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专题03 三次函数的图像与性质
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题型01 三次函数的零点......................................................................1
题型02 三次函数的极值、极值点..............................................................2
题型03 三次函数的切线......................................................................4
题型04 三次函数的对称性....................................................................5
题型01 三次函数的零点
【解题规律·提分快招】
一、三次函数概念
定义：形如f (x)=a x
3+b x
2+cx +d (a≠0)叫做三次函数
f
' (x)=3a x
2+2bx +c，把Δ= 4 b
2−12ac叫做三次函数导函数的判别式
当Δ>0时，令f
' (x)=0，记两根为x1= −b−√b
2−3ac
3a
，x2= −b+√b
2−3ac
3a
二、三次函数的零点个数
若三次函数f (x)=a x
3+b x
2+cx +d (a≠0)存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下：
性质
三次函数图像
说明
a＞0
a＜0
零
点
个
数
三
个
b
2−3ac>0
f (x1)⋅f (x2)<0
两个极值异与
图像与x轴有三个交点
两
个
b
2−3ac>0
f (x1)⋅f (x2)=0
有一个极值为0
图像与x轴有两个交点
存在极值时
1
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一
个
b
2−3ac>0
f (x1)⋅f (x2)>0
不存在极值时，
函数单调，与x轴有一个交点
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·辽宁·期中）已知函数
的三个零点分别为，
，
，
若函数满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
2．（24-25 高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数
，则（ ）
A．
B．若
，则
的极大值点为
C．若
至少有两个零点，则
D．
在区间
上单调递增
3．（24-25 高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知三次函数
有三个不同的零点
，函数
也有三个零点
，则（ ）
A．
B．若
成等差数列，则
C．
D．
三、填空题
4．（24-25 高三上·广东·阶段练习）已知
若函数
有两个零点，则
的取值范围为
5．（0 分）（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知函数
，若方程
有且
仅有两不等实根，则实数
的取值范围是 .
2
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题型02 三次函数的极值、极值点
【解题规律·提分快招】
一、三次函数的图像及单调性
注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！
系数关系式
f (x)的图像
f
' (x)的图像
f (x)的性质
{
a>0
¿ Δ≤0 ⇒{
a>0
¿b
2≤3ac
f
' (x)≥0恒成立
f (x)在R上递增
f (x)无极值点
{
a<0
¿ Δ≤0 ⇒{
a<0
¿b
2≤3ac
f
' (x)≤0恒成立
f (x)在R上递减
f (x)无极值
{
a>0
¿ Δ>0 ⇒{
a>0
¿b
2>3ac
增区间
(−∞，x1)，(x2，+ ∞)
减区间(x1，x2)
f (x)有两个极值点
极大值f (x1)，极小值f (x2)
{
a<0
¿ Δ>0 ⇒{
a<0
¿b
2>3ac
增区间(x1，x2)
减区间
(−∞，x1)，(x2，+ ∞)
f (x)有两个极值点
极大值f (x2)，极小值f (x1)
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·四川泸州·一模）已知函数
在
处取得极大值，则
的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（24-25 高三上·吉林长春·阶段练习）若
是函数
的极小值点，
则
的极大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3
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3．（24-25 高三上·辽宁·阶段练习）已知函数
，
是
的导函数，
则下列说法错误的是（ ）
A．“
”是“
为奇函数”的充要条件
B．“
”是“
为增函数”的充要条件
C．若不等式
的解集为
且
，则
的极小值为
D．若
、
是方程
的两个不同的根，且
，则
或
二、多选题
4．（24-25 高三上·江西南昌·阶段练习）已知函数
，2 为
的极大值点，则
下列结论正确的有（ ）
A．
B．若4 为函数
的极小值点，则
C．若
在
内有最小值，则
的取值范围是
D．若
有三个互不相等的实数解，则
的取值范围是
5．（24-25 高三上·江苏·阶段练习）已知三次函数
，则（ ）
A．函数
一定有两个极值点
B．当
时，
C．当
时，
的极小值为0
D．
在区间
上的值域为
三、填空题
6．（0 分）（24-25 高三上·四川攀枝花·阶段练习）已知函数
两个极值点分别为
椭圆与双曲线的离心率，则实数
的取值范围是 .
