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立体空间共点力的平衡问题 类型 竖直分力与重力平衡 例1 (2024·浙江模拟预测)如图1 所示，用杆秤称量中药。三根长度相同的细绳 对称地系于圆形秤盘上。中药和秤盘的总质量为m，则当杆秤稳定时( ) 图1 A.每根细绳的拉力大小为 B.增加细绳长度时每根绳拉力均减少 C.增加细绳长度时秤砣应向右移动 D.增加细绳长度时手对秤拉力增大 答案 B 解析 设每根细绳与竖直方向的夹角为θ，根据受力平衡有3FTcos θ＝mg，可得 FT＝>，故A 错误；增加细绳长度时，细绳与竖直方向的夹角θ 变小，则cos θ 变大，每根绳拉力均减少，故B 正确；增加细绳长度时，杆右端受到拉力大小 等于中药和秤盘的总重力mg 保持不变，则秤砣位置不变，手对秤拉力不变，故 C、D 错误。 1.(2024·江苏模拟预测)如图2 所示，篝火晚会中某同学用三根等长的轻杆交叉做 成简易的烧烤架放在水平地面上，交叉固定点为O，再用一根轻绳将质量为m 的烧水锅静止悬挂在O 点。已知三根轻杆与竖直方向的夹角均为30°，重力加速 度为g，则每根轻杆对O 点的作用力为( ) 图2 A.mg B.mg C.mg D.mg 答案 A 解析 根据共点力平衡，三根杆对O 点的弹力沿竖直方向的分力之和等于锅的 重力，有3Fcos 30°＝mg，解得F＝mg，故A 正确。 类型 立体空间变平面 例2 (2024·沈阳市高三质量监测)如图3 甲所示为一直角斜槽，斜槽的棱MN 与 水平面的夹角为θ，两槽面关于竖直面对称。图乙是斜槽的截面图，一个横截面 为正方形的物块恰能沿此斜槽匀速下滑。若两槽面的材料相同，则物块和槽面之 间的动摩擦因数为( ) 图3 A.tan θ B.tan θ C.tan θ D.tan θ 答案 B 解析 对物块受力分析，如图所示，在垂直于斜槽的平面内，有2FNcos 45°＝ mgcos θ，在物块下滑方向，有2Ff＝mgsin θ，其中Ff＝μFN，联立解得μ＝tan θ，B 正确。 2.(2024·河北衡水高三期中)如图4 所示，解放军战士在水平地面上拉着轮胎做匀 速直线运动进行负荷训练，运动过程中保持双肩及两绳的端点A、B 等高。两绳 间的夹角为θ＝60°，所构成的平面与水平面间的夹角恒为α＝53°，轮胎重为 G，地面对轮胎的摩擦阻力大小恒为Ff，则每根绳的拉力大小为( ) 图4 A.Ff B.Ff C.Ff D.Ff 答案 C 解析 设每根绳的拉力为F，则这两根绳拉力的合力F 合＝2Fcos ，方向沿两绳 夹角的角平分线，与水平面的夹角为α，轮胎受力分析如图所示，则F 合cos α＝ Ff，解得F＝＝Ff，故A、B、D 错误，C 正确。 1.(2023·江苏卷，7)如图1 所示， “嫦娥五号”探测器静止在月球平坦表面处。 已知探测器质量为m，四条腿与竖直方向的夹角均为θ，月球表面的重力加速度 为地球表面重力加速度g 的。每条腿对月球表面压力的大小为( ) 图1 A. B. C. D. 答案 D 解析 由于探测器静止在月球平坦表面处，月球表面对每条腿的支持力都竖直向 上，则4FN＝m·g，解得FN＝，根据牛顿第三定律可知每条腿对月球表面的压力 大小为，D 正确，A、B、C 错误。 2.(2024·福建泉州模拟)港珠澳大桥的人工岛创新围岛填土在世界范围内首次提出 深插式圆钢筒快速成岛技术，1 600 t 起重船“振浮8 号”吊起巨型钢筒直接固定 在海床上插入到海底，然后在中间填土形成人工岛，如图2 甲，每个圆钢筒的直 径为22.5 m，高度为55 m，质量为550 t，由若干根特制起吊绳通过液压机械抓 手连接钢筒。某次试吊将一个圆钢筒吊在空中，每根绳与竖直方向的夹角为 30°，如图乙所示，每根绳所能承受的最大拉力为8.0×105 N，图乙中仅画出两 根起吊绳，则至少需要多少根绳子才能成功起吊(＝1.732，g＝10 m/s2)( ) 图2 A.7 根 B.8 根 C.9 根 D.10 根 答案 B 解析 设n 根绳拉力在竖直方向的分量之和与重力大小相等、方向相反，则mg ＝nFcos 30°，由题知F≤8.0×105 N，得n≥＝≈7.94，即至少需要8 根绳子才能 成功起吊，故B 正确。 3.(2024·浙江名校联考)如图3 为一名健身者正在拉绳锻炼，已知健身者质量为50 kg，双手对绳的拉力均为100 N，两根绳间夹角θ＝60°，两根绳关于上方连接的 总绳对称且跟总绳处于同一平面，总绳与竖直方向的夹角为30°。