第一辑
解三角形（解答题）………………………………………………………01
立体几何（解答题）………………………………………………………07
概率统计（解答题 ）…………………………………………………… 18
导数及其应用（解答题）…………………………………………………32
圆锥曲线（解答题）………………………………………………………43
解三角形（解答题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考I 卷
15
13
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记
的内
角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知
，
(1)求B；
(2)若
的面积为
，求c．
正弦定理解三角
形；余弦定理解三
角形；已知两角的
正、余弦，求和、
差角的正弦；三角
形面积公式及其应
用
2024 年新高考II
卷
15
13
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
的内
角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若
，
，求
的
周长．
辅助角公式；正弦
定理解三角形；正
弦定理边角互化的
应用
2023 年新高考I 卷
17
12
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在
中，
．
(1)求
；
(2)设
，求
边上的高．
用和、差角的正弦
公式化简、求值；
正弦定理解三角
形；三角形面积公
式及其应用
2023 年新高考II
卷
17
12
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
的内
角
的对边分别为
，已知
的
面积为
，
为
中点，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
三角形面积公式及
其应用；余弦定理
解三角形；数量积
的运算律
2022 年新高考I 卷
18
12
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已
正弦定理边角互化
的应用；基本不等
式求和的最小值
知
．
(1)若
，求B；
(2)求
的最小值．
2022 年新高考II
卷
18
12
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，分
别以a，b，c 为边长的三个正三角形的面积依
次
为
，
已
知
．
(1)求
的面积；
(2)若
，求b．
正弦定理解三角
形；余弦定理解三
角形；三角形面积
公式及其应用
近三年新高考数学中，三角形相关解答题考查情况总结如下：
考点方面：主要涉及正弦定理、余弦定理用于解三角形；三角函数的和差角公式、辅助角公式等进行
化简与求值；三角形面积公式及其应用；还涉及到三角恒等变换，如二倍角公式等。其中正弦定理、余弦
定理及三角形面积公式是高频考点。
题目设置方面：通常设置两问，第一问多为求角，常通过对已知条件进行边角转化，结合三角函数公
式求解；第二问常涉及求边、求三角形面积或周长、求边上的高 等，一般在第一问求出角的基础上，利
用正弦定理、余弦定理及面积公式等进一步计算。整体考点稳定且具有较强的关联性与系统性。
2025 年新高考中，解三角形大概率仍会作为重点考查内容。以一道解答题（分值约 13 - 15 分）呈
现。解答题通常设置两问，有一定梯度，循序渐进引导解题。
正弦定理、余弦定理依旧是核心。会给出边与角的混合条件，要求考生熟练运用正、余弦定理进行边
角互化，求解三角形的边、角、面积等基本量。
1. 正弦定理
（1）基本公式：
（其中
为
外接圆的半径）
（2）变形
①
②
③
④
（3）应用：边角互化
①
②
③
或
（舍）
2. 三角形中三个内角的关系
，
，
3. 余弦定理
（1）边的余弦定理
，
，
（2）角的余弦定理
，
，
4. 三角形的面积公式
5. 角平分线定理
（1）在
中，
为
的角平分线，则有
（2）
（3）
（库斯顿定理）
（4）
6. 张角定理
7. 倍角定理
在
中,三个内角
的对边分别为
,
(1)如果
,则有:
(2)如果
,则有:
(3)如果
,则有:
倍角定理的逆运用
在
中,三个内角A、B、C 的对边分别为
,
(1)如果
,则有:
。
(2)如果
,则有:
。
(3)如果
,则有:
。
8. 中线长定理
为
的中线,则中线定理:
证明:
在
和
中,用余弦定理有:
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记
的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知
，
(1)求B；
(2)若
的面积为
，求c．
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若
，
，求
的周长．
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在
中，
．
(1)求
；
(2)设
，求
边上的高．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
的面积为
，
为
中点，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若
，求B；
(2)求
的最小值．
典例6
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c 为
边长的三个正三角形的面积依次为
，已知
．
(1)求
的面积；
(2)若
，求b．
【名校预测·第一题】（2025 届湖南省长沙市雅礼中学高三3 月综合自主测试数学试题）
在
中，内角
的对边分别为
.已知
.
(1)求角
的大小；
(2)已知
.求
的面积.
【名校预测·第二题】（湖南省长沙市雅礼中学2025 届高三一模数学试题）
记
的内角
，
，
的对边分别
，
，，已知
．
(1)求
；
(2)设
是边
中点，若
，求
．
【名校预测·第三题】（重庆市南开中学校2025 届高三下学期高考模拟数学试题）
在
中，内角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，且
(1)求B；
(2)若
，D 为AC 边上的一点，且
，
，求AC 的最大值．
【名校预测·第四题】（山东省实验中学2025 届高三第五次诊断考试数学试题）
在锐角
中，内角
所对的边分别为
，
，，满足
，且
.
(1)求证：
；
(2)已知
是
的平分线，若
，求线段
长度的取值范围.
【名校预测·第五题】（2025 届湖南省长沙市雅礼中学高三4 月综合自主测试数学试题）
在
中，角
的对边分别为
，若
．
(1)求
；
(2)若
，证明：
是直角三角形．
(3)若
是锐角三角形，
，求
面积的取值范围．
【名师押题·第一题】在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
.
(1)求
；
(2)若
，且
，求
的最小值.
【名师押题·第二题】已知
的内角
所对的边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
，求
周长的最大值．
【名师押题·第三题】在
中，内角
的对边分别为
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
.
（i）求
；
（ii）过边
上一点
作
的垂线，垂足分别为
，求
的最小值.
【名师押题·第四题】记
的内角
所对的边分别为
，且
.
(1)证明：
；
(2)若
平分
交
于点
，且
，求
的最大值.
