文档文本内容
三 正比例和反比例
比例的意义和基本性质
教学内容：比例的意义和基本性质
教学目标：
1．理解比例的意义，认识比例各部分的名称。
2．让学生经历探讨“两内项之积等于两外项之积”的过程，使之更
好理解并掌握比例的基本性质。并能运用比例的意义和比例的基本
性质，判断两个比能否组成比例，会组比例。
3．培养学生自主参与的意识、主动探究的精神；培养学生进行初步
的观察、分析、比较、判断、概括的能力，发展学生思维。
教学重点：
1、掌握理解比例的意义和基本性质。
2、应用比例的意义和基本性质判断两个比能否组成比例，并能正确
地组成比例。
教学过程：
一、
复习
（1） 什么叫比？怎样表示比？
一辆汽车1 小时行60 千米，2 小时行120 千米，3 小时行180
千米，分别说出所行路程与所用时间的比，这些比能说明什么？
（2）怎样求比值
求下面各比的比值，你发现了什么？
20∶25 2.7∶4.5 6∶10
二、探究新知
1．提出问题 这节课我们在比的知识基础上，进一步学习新知识。
揭示课题——比例的意义和基本性质。板书：比例的意义和基本性
质
2．探究比例的意义 课件出示例1：两组同学同时在操场探讨竹竿
长与影子长之间的规律。 列表如下： （表见书上）
你能写出多少个有意义的比？并求出它们的比值。
组织学生讨论，然后写出比，完成后板书出几个学生的作业进行展
示。
观察这些比，把能用等号连接的比用等号连接起来。
教师板书：3∶2＝9∶6 2∶6＝3∶9 强调：这些都是比例。引导
学生用自己的语言说一说什么是比例。
3.板书：比例的意义）比例就表示两个比的比值相等。
2∶9 和3∶6 能组成比例吗？你是怎么知道的？ 指导学生说出“判
断两个比能不能组成比例，要看他们的比值是否相等。”
4、组织并指导学生完成书上第50 页的课堂活动。
5．认识比例的各部分 课件出示：在一个比例中两端的两项叫外项，
中间的两项叫内项。
依据定义，分别找出3∶2＝9∶6 和2：6＝3：9 的内项和外项。
6．教学比例的基本性质
A、前面我们已经探究发现了比例的一个秘密，就是组成比例的两
个比的比值相等。比例还有一个秘密，现在我们一起去寻找吧。 说
出比例3：2=9：6 种的内项、外项，并把两个内项和两个外项分别
相乘，，看一看他们的积有什么特点？
B、教学例2
课件出示例2 内容，引导学生按要求完成。 然后让自己试一试：任
意写一些比例，把它们的内项和外项分别乘起来，你能发现什么？
是不是每个比例都有这个规律？多找几个比例试一试，如果把这个
比例写成分数形式，它是不是也有这样的规律呢？用你自己的语言
归纳这个规律。
板书：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积，这就是比例的
基本性质。
7．运用比例的基本性质判断两个比是否能组成比例 用比例的基本
性质，也可以判断两个比能不能组成比例。请同学们用比例的基本
性质判断一下，4∶25 能否和12∶75 组成比例？为什么？
三、巩固提高
（1）在6∶5＝30∶25 这个比例中，外项是（ ）和（ ），内
项是（ ）和（ ）。根据比例的基本性质可以写成（ ）×（
）＝（ ）×（ ）。
（2）用下面的四个数组成比例：2，3，4 和6 （能组几个就组几
个）。 用2、3、4、6 这四个数写成一个乘法算式，根据这个算式，
你能否写出几个不同的比例？
（3）下面的四个数可以组成比例吗？若不能，改变其中的任何一个
数，使其能组成比例。2、3、4、5 试试看，相信你一定能完成，完
成后能发现什么特点?
课堂小结：比与比例的区别
表示
意义
意义应
用
性质
性质应用
比
a:b=c
比就表示
两个数相
除，它们
的商叫比
值
应用比的
意义可以
求比值
比的前项
和后项分
别扩大或
缩小相同
的倍数（
（
0
除
外）比值
不变
利用比的
性质可以
化简比
比例
a:b=c：d
表示两个
比的比相
等式子，
应用比例
的意义可
以判断两
比例的内
项积于外
项积相等
利用比例
的性质可
以解比例
叫做比例
个比是否
可以组成
比例
板书设计： 比例的意义和性质
比：比就表示两个数相除。
比例: 3∶2＝9∶6 2∶6＝3∶9
比例的意义: 表示两个比的比相等式子，叫做比例
在比例里，两个内项的积等于两个外项的积，这就是比例的基本性质。
解比例
教学内容：
教科书第41 页例3，教材的41 页课堂活动第2 题及教材第42 页练习十一第3～6
题。
教学提示：
例3 的内容是解比例。教学时一是引导学生观察分析比例式找出比例中有一个项是未
知项的特点，二是明确求得未知数的值就是解比例；三是让学生根据比例的基本性质自主
解比例，并交流方法。
练习十一第3 题中的第（4）题是对比例基本性质的逆向应用，练习时可引导学生根据
比例的基本性质思考。第5 题，写比例式时注意，x 既可能是比例的内项，也可能是外项，
因此所写出的比例式不只一个，在教学时要注意引导。
教学目标：
1.理解什么叫解比例，掌握解比例的方法，会解比例；能够应用解比例知识，解决生
活中的数学问题，培养学生综合运用知识的能力。
2.通过思考、讨论、交流等方式探究解比例的方法，在具体情境中学会运用解比例解
决实际问题。
3.经历探究解比例的方法的过程，培养学生合作学习习惯；感悟数学知识的魅力，感
受数学就在我们身边；体验成功，增强学好数学信心。
重点难点：
教学重点：学会解比例，掌握解比例的方法。
教学难点：解比例的方法的探究过程。
教学准备:
教具准备：多媒体课件
学具准备：资料卡
教学过程：
（一）新课导入
1.复习准备
（1）什么叫比例?什么叫做比例的基本性质?
