文档文本内容
2026 届高三物理二轮复习选择题专练·考点4 万有引力与宇宙航行
一．高考真题...............................................................................1
二．万有引力与重力的关系...................................................................7
三．卫星运行规律及应用....................................................................10
四．变轨、追及及相遇问题..................................................................13
五．宇宙速度、双星问题....................................................................16
一．高考真题
1.（2025·江西）如图所示，Ⅰ和Ⅱ分别为神舟二十号飞船的近地圆轨道、椭圆变轨轨道，Ⅲ为天和核心舱运
行圆轨道，P、Q为变轨点。不计阻力，飞船在轨道Ⅱ上从P点到Q点运动过程中，下列选项正确的是
( )
A. 速率增大，机械能增大
B. 速率减小，机械能减小
C. 速率增大，机械能不变
D. 速率减小，机械能不变
【答案】D
【解析】根据题意可知，飞船在轨道Ⅱ上从P点到Q点运动过程中，只有万有引力做负功，则机械能不变，
动能减小，即速率减小。
故选D。
2. （2025·陕西）我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回。其轨道器将环
绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3750km，轨道周期约2h。引力常量G取6.67×10
-11 N ⋅m
2/k g
2，根
据以上数据可推算出火星的( )
A. 质量
B. 体积C. 逃逸速度D. 自转周期
【答案】A
【解析】轨道器绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，可得 G Mm
r
2 =m v
2
r =mω
2r =m 4 π
2
T
2 r =ma
A.题中已知的物理量有轨道半径r，轨道周期T，引力常量G，可推算出火星的质量，故A 正确；
B.若想推算火星的体积和逃逸速度，则还需要知道火星的半径r，故BC 错误；
D.根据上述分析可知，不能通过所提供物理量推算出火星的自转周期，故D 错误。
故选A。
3. （2025·湖北）甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作
用，下列说法正确的是( )
A. 甲运动的周期比乙的小
B. 甲运动的线速度比乙的小
C. 甲运动的角速度比乙的小
D. 甲运动的向心加速度比乙的小
【答案】A
【解析】由题意可知，r甲<r乙，根据万有引力提供向心力，可得GMm
r
2
= m v
2
r
=mω
2r =m( 2π
T )
2r =ma，
则T 甲<T 乙，v甲>v乙，ω甲>ω乙，a甲>a乙，A 正确。
4.（2025·河南）2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为
匀速圆周运动。已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的1
14 ，其母恒星质量约为太阳质量的2
7 ，则
Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为( )
A. 13天
B. 27天C. 64天D. 128天
【答案】A
【解析】设日地距离为r地，太阳质量为M 日，地球绕太阳运动的周期T 地=365天，
则对于Gliese12b，轨道半径r = 1
14 r地，其母恒星质量M = 2
7 M 日，绕其母恒星的运动周期为T，
行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律有G Mm
r
2 =m 4 π
2
T
2 r，解得T =2π
√
r
3
GM
，
故T
T 地
= √
r
3
r地
3 · M 日
M = 1
28，即T = 1
28 T 地= 365
28 天≈13 天，故选A。
5. （2025·云南）国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几
乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下
表所示。忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于( )
行星
水星
金星
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨
道
半
径
R / AU
0.39
0.72
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
A. 金星与地球的公转轨道之间
B. 地球与火星的公转轨道之间
C. 火星与木星的公转轨道之间
D. 天王星与海王星的公转轨道之间
【答案】C
【解析】应用开普勒第三定律，对绕太阳的天体有R
3
T
2 =常数，
地球：R1=1 AU，T 1=1年;
小行星：T 2=5.8年，设其轨道半径为R2。
由
R2
3
T 2
2 = R1
3
T 1
2 ，得R2
3= R1
3．( T 2
T 1
)
2≈33.64
则R2≈3.2 AU
