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第一章 有理数 章末检测卷（人教版）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120 分，考试时间120 分钟，试题共26 题．答卷前，考生务必用0.5 毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022·河南许昌·七年级期末）今年是全民义务植树开展40 周年．40 年来，全民义务植树在中华大地
蓬勃展开．截止12 月13 日，全国适龄公民累计17500000000 人次参加义务植树，累计植树78100000000
株（含折算），数据“17500000000”用科学记数法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，确定n 的值时．要看把原数
变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10 时，n 是正
整数；当原数的绝对值小于1 时，n 是负整数．
【详解】解：17500000000
故选D
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为
整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
2．（2022·河南周口·七年级期末）下列说法正确的是( )
A．-1 的相反数是1 B．-1 的倒数是1 C．-1 的绝对值是±1 D．-1 是最小的负整数
【答案】A
【分析】根据相反数和倒数以及绝对值的概念求解即可．
【详解】解：A、-1 的相反数是1，故选项正确，符合题意；
B、-1 的倒数是-1，故选项错误，不符合题意；
C、-1 的绝对值是1，故选项错误，不符合题意；
D、-1 是最大的负整数，故选项错误，不符合题意．故选：A．
【点睛】此题考查了-1 的相反数和倒数以及绝对值的概念，解题的关键是熟练掌握相反数和倒数的概念．
3．（2022·河北廊坊·七年级期末）如图所示的是某用户微信支付情况，
表示的意思是（ ）
A．发出100 元红包
B．收入100 元
C．余额100 元
D．抢到100 元红包
【答案】A
【分析】根据用正负数表示两种具有相反意义的量解答即可．
【详解】解：如图某用户微信支付情况，−100 表示的意思是发出100 元红包故选：A．
【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是明确用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义
的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
4．（2022·河南南阳·七年级期末）下列说法中正确的是（ ）
A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数、负整数统称为整数
C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是正数就是负数
【答案】A
【分析】按照正负，有理数分为正数、0、负数；按照整数分数，有理数分为整数、分数；以此查看选项
作答即可．
【详解】A．正分数和负分数统称为分数，说法正确，故本选项符合题意；
B．正整数、零和负整数统称为整数，原说法错误，故本选项不符合题意；
C．零既不是正整数，也不是负整数，原说法错误，故本选项不符合题意；
D．零是有理数，但零既不是正数，也不是负数，原说法错误，故本选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本意考查有理数的分类，解决本题的关键是不能混淆整数和正数，注意0 的划分范围．
5．（2022·福建三明·七年级期末）已知有理数
，
在数轴上表示的点如图所示，则下列结论中正确的是
（ ）
A．
B．
C．
小于
D．
【答案】A
【分析】由数轴上，右边的数总是大于左边的数，得到a>0>b，且
，再根据有理数的运算法则解答．
【详解】解：根据数轴可知a>0>b，且
，
，
，故A 正确，B 错误，
，故C 错误，
，故D 错误，故选：A．
【点睛】本题考查数轴上两数比较大小及有理数的运算法则，掌握数形结合的思想是解题关键．
6．（2022·广西崇左·七年级期末）若
与
互为相反数，则
的值是（ ）
A．－1
B．1
C．2021
D．－2021
【答案】A
【分析】由偶次幂及绝对值的非负性可知
，
，然后代入求解即可．
【详解】解：∵
与
互为相反数，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
；故选A．
【点睛】本题主要考查有理数的乘方运算、绝对值的非负性及代数式的值，掌握偶次幂及绝对值的非负性
是解题的关键．
7．（2022·广东揭阳·七年级期末）计算
的结果是（ ）
A．-1009
B．-2018
C．0
D．-1
【答案】A
【分析】利用加法的结合律将原式整理成
即可求解．
【详解】解：
，
，
，
，故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的加减法，解题的关键是掌握相应的运算法则．
8．（2022·湖南长沙·九年级期中）如图，在一个由6 个圆圈组成的三角形里，把－25 到－30 这6 个连续整
数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，那么的最小值是（ ）
A．－84
B．－85
C．－86
D．－87
【答案】A
【分析】三个顶角分别是−29，−30，−28，−29 与−30 之间是−-25，−29 和−28 之间是−27，−30 和−28
之间是−26，这样每边的和才能相等并且S 有最小值．
【详解】解：如图，
由图可知S=−29+(−25)+(−30)=−84．故选∶A．
【点睛】本题考查了有理数的加法，解题关键是三角形的三个顶点的数字是−25～−30 这6 个数最小的三
个数字．
9．（2022·绵阳市·七年级课时练习）定义：如果
（
，且
），那么x 叫做以a 为底N 的对
数，记做
．例如：因为
，所以
；因为
，所以
．下列说法：
①
；②
；③若
，则
；④
；正确的序号有
（ ）
A．①③
B．②③
C．①②③
D．②③④
【答案】D
【分析】由新定义可得：
利用新定义逐一计算判断，从而可得答案.