【名师押题·第五题】在
中，
，
，分别是内角
，
，
的对边，
．
(1)求角
的大小；
(2)设
为边
上一点，若
，且
，求
面积的最小值．
立体几何（解答题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考I 卷
17
15
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥
中，
底面ABCD，
，
．
证明线面平行；由
二面角大小求线段
长度或距离；证明
面面垂直
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若
，且二面角
的正弦
值为
，求
．
2024 年新高考II
卷
17
15
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四
边形ABCD 中，
，
，
，
，
，点E，F 满足
，
，将
沿EF 翻
折至
，使得
．
(1)证明：
；
(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正
弦值．
线面垂直证明线线
垂直；面面角的向
量求法；证明线面
垂直；求平面的法
向量
2023 年新高考I 卷
18
12
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四
棱柱
中，
．
点
分别在棱
,
上，
．
空间位置关系的向
量证明；面面角的
向量求法；已知面
面角求其他量
(1)证明：
；
(2)点
在棱
上，当二面角
为
时，求
．
2023 年新高考II
卷
20
12
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥
中，
，
，
，E 为BC 的中点．
(1)证明：
；
(2)点F 满足
，求二面角
的正弦值．
线面垂直证明线线
垂直；面面角的向
量求法；证明线面
垂直
2022 年新高考I 卷
19
12
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）如图，直
三棱柱
的体积为4，
的面
积为
．
求点面距离；面面
角的向量求法
(1)求A 到平面
的距离；
(2)设D 为
的中点，
，平面
平面
，求二面角
的
正弦值．
2022 年新高考II
卷
20
12
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，
是三棱锥
的高，
，
，E 是
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)若
，
，
，求二面角
的正弦值．
证明线面平行；面
面角的向量求法
近三年新高考数学立体几何解答题考查情况总结
空间位置关系证明：频繁考查线面平行、线面垂直、面面垂直的证明。如通过线线平行证明线面平行，
利用线线垂直证明线面垂直进而证明面面垂直 。
空间角计算：二面角的向量求法是重点，常给出相关几何条件，要求考生建立空间直角坐标系，利用
向量法求二面角的正弦值或余弦值。也涉及线面角相关计算。
距离与线段长度求解：包括求点到平面的距离、由二面角大小求线段长度等。常借助等体积法或向量
法求解点面距离，根据几何关系和空间向量运算求线段长度 。
题目设置方面
通常设置两问，第一问多为空间位置关系的证明，如证明线面平行或垂直等，考查对相关判定定理的
理解和运用；第二问多为空间角的计算或线段长度、距离的求解，在第一问的基础上，要求考生熟练运用
空间向量方法或几何方法进行计算，综合性较强。整体考点稳定，注重对空间想象能力、逻辑推理能力和
运算求解能力的考查 。
题型与分值：预计 2025 年新高考中，立体几何仍会以一道解答题（分值约 13 - 15 分）的形式出
现，设置两问，有一定难度梯度，循序渐进引导解题。
考查方向
空间位置关系：线面平行、线面垂直、面面垂直的证明依然是重点内容。可能会给出更复杂的几何图
形，如组合体（棱柱与棱锥组合等），要求考生从复杂图形中准确找出线线、线面、面面关系，运用判定
定理进行证明 。
空间角计算：二面角的向量求法仍是核心考点，可能会结合实际应用背景（如建筑设计中的角度问
题）或与其他知识（如三角函数）综合考查。也可能出现线面角、异面直线所成角的计算，考查考生建立
空间直角坐标系、准确计算向量坐标和运用向量公式的能力 。
距离与体积：点到平面的距离、几何体的体积计算可能会有所涉及。可能需要考生灵活运用等体积法、
向量法等方法求解距离，根据几何图形的特征计算体积，考查运算求解能力和转化与化归思想 。
创新题型：可能会出现一些创新题型，如开放性问题（给出部分条件，让考生补充条件并证明相关结
论）、探究性问题（探究几何图形中某些元素的变化对空间位置关系或空间角的影响），考查考生的创新
思维和综合运用知识的能力 。
1.空间中的平行关系
（1）线线平行
（2）线面平行的判定定理：
平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行
（3）线面平行的性质定理
若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行
（4）面面平行的判定定理
判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行
判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行
（5）面面平行的性质定理
性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面
性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行
2.空间中的垂直关系
（1）线线垂直
（2）线面垂直的判定定理
一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直
（3）线面垂直的性质定理
性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行
（4）面面垂直的判定定理
一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面
面垂直）
（5）面面垂直的性质定理
两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面
3.异面直线所成角
=
（其中
（
）为异面直线
所成角，
分别表示异面直线
的方向向量）
4.直线
与平面所成角，
(
为平面
的法向量).
5.二面角
的平面角
（
，
为平面
，
的法向量）.
6.点
到平面
的距离
（
为平面
的法向量，
是经过面
的一条斜线，
）.
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥
中，
底面ABCD，
，
．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若
，且二面角
的正弦值为
，求
．
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD 中，
，
，
，
，
，点E，F 满足
，
，将
沿EF 翻折至
，使得
．
(1)证明：
；
(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱
中，
．点
分
别在棱
,
上，
．
(1)证明：
；
(2)点
在棱
上，当二面角
为
时，求
．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥
中，
，
，
，E 为BC 的中点．
(1)证明：
；
(2)点F 满足
，求二面角
的正弦值．
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）如图，直三棱柱
的体积为4，
的面积为
．
(1)求A 到平面
的距离；
(2)设D 为
的中点，
，平面
平面
，求二面角
的正弦值．
典例6
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，
是三棱锥
的高，
，
，E 是
的
中点．
(1)证明：
平面
；
(2)若
，
，
，求二面角
的正弦值．
【名校预测·第一题】（重庆市南开中学校2025 届高三下学期高考模拟数学试题）
如图，三棱锥
中，
，
．异面直线
和
所成角的余弦值为
，点
是线段
上的一个动点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)若二面角
的正弦值为
，求
．
【名校预测·第二题】（湖南省长沙市雅礼中学2025 届高三一模数学试题）
在平行四边形
中（如图1），
，
为
的中点，将等边
沿
折起，连接
，且
（如图2）．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)点
在线段
上，且满足
，求平面
与平面
所成角的余弦值．
【名校预测·第三题】（辽宁省东北育才中学2024-2025 学年高三下学期二模数学试卷）
如图①，在矩形
中，
，
，M 为
的中点，将
沿
折起，使A 到
处，平面
平面
，连接
，
（如图②）．
(1)证明：
平面
；
(2)已知Q 是线段
上的动点，且
，直线
与平面
所成角的正弦值为
，
求
．
【名校预测·第四题】（安徽省合肥市第一中学2025 届高三下学期数学素质拓展试卷）
如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
为线段
的中点，
为线段
上的动点.
(1)若
，平面
与平面
是否互相垂直？如果垂直,请证明；如果不垂直，请说明理由.
(2)若底面
为正方形，当平面
与平面
夹角为
时，求
的值.
【名校预测·第五题】（陕西省西北工业大学附属中学2025 届高三第八次模拟考试数学试卷）
如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，M 为棱
的中点.
(1)证明：
平面
.
(2)已知
.
（i）求平面
与平面
夹角的余弦值.
（ii）在线段
上是否存在点Q，使得点Q 到平面
的距离是
？若存在，求出
的值；若不存
在，说明理由.
