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§10.4 随机事件与概率
课标要求 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理
解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率.
1.样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E 的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω 表示.
全体样本点的集合称为试验E 的样本空间，常用Ω 表示.
②有限样本空间：如果一个随机试验有n 个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，
ω2，…，ωn}为有限样本空间.
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω 的子集称为随机事件，简称事件.
②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示.
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.
2.两个事件的关系和运算
含义
符号表示
包含关系
若事件A 发生，则事件B 一定发生
A ⊆ B
相等关系
B⊇A 且A⊇B
A = B
并事件(和事件)
事件A 与事件B 至少有一个发生
A∪B 或A+B
交事件(积事件)
事件A 与事件B 同时发生
A ∩ B 或
AB
互斥(互不相容)
事件A 与事件B 不能同时发生
A∩B=∅
互为对立
事件A 与事件B 有且仅有一个发生
A ∩ B = ∅
，
且
A ∪
B = Ω
3.古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
4.古典概型的概率公式
一般地，设试验E 是古典概型，样本空间Ω 包含n 个样本点，事件A 包含其中的k 个样本点，则定义
事件A 的概率P(A)=k
n=n( A)
n(Ω).
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A 和样本空间Ω 包含的样本点个数.
5.概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有P ( A ) ≥
0 ；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(∅)=0；
性质3：如果事件A 与事件B 互斥，那么P(A∪B)=P ( A )+
P ( B ) ；
性质4：如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-
P ( B ) ；
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以
0 ≤
P ( A ) ≤
1 ；
性质6：设A，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P ( A )+
P ( B )- P ( A ∩ B ) .
6.频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率fn(A)会逐渐稳定
于事件A 发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.
(2)频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)估计概率P(A).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.
( × )
(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.
( √ )
(3)从-3，-2，-1，0，1，2 中任取一个数，取到的数小于0 与不小于0 的可能性相同.
( √ )
(4)若A∪B 是必然事件，则A 与B 是对立事件.
( × )
2.甲、乙等五人站成一排，其中为互斥事件的是( )
A.“甲站排头”与“乙站排头”
B.“甲站排头”与“乙站排尾”
C.“甲站排头”与“乙不站排头”
D.“甲不站排头”与“乙不站排头”
答案 A
解析 因为“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，所以选项A 正确；
因为“甲站排头”与“乙站排尾”可以同时发生，所以选项B 不正确；
因为“甲站排头”与“乙不站排头”可以同时发生，所以选项C 不正确；
因为“甲不站排头”与“乙不站排头”可以同时发生，所以选项D 不正确.
3.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160，175]
(单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( )
A.0.2
B.0.3
C.0.7
D.0.8
答案 B
解析 由题意知该同学的身高小于160 cm 的概率、该同学的身高在[160，175](单位：cm)内的概率和该同
学的身高超过175 cm 的概率和为1，故所求概率为1-0.2-0.5=0.3.
4.抛掷一枚骰子，记事件A 为“出现点数是奇数”，事件B 为“出现点数是3 的倍数”，则P(A∪B)=
，P(A∩B)= .
答案 2
3 1
6
解析 抛掷一枚骰子，所有可能出现的点数是1，2，3，4，5，6，共6 个样本点，
事件A∪B 包括出现的点数是1，3，5，6，共4 个样本点，故P(A∪B)=2
3；
事件A∩B 包括出现的点数是3，共1 个样本点，故P(A∩B)=1
6.
1.当随机事件A，B 互斥时，不一定对立；当随机事件A，B 对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必
要不充分条件.
2.若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
题型一 随机事件的关系
命题点1 随机事件关系的判断
例1 (多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”，
G=“点数大于2”，H=“点数小于2”，R=“点数为3”，则下列结论正确的是( )
A.E，F 为对立事件
B.G，H 为互斥不对立事件
C.E，G 是互斥事件
D.G，R 是互斥事件
答案 AB
解析 “点数为奇数”与“点数为偶数”不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F 是对立事件，选
项A 正确；
“点数大于2”与“点数小于2”不可能同时发生，且不是必有一个发生，所以G，H 为互斥不对立事件，
选项B 正确；
“点数为奇数”与“点数大于2”可能同时发生，E，G 不是互斥事件，选项C 不正确；
“点数大于2”与“点数为3”可能同时发生，G，R 不是互斥事件，选项D 不正确.