【详解】解：根据新定义可得：
故①不符合题意；
故②符合题意；
，
解得：
故③符合题意；
，故④符合题意，故选D
【点睛】本题考查的新定义运算，有理数的乘方运算的含义，正确理解新定义，运用新定义解决问题是解
本题的关键.
10．（2022·江苏宿迁·七年级期末）有两个正数a 和b，满足a＜b，规定把大于等于a 且小于等于b 的所有
数记作[a，b],例如大于等于0 且小于等于5 的所有数记作[0，5]．如果m 在[5，15]中，n 在[20，30]中，则
的一切值所在的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据m 在[5,15]内，n 在[20,30]内，可得
的最小值与最大值．
【详解】解：∵m 在[5，15]内，n 在[20，30]内，
5≤
∴
m≤15，20≤n≤30，
∴
的最小值为
，最大值为
∴
的一切值所在的范围是
．故选：A．
【点睛】本题考查了新定义的有理数运算，关键是得到5⩽m 15
⩽
，20⩽n 30
⩽
，求出
的最大与最小值．
二、填空题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·广东揭阳·七年级期末）若a，b 互为相反数，则（a+b
1
﹣）
2016＝_____．
【答案】1
【分析】根据相反数的性质得a+b=0，再代入进行计算即可．
【详解】解：∵a，b 互为倒数，
∴a+b=0，
∴（a+b
1
﹣）
2016＝
，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查相反数的性质和有理数的乘方，关键是正确理解相反数的性质．
12．（2022·山东聊城·七年级期中）已知：
、
互为相反数，
、
互为倒数，
，则
______．
【答案】1 或-3##-3 或1
【分析】根据a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，m 的绝对值为2，可以得到a+b＝0，cd＝1，m＝±2，然
后代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，m 的绝对值为2，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2，
当m＝2 时，
；
当m＝﹣2 时，
；
故答案为：1 或-3．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是求出a+b＝0，cd＝1，m＝±2．
13．（2022·黑龙江·绥化市第八中学校期中）比较大小：
__________
．
【答案】>
【分析】根据正数大于0，0 大于负数，正数大于负数，两个负数，绝对值大的其值反而小，比较即可．
【详解】解：∵
，
，且
，
∴
，
∴
．
故答案为：＞
【点睛】本题考查了有理数大小比较，绝对值的性质，要熟练掌握有理数大小比较的法则：①正数都大于
0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
14．（2022·浙江台州·七年级期末）某检修小组从A 地出发，在东西方向的马路上检修线路，若规定向东
行驶为正，向西行驶为负，一天中五次行驶记录如下（单位：
）：
，
，
，
，
．则收工时
检修小组在A 地______边______
．
【答案】 西 5
【分析】将五次行驶的记录数据相加即可得到答案．
【详解】∵
，
∴在A 地西边5 千米处．
故答案为：西；5．
【点睛】本题考查了有理数的加减法，能够将实际问题和有理数的加减相结合，并且能够准确计算出结果
是解决本题的关键．
15．（2022·四川资阳·七年级期末）定义一种新运算“
”：
．如：
，则
______．
【答案】4
【分析】根据
，可以计算出
的值．
【详解】解：∵
，
∴
=
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题．
16．（2022·江西·景德镇一中七年级期末）使得
是完全平方数的整数
的值是_________．
【答案】4
【分析】由5×2n+1 是完全平方数，可设5×2n+1=m2 （其中m 为正整数），可得5×2n=m2-1=（m+1）
（m-1），即可得m 为奇数，然后设m=2k-1（其中k 是正整数），即可得方程组，解方程组即可求得答案．
【详解】解：设5×2n+1=m2（其中m 为正整数），
则5×2n=m2-1=（m+1）（m-1），
5×2
∵
n 是偶数，
∴m 为奇数，
设m=2k-1（其中k 是正整数），