【名师押题·第一题】如图，正方形
所在平面和等腰梯形
所在平面互相垂直，已知
，
，点
在线段
上.
(1)求证：平面
平面
；
(2)当直线
与平面
所成角的正弦值为
时，求
.
【名师押题·第二题】如图，在等腰梯形ABCD 中，
，
，E，F 分别为AB，CD 的中点，
沿线段EF 将四边形AEFD 翻折到四边形MEFN 的位置，连接MB，NC.已知
，
，
，P 为射线FN 上一点.
(1)若
，证明：
平面BCNM.
(2)若直线FN 与平面CEP 所成角的正弦值为
，求PF.
【名师押题·第三题】在平面四边形
中，
，
，如图1 所示.现将图1 中的
沿
折起，使点
到达点
的位置，且平面
平面
，如图2 所示.
(1)求证：
；
(2)若
，二面角
的大小为
，求
的值.
【名师押题·第四题】如图，在正方形
中，
，
分别为
中点，四边形
也是
正方形，经过
点的直线与平面
的夹角为
且
，现将正方形
沿直线平移至
得到四棱台
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若
，求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)若平面
平面
，求四棱台
的体积．
【名师押题·第五题】如图，长方体
中，
，
，
，E，F 分别为棱
AB，
的中点．
(1)过点C，E，F 的平面截该长方体所得的截面多边形记为S，求S 的周长；
(2)设T 为线段
上一点，当平面
平面
时，求平面TCF 与平面CEF 夹角的余弦值．
概率统计（解答题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考II
卷
18
17
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两
个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体
规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3
次，若3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为
0 分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第
二阶段由该队的另一名队员投篮3 次，每次投篮投
中得5 分，未投中得0 分.该队的比赛成绩为第二
阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组
独立事件的乘法
公式；求离散型
随机变量的均
值；利用对立事
件的概率公式求
概率
成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率
为q，各次投中与否相互独立．
(1)若
，
，甲参加第一阶段比赛，求
甲、乙所在队的比赛成绩不少于5 分的概率．
(2)假设
，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概
率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望
最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
2023 年新高考I 卷
21
12
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，
每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人
继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前
投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙
每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1 次投
篮的人选，第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为
0.5．
(1)求第2 次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量
服从两点分布，且
，则
．记前
次（即从第1 次到第
次
投篮）中甲投篮的次数为
，求
．
求离散型随机变
量的均值；利用
全概率公式求概
率；等比数列的
简单应用
2023 年新高考II
卷
19
12
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某研究小组经过研
究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学
指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患
病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值
c，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于
c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病
频率分布直方图
的实际应用；总
体百分位数的估
计
者判定为阴性的概率，记为
；误诊率是将未
患病者判定为阳性的概率，记为
．假设数据
在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事
件发生的概率．
(1)当漏诊率
％时，求临界值c 和误诊率
；
(2)设函数
，当
时，
求
的解析式，并求
在区间
的最
小值．
2022 年新高考I 卷
20
12
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）一医疗团队为
研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习
惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关
系，在已患该疾病的病例中随机调查了100 例
（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随
机调查了100 人（称为对照组），得到如下数
据：
不够良
好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该
疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到
的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的
人患有该疾病”．
与
的比值是卫
生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量
指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）利用该调查数据，给出
的
估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．
独立性检验解决
实际问题；计算
条件概率
附
，
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
2022 年新高考II
卷
19
12
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在某地区进行
流行病学调查，随机调查了100 位某种疾病患者的
年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组
中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间
的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为
，该地区
年龄位于区间
的人口占该地区总人口的
.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区
间
，求此人患这种疾病的概率．（以样本
数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的
年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
频率分布直方图
的实际应用；由
频率分布直方图
估计平均数；利
用对立事件的概
率公式求概率；
计算条件概率
近三年新高考数学概率统计解答题考查情况总结
考点方面
概率计算：常考查独立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式，以及利用对立事件求概率。
如通过分析投篮、抽签等事件的独立性或互斥性来计算相应概率 。
离散型随机变量：涉及离散型随机变量的分布列、期望和方差的求解。要求考生确定随机变量的可能
取值，计算每个取值的概率，进而求出期望和方差 。
统计图表应用：对频率分布直方图的考查较多，包括根据频率分布直方图计算频率、平均数、中位数
等数字特征，以及利用频率估计概率解决实际问题 。
题目设置方面
通常设置多问，第一问可能是概率计算，如计算某一事件发生的概率；后续问题逐渐深入，可能涉及
到随机变量的分析、统计图表的综合应用或统计方法的运用等。整体考点丰富多样，注重考查考生对概率
统计知识的综合运用能力以及数据分析能力 。
题型与分值：预计 2025 年新高考中，概率统计仍会以一道解答题（分值约 15 - 17 分）的形式呈
现，题目设置多问，具有一定的梯度，从基础概念考查逐步过渡到综合应用。
概率模型：继续考查常见的概率模型，如独立重复试验、古典概型等。可能会结合实际生活背景，如
体育比赛、抽奖活动等，构建更复杂的概率问题（条件概率、全概率），要求考生准确判断概率模型并运
用相应公式计算概率 。
随机变量与分布：离散型随机变量的分布列、期望和方差依旧是重点。可能会出现新的随机变量类型
或更复杂的取值情况，考查考生对随机变量概念的深刻理解和计算能力。也可能与其他知识（如函数、不
等式）综合，求期望或方差的最值 。
统计图表与数据分析：频率分布直方图的应用仍会是考点。除了计算数字特征外，可能会要求考生根
据图表进行数据的进一步分析和推断，如估计总体参数、进行假设检验等，突出对数据分析素养的考查 。
实际应用与创新：概率统计与实际生活的联系会更加紧密，可能会出现一些跨学科或创新性的题目，
如在医学、经济、环境科学等领域中运用概率统计知识解决实际问题，考查考生的数学建模和应用能力 。
1. 等可能性事件的概率
.
2. 互斥事件A，B 分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
3.
个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
4. 独立事件A，B 同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).
5.
个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
6.
次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率
7.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）
;
（2）
.
8. 数学期望
9. 数学期望的性质
（1）
.
（2）若
～
,则
.
(3) 若
服从几何分布,且
，则
.
10. 方差
11. 标准差
=√Dξ .
12.方差的性质
(1)
；
(2）若
～
，则
.
(3) 若
服从几何分布,且
，则
.
13.方差与期望的关系
.
14.正态分布密度函数
，式中的实数μ，σ （σ >0）是参数，分别表示个体的平均
数与标准差.
15.对于
，取值小于x 的概率
.