命题点2 利用互斥、对立事件求概率
例2 (1)(多选)下列说法正确的有( )
A.若事件A⊆B，则P(A)≤P(B)
B.若A，B 为对立事件，则P(A)+P(B)=1
C.若A，B 为互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)
D.P(A∪B)<P(A)+P(B)
答案 ABC
解析 若事件B 包含事件A，则P(A)≤P(B)，故A 正确；
若A，B 为对立事件，则P(A)+P(B)=1，故B 正确；
若A，B 为互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，故C 正确；
因为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，所以当A，B 互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)，故D 错误.
(2)某射手在一次射击中射中10 环、9 环、8 环、7 环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.2，则这个射手
在一次射击中射中环数不够7 环的概率为 .
答案 0.11
解析 记“射中环数不够7 环”为事件D，则事件D为“射中10 环或9 环或8 环或7 环”，
所以P(D)=0.21+0.23+0.25+0.2=0.89，
所以P(D)=1-P(D)=1-0.89=0.11.
命题点3 利用频率估计概率
例3 (多选)下列命题正确的是( )
A.随机事件A 的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B.抛掷骰子100 次，得点数是1 的结果是18 次，则出现1 点的频率是9
50
C.有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200 件产品，则一定有190 件正品，10 件次品
D.抛掷一枚质地均匀的硬币100 次，有51 次出现了正面，则可得抛掷一次该硬币出现正面的概率是
0.51
答案 AB
解析 随机事件A 的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故A 正确；
抛掷骰子100 次，得点数是1 的结果是18 次，则出现1 点的频率是18
100= 9
50，故B 正确；
有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200 件产品，则不一定抽取到190 件正品和10 件次品，故C 错
误；
100 次并不是无穷多次，抛掷一枚质地均匀的硬币100 次，有51 次出现了正面，则不能得出抛掷一次该硬
币出现正面的概率是0.51，故D 错误.
思维升华 事件关系的运算策略
进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必
要时可列出全部的试验结果进行分析.当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式.
跟踪训练1 (1)从装有4 个白球和3 个红球的盒子里摸出3 个球，则下列选项中事件E 与事件F 互斥却
不对立的是( )
A.事件E：3 个球中至少有1 个红球；事件F：3 个球中至少有1 个白球
B.事件E：3 个球中恰有1 个红球；事件F：3 个球中恰有1 个白球
C.事件E：3 个球中至多有2 个红球；事件F：3 个球中至少有2 个白球
D.事件E：3 个球中至多有1 个红球；事件F：3 个球中至多有1 个白球
答案 B
解析 对于A，事件E 与事件F 可能同时发生，例如摸出2 个白球和1 个红球，所以事件E 与事件F 不是
互斥事件，故A 错误；
对于B，事件E 与事件F 不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3 个白球或3 个红球，所
以事件E 与事件F 互斥却不对立，故B 正确；
对于C，事件E 与事件F 可能同时发生，例如摸出2 个白球和1 个红球，所以事件E 与事件F 不是互斥事
件，故C 错误；
对于D，事件E 与事件F 不可能同时发生，且必有一个发生，所以事件E 与事件F 是互斥事件也是对立事
件，故D 错误.
(2)若事件A 和B 互斥，且P(A∪B)=0.5，P(B)=0.3，则P(A)= .
答案 0.8
解析 因为事件A 和B 互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A)+0.3=0.5，
解得P(A)=0.2，故P(A)=1-P(A)=0.8.
题型二 古典概型
例4 (1)甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( )
A.1
4
B.1
3
C.1
2
D.2
3
答案 B
解析 从甲、乙两人中选一人站在排尾有C2
1种排法，丙站在中间两位有C2
1种排法，其余2 空2 人全排列有
A2
2种，故共有C2
1·C2
1·A2
2=8(种)，样本点总数是A4
4=24，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，且甲或乙
在排尾的概率为8
24 =1
3.
