文档文本内容
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专题04 抛物线及其应用
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。
【知能解读01】抛物线的定义
【知能解读02】抛物线的标准方程与几何性质
【知能解读03】焦半径公式
【知能解读04】直线与抛物线的位置关系
03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。
【重难点突破01】抛物线中的定点问题
【重难点突破02】抛物线中的定值问题
【重难点突破03】抛物线中的最值或范围问题
【重难点突破04】抛物线中的证明问题
【重难点突破05】抛物线中的探究性问题
04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。
【易混易错01】未考虑抛物线开口方向的多解性致错
【易混易错02】遗漏斜率不存在的情况致错
【易混易错03】判别式使用不当致错
05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类
【方法技巧01】抛物线的定义及辨析
【方法技巧02】利用定义解决距离和差的最值问题
【方法技巧03】与抛物线有关的轨迹问题
【方法技巧04】求抛物线的方程
【方法技巧05】直线与抛物线的位置关系
【方法技巧06】直线与抛物线相交弦长
【方法技巧07】抛物线的中点弦问题
1
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01 抛物线的定义
1、抛物线的定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．
2、抛物线的集合表示：
．
3、对抛物线定义的理解：
（1）定点F 不在定直线l 上，否则动点M 的轨迹不是抛物线，而是过点F 垂直于直线l 的一条直线．
（2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，
这也是利用抛物线定义解题的实质．
【真题实战】（2025·重庆·三模）已知A 为抛物线C：
上一点，点A 到C 的焦点的距离为
4，到x 轴的距离为2，则p=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【解析】对于抛物线
，其准线方程为
.
已知点
到
的焦点的距离为
，
由抛物线的定义可知，点
到准线的距离也为
.
又因为点
到
轴的距离为
，
所以点
到准线的距离为点
到
轴的距离加上
，即
.
2
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对
进行求解，移项可得
，解得
.故选：C.
02 抛物线的标准方程与几何性质
1、抛物线
的几何性质
（1）范围：由方程
可知，对于抛物线上的点
，
，
，抛物线在
轴的右侧，
开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，
的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限
延伸．
（2）对称性：以
代
，方程
不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做
抛物线的轴．
（3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程
中，当
时，
，因此
抛物线的顶点就是原点．
（4）离心率：抛物线上的点
与焦点的距离和点
到准线的距离
的比
，叫做抛物线的离心率，用
表示．由抛物线的定义可知，
．
2、四种标准方程对应的抛物线的性质比较
标准方程
图形
范围
对称轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径
2、抛物线的焦半径
（1）焦半径的定义：设抛物线
上一点
，焦点为
，准线为，则线段
叫做
抛物线的焦半径，过点
作准线的垂线段
，由抛物线的定义可知，
．
（2）用坐标表示焦半径公式
3
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①抛物线
，
．
②抛物线
，
．
③抛物线
，
．
④抛物线
，
．
【注意】不同的标准方程对应于不同的焦半径公式．
【真题实战】（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线
的焦点为
点A 在C 上，过A 作
的准线的垂线，垂足为B．若直线BF 的方程为
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【解析】对
，令
，则
，
所以
，
即抛物线
，
故抛物线的准线方程为
，
故
，则
，代入抛物线
得
.
所以
.故选：C
03 直线与抛物线的位置关系
1、直线与抛物线的位置关系：
相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）．
2、以抛物线
与直线的位置关系为例：
（1）直线的斜率
不存在，设直线方程为
，
若
，直线与抛物线有两个交点；
若
，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若
，直线与抛物线没有交点.
（2）直线的斜率
存在.
设直线
，抛物线
，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组
，的解的个数，
4
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即二次方程
（或
）解的个数．
①若
，
则当
时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当
时，直线与抛物线相切，有1 个公共点；
当
时，直线与抛物线相离，无公共点．
②若
，则直线
与抛物线
相交，有一个公共点．
3、直线与抛物线相交弦长问题
设
为抛物线
的弦，
，
，弦AB 的中点为
．
（1）弦长公式：
（
为直线
的斜率，且
）．
（2）中点弦斜率：
,
推导：由题意，知
，①
②
由①-②，得
，故
，即
.
（3）中点弦直线方程：直线
的方程为
．
4、抛物线的焦点弦性质
如图，
是抛物线
过焦点
的一条弦，设
，
，
的中点
，过
点
，
，
分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点
，
，
，
根据抛物线的定义有
，
，
故
.
