可求出
的值.
【详解】由题意可得，
，
，
，
整理可得，
对任意
都成立，
，
.
故选：B
41．（2024·浙江·二模）若函数
为偶函数，则实数a 的值为（ ）
A．
B．0
C．
D．1
【答案】A
【分析】根据偶函数满足的关系即可化简求解.
【详解】
的定义域为
，
，
33
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由于
为偶函数，故
，即
，
故
，解得
故选：A
42．（2024·四川内江·三模）若函数
是奇函数，则
.
【答案】
【分析】利用奇函数定义，结合分段函数分段探讨求解即得.
【详解】函数
是奇函数，
，
当
时，
，
，
而当
时，
，则
，
当
时，
，
，
而当
时，
，则
，
所以
，
.
故答案为：
43．（2024·湖北·模拟预测）若函数
为偶函数，则
.
【答案】
【分析】根据偶函数的定义得
，代入化简即得
值.
【详解】因为
为偶函数，所以
，即
，
即
，即
，所以
，
34
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故答案为：
44．（2024·四川泸州·三模）已知函数
是偶函数，则实数
.
【答案】2
【分析】由偶函数的性质可得
，即可得出答案.
【详解】因为函数
的定义域为
，
函数
是偶函数，所以
，
则
，
，所以
，
解得：
，经检验满足题意.
故答案为：2.
【题型12 利用奇偶性求函数解析式】
45．（2023·广东湛江·二模）已知奇函数
则
．
【答案】
【分析】根据奇函数的定义，先求当
时，
，
，再进一步求解
.
【详解】当
时，
，
，
则
．
故答案为：
.
46．（20-21 高一上·四川巴中·期中）若定义在R 上的偶函数
和奇函数
满足
35
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，则
的解析式为
.
【答案】
【分析】根据函数奇偶性得到
，由方程组求出
.
【详解】由题意得：
，即
①，
②，
②-①得：
，解得：
.
故答案为：
47．（21-22 高二下·江西抚州·阶段练习）已知
为偶函数，且当
时，
，则
在
处的切线方程为 ．
【答案】
；
【分析】首先求
时，函数的解析式，再利用导数的几何意义求切线方程.
【详解】设
，
，因为函数是偶函数，
所以
，
当
时，
，
，
，
所以
在
处的切线方程为
，
即
.
故答案为：
【题型13 函数周期性及应用】
36
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48．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．－2
【答案】B
【分析】先求出
的周期，再结合函数
的解析式，即可求解.
【详解】由
，可得
，
所以
是以周期为4 的周期函数，所以
，
因为当
时，
，所以
，即
，
故选：B
49．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数
的周期是3，则
的周期为（ ）．
A．
B．3
C．6
D．9
【答案】C
【分析】根据函数周期的定义，求解即可．
【详解】因为
的周期是3，
所以
，令
，
则
，所以
的周期为6，
故选：C．
50．（2024·辽宁沈阳·三模）已知
是定义在
上的函数，且
为偶函数，
是奇函数，当
时，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
37
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【分析】根据偶函数的性质得到
，再由奇函数的性质得到
，从而推导出
，再由所给解析式及周期性计算可得.
【详解】因为
为偶函数，所以
，
即
，
所以
，
又
是奇函数，所以
，
即
，所以
，
则
，
所以
是以
为周期的周期函数，
又当
时，
，所以
，
则
，
所以
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：对于抽象函数的奇偶性，推导出函数的周期性，从而利用周期性求
出函数值.
51．（2024·广东广州·二模）已知函数
的定义域为R，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】根据题意分析可知
为偶函数，结合偶函数可得
，进而
38
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可知6 为
的周期，赋值可知
，结合周期性运算求解.
【详解】由题意可知：函数
的定义域为R，
因为
，则
，
可得
，所以
为偶函数，
由
可得
，
即
，整理得
，
可得
，
则
，可得
，
所以6 为
的周期，
由
，
令
，可得
，可得
；
令
，可得
，可得
；
所以
．
故选：A．
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对
称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的
性质，根据函数的性质解决问题．
【题型14 函数对称性及应用】
52．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知
为奇函数，则
39
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（ ）
A．
B．14
C．
D．18
【答案】D
【分析】先根据条件得到
的对称中心，再根据对称性求和即可.
【详解】因为
为奇函数，所以
，
即
，故
的对称中心为
，即
，
所以
，
又
，即
，
所以
.
故选：D
53．（2024·四川南充·三模）已知函数
的定义域均为R，函数
的图
象关于原点对称，函数
的图象关于y 轴对称，
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】B
【分析】利用题设得到
①和
②，又由
，结合①式，推得
的周期为12，利用
求得
和
，最后利用
的周期性即可求得.