(2)(2025·八省联考)有8 张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8.现从这8 张卡片中随机抽
出3 张，则抽出的3 张卡片上的数字之和与其余5 张卡片上的数字之和相等的概率为 .
答案 3
56
解析 从8 张卡片中随机抽出3 张，则样本空间中总的样本点个数为C8
3＝56，
因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，
所以要使抽出的3 张卡片上的数字之和与其余5 张卡片上的数字之和相等，
则抽出的3 张卡片上的数字之和应为18，
则抽出的3 张卡片上的数字的组合有8，7，3 或8，6，4 或7，6，5 共3 种，
所以符合抽出的3 张卡片上的数字之和为18 的样本点有3 个，
所以抽出的3 张卡片上的数字之和与其余5 张卡片上的数字之和相等的概率为3
56.
思维升华 利用公式法求解古典概型问题的步骤
跟踪训练2 (1)(2025·宜宾模拟)某学校开展“五育并举”的选修课，其中体育开设了6 门课，分别为篮
球、足球、排球、网球、羽毛球、乒乓球，甲、乙两名学生准备从中各选择2 门课学习，则甲、乙选
修的体育课中至少有1 门相同的概率为( )
A.1
3
B.2
3
C.3
5
D.2
5
答案 C
解析 由题意，甲、乙选修的体育课中没有相同科目的概率为
C6
2C4
2
C6
2C6
2= 6
15=2
5，故甲、乙选修的体育课中至
少有1 门相同的概率为1-2
5=3
5.
(2)将1 个0，2 个1，2 个2 随机排成一行，则2 个1 不相邻的概率为( )
A.3
5
B.4
5
C.2
5
D.1
5
答案 A
解析 将1 个0，2 个1，2 个2 随机排成一行，共有A5
5
A2
2 A2
2=30(种)排法，
其中，2 个1 不相邻的排法有
A3
3
A2
2·C 4
2=18(种)，
故所求概率为18
30=3
5.
题型三 概率与统计的综合问题
例5 (2024·绵阳模拟)为了验证甲、乙两种药物对治疗某种疾病的效果，某科研单位用两种药物对患有
该疾病的患者进行临床药物实验.随机抽取患有该疾病的患者200 人，其中100 人注射甲药物，另外100
人注射乙药物，实验完成后，得到如下统计表：
效果明显
效果不明显
合计
甲药物
76
24
100
乙药物
84
16
100
合计
160
40
200
(1)分别估计注射甲、乙两种药物的治疗效果明显的概率；
(2)根据小概率值α=0.1 的独立性检验，分析甲、乙两种药物对治疗该种疾病的效果是否有差异；
(3)从样本中对甲、乙两种药物治疗效果不明显的患者采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽出5 人，
然后从5 人中随机抽取2 人做进一步药物实验，求这两人中至少有一人是注射甲药物的概率.
参考公式：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，其中n=a+b+c+d.
临界值表：
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
解 (1)由题意可知，注射甲药物的患者共100 人，治疗效果明显的有76 人，
故注射甲药物治疗效果明显的概率为P1= 76
100=19
25，
注射乙药物的患者共100 人，治疗效果明显的有84 人，
故注射乙药物治疗效果明显的概率为P2= 84
100=21
25.
(2)零假设为H0：甲、乙两种药物对治疗该种疾病的效果没有差异，由表中的数据可知，χ2=
200×(76×16-24×84)
2
100×100×160×40
=2<2.706=x0.1，
根据小概率值α=0.1 的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，所以可以认为甲、乙两种药物对治疗该
种疾病的效果没有差异.
(3)因为甲、乙两种药物治疗效果不明显的患者分别有24 人、16 人，
所以从样本中对甲、乙两种药物治疗效果不明显的患者中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽出5 名
患者，
应从甲、乙两种药物治疗效果不明显的患者中分别抽取3 人、2 人，
从5 人中随机抽取2 人做进一步药物实验，两人中至少有一人是注射甲药物的概率为P=
C3
1C2
1
C5
2 +
C3
2C2
0
C5
2 = 9
10.