（2）用比例的基本性质判断下面哪一组中的两个比可以组成比例?
3：4 和0.6∶0.8 10∶2 和0.1∶0.02
学生独立完成后，抽取个别学生的答案在讲台上展示。
（3）填空。
2.4∶8＝4.8∶16 →（ ）×（ ）＝（ ）×（ ）
2.导入新课
问题：谁能很快说出下面比例中缺少的项各是几？（学生试说）
7∶21＝8∶（ ） 1.25∶（ ）＝2.5∶8
在一个比例式中，共有四项，如果已知其中的任何三项，要能很快求出这个比例中的
另外一个未知项，就要用我们今天学的知识——解比例。
【设计意图：通过复习上节课所学知识，温故知新，为本节课做铺垫。紧接着设置问
题，提出质疑，目的是创设情境，激发学习兴趣，引发学生的数学思考，引入新课。】
（二）探究新知
1．教学例3
像这样知道比例中的任意三项，求另外一个未知项叫做解比例。同学们能用以前学过
的知识求出
∶
＝x∶
中x 的值吗？
引导学生先独立思考，再组织学生合作交流。交流中既要听取学生的意见，又要注意
引导学生从多角度思考解决问题的方法。例如，把比看做除法，那么
∶
＝x∶
就可以
转化成
÷
＝x÷
，学生就可以运用原来学习解方程的有关知识来解；也可以应用比例
的基本性质，把
∶
＝x∶
转化成12x＝34×49 来解。
小组合作探究，小组内相互交流。
小组汇报。
教师给予肯定性评价：同学们真棒，想出了这么多解决问题的方法。下面请一个同学
回答，你把
∶
＝x∶
转化成12x＝34×49 来解，根据是什么？
（预设：根据比例的基本性质。）
【设计意图：探索解比例的方法，培养学生自主探究与讨论交流能力，把学生推到思维
的前沿，让学生自探数学知识，自获数学结论，自由发表见解，自觉积累数学活动经验、
建构新的认知结构，发展学生的数学探究能力，养成良好的学习习惯。】
2.巩固练习
你能根据比例的基本性质，把下面的比例改写成含有未知数的乘法等式来解吗？在黑
板上出示：
3∶4＝x∶2
∶
＝9∶x x∶8＝12∶32
学生解答，抽取几个学生的作业在讲台上展示，并集体订正。
【设计意图：学习完例3 之后，紧跟着进行一个巩固练习，使学生学到的知识能够得
到及时巩固，加深对知识的理解和掌握。】
3.教学“试一试”
出示
＝
提问：这个比例和前面几个比例有什么不同？（预设：这个比例是分数形式。）
指出它的内项和外项。像这样的分数形式的比例，同学们会用比例的基本性质来解吗？
想一想，怎样解？
学生讨论并解答，完成后，请学生说一说是怎样求出x 的值。
解分数形式的比例时要注意什么？
引导学生说出要注意用交叉法找出比例中的两个内项和两个外项。
教师指导学生进行验算，注意书写格式的规范性。
【设计意图：在学习完例3 的基础上进行试一试的教学，把解比例的问题从比号形式
推广到分数形式， 并引导学生说出要注意用交叉法找出比例中的两个内项和两个外项，使
所学知识更加全面，学生掌握知识更加全面牢固。】
（三）巩固新知
（1）学生独立完成练习十一的第3 题和第4 题。
（2）讨论完成练习十一的第5 题。
教师先引导学生做题，写比例式时注意，x 既可能是比例的内项，也可能是外项，因
此所写出的比例式不只一个，在教学时要注意引导。写比例时，我们要按照一定的顺序来
写才能写出所有的比例式，即不重复又不遗漏。
（四）达标反馈
解比例：
x:
=
答案：x=
x=
x=8
（五）课堂小结
什么叫解比例？用比例的基本性质解比例的一般方法是什么？
①根据比例的基本性质把比例改写成方程。
②根据以前学过的解方程的方法求解。
这节课你运用了哪些学习的方法？还有哪些问题？
【设计意图：通过学生总结本课所学知识内容，使学生对所学知识条理化、系统化；让
学生在交流中共享，在反思中提升。】
（六）布置作业
1.在一个比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是0.5，另一个内项是（ ）。
2.在比例3:12＝6:24 中，如果将第一个比的后项加6，第二个比的前项应（ ），
比例才能成立。
3.解比例。
0.4：1.2=x：
4.一种小麦，40 千克能磨面粉32 千克，照这样计算，7 吨小麦能磨面粉多少千克？
答案：1.2 2.减去2
3.x=
x=
x=2
4.x:7=32：40 x=5.6
板书设计
解比例
解比例：
∶
＝x∶
解：
x＝
×
解：6x=4×9
x＝
÷
x=36÷6
x＝
x=6
教学资料包
（一） 教学精彩片段
《解比例》教学片断
新知探究
1.出示
教师：你们能试一试解出x 的值吗？（同桌之间互相讨论完成）
全班交流：说一说自己的想法，教师板书解题过程。教师在板书
解题过程的时候强调：
首先解题之前要先写“解”，其次通常把含有未知数的一项写在等号的左边。
教师：上面的这题和解的方程有什么不一样？
学生很容易发现这是一个比例，教师就说出什么叫解比例？并板书课题。