由于火星轨道半径1.5 AU，木星轨道半径5.2 AU，故小行星介于火星与木星之间。
答案：C
6. （2025·重庆）“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两
点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周
运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的( )
A. 轨道半径之比为L
d
B. 周期之比为
3√(
L+d
L )
2
C. 线速度大小之比为 √
L+d
L
D. 向心加速度大小之比为(
L
L+d)
2
【答案】D
【解析】A.太阳直径远小于金星的轨道半径，太阳直径忽略不计，根据题意结合几何知识可知地球和金星绕
太阳运动的轨道半径之比为
r地
r金
= d + L
L
，故A 错误；
BCD .根据万有引力提供向心力有 GMm
r
2
=m(
2π
T )
2
r =m v
2
r =ma
解得 T =
√
4 π
2r
3
GM
，
v = √
GM
r
，
a= GM
r
2
故可得周期之比为 T 地
T 金
=
√(
d + L
L )
3
；
线速度大小之比为 v地
v金
= √
L
d + L ；
向心加速度大小之比为
a地
a金
=(
L
d + L)
2
；
故BC 错误，D 正确
故选D。
7. （2025·甘肃）如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂
直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是( )
A. 若v = √
GM
R ，小星球做匀速圆周运动
B. 若 √
GM
R <v < √
2GM
R
，小星球做抛物线运动
C. 若v = √
2GM
R
，小星球做椭圆运动
D. 若v > √
2GM
R
，小星球可能与恒星相撞
【答案】A
【解析】A.根据题意，由万有引力提供向心力有 GMm
R
2
=m v
2
R
解得 v = √
GM
R
可知，若 v = √
GM
R ，小星球做匀速圆周运动，故A 正确；
B.结合A分析可知，若 √
GM
R <v < √
2GM
R
，
万有引力不足以提供小星球做匀速圆周运动所需要的向心力，小星球做离心运动，但又不能脱离恒星的引力
范围，所以小星球做椭圆运动，而不是抛物线运动，故B 错误；
C.若 v = √
2GM
R
，这是小星球脱离恒星引力束缚的临界速度，小星球将做抛物线运动，而不是椭圆运动，
故C 错误；
D.若 v > √
2GM
R
，小星球将脱离恒星引力束缚，做双曲线运动，不可能与恒星相撞，故D 错误。
故选A。
8. （2025·四川）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，
位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动
可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为( )
A.
3√
GM T
2
36 π
2
B.
3√
GM T
2
16 π
2 C.
3√
GM T
2
4 π
2
D.
3√
9GM T
2
4 π
2
【答案】A
【解析】设卫星转动的周期为 T ' ，根据题意可得 2π
T ' ⋅T
2 - 2π
T ⋅T
2 =2π
可得 T ' = T
3
根据万有引力提供向心力 G Mm
r
2 =m 4 π
2
T '
2 r
可得 r =
3√
GMT '
2
4 π
2
代入 T ' = T
3
可得 r =
3√
GM T
2
36 π
2
故选A。
9. （2025·广东）一颗小行星绕太阳运行，其近日点和远日点与太阳之间的距离分别为地球和太阳之间距离的
5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是( )
A. 公转周期T =6年
B. 从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C. 从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D. 在近日点加速度大小约为地球公转加速度的1
25
【答案】D
【解析】A.根据题意，设地球与太阳间距离为 R ，则小行星公转轨道的半长轴为 a= 5 R+7 R
2
=6 R，
由开普勒第三定律有
(6 R)
3
T 2
2
= R
3
T 地
2 ，解得 T =
√6
3T 地
2 =6
√6 年，故A 错误；
B.从远日点到近日点，小行星与太阳间距离减小，由万有引力定律 F = Gm1m2
r
2
可知，小行星受太阳引力
增大，故B 错误；
C.由开普勒第二定律可知，从远日点到近日点，小行星线速度逐渐增大，故C 错误。
D.由牛顿第二定律有 GMm
r
2
=ma，解得 a= GM
r
2 ，可知
a行
a地
=
R
2
(5 R)
2 = 1
25，
即小行星在近日点的加速度是地球公转加速度的 1
25 ，故D 正确；
故选D。
10. （2025·湖南）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某
同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周
期为T 0的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附
近绕其做匀速圆周运动，测得周期为T 1。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物
