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新背景为导向的压轴题
1.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，
已知甲、乙第一轮猜对的概率都为.甲如果第k(k∈N*)轮猜对，则他第k＋1 轮也
猜对的概率为，如果第k 轮猜错，则他第k＋1 轮也猜错的概率为；乙如果第k
轮猜对，则他第k＋1 轮也猜对的概率为，如果第k 轮猜错，则他第k＋1 轮也猜
错的概率为.在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响.
(1)若前两轮活动中第二轮甲、乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概
率.
(2)若一条信息有n(n>1，n∈N*)种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的
概率分别为P1，P2，…Pn，则称H＝－∑(Pilog2Pi)为该条信息的信息熵(单位为比
特)，用于量度该条信息的复杂程度.试求甲、乙两人在第二轮活动中猜对成语的
个数X 的信息熵H.
(3)如果“星队”在每一轮活动中至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下
去，直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了Y 轮游戏，求证：
E(Y)<4.
(1)解 设Aj＝“甲在第j 轮活动中猜对成语”，Bj＝“乙在第j 轮活动中猜对成
语”，Cj＝“甲、乙在第j 轮活动中都猜对成语”，其中j＝1，2，…，n，
n∈N*.
则P(C2)＝P(A1A2)P(B1B2)＋P(A1A2)P(B1B2)＋P(A1A2)P(B1B2)＋P(A1A2)P(B1B2)
＝×××＋×××＋×××＋×××＝，
P(C1C2)＝P(A1A2)P(B1B2)＝×××＝，
故P(C1|C2)＝＝＝.
(2)解 由题意知X＝0，1，2，由(1)知P(X＝2)＝.
P(X＝0)＝P(A1A2)P(B1B2)＋P(A1A2)P(B1B2)＋P(A1A2)P(B1B2)＋P(A1A2)P(B1B2)
＝×××＋×××＋×××＋×××＝，
P(X＝1)＝1－－＝.
故X 的信息熵H＝－＝.
(3)证明 第二轮甲猜对的概率为P(A2)＝P(A1A2)＋P(A1A2)＝×＋×＝，
第二轮乙猜对的概率为P(B2)＝P(B1B2)＋P(B1B2)＝×＋×＝，
所以P(Aj)＝，P(Bj)＝，其中j＝1，2，…，n，n∈N*，则每一轮甲、乙都猜错的
概率为×＝，
因此P(Y＝j)＝×(j＝1，2，…，n，n∈N*)，
则E(Y)＝1××＋2××＋…＋n××，①
所以E(Y)＝1××＋2××＋…＋n××，②
①－②得，E(Y)＝＋×＋×＋…＋×－n××
＝×－×＝1－－×<1，所以E(Y)<4.
2.(2024·葫芦岛模拟)大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海
量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合
适的算法就会起到事半功倍的效果.现有一个“数据漏斗”软件，其功能为：通
过操作L(M，N)删去一个无穷非减正整数数列中除以M 余数为N 的项，并将剩
下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列.
设数列{an}的通项公式an＝3n－1，n∈N＋，通过“数据漏斗”软件对数列{an}进行
L(3，1)操作后得到{bn}，设{an＋bn}前n 项和为Sn.
(1)求Sn；
(2)是否存在不同的实数p，q，r∈N＋，使得Sp，Sq，Sr成等差数列？若存在，求
出所有的(p，q，r)；若不存在，说明理由；
(3)若en＝，n∈N＋，对数列{en}进行L(3，0)操作得到{kn}，将数列{kn}中下标除
以4 余数为0，1 的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到{pn}，再将{pn}的每
一项都加上自身项数，最终得到{cn}，证明：每个大于1 的奇平方数都是{cn}中
相邻两项的和.
(1)解 由an＝3n－1，n∈N＋知，
当n＝1 时，a1＝1；
当n≥2 时，∈N＋，故bn＝3n，n∈N＋，
则Sn＝4∑3n－1＝4×＝2(3n－1)，n∈N＋.
(2)解 假设存在，由Sn单调递增，不妨设p<q<r，2Sq＝Sp＋Sr，p，q，r∈N＋，
化简得3p－q＋3r－q＝2，
∵p－q<0，∴0<3p－q<1，
∴1<3r－q<2，0<r－q<log3 2<1，
与“q<r，且q，r∈N＋”矛盾，故不存在.
(3)证明 由题意，en＝＝＝n，
则e3n＝3n，e3n－2＝3n－2，e3n－1＝3n－1，
所以保留e3n－2，e3n－1，
则k2n－1＝3n－2，k2n＝3n－1，n∈N＋，
又k4n＋1＝6n＋1，k4n＋2＝6n＋2，k4n＋3＝6n＋4，k4n＋4＝6n＋5，n∈N＋，
将k4n，k4n＋1删去，得到{pn}，则p2n＋1＝6n＋2，p2n＋2＝6n＋4，c2n＋1＝(6n＋2)＋
(2n＋1)＝8n＋3，c2n＋2＝(6n＋4)＋(2n＋2)＝8n＋6，n∈N＋，
即c2n－1＝8n－5，c2n＝8n－2，n∈N＋，
即cn＝k∈N＋，
记rk＝，
下面证明(2k＋1)2＝crk＋crk－1，
由r4m＝8m2＋2m，r4m＋1＝8m2＋6m＋1，r4m＋2＝8m2＋10m＋3，r4m＋3＝8m2＋14m
＋6，
k＝4m 时，r4m＝8m2＋2m，r4m＋1＝8m2＋2m＋1，
cr4m＋cr4m＋1＝[4(8m2＋2m)－2]＋[4(8m2＋2m＋1)－1]
＝64m2＋16m＋1＝(2×4m＋1)2；
k＝4m＋1 时，r4m＋1＝8m2＋6m＋1，
r4m＋1＋1＝8m2＋6m＋2，
cr4m＋1＋cr4m+1＋1＝[4(8m2＋6m＋1)－1]＋[4(8m2＋6m＋2)－2]
＝64m2＋48m＋9＝[2(4m＋1)＋1]2；
k＝4m＋2 时，r4m＋2＝8m2＋10m＋3，r4m＋2＋1＝8m2＋10m＋4，
cr4m＋2＋cr4m+2＋1＝[4(8m2＋10m＋3)－1]＋[4(8m2＋10m＋4)－2]
＝64m2＋80m＋25＝[2(4m＋2)＋1]2；
k＝4m＋3 时，r4m＋3＝8m2＋14m＋6，r4m＋3＋1＝8m2＋14m＋7，
cr4m＋3＋cr4m+3＋1＝[4(8m2＋14m＋6)－2]＋[4(8m2＋14m＋7)－1]
＝64m2＋112m＋49＝[2(4m＋3)＋1]2，
综上，对任意的k∈N＋，都有 (2k＋1)2＝crk＋crk＋1，原命题得证.