P(x1<x0<x2)=P(x<x2)−P(x<x1)
.
16.条件概率
条件概率的定义
条件概率的性质
已知B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P(A|
B)．
当P(B)>0 时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B 也可以记成AB)
类似地，当P(A)>0 时，A 发生时B 发生的条件概率为P(B|A)＝
(1)0≤P(B|A)≤1，
(2)如果B 和C 是两
个互斥事件，则
P(B∪C|A)＝P(B|A)
＋P(C|A)
P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同
前者是在A 发生的条件下B 发生的概率，后者是在B 发生的条件下A 发生的概率．
17.条件概率的三种求法
定义法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
基本事件法
借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A)，再求事件AB 所包含的基本
事件数n(AB)，得P(B|A)＝
缩样法
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求
解，它能化繁为简
18.全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2 …
∪
∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则
对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝
，此公式为全概率公式.
（1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A 包
含的样本点数，n(AB)为事件AB 包含的样本点数.
（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A 的概率的求解问题，转化为了在不同情
况下发生的简单事件的概率的求和问题.
19.贝叶斯公式
一般地,设
是一组两两互斥的事件,有
且
,则对
任意的事件
有
20.数字样本特征
（1）众数：在一组数据中出现次数最多的数
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若
为偶数个，中位数为中间两个数的平均数
（3）平均数：
，反映样本的平均水平
（4）方差：
反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；
越大，样本波动越大，越不稳定；
越小，样本波动越小，越稳定；
（5）标准差：
，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样
（6）极差：等于样本的最大值
最小值
21.求随机变量X 的分布列的步骤：
(1)理解X 的意义，写出X 可能取得全部值；
(2)求X 取每个值的概率；
(3)写出X 的分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验.
还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量
的期望、方差，求
的期望与方差，利用期望和方差的性质（
，
）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布
列的期望和方差公式进行计算，若
～
,则
，
.
22. 求解概率最大问题的关键是能够通过
构造出不等关系，结合组合数公式求解结
果
典例1
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如
下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3 次，若3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0 分；若至少
投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3 次，每次投篮投中得5 分，未投中得
0 分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为
p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若
，
，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5 分的概率．
(2)假设
，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
典例2
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投
篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命
中率均为0.8．由抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2 次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量
服从两点分布，且
，则
．
记前
次（即从第1 次到第
次投篮）中甲投篮的次数为
，求
．
典例3
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有
明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判
定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为
；误诊率是将未患病者判定为阳
性的概率，记为
．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率
％时，求临界值c 和误诊率
；
(2)设函数
，当
时，求
的解析式，并求
在区间
的最小值．
典例4
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫
生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100 例（称为病例组），同
时在未患该疾病的人群中随机调查了100 人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该
疾病”．
与
的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标
为R．
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）利用该调查数据，给出
的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．
附
，
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
典例5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100 位某种疾病患者的年龄，
得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间
的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为
，该地区年龄位于区间
的人口占该地区总人口的
.从该
地区中任选一人，若此人的年龄位于区间
，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄
位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【名校预测·第一题】（安徽省合肥市第一中学2025 届高三下学期数学素质拓展试卷）
在一个不透明的盒子中装有除颜色外其余完全相同的若干个小球，其中有m 个白球，m 个黑球，2 个黑白
相间的球，且从盒子中随机摸出1 个球，摸到黑白相间的球的概率为
．
(1)从盒子中随机摸出1 个球，求在摸出的球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率；
(2)从盒子中1 次随机取出1 个球，取出后不放回，共取2 次，设取出的黑球数量为X，求X 的分布列与期
望．
【名校预测·第二题】（陕西省西北工业大学附属中学2025 届高三第八次模拟考试数学试卷）
投掷均匀的骰子，每次掷得的点数为1 或2 时得1 分，掷得的点数为3，4，5，6 时得2 分．独立地重复掷
一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分．
(1)设投掷2 次骰子，最终得分为
，求随机变量
的分布列与期望；
(2)若投掷
次骰子，记合计得分恰为
分的概率为
，求
；
(3)设最终得分为
分的概率为
，求数列
的通项公式．
【名校预测·第三题】（湖南省长沙市雅礼中学2025 届高三一模数学试题）
现市场上治疗某种疾病的药品有
两种，其治愈率与患者占比如表所示，为试验一种新药
，在有关部
门批准后，某医院把此药给100 个病人服用．设药
的治愈率为
，且每位病人是否被治愈相互
独立．
A
B
C（新药）
治愈率
患者占比
(1)记100 个病人中恰有80 人被治愈的概率为
，求
的最大值点
；
(2)设用新药
的患者占比为
（药品
减少的患者占比，均为新药
增加占比的一半，
，
以（1）问中确定的
作为
的值，从已经用药的患者中随机抽取一名患者，求该患者痊愈的概率（结果
用
表示）
(3)按照市场预测，使用新药
的患者占比
能达到
以上，不足
的概率为
，不低于
且不超
过
的概率为
，超过
的概率为
，某药企计划引入药品
的生产线，但生产线运行的条数受患者
占比的影响，关系如下表：
患者占比
最多投入生产线条
数
1
2
3
若某条生产线运行，年利润为1000 万，若某条生产线未运行，年亏损300 万，欲使该药企生产药品
的年
总利润均值最大，应引入几条生产线？
【名校预测·第四题】（山东省实验中学2025 届高三第五次诊断考试数学试题）
某工厂在改进生产技术后，针对新旧两种技术所生产的电子元件实施质量检测，现从每种技术生产的产品
中各随机抽取容量为40 的样本进行电压测试.已知标准电压为3.7V，误差绝对值不超过0.1V 的电子元件为
优品，超过0.1V 的电子元件为良品.
(1)已知旧技术生产的40 个样本电子元件的电压测量值
近似服从正态分布
的近似值为样本均
值3.7，
的近似值为样本标准差0.09.假设该工厂前期运用旧技术已生产电子元件40000 个，试估算旧技
术生产的电子元件电压测量值高于3.88V 的有多少个？
(2)从新技术生产的40 个样本电子元件中随机选取一个是优品的概率为
.请补全以下
列联表，依据小
概率值
的独立性检验，能否认为电子元件的优良情况与新旧技术有关？
优品
良品
合计
旧技术
新技术
合计
16
附：若随机变量
服从正态分布
，则
，
.
.