教师：刚才我们是根据什么来解的比例呢？
学生：是根据比例的基本性质。
1.试一试。
解比例：
（1）
=
（2）
=
（学生独立完成，再汇报结果，最后全班交流）
【设计意图：探索解比例的方法，培养学生自主探究与讨论交流能力，让学生自探数学
知识，自获数学结论，建构新的认知结构，发展学生的数学探究能力。】
（二） 数学资源
1.填空题。
(1)在一个比例中，两个内项的积是最小的合数，一个外项是
，另一个外项是
（ ）。
(2)在一个比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是4.5，另一个内项是（ ）。
(3)在一个比例中，两个外项的积是最大的两位数，其中一个内项是33，另一个内项
是（ ）。
(4)在比例3：12＝4：16 中，如果将第一个比的前项加3，第二个比的后项应（
)比例才能成立。
（5）在比例里，两个外项的积与两个内项积的差是（ ）。
2.判断题。
（1）x：16＝7：6，求x 的值叫做解比例。（ ）
（2）在比例里，两个外项的积与两个内项积的差是0。（ ）
3.解比例。
25 : 7 =x : 35
:
=
: x
:x=
：
4.一列火车从甲地开往乙地，5 小时行了350 千米，照这样计算，共要行9 小时。甲乙
两地相距多少千米？
答案：
1.(1)8 (2)
(3)3 (4)减去8（5）0
2.（1）√ （2）√
3.x=125 x=
x=
4.x：9=350：5 x=630
正比例的意义
教学内容
教科书第43 页例1，第45 页课堂活动第1 题及练习十二1，2，3 题。
教学目标
1．使学生通过具体问题情境认识成正比例的量，理解其意义，并能判断两种量是否成
正比例关系，能找到生活中成正比例的实例，并进行交流。
2．通过探索正比例意义的教学活动，使学生感受事物中充满着运动、变化的思想，并
且特定的事物发展、变化是有规律的。
3．通过观察、交流、归纳、推断等教学活动，感受数学思维过程的合理性，培养学生
的观察能力、推理能力、归纳能力和灵活应用知识的能力。
教学重点
认识成正比例的量，理解其意义，并能判断两种量是否成正比例关系。理解正比例的
意义，感受事物中充满着运动、变化的思想，并且特定的事物发展、变化是有规律的。
教学准备
教具：小黑板小黑板。
学具：作业本，数学书。
教学过程
一、自主探索，学习新知
1．教学例1
用小黑板在刚才准备题的表格中增加几列数据，变成下表。
住户
张家
赵家
李家
周家
刘家
吴家
用水
量（吨）
6
8
14
10
9
7
水费
（元）
21
28
49
35
[来源:Z_xx_k.Com]
[来源:Z,xx,k.Com]
教师：请同学们观察这张表，先独立思考后再讨论、交流：从这张表中你发现了什么
规律？并根据这种规律帮助张阿姨把表格填写完整。
教师根据学生的回答将表格完善，并作必要的板书。
教师：同学们发现表格中的水费随着用水量的增加也在不断增加，像这样水费随着用
水量的变化而变化，我们就说水费和用水量是相互关联的。
板书：相关联
教师：你们还发现哪些规律？
学生在这里主要体会水费除以用水量得到的每吨水单价始终是不变的，教师可根据学
生的回答板书出来，便于其他学生观察：
水费用/水量＝21/6＝28/8＝35/10＝……＝2.5
教师：水费除以用水量得到的单价相等也可以说是水费与用水量的比值相等，也就是
一个固定的数。
板书：水费用水量＝每吨水单价（一定）
2．教学“试一试”
教师：我们再来研究一个问题。
小黑板出示第43 页下面的“试一试”。
学生先独立完成。
教师：你能用刚才我们研究例1 的方法，自己分析这个表格中的数据吗？
教师根据学生的回答归纳如下：
表中的路程和时间是相关联的量，路程随着时间的变化而变化。
时间扩大若干倍，路程也扩大相同的倍数；时间缩小若干倍，路程缩小相同的倍数。
[路程与时间的比值是一定的，速度是每时80km，它们之间的关系可以写成路程时间＝速度
（一定）
3．教学“议一议”
教师：我们研究了上面生活中的两个问题，谁能发现它们之间的共同点呢？
引导学生归纳出这两个问题中都有相关联的量，一种量扩大或缩小若干倍，另一种量
也随着扩大或缩小相同的倍数，所以它们的比值始终是一定的。
教师：像上面这样的两种量，叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。
4．教学课堂活动
教师：请大家说一说生活中还有哪些是成正比例的量。
二、教学小结
这节课你们学到了哪些知识？用了哪些学习方法？还有哪些不懂的问题？
正比例图像
教学内容[
教科书第44 页例2，第45 页课堂活动及练习十二第4 题。
教学目标
1．初步认识正比例关系的图像，能根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画出图
像，并会根据其中一个量在图像中找出或估计出另一个量的值。