思维升华 求解概率的综合问题时，一要注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型，二要根据
公式准确计算.
跟踪训练3 某校为增强学生国防意识，组织了一次国防知识竞赛活动，为了解本次竞赛活动的成绩，
随机抽取了1 000 名学生并统计其成绩(单位：分，满分200 分)，按照[120，130)，[130，140)，[140，
150)，[150，160)，[160，170)，[170，180)，[180，190)，[190，200]分成8 组，制成如图所示的频率
分布直方图.
(1)求a 的值，并求这1 000 名学生中成绩在[120，170)的学生人数；
(2)若按照按比例分配的分层随机抽样的方法从竞赛成绩在[170，180)和[180，190)内的学生中随机抽取
9 名，再从这9 名学生中随机抽取3 名参加讲座，求这3 名学生来自不同组的概率.
解 (1)依题意，(0.005+0.01+a+0.025+a+0.01+0.005+0.005)×10=1，
解得a=0.02，
所以成绩在[120，170)的频率为0.05+0.1+0.2+0.25+0.2=0.8，
所以这1 000 名学生中成绩在[120，170)内的学生人数为1 000×0.8=800.
(2)因为0.01∶0.005=2∶1，所以按照按比例分配的分层随机抽样的方法从成绩在[170，180)和[180，190)内
的学生中随机抽取9 名，
则需从成绩在[170，180)和[180，190)内的学生中分别抽取6 名和3 名，
设事件M 为“从这9 名学生中随机抽取3 名参加讲座，这3 名学生来自不同组”，则P(M)=
C6
3+C3
3
C9
3
=21
84 =
1
4 ，所以P(M)=1-1
4 =3
4 ，
所以从这9 名学生中随机抽取3 名参加讲座，这3 名学生来自不同组的概率为3
4 .
课时精练
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.从5 个男生、2 个女生中任意选派3 人，则下列事件中是必然事件的是( )
A.3 个都是男生
B.至少有1 个男生
C.3 个都是女生
D.至少有1 个女生
答案 B
解析 从5 个男生、2 个女生中任意选派3 人，由于女生只有2 名，故至少有1 个男生是必然事件.
2.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2 025 次，那么第2 024 次出现正面朝上的概率是( )
A.
1
2 024
B.
1
2 025
C.2 024
2 025
D.1
2
答案 D
解析 由概率的性质得，无论试验多少次，概率始终不变，故第2 024 次出现正面朝上的概率是1
2.
3.若P(A∩B)=1
9，P(A)=2
3，P(B)=1
3，则下列结论不正确的是( )
A.事件A 与事件B 不互斥
B.事件A 与事件B 不对立
C.P(AB)=P(A)P(B)
D.P(A∪B)=2
3
答案 D
解析 ∵P(A∩B)=1
9，∴A 与B 能同时发生，∴事件A 与事件B 不互斥、不对立，故A，B 正确；
∵P(A)=2
3，∴P(A)=1
3，又∵P(B)=1
3，∴P(A)P(B)=1
9=P(AB)，故C 正确；
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=1
3+1
3-1
9=5
9，故D 不正确.