又因为
是梯形
的中位线，所以
，
从而有下列结论；
（1）以
为直径的圆必与准线相切.
（2）
(焦点弦长与中点关系)
（3）
.
（4）若直线
的倾斜角为
，则
.
（5）
，
两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即
，
.
5
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（6）
为定值
.
【真题实战】（2025·湖南·一模）已知抛物线
的焦点为
，过点
且斜率为
的直线交
抛物线
于
两点，则线段
的长为 ．
【答案】13
【解析】
抛物线的焦点为
，
，
抛物线
的方程为
．
直线的方程：
，
联立
得
，
设
，则
．
另解：
．
01 抛物线中的定点问题
1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的
常量当成变量，将变量x，y 当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0 的形式(k 是原方程中的
常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中
方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
【典例1】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知圆心在
轴上移动的圆经过点
，且与
轴､
轴分别交
于
两个不同的动点.
(1)求动点
的轨迹
的方程；
6
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(2)直线与曲线
交于
两点，点
，直线
与
的斜率分别为
，
，且
，求证：
直线过定点.
【答案】(1)
;(2)证明见解析
【解析】（1）法一：由题意得，
中点
，点
即为动圆圆心.
由
得
，化简得
，
又
不重合，因此
，所以轨迹
的方程为
.
法二：由已知得线段
是动圆的直径，故
，即
，
又
，所以
，
又
不重合，因此
，所以轨迹
的方程为
.
（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为
，
联立
得
，
则
，
由题意得，
，同理
，
因为
，
所以
，即
，
所以直线的方程为
，因此直线过定点
.
【典例2】（25-26 高三上·河南新乡·开学考试）已知抛物线
仅经过
中的一点.
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(1)求
的方程；
(2)过
的焦点
作两条互相垂直的直线，分别交
于点
和点
，设线段
的中点分别为
，求证：直线
过定点.
【答案】(1)
；(2)证明见解析.
【解析】（1）抛物线
关于
轴对称，而点
关于
轴对称，
若点
之一在抛物线
上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意，
因此点
必在抛物线
上，
，解得
，
所以抛物线
的方程为
.
（2）由（1）知，抛物线
的焦点
，显然直线
都不垂直坐标轴，
设直线
的方程为
，则直线
的方程为
，
由
消去
得
，设
，
则
，线段
的中点
，
同理得线段
的中点
，当
时，直线
斜率
，
直线
方程为
，整理得
，直线
过定点
，
当
时，
或
，直线
过定点
，
所以直线
过定点.
02 抛物线中的定值问题
1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得；
3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．
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【典例1】（25-26 高三上·四川成都·月考）已知点
在抛物线
上．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点
的直线l 交抛物线C 于A，B 两点，设直线
，
的斜率分别为
，
，O 为坐标原点，
求
的值．
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）∵点
在抛物线C 上，
∴
，
，解得
（负值舍），
∴抛物线C 的方程为
．
（2）由题意得，直线l 存在斜率，设直线
，
，
，
联立
，消去y 可得，
，
，由韦达定理得，
，
∴
．
【典例2】（24-25 高三上·重庆·月考）已知抛物线
的焦点为
，过
作倾斜角为
的动
直线交
于A，B 两点.当
时，
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)证明：无论
如何变化，
是定值（
为坐标原点）；
(3)点
，直线AM 与
交于另一点
，直线BM 与
交于另一点
，证明：
与
的面积
之比为定值.
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【答案】(1)
；(2)证明见解析；(3)证明见解析
【解析】（1）根据题意直线的斜率不为0，可设直线
，
，
，
代入抛物线方程
得：
，
，
，
，
，
当
时，
，
，
，抛物线
的方程为
.
（2）证明：由（1）可知，
，
则
，
.
（3）证明：设
，
，
直线AC 的方程：
，直线BD 的方程：
，
由
，得
，
，同理，
，
，
由（2）知
，则
，
.