2．通过探索正比例关系图像的教学活动，使学生感受事物中充满着运动、变化、相互
联系的思想。
3．渗透函数思想，使学生受到辩证唯物主义观念的启蒙教育。
教学重点
认识正比例关系的图像，能根据给出的有正比例关系的数据在有直角坐标系的方格纸
上画出图像，并会根据其中一个量在图像中找出或估计出另一个量的值。
在理解正比例函数图像的基础上会根据一个量在图像中找出或估计出另一个量的值。
教学准备
小黑板
教学过程
一、复习引入
（1）判断下面各题中的两种量是不是成正比例？为什么？
①《中国少年报》的单价一定，总价和订阅的数量。
②小明的跳高高度和他的身高。
③书的总页数一定，已经看的页数和未看的页数。
④水稻每公顷产量一定，水稻的公顷数和总产量。
（2）请你举出生活中还有哪些是成正比例的量。
（3）揭示课题。
教师：这些数量之间藏着不少的知识，昨天我们认识了成正比例的量，今天这节课我
们继续来研究这些数量间的一些规律和特征。
二、自主探索，学习新知
1．用小黑板出示例2
小麦质量
（kg）
…
100
200
300
400
…
面粉质量
（kg）
…
70
140
210
280
…
教师：同学们仔细观察这个表，请你写出几组面粉质量与相对应的小麦质量的比，并
比较比值的大小。说一说这个比值表示什么。
教师：表中的面粉质量和小麦质量成正比例吗？为什么？
2．用图像表示正比例关系
出示空白坐标系。（见课本44 页）
教师：正比例关系可以通过这样一个图像来表示。
教师：仔细观察这个图表，谁能明白这个图表所表示的意思？
在这里引导学生认识图表要达到两个层次：第一层是横着的这根有箭头的轴即横轴，
表示小麦质量，单位是千克，竖着的这根有箭头的轴即竖轴，表示面粉质量，单位也是千
克；第二层，横轴上的数从左往右数据从0 开始逐渐增加，竖轴上的数从下往上数据从0
开始也是逐渐增加的。
教师：例题中的每一组数据你能用一个点来表示吗？
在这里使学生明白，表中的每一组数据都可以用一个点来表示，如：面粉质量70kg，
小麦质量100kg 这对数据，就可以用（70，100）表示。
教师通过小黑板同步演示在坐标系中描点（70，100）。
教师：请同学们翻开书54 页，按照这样的描点方法，描出各点，并把描好的点连起来，
形成一条直线。
教师通过小黑板同步演示，告诉学生：这就是面粉质量和小麦质量的正比例关系图像。
3．认识正比例关系图像
教师：观察上图，你发现了什么？
在这里，使学生了解从这个图像可以直观看到面粉质量与小麦质量的变化情况，小麦
质量增加，面粉质量也随着增加，小麦质量减少，面粉质量也随着减少。
教师：王大爷家有500 千克小麦，如果全部加工，能磨出多少千克面粉？对于这个问
题，你打算怎么解决？
在这里如果学生要计算也可以，但可启发学生：不计算，你能有更简便的方法吗？
使学生知道：利用正比例关系图像，不用计算，可以由一个量的值，直接找到对应的
另一个量的值。如：知道小麦质量是200kg，可以从图像上找到小麦质量是200kg 的点，
再找这个点对应的竖轴上的数是140，即小麦质量是200kg 时，对应的面粉质量是140kg。
三、课堂活动
出示教科书第45 页课堂活动第2 题。
教师：请将相应的金额填在表中。
学生独立完成，教师巡视，集体评议。
教师：购买丝绸的长度和所需要的金额成正比例吗？
教师：用图像把它们的变化规律表示出来。
教师：观察图像有什么特点？
使学生认识到：图像是一条直线。从这个图像可以直观看到购买丝绸长度与所需金额
的变化情况，购买丝绸长度增加，所需金额也随着增加，购买丝绸长度减少，所需金额也
随着减少。
教师：观察图像，280 元可购买多少米丝绸？
教师：根据图像估计一下，买6.5 米丝绸需要多少元？
学生回答，教师可以通过小黑板同步显示。
四、教学小结
通过今天这节课你学到了什么知识？
正比例的应用
教学内容
教科书第44 页例3，练习十二第5，6，7 题。
教学目标
1．进一步理解正比例的意义，会运用正比例知识解决简单的实际问题。
2．通过运用正比例解决实际问题的活动，让学生体验数学的应用价值，培养学生解决
问题的能力。
3．渗透函数思想，使学生受到辩证唯物主义观念的启蒙教育。
教学重点
运用正比例知识解决简单的实际问题。
教学准备
教具：小黑板。
学具：作业本，数学书。
教学过程
一、复习引入
1．判断下面各题中的两种量是不是成正比例？为什么？
（1）飞机飞行的速度一定，飞行的时间和航程。[
（2）梯形的上底和下底不变，梯形的面积和高。
（3）一个加数一定，和与另一个加数。
2．揭示课题
教师：我们已经学过正比例的一些知识，应用这些知识可以解决生活中的实际问题。
这节课，我们就来学习“正比例的应用”。
二、合作交流，探索新知
1．用小黑板出示例3
教师：这幅图告诉我们一个什么事情?需要解决什么问题？
教师：先独立思考，再小组合作交流，看能想出哪些方法解决这个问题。