则5×2n=4k（k-1），
即5×2n-2=k（k-1）．
显然k＞1，
∵k 和k-1 互质，
∴
或
或
，
解得：k=5，n=4．
因此，满足要求的整数n 为4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了完全平方数的知识．此题难度较大，解题的关键是将原式变形，可得5×2n=m2-1=
（m+1）
（m-1），然后得到m 为奇数，则可设m=2k-1（其中k 是正整数），从而得到方程组．
17．（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期末）若
，
的最大值和最小
值的差__________．
【答案】11
【分析】根据
，而
，求出
，
分别计算x+y 的最大值和最小值，即可得到答案．
【详解】解：∵
，
∴
，
而
，
∴
，
∴
，
∴当x=2，y=5 时，x+y 有最大值2+5=7，
当x=-4，y=0 时，x+y 有最小值-4+0=-4，
∴x+y 的最大值和最小值的差为7-（-4）=11，
故答案为：11．
【点睛】此题考查了绝对值最值问题，根据式子讨论得到字母的取值范围进行计算是解题的关键．
18．（2021·江苏盐城·七年级期末）如图，数轴上A、B 两点之间的距离AB＝12，有一根木棒PQ，PQ 在
数轴上移动，当Q 移动到与A、B 其中一个端点重合时，点P 所对应的数为5，且点P 始终在点Q 的左侧，
当Q 移动到线段AB 的中点时，点P 所对应的数为__________．
【答案】11 或-1##-1 或11
【分析】设PQ 的长度为m，当点Q 与点A 重合时，此时点P 对应的数为5，则点A 对应的数为m+5，点B
对应的数为m+17，由此即可求解；当点Q 与点B 重合时，同理可得，点B 对应的数为m+5，点A 对应的
数为m-7，由此即可求解．
【详解】解：设PQ 的长度为m，
当点Q 与点A 重合时，此时点P 对应的数为5，则点A 对应的数为m+5，点B 对应的数为m+17
∴当点Q 到AB 中点时，点P 此时对应的数为：
，
当点Q 与点B 重合时，同理可得，点B 对应的数为m+5，点A 对应的数为m-7，
∴点Q 到AB 中点时，点P 此时对应的数为：
，
故答案为：11 或-1．
【点睛】此题综合考查了数轴上两点的距离，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体
现了数形结合的优点．
三、解答题（本大题共8 小题，共66 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
19．（2021·广西南宁·七年级期中）把下列各数分别填入相应的集合里．
－3，
，0，
，－3.14，20，－（+5），＋1.88
(1)正数集合：｛ …｝；
(2)负数集合：｛ …｝；
(3)整数集合：｛ …｝；
(4)分数集合：｛ …｝；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据正数的概念即可得；
（2）根据负数的概念即可得；
（3）根据整数的概念即可得；
（4）根据分数的概念即可得．
（1）解：
，
，正数集合：
．
（2）解：负数集合：
．
（3）解：整数集合：
．
（4）解：分数集合：
．
【点睛】本题考查了正数与负数、整数与分数、化简绝对值，熟记各概念和绝对值的性质是解题关键．
20．（2022·黑龙江·绥化市第八中学校期中）计算：
(1)－2×(－3)－（－8）÷4；
(2)(
＋
－
)×12
(3)
；
(4)
．
【答案】(1)8
(2)－1
(3)－12.5
(4)15.2
【分析】（1）根据有理数混合运算进行计算即可，先乘除，再加减；
（2）利用乘法分配律进行计算即可；
（3）先乘方，再利用乘法分配律进行计算即可；
（4）先去括号，再利用有理数加减运算进行计算即可．
(1)
解：－2×(－3)－（－8）÷4
=6－（－2）
=6+2
=8
(2)
解：(
＋
－
)×12
=
×12+
×12－
×12
=3+2－6
=－1
(3)
解：
=
=
=
=－12.5
(4)
解：
=
=
=11+4.2
=15.2
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算以及乘法分配律的运用，正确地计算能力是解决问题的关键．
21．（2022·山西晋城·七年级期中）综合与实践：一名外卖员骑电动车从饭店出发送外卖，向西走了2 千
米到达小琪家，然后又向东走了4 千米到达小莉家，继续向东走了3.5 千米到达小刚家，最后回到饭店．