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03 抛物线中的最值或范围问题
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
【典例1】（24-25 高三下·广东广州·月考）如图，过抛物线
上一点
，作两条直线分
别交抛物线于
，
两点，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，
(1)求
的值；
(2)若直线AB 在y 轴上的截距
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）由抛物线
过点
，得
，
设直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
由
倾斜角互补可知
，即
，
由
，代入得
．
（2）设直线
的斜率为
，
由
，得
，
由（1）得
，将其代入上式得
．
因此设直线
的方程为
，
由
，消去
得
，
由
，得
，
这时
，
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，
又点
到直线
的距离为
，
所以
，
令
，
则由
，得
或
，
当
时，
，所以
单调递增，
当
时，
，所以
单调递减，
故
的最大值为
，故
面积
的最大值为
．
【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）平面直角坐标系
中，已知曲线
上任意一点到点
的距离比到直线
的距离大1．
(1)求曲线
的方程；
(2)过点
作两条互相垂直的直线、
，直线与曲线
交于
、
两点，直线
与曲线
交于
、
两点，求
的最小值．
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）因为曲线
上任意一点到点
的距离比到直线
的距离大1．
所以曲线
上任意一点到点
的距离与到直线
的距离相等，
所以曲线
为抛物线，且
为焦点，
为准线，
所以
，所以曲线的方程为：
.
（2）如图：
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设直线
，
，
代入抛物线得：
，得
，
整理得：
.
由韦达定理：
.
所以
.
用
代替
，可得
.
所以
.
设
，则
，当且仅当
时取等号.
则.
.
04 抛物线中的证明问题
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如
存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直
接法证明，但有时也会用到反证法．
【典例1】（24-25 高三上·海南·期中）已知直线
与抛物线
交于
，
两点（
为
坐标原点），且
，动直线过点
.
(1)求
的方程；
(2)求点
关于的对称点
的轨迹方程；
(3)若与
交于
，
两点（均异于点
），直线
，
分别与直线
交于点
，
，证明：
.
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【答案】(1)
；(2)
；(3)证明见解析
【解析】（1）由题意，可设点
，
.
由
，得
，解得
，
所以
，将其坐标代入抛物线的方程得
，解得
，
所以
的方程为
.
（2）因为点
，
关于对称，过点
，所以
.
当绕点
旋转时，线段
也绕点
旋转，
所以点
的轨迹是以
为圆心，4 为半径的圆，
故点
的轨迹方程为
.
（3）设
，
，
，
，直线的方程为
.
由题可知直线不过点
，则
.
联立得
消去
，整理得
，
恒成立，则
，
，
直线
的方程为
，即
.
令
，得
，则
，
同理可得
，
所以
，
因此
.
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【典例2】（2025·陕西西安·二模）已知平面上动点
到
的距离比
到直线
的距离
小1，记动点
的轨迹为曲线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)设点
的坐标为
，过点
作曲线
的切线，切点为
（
在第一象限），若过点
的直线
与曲
线
交于M，N 两点，证明：
．
【答案】(1)
；(2)证明过程见解析
【解析】（1）由题意得
，
当
时，
，平方化简得
，
当
时，
，平方化简得
，
由
可知
，不合题意，舍去，
综上，曲线
的方程为
；
（2）设
，因为
，所以
，
故过点
的切线斜率为
，又直线
的斜率为
，
故
，解得
，故
，
又
，所以
轴，要使
，只需
，
当直线
斜率不存在时，与抛物线只有1 个交点，不合要求，
设直线
的方程为
，联立
得
，
，解得
或
，
设
，则
，
则
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，
故
，此时直线
的斜率取值范围是
.
05 抛物线中的探究性问题
“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程
有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．
【典例1】（2024·四川内江·三模）已知抛物线E 的准线方程为：
，过焦点
的直线与抛物线
交于
A、B 两点，分别过A、B 两点作抛物线
的切线，两条切线分别与
轴交于C、D 两点，直线CF 与抛物
线
交于M、N 两点，直线DF 与抛物线
交于P、Q 两点.
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)是否存在实数
，使得
恒成立，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)
；(2)存在，
【解析】（1）因为抛物线E 的准线方程为：
，设
，则
，所以
，
故抛物线
的标准方程为
；
（2）设
，
联立抛物线有
，
下面先求抛物线
在点
处的切线方程，
当
时，设该切线方程为
，
与抛物线方程联立有
，
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则
，
又
，
即
，则
，
则
，
当
时，切线方程为
，满足上式，
所以抛物线
在点
处的切线方程为
，
所以抛物线E 在
处的切线方程为
，
在B 处的切线方程为
，所以
，
则
，
直线
分别与抛物线方程联立有
，
设
，则
，
由弦长公式知
，
同理有
，
又
，所以
，
则
,
即
，
所以存在实数
，使得
恒成立.