2．全班交流解答方法[
指导学生思考出：
（1）195÷5×8＝312（元），先求每份报纸的单价，再求8 份报纸的总价，就是李老师
应付给邮局的钱。
（2）195÷（5÷8）＝312（元），先求5 份报纸是8 份报纸的几分之几，即195 元占李
老师所付钱的几分之几，最后求出李老师所付的钱。
（3）195×（8÷5）＝312（元），先求出8 份报纸是5 份报纸的几倍，再把195 元扩大
相同的倍数后，结果就是李老师所付的钱。
……
3．尝试用正比例知识解答
如果有学生想出用正比例方法解答，教师可以直接问：“你为什么要这样解？”让学
生说出解题理由后再归纳其方法；如果学生没想到用正比例知识解答，教师可作如下引导。
教师：除了这些解题方法外，我们还会用正比例方法解答吗？请同学们用学过的有关
正比例的知识思考：
（1）题中有哪两种相关联的量？
（2）题中什么量是不变的？一定的？
（3）题中这两种相关联的量是什么关系？
引导学生分析出：题中有所订报纸份数和所付总钱数这两个相关联的量，它们的关系
是所付总钱数÷所订报纸份数＝每份报纸单价，而题中的每份报纸单价一定，因此所付总钱
数和所订报纸份数成正比例关系。
随学生的回答，教师可同步板书：
所付总钱数195 元x 元
所订份数5 份8 份
教师：运用我们前面所学的正比例知识，同学们会解答吗？准备怎样列比例式？
引导学生讨论后回答，先要把李老师应付的钱数设为x 元，再根据所付总钱数所订份
数＝每份报纸单价的关系式，列式为19/55＝x/8。
教师：同学们会计算吗？把这个比例式计算出来。
学生解答。
教师：解答得对不对呢?你准备怎样验算？
学生讨论验算方法，教师引导：把求出的312 元代入等式，左式＝19/55＝39，右式＝
31/28＝39，左式＝右式，也就是它们的比值相等，与题意相符，所以所求的解是正确的。
三、教学小结
这节课我们学习了什么知识？你有什么收获？
反比例的意义
教学内容：
教科书第48 页例1 以及例1 后面的试一试、议一议、说一说，教科书第49～50 页
课堂活动及教科书第50 页练习十三1～3 题。
教学提示：
教科书利用游客分组的事件设计了例1，例1 利用表格反映总人数一定，分的组数随
每组人数的变化而变化的规律。这一规律主要由学生自己去探索发现，教科书作了两点提
示：一是每组的人数扩大，组数反而缩小……二是每组人数和组数的乘积是一定的，并且
把这种乘积一定具体落实到问题中“游客总人数不变”上去。这两点提示，前者反映了两
种相关联的量的变化趋势（一种量扩大，另一种量反而缩小），后者则表达了两种量变化
的倍数相同。很明显，教科书的提示是针对反比例的本质属性而设计的。为了增强学生对
反比例中两种相关联的量之间变化规律的实际感受，同正比例的编排方式一样，教科书在
例1 的后面也安排一个“试一试”的探索活动。让学生探索一篇稿子在总字数不变的情况
下，每分钟打字的字数与打字时间之间的变化规律。这一内容教科书未作任何提示，完全
由学生自己去探索发现，这主要是考虑到学生通过前面正比例和反比例例1 的学习已基本
具备这种探索能力，适当增强学习的挑战性，有利于学生学习能力的提高。教科书还安排
了概括反比例意义的讨论。与正比例一样，仍然用问题“从上面的两个例子中，你发现了
什么”引出讨论。教科书用两个人的对话概括出了反比例量和反比例关系的概念及其本质
属性：首先，教科书从两种相关联的量之间的变化规律揭示了反比例的本质属性，即一种
量扩大或缩小若干倍，另一种量反而缩小或扩大相同的倍数。然后，在左边的对话框里又
指出“相对应的两个数的乘积是一定的”，进一步完善反比例的本质特征。最后，教科书
指出像上面这样的两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。至此，教科书
对反比例的意义作出了完整的概括。为了及时强化学生对反比例意义的理解，教科书还安
排了让学生说一说生活中成反比例的量，这对加深反比例意义的理解，突出反比例与生活
的联系都是有用的。
教学目标：
1.使学生认识反比例关系的意义，理解、掌握成反比例量的变规律及其特征，能依据
反比例的意义判断两种量成不成反比例关系。
2.在教学中培养学生观察、学析、综合和概括等能力，让学生掌握和判断两种相关联
的量成不成反比例的方法，培养学生判断推理的能力。
3.使学生在自主探索合作交流中体验成功的愉悦，进一步树立学习数学的自信心，同
时在教学中渗透事物之间是相互联系和相互转化的辨证唯物主义的观点。
重点难点：
教学重点：引导学生正确理解反比例的意义。
教学难点：正确判断两种量是否成反比例。
教学准备:
教具准备：多媒体课件
学具准备：每个学生自己制作一个周长为30 cm 的长方形。
教学过程：
（一）新课导入
情景游戏：对口令
一共有30 个苹果分给小朋友。老师说出小朋友的人数，学生回答分得的苹果个数。