以饭店为原点，以向东的方向为正方向，用一个单位长度表示1 千米，点
分别表示饭店，小莉家，
小刚家和小琪家．
(1)请你在数轴上表示出点
的位置；
(2)小刚家距小琪家多远？
(3)小莉步行到小刚家，每小时走5 千米；小琪骑自行车到小刚家，每小时骑15 千米．若两个人同时分别
从自己家出发，问两个人能否同时到达小刚家？若不能，谁先到达？
【答案】(1)见解析
(2)
千米
(3)不能同时到达，小琪先到达
【分析】（1）根据题意在数轴上表示出点O，A，B，C 的位置即可；
（2）由（1）得，小琪家在饭店西2 千米处，小刚家在饭店东5.5 千米处，根据数轴即可计算；
（3）分别计算出两人所行的距离及所用时间，再进行比较，即可得答案．
(1)
根据已知，以饭店为原点，以向东为正方向，用1 个单位长度表示1 千米，
外卖员骑电动车从饭店出发，向西走了2 千米，即为-2，到达小琪家，
然后又向东走了4 千米，即为
，到达小莉家，
继续向东走了3.5 千米，即为
，到达小刚家，
最后回到饭店，
所以，点O，A，B，C 的位置如图所示：
；
(2)
由数轴可得，
，
，
所以，即小刚家距小琪家有
千米；
(3)
由数轴可得，
，
小莉用时为
，
小琪用时为
，
，
两人不能同时到达，小琪先到达．
【点睛】本题考查了数轴的简单应用，明确数轴的表示方法及数轴上的点与点所表示的数的关系及绝对值
等概念，是解题的关键．
22．（2021·安徽安庆·七年级期中）已知a，b，c 在数轴上的对应点如图所示．
（1）判断正、负，用“＞”“＜”填空：a＋b 0，c－a 0，b＋c 0，b－c 0，a－b
0；
（2）化简：|a|＋|a＋b|＋|c－a|－2|b＋c|－| b－c |＋| a－b |．
【答案】（1）＜，＜，＜，＞，＞；（2）2a－b＋2c
【分析】（1）根据数轴确定字母的符号以及大小，即可判断；
（2）根据字母和式子的符号，求解绝对值，化简即可．
【详解】解：（1）由数轴可得：
，且
∴
，
，
，
，
故答案为：＜，＜，＜，＞，＞
（2）
【点睛】此题考查了数轴的应用，以及绝对值的化简，解题的关键是根据数轴判断出字母以及各式子的符
号．
23．（2021·全国·七年级期中）如图在数轴上A 点表示数a，B 点表示数b，a，b 满足
＋
＝0；
(1)点A 表示的数为 ；点B 表示的数为 ；
(2)若点A 与点C 之间的距离表示为AC，点B 与点C 之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC
＝2BC，则C 点表示的数 ；
(3)若在原点O 处放一挡板，一小球甲从点A 处以1 个单位／秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B 处
以2 个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后 （忽略球的大小，可看作一点） 以原来的速度向相反
的方向运动，设运动的时间为t（秒），请分别表示出甲，乙两小球到原点的距离 （用t 表示）．
【答案】(1)-2；6
(2)
或14
(3)甲球与原点的距离为：t+2；当
时，乙球到原点的距离为
；当
时，乙球到原点的距离为
【分析】（1）根据非负数的性质求得a=-2，b=6；
（2）分C 点在线段AB 上和线段AB 的延长线上两种情况讨论即可求解；
（3）甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA 的长，乙球到原点的距离分两种情况：①当0<t≤3 时，乙球
从点B 处开始向左运动，一直到原点O，此时OB 的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；②当
t>3 时，乙球从原点O 处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB 的长度即为乙球到原点的距离．
(1)
解：∵|a+2|+|b−6|=0，
∴a+2=0，b−6=0，
解得，a=−2，b=6，
∴点A 表示的数为−2，点B 表示的数为6．
故答案为：−2；6．
(2)
设数轴上点C 表示的数为c，
∵AC=2BC，
|
∴c−a|=2|c−b|，即|c+2|=2|c−6|，
∵AC=2BC>BC，
∴点C 不可能在BA 的延长线上，则C 点可能在线段AB 上和线段AB 的延长线上，
①当C 点在线段AB 上时，则有−2⩽c 6
⩽，
得c+2=2(6−c)，解得：c=
；
②当C 点在线段AB 的延长线上时，则有c>6，
得c+2=2(c−6)，解得c=14，