题型03 三次函数的切线
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24 高三上·广东汕头·阶段练习）若过点
可作曲线
三条切线，则（ ）
A．
B．
C．
或
D．
二、多选题
4
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2．（24-25 高三上·河北张家口·开学考试）已知函数
，则（ ）
A．
时，
是
的极大值点
B．若
存在三个零点，则
C．当
时，过点
可以作
的切线，有且只有一条
D．存在
，使得
3．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）已知函数
，则（ ）
A．
时，若
有3 个零点，则实数
的取值范围是
B．
时，过
可作函数
的切线有两条
C．若直线与曲线
有3 个不同的交点
，
，
，且
，则
D．若
存在极值点
，且
，其中
，则
4．（24-25 高三上·浙江·开学考试）三次函数
叙述正确的是（ ）
A．函数
可能只有一个极值点
B．当
时，函数
的图象关于点
中心对称
C．当
时，过点
的切线可能有一条或者两条
D．当
时，在点
处的切线与函数
的图象有且仅有两个交点
三、填空题
5．（23-24 高三上·四川内江·期末）已知函数
，若过点
可作曲线
的
三条切线，则的取值范围是 ．
题型04 三次函数的对称性
【解题规律·提分快招】
一、三次函数的韦达定理
设f (x)=a x
3+b x
2+cx +d (a≠0)的三个零点分别为x1，x2，x3，则
5
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(1)x1+ x2+ x3=−b
a
(2)x1 x2+ x2 x3+ x3 x1= c
a
(3)x1 x2 x3=−d
a
(4) 1
x1
+ 1
x2
+ 1
x3
=−c
d
二、三次函数的对称性
结论1 三次函数f (x)=a x
3+b x
2+cx +d (a≠0)的图象关于点(−b
3a ，f(−b
3a))中心对称
结论2 已知三次函数f (x)=a x
3+b x
2+cx +d (a≠0)中心对称点的横坐标为x0，两个极值点分别为x1，x2
，则
f (x1)−f (x2)
x1−x2
= 2
3 f
'(x0)=−a
2 (x1−x2)
2
结论3 若y = f (x)图像关于点(m，n)对称，则y = f
' (x)图像关于轴x =m对称
点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数
【典例训练】
一、多选题
1．（2024 高三·全国·专题练习）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
有两个极值点
B．
有三个零点
C．点
是曲线
的对称中心
D．直线
是曲线
的切线
2．（24-25 高三上·辽宁丹东·期中）设函数
，则（ ）
A．
有三个零点
B．
是
的极小值点
C．
的图象关于点
对称
D．当
时，
3．（24-25 高三上·陕西汉中·阶段练习）设
，函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．当
时，函数
为增函数
B．点
为函数
图象的对称中心
C．存在a，使得函数
有且仅有一个极值点
D．函数
至少有一个零点
4．（24-25 高三上·广西南宁·阶段练习）函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，函数
只有一个零点
B．若函数
的对称中心为
，则
6
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C．若函数
在
上为减函数，则
D．当
时，设
的三个零点分别为
，
，曲线
在点
，
，
处的切
线斜率分别记为
，
，
，则
二、解答题
5．（24-25 高三上·辽宁·阶段练习）设函数
，其中
是常数．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
是函数
的极值点，证明：函数
的图象关于点
成中心对称．
一、单选题
1．（24-25 高三上·福建龙岩·期中）已知函数
，若对任意
，
都有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·四川·期中）已知实数a 满足
，则函数
的零点个数为
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．（24-25 高三上·湖南·阶段练习）已知函数
，若
的图象上存在两点
，
，使
得
的图象在
，
处的切线互相垂直，且过点
只能作1 条切线与
的图象相切，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数y = f (x)的导函数为y = g(x)，且
，则
（ ）
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A．点
是曲线y = g(x)的对称中心
B．函数
有三个零点
C．函数
只有一个极值点
D．当
时，
5．（24-25 高三上·湖南·阶段练习）已知函数
，则（ ）
A．
的值域为
B．
图象的对称中心为
C．当
时，
在区间
内单调递减
D．当
时，
有两个极值点
6．（24-25 高三上·广西·期中）已知函数
，则（ ）
A．若
，则
有三个零点
B．若
，则函数
存在
个极值点
C．
在
单调递减，则
D．若
在
恒成立，则
7．（24-25 高三上·江西·阶段练习）已知函数
，下列结论正确的是（ ）
A．若
是
的极小值点，则
在
上单调递减
B．若
是
的极大值点，则
且
C．若
，且
的极小值大于0，则
的取值范围为
D．若
，且
在
上的值域为
，则
的取值范围为
8．（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数
，其中实数
，
则下列结论正确的是（ ）
A．
在
上单调递增
B．当
有且仅有3 个零点时，
的取值范围是
C．若直线与曲线
有3 个不同的交点
，且
，则
D．当
时，过点
可以作曲线
的3 条切线
9．（24-25 高三上·江西·阶段练习）若存在实数b 使得方程
有四个不等的实根，则mn
的值可能为（ ）
A．
B．2025
C．0
D．
10．（24-25 高三上·江西赣州·阶段练习）若函数
有三个零点
，则下列说法
中正确的是（ ）
8
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A．
B．
C．若
成等差数列，则
D．若
成等比数列，则
三、解答题
11．（24-25 高三上·山东济宁·阶段练习）已知函数
.
(1)试确定函数
的极大值与1 的大小关系，并说明理由；
(2)若函数
有3 个零点，求实数
的取值范围.
9