0.100
0.050
0.025
0.005
2.706
3.841
5.024
7.879
【名校预测·第五题】（辽宁省东北育才中学2024-2025 学年高三下学期二模数学试卷）
马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，因俄国数学家安德烈•马尔
科夫而得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第
次状态的概率分布只跟第n 次的状态有关，与第
，
，
，…次状态无关．已知有A，B 两个盒子，各装有1 个黑球、1 个黄球和1 个红球，现
从A，B 两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行
次这样的操作后，记A 盒子中
红球的个数为
，恰有1 个红球的概率为
，恰有2 个红球的概率为
．
(1)求
，
的值；
(2)证明：
是等比数列，并求
的通项公式；
(3)求
的数学期望．
【名校预测·第六题】（重庆市南开中学校2025 届高三下学期高考模拟数学试题）
甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的
类问题以及难度系数较高的
类
问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问题的概率均为
，甲遇到
类问题时回答正确的概率为
，回答正确记1 分，否则记0 分；甲遇到
类问题时回答正确的概率为
，
回答正确记2 分，否则记0 分，总得分记为X 分，甲回答每个问题相互独立．
(1)当进行完2 轮游戏时，求甲的总分X 的分布列与数学期望．
(2)设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n 分的概率为
．
（ⅰ）证明：
为等比数列．
（ⅱ）求
的最大值以及对应n 的值．
【名师押题·第一题】某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000 次训练情况并将成绩（满分
100 分）统计如下表所示.
成绩区间
频数
100
200
300
240
160
(1)求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
(2)该运动员用分层抽样的方式从
的训练成绩中随机抽取了6 次成绩，再从这6 次成绩中随机选2 次，
设成绩落在区间
的次数为X，求X 的分布列及数学期望；
(3)对这1000 次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80 分的成绩可以提高10 分，
原高于80 分的无影响，优化失败则原成绩会降低10 分，已知该运动员优化动作成功的概率为
．
在一次资格赛中，入围的成绩标准是80 分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p 的取值
范围.
【名师押题·第二题】某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙
三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为
，乙箱和丙箱每次
抽取中奖的概率均为
，中奖与否互不影响.
(1)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择：
方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50 元的学习用品，中奖两次获得价值30 元的学
习用品，其他情况没有奖励.
方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70 元的学习用品，中奖两次获得价值40 元的学习用品，其
他情况没有奖励；
通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？
(2)若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，
求该同学选择乙抽奖箱的概率.
【名师押题·第三题】为测试某人工智能机器人在动态环境中执行路径规划的能力，命令该人工智能机器
人在动态环境中执行路径规划任务，任务规则如下：该机器人需要依次通过5 个关键区域，成功通过3 个
区域即认为其完成任务，每个区域存在动态障碍物，机器人成功通过一个区域的概率为
，被障碍物阻挡
的概率为
．每成功通过一个区域得6 分，每被障碍物阻挡一次扣3 分，每个区域的测试结果相互独立，
若机器人累计成功通过3 个区域，任务提前结束，若机器人被障碍物阻挡的次数达到3 次，则任务无法完
成，任务结束．
(1)若任务在过第4 个区域后终止且人工智能机器人完成任务，求此事件的概率；
(2)记任务结束时该人工智能机器人的总得分为X，求X 的分布列和数学期望.
【名师押题·第四题】一电动玩具汽车需放入电池才能启动.现抽屉中备有6 块规格相同的电池，其中3 块
为一次性电池，另外3 块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，
则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉.
(1)在已知第2 次取出一次性电池的条件下，求第1 次取出的是可充电电池的概率；
(2)设X，Y 是离散型随机变量，X 在给定事件
条件下的期望定义为
，其中
为X 的所有可能取值的集合，
表示事件“
”与“
”均发生的概率.设X 表示玩具汽车前4 次使用中取出一次性
电池的块数，Y 表示前2 次使用中取出可充电电池的块数，求
；
(3)若已用完一块一次性电池后，记剩下电池再使用
次后，所有一次性电池恰好全部用完的
概率为
，求数列
的通项公式.
【名师押题·第五题】某科技公司招聘技术岗位人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10 名应届毕业
生进入后面试环节.其中
校和
校各4 名，
校2 名，10 名面试者随机抽取1，2，3，...10 号的面试序号.
(1)若来自
校的4 名毕业生的面试序号分别为
，且
，来自
校的4 名毕业生的面
试序号分别为
，且
，来自
校的2 名毕业生的面试序号分别为
，
，且
.
（i）求概率
；
（ii）记随机变量
，求
的均值
.
(2)经面试，第位面试者的面试得分为
，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者.为提高
今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则：
，且
，集
合中的最小元素为
，最终录用第
位面试者.如果以新规则面试这10 名毕业生，证明：面试得分第一､
二（按得分从高到低排）的两名毕业生之一被录用的概率不小于0.59.
导数及其应用（解答题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考I 卷
18
17
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
(1)若
，且
，求
的最小值；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
(3)若
当且仅当
，求
的取
值范围．
判断或证明函数的
对称性；利用导数
研究不等式恒成立
问题；简单复合函
数的导数；利用导
数证明不等式
2024 年新高考II
卷
16
15
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处
的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a
的取值范围．
求在曲线上一点处
的切线方程（斜
率）；根据极值求
参数
2023 年新高考I 卷
19
12
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
．
利用导数研究不等
式恒成立问题；含
参分类讨论求函数
的单调区间
2023 年新高考II
卷
22
12
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：
当
时，
；
（2）已知函数
，若
是
的极大值点，求a 的取值范围．
利用导数研究不等
式恒成立问题；根
据极值点求参数；
利用导数求函数的
单调区间（不含
参）；利用导数研
究函数的零点
2022 年新高考I 卷
22
12
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数