若健身者处于 静止状态，健身者与地面间的动摩擦因数为0.5，绳的质量忽略不计，取g＝10 m/s2，则健身者受地面的支持力FN和摩擦力Ff分别为( ) 图3 A.FN＝350 N，Ff＝25 N B.FN＝(500－50) N，Ff＝50 N C.FN＝350 N，Ff＝50 N D.FN＝350 N，Ff＝175 N 答案 C 解析 根据题意可知，总绳对人的作用力大小为F＝2×100 N×cos 30°＝100 N，对人受力分析，如图所示，由平衡条件有Ff＝Fsin 30°＝50 N，Fcos 30°＋FN ＝mg，解得FN＝350 N，故C 正确。 4.(2024·江苏南京模拟预测)如图4 所示，质量为M、半径为R 的光滑匀质球，用 一根长度也为R 的细线悬挂在互相垂直的两竖直墙壁交线处的P 点，则球对任 一墙壁的压力大小为( ) 图4 A.Mg B.Mg C.Mg D.Mg 答案 B 解析 对球进行受力分析，球受重力Mg、绳子的拉力T 及两个墙壁对它的支持 力，两个支持力大小相等，夹角为90°，设支持力的大小为FN、绳子与竖直墙壁 交线的夹角为θ，根据几何知识可知球心到竖直墙壁交线的垂直距离为d＝＝R， 故sin θ＝＝，解得θ＝45°，在竖直方向上根据受力平衡可得Tcos θ＝Mg，解得 T＝Mg，在水平方向上根据受力平衡可知两个墙壁对球的支持力的合力大小等于 绳子拉力T 的水平分力的大小，即＝Tsin θ，解得FN＝Mg，根据牛顿第三定律 可得球对任一墙壁的压力大小为Mg，故B 正确。 5.(2024·山东模拟预测)孔府是中国传统建筑的杰出代表，采用了瓦片屋顶，屋顶 结构可简化为如图5，弧形瓦片静止在两根相互平行的倾斜椽子正中间。已知椽 子与水平面夹角均为θ，瓦片质量为m，重力加速度为g，则( ) 图5 A.每根椽子对瓦片的摩擦力大小为0.5mgsin θ B.每根椽子对瓦片的支持力大小为0.5mgcos θ C.椽子对瓦片支持力的合力大小为mg D.椽子对瓦片作用力的合力大小为mgcos θ 答案 A 解析 摩擦力方向与椽子平行，两根椽子对瓦片的摩擦力的合力为mgsin θ，所 以每根椽子对瓦片的摩擦力大小为0.5mgsin θ，故A 正确；两根椽子对瓦片的支 持力的合力为mgcos θ，瓦片有弧度，所以每根椽子对瓦片的支持力大小不是 0.5mgcos θ，故B、C 错误；椽子对瓦片的作用力包括支持力和摩擦力，合力大 小为mg，故D 错误。 6.(2024·山东潍坊高三期末)如图6 所示，“V”形槽两侧面的夹角为60°，槽的两 侧面与水平面的夹角相同。质量为m 的圆柱形工件放在“V”形槽中，当槽的棱 与水平面的夹角为37°时，工件恰好能匀速下滑，重力加速度为g，sin 37°＝ 0.6，则( ) 图6 A.工件对槽每个侧面的压力均为mg B.工件对槽每个侧面的压力均为mg C.工件与槽间的动摩擦因数为 D.工件与槽间的动摩擦因数为 答案 D 解析 工件匀速下滑，在任意方向上合力都为零，将工件的重力分解到沿“V” 形槽向下和垂直“V”形槽向下，作出工件受力侧视平面图如图甲，根据平衡条 件知Ff＝mgsin 37°，FN＝mgcos 37°，作出垂直于“V”形槽方向的受力平面图如 图乙，“V”形槽两侧面的夹角为60°，所以两侧面对工件的弹力夹角为120°，则 合力FN＝F1＝mgcos 37°＝mg，故A、B 错误；“V”形槽两侧面对工件的摩擦力 Ff1方向相同，大小都为μF1，则2Ff1＝2μF1＝Ff，所以Ff1＝0.3mg，代入可解得μ ＝＝，故C 错误，D 正确。 甲 乙 7.(多选)张鹏同学在家帮妈妈洗完衣服后，把衣服挂在如图7 所示的晾衣架上晾 晒，A、B 为竖直墙壁上等高的两点，AO、BO 为长度相等的两根轻绳，CO 为一 根轻杆。转轴C 在AB 中点D 的正下方，AOB 在同一水平面上。∠AOB＝60°， ∠DOC＝30°，衣服质量为m，重力加速度为g。则( ) 图7 A.CO 杆所受的压力大小为2mg B.CO 杆所受的压力大小为mg C.AO 绳所受的拉力大小为mg D.BO 绳所受的拉力大小为mg 答案 AD 解析 以O 点为研究对象，O 点受到衣服的拉力FT、CO 杆的支持力F1 和绳 AO、BO 的拉力，设绳AO 和绳BO 拉力的合力为F，作出O 点的受力示意图如 图甲所示，根据平衡条件得F1＝＝2mg，由牛顿第三定律知CO 杆所受的压力大 小为2mg，故A 正确，B 错误；由图甲分析可知F＝mgtan 60°＝mg，将F 沿 OA、OB 方向分解，如图乙所示，设绳AO 和绳BO 所受拉力的大小为FAO 和 FBO，则FAO＝FBO，F＝2FAOcos 30°，解得FAO＝mg，故C 错误，D 正确。