【详解】由函数
的图象关于原点对称，
，
40
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即
，即
①，
由函数
的图象关于y 轴对称，可得
②，
由
可得
，又得
，
两式相加，
，将①式代入，得
，
则得
，将②式代入得，
，则
，
于是
，即
的周期为12.
又
，由①可得
，得
，
又由
可得
，即得
.
因
，可得，
，
于是，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的对称性应用，属于难题.
解题关键在于根据中心对称和轴对称得出函数关系式：
①和
②，再由
利用消元思想，转化为关于
的关系
式是最关键之处，其次是利用
的关系式求得
的周期是第二关键，之后赋值求得
即可得解.
54．（2024·江西·二模）已知定义在
上的函数
满足
且
41
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，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，可得
关于
对称，进一步求得
，结合条件求得
，
可求得
.
【详解】由
，可知
关于
对称，又
，则
，
又
，则
，
，
.
故选：A.
55．（2024·广西南宁·二模）定义域为R 的函数
的图象关于点
对称，函数
的图象关于直线
对称．若
，则
．
【答案】2499
【分析】根据抽象函数的对称性、周期性运算得解.
【详解】因为
的图象关于点
对称，所以
，
则
即
，
又
的图象关于直线
对称，则
，
所以
，即
，
可得
，则
是以4 为周期的函数.
因为
，
42
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由
，令
，得
，
所以
，
，
，
所以
.
故答案为：2499.
【点睛】关键点睛：本题关键是根据条件判断出
是以4 为周期的函数.
【易错点1 求函数的单调区间忽视定义域致错】
1．已知函数f ( x)=¿,在R为单调函数，则实数a 的取值范围为 ．
【答案】[−1
6 ,1)
【分析】由x ≥0，得f ( x)=3
x−1为单调递增函数，从而得f ( x)在R为单调递增函数，列出
不等式组求解即可.
【详解】解：因为当x ≥0时，f ( x)=3
x−1，单调递增，
又因为f ( x)在R为单调函数，
所以f ( x)在R为单调递增函数，
所以¿，
解得−1
6 ≤a<1.
所以实数a 的取值范围为：[−1
6 ,1)
故答案为：[−1
6 ,1)
43
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【易错点2 判断函数的奇偶性忽视定义域致错】
2．已知函数f ( x)= 4 log4(√x
2+a−x)−3的图象经过点M (−1,1)，则函数y = f ( x)的奇
偶性为（ ）
A．奇函数
B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
【答案】A
【分析】由f (−1)=1求得a=8，求出函数f ( x)的定义域为R，利用奇函数的定义和对数
的运算性质计算即可求解.
【详解】f (−1)= 4 log4(√1+a+1)−3=1，整理得log4(√1+a+1)=1，即a=8，
则f ( x)= 4 log4(√x
2+8−x)−3，√x
2+8−x>| x|−x．
当x>0时，| x|−x = x−x =0；当x<0时，| x|−x =−x−x =−2 x>0，
即√x
2+8−x>0对一切实数都成立，即函数f ( x)的定义域为R．
f (−x)= 4 log4(√x
2+8+ x)−3= 4 log4(
8
√x
2+8−x)−3
= 4 log4 4
3
2 −4 log4(√x
2+8−x)− 3=−4 log4(√x
2+8−x)+3=−f ( x)，
即函数f ( x)为奇函数．
故选：A．
【易错点3 有关分段函数的不等式问题忽视定义域致错】
3．若已知函数f ( x)=¿在(−∞,+ ∞)上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．
【答案】[
2
3 ,3)
【分析】利用分段函数为单调递减函数建立不等式组即可求解.
【详解】由题可知¿ 解得2
3 ≤a<3，
44
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故答案为: [
2
3 ,3).
【易错点4 有关抽象函数的不等式问题忽视定义域致错】
4．函数 f (x)=¿，则满足不等式f (x
2)>f (2−x)的x的取值范围为 .
【答案】(−∞,−2)∪(1,+ ∞)
【分析】根据函数的解析可判断函数的单调性，从而可得关于x的不等式，故可求其取值
范围.
【详解】当x∈(−∞,2)时，f (x)= x−3
2，故f (x)在(−∞,2)上为增函数，
当x∈(2,+ ∞)时，f (x)= ln x，故f (x)在(2,+∞)上为增函数，
而ln2>ln √e= 1
2 =2−3
2，
故f (x)为R上的增函数，故x
2>2−x，解得x<−2或x>1，
答案为：(−∞,−2)∪(1,+ ∞).