和
有相同的最小
值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并
且从左到右的三个交点的横坐标成等差数
列．
利用导数研究方程
的根；由导数求函
数的最值（含参）
2022 年新高考II
22
12
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数
利用导数证明不等
卷
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，
，求a 的取值范围；
(3)设
，证明：
．
式；利用导数研究
不等式恒成立问
题；含参分类讨论
求函数的单调区间
近三年新高考数学导数及其应用解答题考查情况总结
考点方面
函数性质研究：利用导数判断函数的单调性、求函数的极值与最值是核心考点。常通过求导分析导函
数的正负，进而确定函数单调区间，求解极值点和最值点 。
不等式相关问题：包括利用导数证明不等式恒成立或存在性问题，通过构造函数，将不等式问题转化
为函数的最值问题进行求解；还会考查根据不等式恒成立求参数的取值范围 。
函数的切线与对称性：求曲线在某点处的切线方程，涉及到导数的几何意义；判断或证明函数的对称
性，如中心对称等，考查对函数性质的深入理解 。
含参函数分析：对于含参数的函数，常需进行分类讨论，分析参数对函数单调性、极值、最值等性质
的影响 。
题目设置方面
通常设置多问，第一问相对基础，多为求函数的导数、讨论函数单调性等；后续问题逐渐深入，可能
涉及到利用导数证明不等式、根据函数性质求参数范围等，综合性强，对考生的逻辑推理、运算求解以及
数学抽象等核心素养要求较高 。
题型与分值：预计 2025 年新高考中，导数及其应用仍会以一道解答题（分值约 15 - 17 分）的形
式出现，题目设置 2 - 3 问，具有一定的难度梯度。
函数性质综合考查：继续围绕函数的单调性、极值、最值展开，可能会出现更复杂的函数形式，如指
数函数、对数函数与三角函数的复合函数等，考查考生对导数工具的熟练运用以及对函数性质的综合分析
能力 。
不等式证明与参数问题：不等式的证明和根据不等式恒成立或有解求参数范围仍是重点。可能会结合
一些高等数学的思想方法，如放缩法等，增加证明的难度；参数问题会更加注重对参数取值范围的精确讨
论和求解 。
创新题型与跨模块综合：可能会出现一些创新题型，如函数的零点个数探究、函数图象的交点问题等；
也可能与其他知识模块（如数列、解析几何）进行综合，考查考生的综合应用能力和创新思维 。
实际应用背景：导数在实际问题中的应用可能会有所体现，如最优化问题（成本最小化、利润最大化
等），将实际问题抽象为数学模型，利用导数求解最值，考查考生的数学建模和应用意识 。
1. 恒成立问题常见类型
假设
为自变量，其范围设为
，
为函数；
为参数，
为其表达式，
（1）
的值域为
①
，则只需要
，则只需要
②
，则只需要
，则只需要
（2）若
的值域为
①
，则只需要
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
②
，则只需要
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
2. 能成立（有解）问题常见类型
假设
为自变量，其范围设为
，
为函数；
为参数，
为其表达式，
（1）若
的值域为
①
，则只需要
，则只需要
②
，则只需要
，则只需要
（2）若
的值域为
①
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
②
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
3. 端点效应的类型
1.如果函数
在区间
上,
恒成立,则
或
.
2.如果函数
在区问
上,
恒成立,且
(或
),则
或
.
3.如果函数
在区问
上,
恒成立,且
(或
,
则
或
.
4. 洛必达法则：
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)
，
那么
=
。
型
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)
，
那么
=
。
型
5. 极值点偏移的含义
众所周知，函数f ( x)满足定义域内任意自变量x 都有f ( x)=f (2m−x)，则函数f ( x)关于直线
x=m 对称；可以理解为函数f ( x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f ( x)为单峰函数，则
x=m 必为f ( x)的极值点. 如二次函数f ( x)的顶点就是极值点x0 ，若f ( x)=c 的两根的中点为
x1+x2
2
，
则刚好有
x1+x2
2
=x0 ，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数f ( x)的极值点为m ，且函数f ( x)满足定义域内
x=m 左侧的任意自变量x 都有f ( x)>f (2m−x)或f ( x)<f (2m−x)，则函数f ( x)极值点m 左右侧
变化快慢不同. 故单峰函数f ( x)定义域内任意不同的实数x1, x2满足f ( x1)=f ( x2)，则
x1+x2
2
与极值点
m 必有确定的大小关系：
若
m< x1+x2
2
，则称为极值点左偏；若
m> x1+x2
2
，则称为极值点右偏.
如函数
g( x)= x
ex 的极值点x0=1刚好在方程g( x)=c 的两根中点
x1+x2
2
的左边，我们称之为极值点左
偏.
6. 极值点偏移问题的一般题设形式
1. 若函数f ( x)存在两个零点x1, x2且x1≠x2，求证：x1+x2>2 x0 （x0 为函数f ( x)的极值点）；
2. 若函数f ( x)中存在x1, x2且x1≠x2满足f ( x1)=f ( x2)，求证：x1+x2>2 x0 （x0 为函数f ( x)的极
值点）；
3. 若函数f ( x)存在两个零点x1, x2且x1≠x2，令
x0= x1+x2
2
，求证：f '( x0)>0 ；
4. 若函数f ( x)中存在x1, x2且x1≠x2满足f ( x1)=f ( x2)，令
x0= x1+x2
2
，求证：f '( x0)>0 .
7. 极值点偏移的判定定理
对于可导函数y=f ( x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0 ，方程f ( x)=0 的解分别为
x1, x2，且a<x1<x2<b ，
（1）若f ( x1)<f (2 x0−x2)，则
x1+x2
2
<(>)x0 ，即函数y=f ( x)在区间( x1, x2)上极（小）大值
点x0右（左）偏；
（2）若f ( x1)>f (2 x0−x2)，则
x1+x2
2
>(<)x0，即函数y=f ( x)在区间( x1, x2)上极（小）大值
点x0右（左）偏.
证明：（1）因为对于可导函数y=f ( x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0 ，则函数f ( x)
的单调递增（减）区间为(a, x0)，单调递减（增）区间为( x0,b)，由于a<x1<x2<b ，有x1<x0 ，且
2 x0−x2<x0，又f ( x1)<f (2 x0−x2)，故x1<(>)2 x0−x2，所以
x1+x2
2
<(>)x0，即函数极（小）大
值点x0右（左）偏；
（2）证明略.
左快右慢（极值点左偏
⇔m< x1+x2
2
） 左慢右快（极值点右偏
⇔m> x1+x2
2
）
左快右慢（极值点左偏
⇔m< x1+x2
2
） 左慢右快（极值点右偏
⇔m> x1+x2
2
）
8. 对数平均不等式
两个正数
和
的对数平均定义：
对数平均与算术平均几何平均的大小关系：
､
（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当
时，等号成立．
只证：当
时，
．不失一般性，可设
．
证明如下：
（I）先证：
……①
不等式①
（其中
）
构造函数
，则
．
因为
时，
，所以函数
在
上单调递减，
故
，从而不等式①成立；
（II）再证：
……②
不等式②
（其中
）
构造函数
，则
．
因为
时，
，所以函数
在
上单调递增，
故
，从而不等式成立；
综合（I）（II）知，对
，都有对数平均不等式
成立，
当且仅当
时，等号成立．
运用判定定理判定极值点偏移的方法
（1）求出函数f ( x)的极值点x0；
（2）构造一元差函数F( x)=f ( x0+x)−f ( x0−x)；
（3）确定函数F( x)的单调性；
（4）结合F(0)=0 ，判断F( x)的符号，从而确定f ( x0+x)、f ( x0−x)的大小关系.