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【典例2】（24-25 高三下·浙江·月考）已知抛物线
，
为
的焦点，为
的准线
是
上两点，且
（O 为坐标原点），过
作
，垂足为D，点D 的坐标为
.
(1)求C 的方程；
(2)在C 上是否存在点
，使得过F 的任意直线交C 于S，T 两点，交l 于M，直线
的斜率均成
等差数列？若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
；(2)存在，
或
【解析】（1）由题意可得：
，所以
，
所以直线
的方程为：
，
设
，
联立抛物线方程消去
得：
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
即
，解得：
，
所以抛物线方程为：
（2）
由（1）得
，假设存在
满足题意，
过点
得动直线方程为
，
联立
，解得则
，设
，
联立
，消去
得：
，
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所以
，
直线
得斜率为
，直线
得斜率为
，
直线
的斜率为
，
因为直线
的斜率均成等差数列，
所以
，
整理得：
，对任意
恒成立，
所以
，解得：
或
，此时
，
即存在
或
满足题意.
01 未考虑抛物线开口方向的多解性致错
辨析：已知“抛物线过某点”或“焦点在某轴上”时，未考虑开口的不同方向（如焦点在x 轴上的抛物线，
可能开口向左或向右），导致漏解．这种情况要死记标准结构，多解问题需要先分类讨论．
【典例1】（2025·甘肃平凉·模拟预测）顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线
上的
抛物线的标准方程为 .
【答案】
或
【解析】令
得
，令
得
，所以抛物线的焦点为
或
.
当焦点为
时，抛物线方程为
；焦点为
时，抛物线方程为
.
【典例2】顶点在原点，且过点
的抛物线的标准方程是 .
【答案】
或
【解析】依题意可设抛物线的标准方程为
和
，
将
代入分别解得
和
，
则抛物线的标准方程为
或
.
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02 遗漏斜率不存在的情况致错
辨析：设直线方程前，先明确“是否需要分斜率存在/不存在两类”，尤其涉及“垂直于对称轴的直线”时，
必须单独讨论．另外对于斜率可能不存在的类型，设直线方程为
可规避讨论．
【典例1】过点
与抛物线
只有一个公共点的直线有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．0 条
【答案】C
【解析】当直线斜率存在时，
设直线的斜率等于
，则当
时，直线的方程为
，
满足直线与抛物线
仅有一个公共点，
当
时，设直线的方程为
，
代入抛物线的方程可得：
，
有
，解得
，故切线方程为
，
当斜率不存在时，直线方程为
，该直线也与抛物线
相切，
故满足条件的直线方程有三条.故选：C．
【典例2】（2025·全国·模拟预测）设抛物线
的焦点为
，直线与
过焦点
与抛物线分
别交于
与
四点.
(1)求证：
；
(2)若
，求直线
的倾斜角的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）当直线
斜率不存在时，
；
当直线
斜率存在时，设
，则直线
的方程为
，
代入抛物线方程
，化解得
，
所以
，
，
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综上所述
.
（2）因
，由（1）知，直线
斜率存在，设
，
同理得
，
当直线
斜率不存在时，
，所以
，
当直线
斜率存在时，
，
所以
，
，
于是
，
，或
所以直线
的倾斜角的取值范围为
.
03 判别式使用不当致错
辨析：联立方程后，未先判断方程类型（一元一次或一元二次），直接用一元二次方程的判别式
；若得
到一元一次方程（直线平行于抛物线对称轴），此时
无意义，却误判为“无交点”．
【典例1】（2025·天津·二模）“
”是“直线
与抛物线
只有一个公共点”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线
与抛物线
只有一个公共点，
则方程
只有一个解，
即方程
只有一个解，
当
时，
恒有一个解；
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当
时，
，得
，此时方程只有一个解．
即直线
与抛物线
只有一个公共点，可得
或
，
故“
”是“直线
与抛物线
只有一个公共点”的充分不必要条件，故选：
A．
01 抛物线的定义及辨析
紧扣“到定点与定直线距离相等”的本质，避免与椭圆、双曲线定义混淆
1、明确三要素：必须同时满足“一个定点（焦点F）”“一条定直线（准线）”“定点不在定直线上”
这三个条件；
2、抓住距离关系：抛物线上任意一点P，到焦点F 的距离（|PF|）与到准线的距离（
）始终相等，即
；
3、区分定义与方程：定义是几何本质，抛物线方程（如
）是定义在特定坐标系下的代数表达，
解题时需能双向转化．
【典例1】（25-26 高三上·湖南·月考）已知抛物线
的顶点为
，经过点
，且
为抛物线
的焦点，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【解析】依题意，焦点
，
由
，根据抛物线的定义，得
，所以
，
则
，代入
，得
，
又
，解得
.故选：C
【典例2】（25-26 高三上·广东·月考）已知抛物线
的焦点为
，准线为，
为上一动点，且
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在
轴上方，
为
上一动点，且
轴，若
，则点
的纵坐标为（ ）
A．
B．2
C．3
D．
【答案】A
【解析】抛物线
的焦点为
，准线为
，
为上一动点，设点
，
因为
轴，所以
，且
，
又
，所以
，
又
，所以
.故选：A.