4.根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同
样长短和粗细的小棍子(用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如
图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0 的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹
一样多的概率为( )
A.1
9
B.11
81
C.17
81
D.2
9
答案 C
解析 用算筹随机摆出一个不含数字0 的两位数，个位用纵式，十位用横式，
共可以摆出9×9=81(个)两位数，其中个位和十位上的算筹个数都为1 的有1×1=1(个)，
个位和十位上的算筹个数都为2 的两位数有2×2=4(个)，
个位和十位上的算筹个数都为3 的两位数有2×2=4(个)，
个位和十位上的算筹个数都为4 的两位数有2×2=4(个)，
个位和十位上的算筹个数都为5 的两位数有2×2=4(个)，
共有4×4+1=17(个)，
所以个位和十位上的算筹一样多的概率为17
81.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.(2025·哈尔滨模拟)一个袋子中有4 个红球，6 个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2 个球.事件
A=“两次取到的球颜色相同”，事件B=“第二次取到红球”，事件C=“第一次取到红球”.下列说法正确
的是( )
A.A⊆B
B.事件B 与事件C 是互斥事件
C.P(AB)= 2
15
D.P(B+C)=2
3
答案 CD
解析 由题意可得，事件A 包含的取球颜色为{(红，红)，(绿，绿)}，事件B 包含的取球颜色为{(红，红)，
(绿，红)}，事件C 包含的取球颜色为{(红，红)，(红，绿)}，则A 不包含于B，选项A 错误；
B∩C≠∅，选项B 错误；
事件AB 包含的取球颜色为{(红，红)}，P(AB)=
C4
2
C10
2 = 2
15，选项C 正确；
事件B+C 包含的取球颜色为{(红，红)，(绿，红)，(红，绿)}，P(B+C)=4×3+6×4×2
10×9
=2
3，选项D 正确.
6.某冷饮店为了保证顾客能买到当天制作的双皮奶，同时尽量减少滞销，统计了30 天的销售情况，得到如
下数据：
日销售量/杯
[25，35)
[35，45)
[45，55)
[55，65)
[65，75]
天数
4
6
9
5
6
以样本估计总体，用频率代替概率，则下列结论正确的是( )
A.估计平均每天销售50 杯双皮奶(同一组区间以中点值为代表)
B.若当天准备55 杯双皮奶，则售罄的概率为11
30
C.若当天准备45 杯双皮奶，则卖不完的概率为1
3
D.这30 天双皮奶日销售量的80%分位数是65 杯
答案 BCD
解析 平均每天双皮奶的销售量为
30×4+ 40×6+50×9+60×5+70×6
30
=51(杯)，
A 错误；
日销售量不小于55 杯的概率为5+6
30 =11
30，B 正确；
日销售量小于45 杯的概率为4 +6
30 =1
3，C 正确；
1- 6
30=0.8，因此这30 天双皮奶日销售量的80%分位数是65 杯，D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9 个红球，3 个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，
记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球
个.
答案 8
解析 因为通过大量重复的摸球试验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，所以摸到绿球的概率为0.4，设
不透明的袋中有x 个绿球，因为袋中还有9 个红球，3 个白球，所以
x
9+3+ x =0.4，解得x=8.
8.通过手机验证码注册某APP 时，收到的验证码由四个数字a1a2a3a4(其中ai∈{0，1，2，…，9}，i=1，2，
3，4)随机组成，如果验证码a1a2a3a4满足a1<a2<a3<a4，则称该验证码为递增型验证码.某人收到一个验证码，
则它是首位为2 的递增型验证码的概率为 .
答案
7
2 000
解析 由题意设该验证码为a1a2a3a4，则a1=2，2<a2<a3<a4，∴a2，a3，a4从3，4，5，6，7，8，9 中选，
选出3 个数，让其按照从小到大的顺序排列有
C7
3=35(种)排法，
又四位验证码共有10×10×10×10=10 000(种)排法，
∴它是首位为2 的递增型验证码的概率为
35
10 000=
7
2 000.
四、解答题(共28 分)
9.(13 分)某市A，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3 名男生、2 名女生，B 中学推荐了3 名
男生、4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽
取3 人，女生中随机抽取3 人组成代表队.
(1)求A 中学至少有1 名学生入选代表队的概率；(6 分)
(2)某场比赛前，从代表队的6 名队员中随机抽取4 人参赛，求参赛女生不少于2 人的概率.(7 分)
解 (1)由题意，参加集训的男生、女生各有6 名.
参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为
C3
3C4
3
C6
3C6
3= 1
100，
故A 中学至少有1 名学生入选代表队的概率为1- 1
100= 99
100.
(2)设“参赛的4 人中女生不少于2 人”为事件C，“参赛女生有2 人”为事件D，“参赛女生有3 人”为
事件E.