9. 拉格朗日（Lagrange）中值定理
若函数f（x）满足如下条件：
（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；
（2）f（x）在开区间（a，b）内可导．
则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得
．
拉格朗日中值定理的几何意义
如图所示，在满足定理条件的曲线
上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行
于曲线两端的连线．
需要注意的地方（逆命题不成立）
拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于
切线斜率,如f (x)= x
3在x =0处的切线斜率为0,但f (x)不存在割线使割线斜率等于0
拉格朗日公式还有下面几种等价形式
，
，
．
注：拉格朗日公式无论对于
还是
都成立，而ξ 则是介于a 与b 之间的某一常数．显然，当
时，
．
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
(1)若
，且
，求
的最小值；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
(3)若
当且仅当
，求
的取值范围．
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当
时，
；
（2）已知函数
，若
是
的极大值点，求a 的取值范围．
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数
和
有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
典例6
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，
，求a 的取值范围；
(3)设
，证明：
．
【名校预测·第一题】（2025·湖南长郡中学模拟）
已知函数
．
(1)当
时，求
的单调性；
(2)若函数
在
处取得极小值，求实数
的取值范围．
【名校预测·第二题】（2025·湖南雅礼中学模拟）
设函数
．
(1)当
时，证明：
．
(2)当
时，证明：
．
【名校预测·第三题】（重庆市南开中学校2025 届高三下学期高考模拟数学试题）
已知函数
．
(1)若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)若
是函数
的极值点，求证：
．
【名校预测·第四题】（陕西省西北工业大学附属中学2025 届高三第八次模拟考试数学试卷）
已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若函数
有两个极值点
，且
，求a 的取值范围．
【名校预测·第五题】（安徽省合肥市第一中学2025 届高三下学期数学素质拓展试卷）
设函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
在区间
上单调递增，求
的取值范围；
(3)当
时，
，求
的取值范围．
【名校预测·第六题】（辽宁省东北育才中学2024-2025 学年高三下学期二模数学试卷）
已知函数
．
(1)当
时，证明：
在
上单调递增；
(2)当
，
时，求
的零点；
(3)当
，
时，若
在
上有2 个零点，求b 的取值范围．
【名师押题·第一题】已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若不等式
对任意的
恒成立，求
的取值范围.
【名师押题·第二题】已知函数
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求证
．
【名师押题·第三题】已知函数
．
(1)若
，求
的极值；
(2)若
，讨论
的单调性．
【名师押题·第四题】已知函数
.
(1)当
时，若不等式
恒成立，求
的取值范围；
(2)若
有两个零点
，
，且
.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
【名师押题·第五题】已知函数
，
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
的图象不在直线
的上方，求实数
的值；
(3)若
，讨论函数
的零点个数.
圆锥曲线（解答题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考I 卷
16
15
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
和
为椭圆
上两
点.
(1)求C 的离心率;
(2)若过P 的直线交C 于另一点B，且
的面积为9，求的方程．
求椭圆的离心率或
离心率的取值范
围；根据韦达定理
求参数；根据椭圆
过的点求标准方
程；椭圆中三角形
（四边形）的面积
2024 年新高考II
卷
19
17
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线
，点
在
上，
为常数，
．按照如下方式依次构造点
：过
作斜率为
的直线与
的左支交于点
，令
为
关于
轴的对
称点，记
的坐标为
.
(1)若
，求
；
(2)证明：数列
是公比为
的等比
数列；
(3)设
为
的面积，证明：对任意
正整数
，
.
由递推关系证明等
比数列；求直线与
双曲线的交点坐
标；向量夹角的坐
标表示
2023 年新高考I 卷
22
12
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系
中，点
到
轴的距离等于点
到点
的距离，记动点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)已知矩形
有三个顶点在
上，证
明：矩形
的周长大于
．
求平面轨迹方程；
求直线与抛物线相
交所得弦的弦长；
由导数求函数的最
值（不含参）；基
本（均值）不等式
的应用
2023 年新高考II
卷
21
12
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C
的中心为坐标原点，左焦点为
，离
心率为
．
(1)求C 的方程；
(2)记C 的左、右顶点分别为
，
，过点
直线的点斜式方程
及辨析；根据a、
b、c 求双曲线的标
准方程；双曲线中
的动点在定直线上
问题
的直线与C 的左支交于M，N 两点，M
在第二象限，直线
与
交于点P．证明:
点
在定直线上.
2022 年新高考I 卷
21
12
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点
在双曲线
上，直
线l 交C 于P，Q 两点，直线
的斜率
之和为0．
(1)求l 的斜率；
(2)若
，求
的面积．
求双曲线中三角形
（四边形）的面积
问题；根据韦达定
理求参数
2022 年新高考II
卷
21
12
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知双曲
线
的右焦点为
，渐近线方程为
．
(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于
A，B 两点，点
在C 上，且
．过P 且斜率为
的直线
与过Q 且斜率为
的直线交于点M.从下面
①②③中选取两个作为条件，证明另外一个
成立：
①M 在
上；②
；③
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一
个解答计分.
根据双曲线的渐近
线求标准方程；根
据韦达定理求参
数；求双曲线中的
弦长；由中点弦坐
标或中点弦方程、
斜率求参数
近三年新高考数学圆锥曲线解答题考查情况总结
考点方面
曲线方程与性质：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程求解，离心率、渐近线等几何性质的考查是核心。
如根据已知点坐标求椭圆离心率，由双曲线焦点和离心率求标准方程 。
直线与曲线的位置关系：常考查直线与圆锥曲线相交的弦长、面积计算，利用韦达定理处理交点坐标
关系。例如通过直线与椭圆相交求三角形面积，或根据直线与双曲线相交的条件求参数 。
综合应用与证明：涉及数列与圆锥曲线的综合（如证明数列是等比数列），以及点在定直线上的证明
等。还包括轨迹方程的求解，如根据几何条件求抛物线的轨迹方程 。
题目设置方面
通常设置两问或多问，第一问相对基础，多为求曲线方程、离心率等基本量；第二问深入考查直线与
圆锥曲线的综合问题，如面积、定点定值、参数范围等，对运算求解和逻辑推理能力要求较高，且可能与
其他知识模块（如数列）综合，体现较强的综合性 。
题型与分值：预计 2025 年新高考中，圆锥曲线仍会以一道解答题（分值约 15 - 17 分）的形式出
现，题目设置 2 - 3 问，具有一定的难度梯度。
考查方向
曲线方程与性质：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和几何性质依然是考查重点。可能会给出更隐蔽
的条件，如通过曲线的几何特征（焦点、顶点、渐近线关系等）求方程，或结合离心率的取值范围考查对
性质的深入理解 。
直线与曲线的综合：直线与圆锥曲线的位置关系仍是核心考点。可能会出现面积的最值、弦长的定值、
定点问题等，计算量较大，需要熟练运用韦达定理、设而不求等技巧。也可能与向量结合，通过向量关系
转化为坐标运算 。
创新与综合题型：可能会出现条件开放型题目，如给定多个条件选择合适的条件进行证明（类似
2022 年新高考 Ⅱ 卷）；或与数列、函数等知识综合，考查学生的综合应用能力。还可能涉及一些实际
背景的问题，如轨迹在实际场景中的应用 。
计算与推理能力：圆锥曲线解答题对计算能力和逻辑推理能力要求较高。2025 年可能会延续这一特
点，在计算上设置一定难度，同时要求考生具备清晰的解题思路和严谨的推理过程，如在证明点共线、定
值问题时，需要有条理地进行推导 。
1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：
（1）设直线方程，设交点坐标为
、
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，必要时计算
；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
（或
、
）的形式；
（5）代入韦达定理求解
2.若直线
与圆雉曲线相交于
，
两点，
由直线与圆锥曲线联立，消元得到
（
）
则：
则：弦长
或
3. 处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为
），
（2）利用条件找到
与过定点的曲线
的联系，得到有关
与
的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点
，使得无论
的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于
与
的等式进行变形，直至找到
，
①若等式的形式为整式，则考虑将含
的式子归为一组，变形为“
”的形式，让括号中式子等于0，
求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去
变为
常数.
