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规范练2(分值:43 分)
学生用书
P227
1.(13 分)(2024·江苏扬州模拟)已知各项均为正数的数列{an}前n 项和为Sn,且2Sn=an(an+1).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明: 1
S1
+ 1
S2
+…+ 1
Sn
<2.
(1)解因为2Sn=an(an+1),
①
所以2Sn+1=an+1(an+1+1),
②
2S1=a1(a1+1),
③
由③得a1(a1-1)=0.
又因为{an}各项均为正数,所以a1=1,
②-①得2an+1=(an+1
2
-an
2)+(an+1-an),
整理得(an+1+an)(an+1-an-1)=0.
又因为{an}各项均为正数,所以an+1-an=1,
所以{an}是公差为1 的等差数列,an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n.
(2)证明由(1)可得Sn=n(a1+an)
2
= n(n+1)
2
,
所以1
Sn
=
2
n(n+1) = 2
n -
2
n+1
,
所以1
S1
+ 1
S2
+…+ 1
Sn
= 2
1 - 2
2
+ 2
2 - 2
3
+…+ 2
n -
2
n+1
=2- 2
n+1<2.
2.(15 分)(2024·宁夏银川二模)一批产品需要进行质量检验,检验方案是先从这批产品中任取4 件作检
验,这4 件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4 件作检验,若都为优质品,则这
批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1 件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他
情况下,这批产品都不能通过检验.
假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为1
2
,且各件产品是否为优质品相
互独立.
(1)求这批产品通过检验的概率;
(2)已知每件产品检验费用为100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费
用记为X(单位:元),求X 的分布列.
解(1)设第一次取出的4 件产品中恰有3 件优质品为事件A1,第一次取出的4 件产品全是优质品为事
件A2,第二次取出的4 件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1 件产品是优质品为事件B2,这批产
品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以
P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)= 4
16 × 1
16 + 1
16 × 1
2 = 3
64 .
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(2)X 可能的取值为400,500,800,并且P(X=800)=1
4
,P(X=500)= 1
16
,
P(X=400)=1- 1
16 - 1
4 = 11
16
,故X 的分布列如下:
X
400
500
800
P
11
16
1
16
1
4
3.(15 分)棱长均为2 的斜三棱柱ABC-A1B1C1中,A1在平面ABC 内的射影O 在棱AC 的中点处,P 为棱
A1B1(包含端点)上的动点.
(1)求点P 到平面ABC1的距离;
(2)若AP⊥平面α,求直线BC1与平面α 所成角的正弦值的取值范围.
解(1)依题意知A1O⊥平面ABC,OB⊥AC(底面为正三角形),且A1O=OB=√3.
以O 为原点,分别以OB,OC,OA1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图,
则O(0,0,0),A(0,-1,0),B(√3,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,√3),C1(0,2,√3),⃗AB=(√3,1,0),⃗A C1=(0,3,√3),⃗BC1=(-
√3,2,√3),⃗A A1=(0,1,√3).
由A1B1∥AB,A1B1⊄平面ABC1,AB⊂平面ABC1,则A1B1∥平面ABC1,即点P 到平面ABC1的距离等于点
A1到平面ABC1的距离.
设n=(x,y,z)为平面ABC1的一个法向量,
则{
n·⃗A C1=3 y +√3 z =0,
n·⃗BC1=-√3 x +2 y +√3 z =0,
取z=3,得n=(1,-√3,3),因此点A1到平面ABC1的距离d=|⃗A A1·n|
|n|
= 2√3
√13 = 2√39
13
,
所以点P 到平面ABC1的距离为2√39
13
.
(2)设⃗A1 P=λ⃗A1B1,λ∈[0,1],
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则⃗AP =⃗A A1+⃗A1 P =⃗A A1+λ⃗A1B1=⃗A A1+λ⃗AB=(0,1,√3)+λ(√3,1,0)=(√3 λ,1+λ,√3).
由AP⊥α,得⃗AP为平面α 的一个法向量.
设直线BC1与平面α 所成角为θ,
则sin θ=|cos<⃗BC1,⃗AP>|=|⃗BC1·⃗AP|
|⃗BC1||⃗AP|
=|5- λ|
√10·√3 λ
2+(1+ λ)
2+3
=
5- λ
2√5·√2 λ
2+ λ+2
.
令t=5-λ,则λ=5-t,t∈[4,5],
则sin θ=
t
2√5·√2(5-t )
2+(5-t )+2
=
t
2√5·√2t
2-21t +57
=
1
2√5·√
2- 21
t + 57
t
2
=
1
2√5·√57( 1
t - 7
38 )
2+ 5
76
,
由t∈[4,5],得1
t ∈
1
5 , 1
4
,于是57 1
t - 7
38
2+ 5
76 ∈
2
25 , 5
16
,
所以2√5·√57( 1
t - 7
38 )
2+ 5
76 ∈[2√10
5
, 5
2
],
则sin θ∈2
5 , √10
4
,所以直线BC1与平面α 所成角的正弦值的取值范围是2
5 , √10
4
.