02 利用定义解决距离和差的最值问题
解决这类问题的关键是：距离转化
1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P 到焦点F 的距离（|PF|），转化为该点到准线
的距离（
），即
；
2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或
“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解．
【典例1】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知
为抛物线
上的动点，
，
为两个定点，若
周长的最小值为18，则
的值为 .
【答案】6
【解析】根据题意
，则
，
所以抛物线
的焦点坐标为
，即定点
，准线为
，如图所示.
故
的周长为
，其中
为定值，
又根据抛物线的定义
，
所以当
三点共线时
取得最小值
，
此时
，解得
.
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【典例2】（2025·湖南郴州·一模）已知点
，点
在抛物线
上运动，点
在圆
上运动，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解析】把
代入
，得
，
所以点
在抛物线
里面，
圆
的圆心记为
，
因为
的最小值为
，而
正好是抛物线
的焦点，
过点
作抛物线准线
的垂线垂足为
，
则根据抛物线的定义得
，
所以
的最小值等于求
的最小值，
当
三点共线时
最小，最小值为
，
故
的最小值为
，故选：B
03 与抛物线有关的轨迹问题
解决这类问题的关键是：距离转化
1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P 到焦点F 的距离（|PF|），转化为该点到准线
的距离（
），即
；
2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或
“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解．
【典例1】（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点
的距离比到定直线
的距离大1 的动
点
的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】由已知可得动点
满足到定点
的距离等于到定直线
的距离，
由抛物线定义知动点
的轨迹方程为焦点在x 轴上的抛物线，且焦点为
，
则
，
.
因此轨迹方程为：
．
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【典例2】（24-25 高三下·湖南长沙·月考）设
，点
在
轴上，点
在
轴上，且
，当点
在
轴上运动时，点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设点
，因为
，则
为
的中点，且点
在
轴上，
所以
，则
,
又
，则
，
，
由
，
故点
的轨迹方程为
.故选：D.
04 求抛物线的标准方程
求抛物线标准方程的方法
（1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数
；
（2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数
.当焦点位置不确定时，应分类
讨论或设抛物线方程为
或
；
注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；
②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定．
【典例1】（2025·山东济南·模拟预测）以坐标原点为焦点，直线
为准线的抛物线的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】不妨设点
为抛物线上一点，
由题意可知，点
到原点的距离等于点
到直线
的距离，
所以
，化简得出
，
即抛物线的方程为
.故选：B.
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【典例2】（2025·福建厦门·三模）已知抛物线C：
恰好经过圆M：
的
圆心，则C 的准线方程为 .
【答案】
【解析】
.
则圆心为
，将
代入
，可得
.
则抛物线方程为：
，则准线方程为：
.
05 直线与抛物线的位置关系
解题的通用流程
1、设方程：根据已知条件设出直线和抛物线的方程。直线方程优先考虑斜截式，需单独讨论斜率不存在
（即
）的情况；抛物线方程优先用标准形式．
2、联立消元：将直线方程代入抛物线方程，消去一个变量（通常消
或
），得到关于另一个变量的一
元方程（可能是一次或二次方程）．
3、判断方程类型：
（1）若得到一元一次方程：直线与抛物线只有一个交点，此时直线为抛物线的“平行于对称轴的直线”
（非切线）；
（2）若得到一元二次方程：设其一般形式为
（或
），计算判别式
，通过
判断位置关系来判断．
【典例1】（24-25 高三下·安徽·月考）已知抛物线
，直线过点
且与抛物线
有且仅有一
个公共点，则直线的条数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】因为点
在抛物线
外，显然过
可作两条直线与
相切，
过
可作一条与
的对称轴（即
轴）平行的直线，它与
也只有一个公共点.