师：1 生：30
师：2 生：15
……
整理成下表：
从这个表中，你有什么发现？
反馈：小朋友的人数与每个小朋友分的个数的乘积都是30；它们是相关联的两种量；
小朋友的人数越多，每个小朋友分得的苹果个数就越少……
提问：小朋友的人数与每个小朋友分得的苹果个数成正比例吗？为什么？
教师：那么这两种量到底是一种什么关系呢？今天我们就一起来学习新的知识。
【设计意图：选取学生身边的生活实例引入新课，吸引学生的注意力，激发学生的探
究欲。】
（二）探究新知
1.感知不同的变化规律
（出示教课书书第48 页例1 情景图）
（1）某旅游公司的导游带领60 名游客来到井冈山游览，准备分组活动，提出的分组
建议如下表。
谁来说说，你是怎样算每组人数和组数的？
抽几名学生说出自己的计算方法。
从这个表中你发现了什么规律？
反馈：总人数60 人没变，每组人数和组数的乘积是一定的；每组的人数在扩大，组数
反而缩小……
（2）游览的第一天晚上，导游写了一篇情况总结，要把它存入电脑。
必须先算出哪个量？为什么？
学生独立计算，然后集体订正。
2.概括意义
请同学们分组讨论。教师巡视，听取各小组意见，加强指导。
汇报交流
学生1：每个表中的两种量都相关联。（板书：相关联）
学生2：一种量变化另一种量也随着变化。
学生3：从变化规律上看，（1）表中，人数越多，每人分得的个数越少，人数越少，
每人分得的个数越多。
学生4：（2）表中，每分打字的个数越少，所需要的时间反而越多……
教师简单概括：一种量扩大或缩小若干倍，另一种量反而缩小或扩大相同的倍数。两
种量的变化方向正好相反。（板书：反）
学生5：表中两种量相对应的两个数的乘积是一定的。（板书：积）
3.概括得出反比例的意义
教师根据学生的回答，引导学生概括得出：
①两种相关联的量。
②一种量扩大或缩小若干倍，另一种量反而缩小或扩大相同的倍数。
③两种量相对应的两个数的乘积是一定的。
这是你们自己总结概括出来的结论，那么，你能给它们取个名字吗？
像这样的两种量，叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
【设计意图：成功的概念教学要在得出概念之前下功夫，要设计多种教学环节，利用
各种教学手段使学生充分体验得出概念的思维过程。】
4.举例
抽生说一说生活中还有哪些成反比例的量。
学生1：路程一定，所行的时间与速度成反比例。
学生2：砖的总块数一定，每次搬的块数与搬的次数。
学生3：大米的总质量一定，平均分的份数与每份的质量。
……
【设计意图：通过找一找环节，学生说出生活中成反比例的例子，让学生感受到了反
比例关系在生活中的广泛应用。】
5.直观操作，加深理解
（1）完成第49 页课堂活动1 题
教师：请同学们看第1 题的要求。哪位同学愿意说说你看了题目后的想法？
反馈：用24 个边长为1 cm 的正方形拼一个长方形应该有很多种拼法；拼出来的长方
形可能会有不同的形状；长和宽是否成反比例必须要填表后观察才能得出。
教师：看来这是一个开放性的问题，下面我把拼和填表的任务交给同学们，大家亲自
动手试一试，看到底有什么结果？
学生独立活动，教师参与其中，然后教师再展示出学生所填表格，面向全体学生进行
评价。
教师：认真观察上表，你有什么发现？表中的长和宽成反比例吗？
学生独立思考后，反馈：长和宽是两种相关联的量，当宽扩大几倍时，长反而缩小相
同的倍数，长×宽=长方形的面积（24 cm2 一定），所以在上表中，长和宽成反比例。
（2）完成第49 页课堂活动2 题
放手让学生独立操作，独立思考当宽一定时，长方形的面积和长成什么比例？展示所
填表格，然后抽生说出自己的判断及其理由。
（3）完成第50 页课堂活动3 题
分组合作：要求将小组内每人制作的一个周长为30 cm 的长方形的长和宽的数据填入
表中，再观察讨论，你认为在上表中，长和宽成比例吗？为什么？
小组讨论后，再汇报交流：长方形周长一定时，长和宽不成比例。
【设计意图：让学生联系已有的知识，使新旧知识有机结合，帮助学生建立起良好的
认知结构，同时也是对数量关系一次很好的整理复习机会。】
（三）巩固新知
完成练习十三1～3 题，主要抓住正比例的本质属性“商一定”，反比例的本质属性
“积一定”，要求学生独立完成，再集体订正。
（四）达标反馈
1.填一填。
（1）比的前项一定，比的后项和比值成（ ）比例。
（2）平行四边形的面积一定，它的底和高成（ ）比例。
（3）烧煤的天数一定，每天的烧煤量和煤的总量成（ ）比例。
（4）长方形的周长一定，它的长和宽（ ）比例。
2.x 与y 成反比例关系，根据条件完成下表。
答案：1.（1）反 （2）反（3）正（4）不成
2.如下表。
（五）课堂小结
这节课学习的是什么内容?反比例关系的意义是什么?用怎样的式子表示x 和y 这两种
相关联的量成反比例?判断两种量是不是成反比例，关键是什么?