则P(D)=
C3
2C3
2
C6
4 =3
5，P(E)=
C3
3C3
1
C6
4 =1
5.
由互斥事件的概率加法公式，得
P(C)=P(D)+P(E)=3
5+1
5=4
5 ，
故所求事件的概率为4
5 .
10.(15 分)某保险公司为了给年龄在20~70 岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保
险，现从10 000 名参保人员中随机抽取100 名进行分析，这100 个样本按年龄段[20，30)，[30，40)，
[40，50)，[50，60)，[60，70]分成了五组，其频率分布直方图如图所示；每人每年所交纳的保费与参保年
龄如表格所示(保费：元).据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元.
年龄
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70]
保费
x
2x
3x
4x
5x
(1)用样本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费x 至少为多少元？(精确到整数)(6 分)
(2)经调查，年龄在[30，50)之间的中年人对该疾病的防范意识还比较弱，为加强宣传，采用按比例分配的
分层随机抽样的方法从年龄在[30，40)和[40，50)的人中选取6 人进行教育宣讲，再从选取的6 人中随机选
取2 人，被选中的2 人免一年的保费.在保费x 取到(1)中求得的最小值的条件下，求被免去的保费不低于
150 元的概率.(9 分)
解 (1)由10(0.007+0.016+a+0.025+0.020)=1 得a+0.068=0.1，故a=0.032.
由条件知，该公司的收入不小于支出，即10
000×10(0.007x+0.016×2x+0.032×3x+0.025×4x+0.020×5x)≥1 000 000，
从而0.007x+0.032x+0.096x+0.1x+0.1x≥10，即0.335x≥10.
从而x 至少为10
0.335≈30(元).
(2)由于0.016∶0.032=1∶2=2∶4，故采用按比例分配的分层随机抽样的方法从年龄在[30，40)和[40，50)的
人中选取6 人时，
年龄在[30，40)和[40，50)中的选取人数分别为2 和4.
而年龄在[30，40)和[40，50)的人需要交的保费分别为60 元和90 元，
故从选取的6 人中随机选取2 人后，被免去的保费不低于150 元，即选出的2 人的年龄都在[40，50)内，或
年龄在[30，40)和[40，50)内的各1 人，
所以所求概率P=
C4
2+C2
1C4
1
C6
2
=6+8
15 =14
15.
每小题5 分，共10 分
11.(2024·武汉模拟)在一次试验中，随机事件A 发生的概率为4
5 ，随机事件B 发生的概率为2
3，则事件A，B
同时发生的概率的取值范围是( )
A.[
8
15 ，2
3]
B.[
7
15 ，4
5]
C.[
7
15 ，2
3]
D.[
2
3 ，4
5]
答案 C
解析 依题意，P(A)=4
5 ，P(B)=2
3，由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤1，
得P(AB)≥P(A)+P(B)-1=4
5 +2
3-1= 7
15，又P(A)>P(B)，
则当B⊆A 时，P(AB)=P(B)=2
3，所以事件A，B 同时发生的概率的取值范围是[
7
15 ，2
3].
12.(2025·泉州模拟)如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1 到8.将该八面体连续抛掷三
次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为 .
答案 1
16
解析 由题意可知所有可能情况共有83种，按顺序记录的三个数恰好构成等差数列，
可以按照公差为-3，-2，-1，0，1，2，3 分类，其中公差为-3，-2，-1 和3，2，1 的情况对应相等.
公差为0 的有(1，1，1)，(2，2，2)，…，(8，8，8)，共8 种情况；
公差为1 的有(1，2，3)，(2，3，4)，…，(6，7，8)，共6 种情况，同公差为-1 的；
公差为2 的有(1，3，5)，(2，4，6)，(3，5，7)，(4，6，8)，共4 种情况，同公差为-2 的；
公差为3 的有(1，4，7)，(2，5，8)，共2 种情况，同公差为-3 的.
所以三个数恰好构成等差数列的概率P=8+6×2+ 4×2+2×2
8×8×8
= 32
512= 1
16.