理得到R =
a
2
3
b
2
3 -a
2
3
h, M = 4 π
2 R
3
G c
2 。下列选项正确的是( )
A. a为T 1,b为T 0,c为T 1
B. a为T 1,b为T 0,c为T 0
C. a为T 0,b为T 1,c为T 1
D. a为T 0,b为T 1,c为T 0
【答案】A
【解析】根据题意，卫星在同步轨道和表面附近轨道运行时轨道半径分别为 R+h、R
设小行星和卫星的质量分别为 M 、m
由开普勒第三定律有 ( R+h)
3
T 0
2
= R
3
T 1
2
解得 R =
T 1
2
3
T 0
2
3 -T 1
2
3
h
卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有 GMm
R
2
=m 4 π
2
T 1
2 R
解得 M = 4 π
2 R
3
GT 1
2
对应结果可得a为 T 1,b 为 T 0,c 为 T 1 。
故选A。
11. （2025·河北）随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器。从某星球表面发
射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，半径为
R0，表面重力加速度为g0。质量为m的飞行器与星球中心距离为r时，引力势能为m g0 R0
2(
1
R0
- 1
r)(r ≥R0)。
要使飞行器在距星球表面高度为R0的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为( )
A. ❑√g0 R0
B. ❑√
3 g0 R0
2
C. ❑√2 g0 R0 D. ❑√3 g0 R0
【答案】B
【解析】飞行器在轨道半径 r =2 R0 处的总机械能包括动能和势能。
引力势能为 E p= 1
2 m g0 R0
根据万有引力提供向心力 GMm
(2 R0)
2 =m
v
2
(2 R0) ，在地球表面有
GMm
R 0
2 =m g0 ，解得轨道速度满
足 v
2= g0 R0
2
，对应动能 Ek = 1
2 m v
2= 1
4 m g0 R0 ，总机械能 E总= 3
4 m g0 R0
根据机械能守恒，初始动能 1
2 m v0
2= E总 ，解得 v0=
√
3 g0 R0
2
。
故选B。
12.（2025·安徽）（多选）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三
星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，
该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径
为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的
引力，则( )
A. r = a+b+ R
2
B. r = a+b
2
+ R
C. M = 4 π
2r
3
GT
2
D. M = 4 π
2 R
3
GT
2
【答案】BC
【解析】AB.对于卫星甲和乙，由开普勒第三定律有 ( a+b+2 R
2
)
3
T
2
= r
3
T
2
，解得r = a+b
2
+ R，故A 错误，B
正确；
CD.对于卫星乙在环月圆轨道，万有引力提供向心力，即 GMm
r
2
=m( 2π
T )
2r，解得M = 4 π
2r
3
GT
2 ，故C 正确，
D 错误。
故选BC。
二．万有引力与重力的关系
13.将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为m g1，将该物体放在地球赤道上时，
该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可
得出( )
A. 地球的质量为g R
2
G
B. 地球同步卫星距地球表面的高度
3√
g1
g1- g R
C. 地球自转的角速度为ω= √
g
R
D. 地球的平均密度为3 g1
4 πGR
【答案】D
【解析】在两极：m g1=G Mm
R
2 ①，在赤道上：GMm
R
2
-mg=mR ω
2②，
A.由①可得M = g1 R
2
G
，故A 错误；
B.同步卫星GMm
( R+h)
2 =m( R+h)ω
2 ③，由①②③式可得h= R(
3√
g1
g1- g -1)，故B 错误；
C.由①②可得ω=
√
g1- g
R
，地球自转角速度与同步卫星角速度相等，故C 错误；
D.地球的平均密度ρ=
M
4 π R
3
3
=
g1 R
2
G
4 π R
3
3
= 3 g1
4 πGR ，故D 正确。
故选D。
14.中国的载人登月计划旨在2030年前实现人类首次登陆月球，为体验在月球上行走的感觉，可采用悬在空中
的氦气球拉着人在地面上前行。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，月球质量为地球质量的p倍，
月球半径为地球半径的q倍，不考虑星球自转，为使质量为m的人在地球表面前行感觉到和月球表面相同的
“重力”，则氦气球对该人的拉力大小为( )
A. p
q
2 mg
B. (1- p
q
2 )mg
C. p
2
q mg
D. (1- p
2
q )mg
【答案】B
【解析】根据题意可得g月= G M 月
R月
2 、g= GM
R
2 ，可得g月= p
q
2 g，为使质量为m的人在地面上前行感觉到和月
球表面相同的重力，氦气球对该人的拉力大小F =mg-m g月=(1- p
q
2 )mg，故B 正确，ACD 错误。