【设计意图：通过简要的课堂小结，帮助学生对所学内容进行归纳、概括，强化重点，
加深理解和记忆，使学生对本节课的内容有一个系统、完整的认识和准确的把握。并在此
基础上，留给学生进一步思考的问题。】
（六）布置作业
1.判断对错。（对的在括号里画“√”，错的在括号里画“×”）
（1）正方形的边长与面积成正比例 。 （ ）
（2）班级学生的总人数一定，出勤率与缺勤率成反比例。 （ ）
（3）圆的周长与直径不成比例。 （ ）
（4）同时同地树高与影长成正比例。 （ ）
2.x 与y 成反比例关系，根据条件完成下表。
答案：1.（1）× （2）×（3）×（4）√
2.如下图。
板书设计
反比例的意义
①两种相关联的量。
②一种量扩大或缩小若干倍，另一种量反而缩小或扩大相同的倍数。
③两种量相对应的两个数的乘积是一定的。
像这样的两种量，叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
反比例的应用
教学内容：
教科书第49 页例2，及教材第51 页练习十三第4、5、7、8、9 题。
教学提示：
教学例2 时，先引导学生认真理解题意，明确已有哪几种数量，其中哪种量是一定的，
哪两种量是相关联的量，这两种相关联的量之间存在什么样的关系等问题。
在此基础上让学生根据路程一定、速度越快时间就越少等信息判断出时间和速度成反
比例。对于后面列方程解决问题，教学时应注意几点：一是引导学生充分利用过去已掌握
的方程和列方程解决问题等旧知识建立方程，并求解；二是列方程时要突出问题中的等量
关系，充分利用路程、时间、速度之间的关系和题中路程一定的已知条件去寻找等量关系
三是教学时要重视学生用正、反比例知识解决问题的意识和能力的培养，让学生在解题过
程中体会正、反比例知识在解决问题中的重要价值。
练习十三第4、5、7、8、9 题是运用反比例知识解决生活中的问题，让学生在解决问
题中体会反比例知识的价值，培养学生的数学应用意识和解决问题的能力。
教学目标：
1.能运用反比例知识解决简单的实际问题，培养学生的数学应用意识和解决问题的能
力。
2.经历探索反比例应用的学习过程，体会反比例知识与生活的联系。
3.使学生感受事物的普遍联系，受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。
重点难点：
教学重点：根据反比例的意义解决有关反比例的实际问题。
教学难点：理解反比例应用题的解题思路。
教学准备:
教具准备：多媒体课件
学具准备：练习本等。
教学过程：
（一）新课导入
1.谈话：同学们，你们从学校回家，有时乘车，有时骑自行车，哪种情况回家快?为什
么?同学们这一现象是我们学习中的什么比例?
2.判断下面的两个量成什么比例。
（1）当速度一定，路程和时间成什么比例？为什么？
（2）当时间一定，路程和速度成什么比例？为什么？
（3）当路程一定，速度和时间成什么比例？为什么？
教师：运用反比例和以前学过的知识，我们可以解决生活中的一些问题。
【设计意图：这样设计的目的是让学生回忆旧知，借助学生以有的知识经验，在解决问
题的过程中，可以很快地抓住学生的思维情况，找新知识的切入点，自然进入后面的学习
为新知识做好铺垫。】
（二）探究新知
1.教学例2（出示例2）
引导学生理解题意，找出题中的两种量。
反馈：速度和时间是两种相关联的量。
看到这两种量，你还联想到了哪种量？（预设：路程）上题中路程是一定的量吗？着
重引导学生明白：“青年突击队”参加泥石流抢险，从出发到目的地的路程是一定的。
路程一定，速度和时间成什么关系？为什么？
反馈：速度和时间是两种相关联的量，速度扩大或缩小几倍，时间反而缩小或扩大相
同的倍数，它们的积（路程）一定，所以速度和时间成反比例。
2．解答例2
（1）接着出示例2 后面的内容：“出发时接到紧急通知要求3 时之内必须到达，他们
每时至少需行多少千米？”
让学生说出，现在增加的这个条件和问题应该对应在表的哪个位置？突出让学生找准
对应关系。
（2）合作学习：要求学生独立思考后，再试着用多种方法解答这个问题，然后在小组
内交流。
交流要求：把思路和解答方法说给自己小组的成员听，把同组同学认为正确的解答方
法，请组长板书在黑板上。如果有其他组长已经写在黑板上了，另一组长就不再板书同样
的解决方法。如果你用的解答方法，同组的同学不能准确判断对错，或者引起了争议的解
答方法，可以自己上来把它板书在黑板上。
学生活动，教师巡视指导。（把黑板分成3 大块，供学生板书解答方法）
（3）集体交流，结合黑板上的板书，师生共同理解解法：
预设方法1：6×4÷3=8（km）
抽生说出，算式6×4 表示什么意思？
预设方法2：解：设他们每时至少行x km。
3x=6×4
x=24÷3
x=8
这样列式的根据是什么？
反馈：根据速度和时间成反比例，它们的路程相等，列出等量关系。
预设方法3：解：设他们每时至少行x km。
6∶x=3∶4 或x∶6=4∶3
这种列式的方法有时会在学生中出现，应该由写这种解答方法的同学来说说他的想法。
在这里主要还得根据课堂上学生出现的各种解法来引导他们理解解题思路。
【设计意图：采取自主探究的学习方式，让学生自觉参与到知识的形成过程中，在这
当中教师要逐渐打开学生独立思考的闸门，激发学生求知欲，让学生大胆实践，自己解答
教师只要在此基础上再给予指导和总结。但要注意学生理解水平不同，叙述的表达方式也
不同，肯定会出现这样或那样的错误，这就要求我们要抓住反比例应用题的关键是乘积一
定这条主线来列等式的，再做到放弃”填鸭式、灌输式”传统教学的同时，真正做到形散
而神聚。】
师生共同总结利用反比例解决问题的方法步骤：
1.认真审题，弄清已知和所求的问题，判断两种 相关连的量成什么比例关系 ，这是
解题的关键。
2.设未知数x，注上单位名称。
3.根据反比例的意义列出等式并 解答。
4.检查计算，并写上答句。
（三）巩固新知
完成练习十三第4 题，先独立完成，再集体订正。
完成练习十三5 题和7 题。
教师引导提示：题中有哪两种相关联的量？哪种量是一定的？根据一定的量找出它们
的等量关系，再解答。
（四）达标反馈
1.生产一批零件，计划每天生产160 个，15 天完成任务，如果每天生产240 个，需要
多少天?
2.用一批纸装订练习本，如果每本30 页可装订500 本， 如果每本40 页，可装订多少
本?