故当AC=2BC 时，c=
或c=14；
故答案为：
或14．
(3)
∵甲球运动的路程为：1⋅t=t，OA=2，
∴甲球与原点的距离为：t+2；
乙球到原点的距离分两种情况：
当0<t 3
⩽时，乙球从点B 处开始向左运动，直到原点O，
∵OB=6，乙球运动的路程为：2⋅t=2t，
乙到原点的距离：6−2t(0⩽t 3)
⩽
；
②当t>3 时，乙球从原点O 处开始一直向右运动，
此时乙球到原点的距离为：2t−6(t>3)．
【点睛】本题主要考查数轴、数轴上两点之间的距离、绝对值的非负数的性质，解题的关键是掌握数轴、
绝对值的非负数的性质，注意分类讨论．
24．（2022·北京东城·七年级期末）在平面直角坐标系
中，对于任意两点
，
，给出如下定义：点
，
的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和叫做这两点之间的“直角距离”，记作：
，
即点
与点
之间的“直角距离”为
．已知点
，点
．
(1)A 与
两点之间的“直角距离”
______；
(2)点
为
轴上的一个动点，当的取值范围是______时，
的值最小；
(3)若动点
位于第二象限，且满足
，请在图中画出点
的运动区域（用阴影表示）．
【答案】(1)6
(2)
(3)见解析
【分析】(1)根据定义即可求得；
(2)根据定义可得
，再分段讨论即可求得
(3)
，则
，根据定义，计算出
即可．
(1)
解：根据题意得：
，
故答案为：6；
(2)
解：根据题意得：
当
时，
，
，
，
故此时不存在最小值，
当
时，
，
，
，
故此时的最小值为6，
当
时，
，
，
，
故此时不存在最小值，
综上，当
时，
的值最小；
故答案为：
；
(3)
设点P(x，y)
∵点P 在第二象限，
∴x<0，y>0
=
①当0<y≤1 时
=
若x<-3，则原式=（-3-x）-（2-x）+1=-4（不符合题意）
若-3<x<0，则原式=（x+3）-(2-x)+1=2x+2
∵
∴
，即2x+2≥0，解得：x≥-1
当0<y≤1 时，x≥-1，如图；
②当1<y≤2 时
=
若x<-3，则原式=（-3-x）-（2-x）+3-2y=-2-2y（不符合题意）
若-3<x<0，则原式=（x+3）-(2-x)+3-2y=2x-2y+4
∵
∴
，
即2x-2y+4≥0，
整理得：y≤x+2
当1<y≤2 时，y≤x+2，
如图
③当y>2 时
=
若x<-3，则原式=（-3-x）-（2-x）-1=-6（不符合题意）
若-3<x<0，则原式=（x+3）-(2-x)-1=2x，
∵x<0，
2
∴x<0，（不符合题意）
综上：点P 的运动范围如图所示．
【点睛】本题考查了新定义运算，理解题目中新定义运算的概念是解题的关键，在去掉绝对值符号时，注
意分清楚绝对值符号里面的正负，若不知道正负，则应该分类讨论．
25．（2022·四川·威远县凤翔中学七年级期中）概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如
，
等，
类比有理数的乘方，我们把
记作
，读作“2 的3 次商”，
记作
，读作
“
的4 次商”．一般地，我们把n 个
相除记作
，读作“a 的n 次商”．
初步探究
（1）直接写出结果：
________；
（2）关于除方，下列说法错误的是_________．
①任何非零数的2 次商都等于1；②对于任何正整数n，
；
③
；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运
算如何转化为乘方运算呢？
例：
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式
_______；
_______．
（4）想一想：将一个非零有理数a 的n 次商写成幂的形式等于___________；
（5）算一算：
________．
【答案】（1）
；（2）②③；（3）
，
；（4）
；（5）
【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）利用题中的新定义分别判断即可；
（3）利用题中的新定义计算即可表示成幂的形式；
（4）根据题干和（1）（2）（3）的规律总结即可；
（5）将算式中的除方部分根据（4）中结论转化为幂的形式，再根据有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）当a≠0 时，a2=a÷a=1，因此①正确；
对于任何正整数n，
当n 为奇数时，
，
当n 为偶数时，
，因此②错误；
因为34=3÷3÷3÷3=
，而43=4÷4÷4=