4. 处理定值问题的思路：
联立方程，用韦达定理得到
、
（或
、
）的形式，代入方程和原式化简即可.
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
和
为椭圆
上两点.
(1)求C 的离心率;
(2)若过P 的直线交C 于另一点B，且
的面积为9，求的方程．
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线
，点
在
上，
为常数，
．
按照如下方式依次构造点
：过
作斜率为
的直线与
的左支交于点
，令
为
关于
轴的对称点，记
的坐标为
.
(1)若
，求
；
(2)证明：数列
是公比为
的等比数列；
(3)设
为
的面积，证明：对任意正整数
，
.
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系
中，点
到
轴的距离等于点
到点
的距离，记动
点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)已知矩形
有三个顶点在
上，证明：矩形
的周长大于
．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率为
．
(1)求C 的方程；
(2)记C 的左、右顶点分别为
，
，过点
的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直线
与
交于点P．证明:点
在定直线上.
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点
在双曲线
上，直线l 交C 于P，Q
两点，直线
的斜率之和为0．
(1)求l 的斜率；
(2)若
，求
的面积．
典例6
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线
的右焦点为
，渐近线方程
为
．
(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点，点
在C 上，且
．
过P 且斜率为
的直线与过Q 且斜率为
的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M 在
上；②
；③
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【名校预测·第一题】（2025·湖南雅礼中学模拟）
已知抛物线
经过点
.
(1)求
的值和抛物线
的准线方程；
(2)已知直线
与抛物线
交于
两点，求
.
【名校预测·第二题】（山东省实验中学2025 届高三第五次诊断考试数学试题）
已知双曲线
的离心率为
，点
在双曲线
上，过
的左焦点
的直线
与
的左支相交于两点，且分别交
的两条渐近线于
两点．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若
是坐标原点，
，求
的面积．
【名校预测·第三题】（辽宁省东北育才中学2024-2025 学年高三下学期二模数学试卷）
已知抛物线
的焦点为F，直线l 与C 交于A，B 两点，当直线l 经过点F 且
时，
．
(1)求C 的方程；
(2)设O 为坐标原点，点A 在第一象限，点B 在第四象限，且
，求
面积的最小值．
【名校预测·第四题】（2025·湖南长郡中学模拟）
已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心椭圆的短半轴长为半径的
､
与直线
相切.
(1)求椭圆
的方程，
(2)过定点
斜率为
的直线与椭圆
交于
两点，若
.求实数
的值及
的面积.
【名校预测·第五题】（安徽省合肥市第一中学2025 届高三下学期数学素质拓展试卷）
已知椭圆
的离心率为
，点
在
上．
(1)求
的方程；
(2)设椭圆
．若过
的直线交
于另一点
交
于
两点，且
在
轴上方．
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）
为坐标原点．
为
右顶点．设
在第一象限内，
，是否存在实数
使得
的面
积与
的面积相等？若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
【名校预测·第六题】（重庆市南开中学校2025 届高三下学期高考模拟数学试题）
已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，短轴长为
，离心率为
.
(1)求
的方程；
(2)记
的左顶点为
，直线与
交于P，Q 两点，直线AP，AQ 的斜率之积为
.
（i）证明：直线过定点；
（ii）若
在
轴上方，直线
与圆
交于点
，点
在
轴上方.是否存在点
，使得
与
的面积之比为3：5？若存在，求出点
坐标；若不存在，说明理由.
【名师押题·第一题】已知椭圆
的中心为坐标原点，对称轴为
轴，
轴，且过
两点．
(1)求
的方程；
(2)过点
，斜率不为0 的直线与椭圆交于
两点，点
，直线
与
轴交于
，与
轴交
于
，直线
与
轴交于
，与
轴交于
．若
，求直线的斜率．
【名师押题·第二题】已知双曲线E：
（
，
）的虚轴长为2，离心率为
.
(1)求双曲线E 的标准方程：
(2)过点
的直线l 与E 的左、右两支分别交于A，B 两点，点
，直线BC 与直线
交于点
N.
（ⅰ）证明：直线AN 的斜率为定值：
（ⅱ）记
，
分别为
，
的面积，求
的取值范围.
【名师押题·第三题】已知抛物线
的准线方程为
，直线
与
交于
两点.
(1)求
的标准方程.
(2)若
，
为坐标原点，证明：
.
(3)若
为
的焦点，且
的周长为
，求
的值.
【名师押题·第四题】已知椭圆
的短轴长为
，且离心率为
．
(1)求
的方程；
(2)若
分别是
的左、右顶点，设直线
与
轴交于点
，点
是直线
上不同于点
的一点，直
线BQ 与
交于另一点
，直线AM 与
交于点
，是否存在点
，使得
？若存在，
求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【名师押题·第五题】已知双曲线
：
的离心率为
，
为坐标原点，过
的右焦
点的直线交
的右支于P，Q 两点，当
轴时，
.
(1)求
的方程；
(2)过P 作直线
的垂线，垂足为N.
（i）证明：直线
过定点；
（ii）求
面积的最小值.