所以满足条件的直线有3 条，故选：C.
【典例2】（24-25 高三上·广东·月考）已知抛物线
的焦点为
，以
和
的准线上的两
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点为顶点可以构成边长为
的等边三角形．
(1)求
的方程；
(2)讨论过点
的直线与
的交点个数．
【答案】(1)
；(2)答案见解析
【解析】（1）由题意得焦点
，准线方程为
，
以焦点和
的准线上的两点为顶点可以构成边长为
的等边三角形
，
而这个等边三角形的高为
，
即焦点到准线的距离
，解得
（负值舍去），
所以
的方程为
．
（2）若直线的斜率存在，设的方程为
．
由方程组
可得
．
（Ⅰ）当
时，解得
，此时方程只有一个实数解，与
只有一个公共点；
（Ⅱ）当
时，方程的根的判别式为
，
（ⅰ）由
，解得
或
，此时方程有两个相等的实数解，与
只有一个公共点；
（ⅱ）由
，解得
或
，此时方程有两个不等的实数解，与
有两个公共点；
（ⅲ）由
，解得
，或
，此时方程没有实数解，与
没有公共点；
若直线的斜率不存在，则直线的方程为
，易知与
没有公共点．
综上，当的方程为
或的斜率
或
时，与
的交点个数为0；
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当的斜率
或
1 或
时，与
的交点个数为1；
当的斜率
时，与
的交点个数为2．
06 直线与抛物线的相交弦长
按照“设方程并分类讨论——联立消元得一元二次方程——韦达定理——代入弦长公式”这个流程求解直
线与抛物线相交的弦长问题．但要注意焦点弦的弦长可使用焦半径公式简化求解．
【典例1】（25-26 高三上·四川眉山·月考）设抛物线
的焦点为
，过点
作直线交抛物线于A，
B 两点，已知
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．3
【答案】A
【解析】由
可知
，设
，
、
，
联立
，则有
，
故
，即
，
又
，
，
由
，则
，即有
，
则
，
即
，则
或
，
又
，故
，则
，则
.故选：A.
【典例2】（25-26 高三上·贵州·月考）已知抛物线
的焦点为F，过点F 的直线与抛物线
C 交于P，Q 两点，线段PQ 的中点的纵坐标为1，且
，则
.
【答案】1
【解析】设直线PQ 的方程为
，
，
.
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由
消去
得
，
，
则
，
.
因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以
，则
.
因为
，所以
，
即
，解得
.
07 抛物线的中点弦问题
1、优先选择点差法：点差法无需联立方程求解，可直接建立中点与斜率的关系，计算量远小于韦达定理
法，尤其适用于已知中点求弦所在直线方程的场景．
2、分类讨论斜率存在性：
（1）若用点差法推导时，若得到的斜率关系式中分母为0，需单独讨论斜率不存在的情况；
（2）若中点在抛物线对称轴上，中点弦通常垂直于对称轴，需优先考虑斜率不存在的直线．
3、必做验证步骤：无论用点差法还是韦达定理法，求出直线方程后必须验证判别式Δ>0，避免出现“所求
直线与抛物线无交点或相切”的无效解．
【典例1】（25-26 高三上·广东·月考）过抛物线
的焦点的直线与该抛物线交于
两点，若线
段
的中点的纵坐标为1，则
（ ）
A．12
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，则
，则
.
因为线段
的中点的纵坐标为1，所以
，则
.
又直线
过
的焦点
，所以直线
的方程为
，
则线段
的中点的横坐标为
，则
，
故
.故选：C
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【典例2】（24-25 高三上·河北保定·月考）已知动点
到点
的距离比它到直线
的距离小2，
记动点
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)直线与
相交于
，
两点，若线段
的中点坐标为
，求直线的方程.
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）由题意知动点
到点
的距离等于到直线
的距离，
则动点
的轨迹是以
为焦点，
为准线的抛物线，
所以
的方程为
.
（2）设
，
，则
，
两式相减得
，整理可得
.
因为线段
的中点坐标为
，所以
，
所以直线的斜率
，
故直线的方程为
，即
.
30