，因此③错误；
负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，因此④正确；
故答案为：②③；
（3）
，
=
=
；
（4）由题意可得：
将一个非零有理数a 的n 次商写成幂的形式等于
；
（5）
=
=
=
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解题中除方的运算法则是解本题的关键．
26．（2022·湖北武汉·七年级期中）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方
法使复杂问题简单化．
材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a 的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示
数a，b 的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数a，﹣b 的两点之间的距离；根据绝对值的
几何意义，我们可以求出以下方程的解．
（1）|x
3|
﹣＝4
解：由绝对值的几何意义知：
在数轴上x 表示的点到3 的距离等于4
∴x1＝3+4＝7，x2＝3
4
﹣＝﹣1
（2）|x+2|＝5
解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x 表示的点到﹣2 的距离等于5．∴x1＝﹣
2+5＝3，x2＝﹣2
5
﹣＝﹣7
材料二：如何求|x
1|+|
﹣
x+2|的最小值．
由|x
1|+|
﹣
x+2|的几何意义是数轴上表示数x 的点到表示数1 和﹣2 两点的距离的和，要使和最小，则表示数
x 的这点必在﹣2 和1 之间（包括这两个端点）取值．
|
∴x
1|+|
﹣
x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x
1|+|
﹣
x+2|＝4，把数轴上表示x 的点记为点P，由绝对值的几
何意义知：当﹣2≤x≤1 时，|x
1|+|
﹣
x+2|恒有最小值3，所以要使|x
1|+|
﹣
x+2|＝4 成立，则点P 必在﹣2 的左
边或1 的右边，且到表示数﹣2 或1 的点的距离均为0.5 个单位．
故方程|x
1|+|
﹣
x+2|＝4 的解为：x1＝﹣2
0.5
﹣
＝﹣2.5，x2＝1+0.5＝1.5．
阅读以上材料，解决以下问题：
（1）填空：|x
3|+|
﹣
x+2|的最小值为 ；
（2）已知有理数x 满足：|x+3|+|x
10|
﹣
＝15，有理数y 使得|y
3|+|
﹣
y+2|+|y
5|
﹣的值最小，求x﹣y 的值．
（3）试找到符合条件的x，使|x
1|+|
﹣
x
2|+…+|
﹣
x﹣n|的值最小，并求出此时的最小值及x 的取值范围．
【答案】（1）5；（2）﹣7 或8；（3）当x＝
，最小值为
；当x＝
时，最小值为
【分析】（1）由阅读材料直接可得；
（2）由已知可得：x=-3-1=-4 或x=10+1=11，当y=3 时，|y-3|+|y+2|+|y-5|有最小值7；
（3）当n 是奇数时，中间的点为
，所以当x=
时，|x-1|+|x-2|+…+|x-n|=0+2+4+…+（n-3）+（n-1）
=
；当n 是偶数时，中间的两个点相同为，所以当x=
时，|x-1|+|x-2|+…+|x-n|=1+3+5+…+（n-3）+
（n-1）=
．
【详解】解：（1）由阅读材料可得：：|x
3|+|
﹣
x+2|的最小值为5，
故答案为5；
（2）|x+3|+|x
10|
﹣
的最小值为13，
|
∵x+3|+|x
10|
﹣
＝15，
∴x＝﹣3
1
﹣＝﹣4 或x＝10+1＝11，
|
∵y
3|+|
﹣
y+2|+|y
5|
﹣表示数轴上表示y 到﹣2，3，5 之间的距离和最小，
∴当y＝3 时，有最小值7，
∴x﹣y＝﹣7 或x﹣y＝8；
（3）|x
1|+|
﹣
x
2|+…+|
﹣
x﹣n|表示数轴上点x 到1，2，3，…，n 之间的距离和最小，
当n 是奇数时，中间的点为
，
∴当x＝
时，|x
1|+|
﹣
x
2|+…+|
﹣
x﹣n|＝0+2+4+…+（n
3
﹣）+（n
1
﹣）＝
，
∴最小值为
；
当n 是偶数时，中间的两个点相同为
，
∴当x＝
时，|x
1|+|
﹣
x
2|+…+|
﹣
x﹣n|＝1+3+5+…+（n
3
﹣）+（n
1
﹣）＝
，
∴最小值为
．
【点睛】本题考查数轴的性质；理解阅读材料的内容，掌握绝对值的几何意义，利用数轴上点的特点解题
是关键．