【易错点5 有关分段函数的单调性问题忽视端点值致错】
5．已知函数f (x)=¿则不等式f (x +2)<2−f (x−4)的解集为 .
【答案】(−∞,4)
【分析】由函数解析式可得f (x)在R上单调递增，令g(x)= f (x +2)+ f (x−4)，不等式为
变为g(x)< g(4)，利用单调性可得不等式的解集.
【详解】函数f (x)= x
3+2 x−1在(−∞,1]上单调递增，
又f (x)=√x +3在(1,+ ∞)上单调递增，又f (1)=√1+3= 4，
所以f (x)在R上单调递增.
设g(x)= f (x +2)+ f (x−4)，可得g(x)在R上单调递增.
又g(4)= f (6)+ f (0)=3−1=2，所以原不等式可化为g(x)< g(4)，
所以原不等式的解集为(−∞,4).
故答案为：(−∞,4).
【易错点6 有关奇函数的解析式忽视自变量的函数值致错】
45
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6．已知函数f (x)是定义域为R的偶函数，当x ≥0时，f (x)= x (1+ x).则当x<0时，f (x)=
.
【答案】x (x−1)
【分析】根据函数的奇偶性求对称区间的解析式即可.
【详解】函数f (x)是定义域为R的偶函数，当x ≥0时，f (x)= x (1+ x).
则当x<0时，f (−x)=−x (1−x)，所以f (x)= f (−x)=−x (1−x)= x (x−1).
故答案为：x (x−1).
【易错点7 使用换元法忽视新变量的取值范围致错】
7．已知函数f (x)=¿，若x1< x2，且f (x1)= f (x2)，则x2−x1的最小值为 ．
【答案】2ln2+ 1
2
【分析】设f (x1)= f (x2)=t，可得x1=−1
t ，x2=ln(t +2)，构造函数
x2−x1= g(t )= ln (t +2)+ 1
t ，根据导数判断函数的单调性与最值.
【详解】设f (x1)= f (x2)=t，即−1
x1
=e
x2−2=t，x1<0，x2≥0，则t >0，
所以x1=−1
t ，x2=ln(t +2)，则x2−x1=ln(t +2)+ 1
t ，
令g(t )=ln(t +2)+ 1
t
(t >0)，
则g
′ (t )= 1
t +2 −1
t
2 = t
2−t −2
t
2(t +2)
= (t −2)(t +1)
t
2(t +2)
，
所以当t ∈(0,2)时，g
′ (t )<0，函数g(t )单调递减；
当t ∈(2,+∞)时，g
′ (t )>0，函数g(t )单调递增，
所以当t =2时，g(t )取得最小值，为g(2)=2ln2+ 1
2，
即x2−x1取得最小值，为2ln2+ 1
2，
46
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故答案为：2ln2+ 1
2.
【易错点8 忽视零点存在性定理前提条件而致错】
8．已知函数f (x)=¿，若关于x的方程f ( x)=m有3 个不相等的实数根，则m的取值范围是
．
【答案】1≤m≤2
【分析】利用分段函数，指数函数，对数函数的性质作出函数f (x)的图象，结合图象，从
而确定m的取值范围.
【详解】由f ( x)的解析式作出f ( x)的大致图像．如图所示：
方程f ( x)=m有3 个不等实数根等价于f ( x)的图象与直线y =m有3 个不同的公共点，则
1≤m≤2．
故答案为：1≤m≤2.
【易错点9 搞不清复合函数的自变量而致错】
9．若函数f (x +1)的定义域为[−2,3]，则函数f (2 x−1)的定义域为 .
【答案】[0, 5
2]
【分析】先由−2≤x ≤3求得−1≤x +1≤4，再由−1≤2 x−1≤4可求出f (2 x−1)的定义域
【详解】因为−2≤x ≤3，所以−1≤x +1≤4，所以f (x)的定义域为[−1,4]，
要使f (2 x−1)有意义，需满足−1≤2 x−1≤4，解得0≤x ≤5
2.
故答案为：[0, 5
2]
【易错点10 搞不清函数图象左右平移规则而致错】
10．将函数f ( x)= tan x的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于y轴对称，得到函
数g( x)的图象，则g( x)=（ ）
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A．1−tan x
B．−1−tan x
C．−tan( x−1 )
D．−tan( x +1 )
【答案】D
【分析】根据正切函数图象的平移变换、对称变换即可得变换后的函数g( x)的解析式.
【详解】将函数f ( x)= tan x的图象向右平移1个单位长度，所得函数为
f ( x−1)= tan (x−1)，
则函数f ( x−1)= tan (x−1)的图象再关于y轴对称得函数
g( x)= f (−x−1)= tan (−x−1)=−tan (x +1).
故选：D.
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