3.一堆煤，原计划每天烧3 吨，可以烧96 天，由于改进炉灶，每天烧2.4 吨，这堆煤
实际可以多烧多少天？
答案：
1.解：设需要x 天。 240x=160×15 x=10
2.解：设可以装订x 本。 40x=30×500 x=375
3.解：设这堆煤实际可以烧 x 天。 2.4x=3×96 x=120 120-96=24（天）
（五）课堂小结
今天这节课你有什么收获？说给大家听听。
【设计意图：通过学生总结本课所学内容，谈感想说收获的方式，可以使学生对本节课
所学知识有一个系统的认识，使本节课所学的知识得到进一步的巩固。】
（六）布置作业
1.一堆煤，原计划每天烧3 吨，可以烧96 天，由于改进技术每天烧2.4 吨，这堆煤实
际可以烧多少天?
2.用边长40 厘米，宽24 厘米的长方形砖铺一条路，需用1500 块．如果改用边长30
厘米的方砖铺，需要多少块？
答案：
1.解：设这堆煤实际可以烧 x 天。 2.4x=3×96 x=120
2.解：设需要x 块。 30×30x=40×24×1500 x=1600
板书设计
反比例的应用
解：设他们平均每时行x km。
3x=6×4
x=24÷3
x=8
答：他们平均每时行8 km。
整理与复习
◆
教材分析
这节课的教学内容比例的整理与复习，整理整个单元的知识，帮助学生形成知识网络，
更好地理解和掌握与比例相关的知识，并用这些解决实际问题。
◆
教学目标
1.让学生参与系统、全面整理知识的过程，梳理本单元的所学知识，引导学生沟通知
识间的联系，构建知识网络。
2.通过本单元知识的复习，比较熟练掌握比例知识，并能解决一些实际问题。
3.培养学生自主归纳、整理知识的兴趣和能力。
◆
教学重难点
【教学重点】：整理本单元知识，沟通知识间的联系。
【教学难点】：能灵活运用正、反比例的意义，解决实际问题。
◆
课前准备
多媒体课件。
◆
教学过程
谈话引入，揭示课题
教师：我们已学完了本单元知识，今天来进行“整理与复习”。
板书课题：整理与复习
梳理单元知识，形成知识网络
1．方法回顾
（1）以前我们是怎样整理单元知识的？
（2）你们昨天回家是这样整理的吗？
（3）四人小组进行交流。
2．学生汇报交流
（1）抽2 位汇报整理结果（投影标出）。
（2）根据学生的整理，大家提出建议并进行修改。
（3）展示教师整理的结果，说出整理思路（展示）。
比例意义、基本性质、解比例
正比例意义[x/y=k（一定）]
应用
反比例意义[xy=k（一定）]
应用
3．教师小结整理知识的情况
复习本单元知识
1．完成练习十四第1 题
这两面国旗的长和宽的比，是否可以组成比例？
如果可以组成比例，把组成的比例写出来，并指出这个比例的内项和外项（生齐练）。
教师：通过前面两个题的复习，你能说说什么叫做比？什么叫做比例？比和比例有什
么区别？
在这里使学生明白比表示两个数，有两项；比例表示两个比相等，有四项。
（2）完成练习十四第3 题。
教师：什么叫做解比例？
学生在练习本上练习，指名板演，学生练习后讲评。
2．正、反比例关系的判断
（1）判断下面各题中两种量是否成比例。如果成比例，成什么比例？
①正方形的边长与周长。
②行驶一段路程，车轮的直径与车轮转过的转数。
③y=5x，y 和x。
④xy=24，y 和x。
（2）说出下列各组中的三种量在什么条件下能组成什么比例关系。
①速度，时间，路程。
②汽车每次运货吨数，运货的次数和运货的总吨数。
③三角形的底、高和面积。
（3）说一说什么叫正比例关系？什么叫反比例关系？它们之间有什么联系和区别？
梳理判断两种量是否成正（反）比例的思考步骤。
①先找出两种相关联的量和一个定量。
②根据两种相关联的量之间的数量关系，列出关系。
③根据正、反比例的意义，判断比例关系。
（4）用比例知识解决下面的问题（练习十四第6 题）。
①学校举行方阵团体操表演，排成5 列需要90 人，排成24 列，需要多少人？
②学校举行方阵团体操表演，如果每列16 人，要排27 列，如果每列18 人，要排多少
列？
教师：说一说，用比例知识解答应用题的关键是什么？解题的步骤有哪些？注意什么
问题？
学生1：设所求问题为x。
学生2：判断题中的两个相关联的量是否成比例关系及成什么比例关系。
学生3：列出比例式。
学生4：解比例，验算，写答语。
教师：用比例知识解答应用题的关键是正确判断题中两种相关联的量成什么比例关系，
所以解题时要认真审题，做出正确判断。
拓展应用练习
（1）指导学生完成练习十四第9 题。
学生独立完成，教师巡视，集体评议。
教师：航程和相对应的飞行时间的比值表示什么？成什么比例？为什么？
教师：用图像把它们的变化规律表示出来。
教师：观察图像有什么特点？
使学生认识到：图像是一条直线。从这个图像可以直观看到航程和相对应的飞行时间
的变化情况，航程增加，所需飞行时间也随着增加，航程减少，所需飞行时间也随着减少。
教师：观察图像，估计飞行2000 千米需要多少时间？
教师：根据图像估计一下，7 时大约飞行多少千米？
学生回答，教师可以通过课件同步显示。
（2）完成练习十四第10 题。
教学总结
今天我们一起进行了正、反比例这一单元的整理与复习，你有什么收获？还有哪些不
明白的？