15.北斗系统由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星等组成。将地球看成质量均
匀的球体，若地球同步轨道卫星的轨道半径是地球半径的k倍，下列说法正确的是( )
A. 地球同步轨道卫星的轨道平面一定与地球赤道平面共面
B. 地球同步轨道卫星的线速度是地球第一宇宙速度的k倍
C. 考虑地球自转，地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为(1- 1
k
2 )
D. 考虑地球自转，地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为(1- 1
k
3 )
【答案】D
【解析】A、倾斜地球同步卫星的轨道平面与地球赤道平面不共面，故A 错误；
B、由G Mm
r
2 =m v
2
r 解得卫星的线速度大小v = √
GM
r
，绕地球表面运行的卫星的速度即为第一宇宙速度，则
地球同步轨道卫星的线速度是地球第一宇宙速度的 √
1
k 倍，故B 错误；
CD、对同步卫星：G Mm
(kR)
2 =m( 2π
T )
2·kR，对赤道物体：G Mm
R
2 -m g赤=m( 2π
T )
2 R，对两极物体：
G Mm
R
2 =m g极，联立知，地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为g赤: g极=1- 1
k
3，故C 错
误，D 正确。
16.一探测器在距某星球一定高度处竖直落地，完成任务后再次竖直升空。如图所示，探测器内传感器记录了质
量为m的物体在竖直方向受到的支持力F N在一定高度内变化的图象，横轴中的r代表物体到星球球心的距离，
下列说法正确的是
A. 星球表面的重力加速度一定为F0
m
B. 图象中探测器上升阶段做匀加速直线运动
C. 图象中探测器上升、下降阶段均做匀速直线运动
D. 图象中探测器下降阶段做匀减速直线运动
【答案】B
【解析】解：A .星球表面上重力mg不等于F0，故表面重力加速度不为F0
m ，A 错误；
B.设该星球的质量为M，万有引力常量为G，则物体到星球球心的距离r时受到的万有引力为G Mm
r
2 ，上升阶
段加速度为a1，根据牛顿第二定律F N =ma1+G Mm
r
2 ，F N与r
-2成一次函数关系，截距为ma1=2 F0，
a1= 2 F0
m ，图象中探测器上升阶段做匀加速直线运动，故B 正确；
CD.下降阶段加速度为a2，根据牛顿第二定律F N =-ma2+G Mm
r
2 ，F N与r
-2成一次函数关系，截距为
ma2= F0，a2= F0
m ，图象中探测器下降阶段做匀加速直线运动，故CD 错误；
故选B．
17.（多选）地球可看作半径为R的均匀球体，质量为m的物体在赤道处所受的重力大小为F1，在北极处所受的
重力大小为F2，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A. 赤道上物体的线速度大小为 √
( F2- F1)R
m
B. 赤道上物体的线速度大小为 √
F1 R
m
C. 地球的第一宇宙速度为 √
F2 R
m
D. 地球同步卫星的运行周期为2π √
mR
F1
【答案】AC
【解析】由题意可知物体在地球表面受到的万有引力大小为F2，在赤道上的物体随地球自转的向心力为
F2- F1，圆周运动的线速度大小为v，圆周运动周期为T，F2- F1=m v
2
R ，解得：v =
√
( F2- F1)R
m
，地球同
步卫星的运行周期和自转周期相同，F2- F1=mR 4 π
2
T
2 ，解得：T =2π √
mR
F2- F1
，A 正确，B、D 错误;
根据万有引力提供向心力，地球的第一宇宙速度为v1，F2=m v1
2
R
解得：v1=
√
F2 R
m
，C 正确。
三．卫星运行规律及应用
18.2024年1月18日，由大连理工大学研制的“大连1号-连理卫星”从天舟六号货运飞船成功释放入轨，并成
功回传高清图像。若“连理卫星”的轨道可视为圆周，已知引力常量和“连理卫星”距地面的高度，再结合
下列信息能计算出地球平均密度的是( )
A. 地球对“连理卫星”的万有引力和地球半径
B. “连理卫星”绕地球运动的周期和线速度
C. “连理卫星”绕地球运动的周期和角速度
D. 地球两极处的重力加速度和地球自转周期
【答案】B
【解析】A.已知万有引力F =G
Mm
(R+ H )
2 ( M为地球质量，m为卫星质量)，地球密度ρ= M
V = 3 M
4 π R
3，由于m
和M都未知，所以无法求出地球的平均密度，A 错误；
B.万有引力提供向心力有F =m 4 π
2
T
2 ( R+ H )=m
v
2
R+ H =G
Mm
(R+ H )
2，根据题意H已知，由这三个式子可求
得R和M，根据地球密度ρ= M
V = 3 M
4 π R
3可知，地球的平均密度可以求出，B 正确；
C.万有引力提供向心力有F =m 4 π
2
T
2 ( R+ H )=mω
2( R+ H )=G
Mm
(R+ H )
2，根据这三个式子不能求出R和H，
根据地球密度ρ= M
V = 3 M
4 π R
3，无法求出地球的平均密度，C 错误;
D.根据G Mm
R
2 =m g极，地球半径R和质量M都未知，虽然地球自转周期已知，但是地球赤道处的重力加速度
未知，若已知赤道处的重力加速度，有G Mm
R
2 =m g赤+m 4 π
2
T 自
2 R，与上式联立则可求得地球半径和质量，但
是题目中只给出了地球极地处的重力加速度，所以无法求出地球的平均密度，D 错误。
故选B。
19.如图所示，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的空间站在地球和月球引力的共同作用下，可与
月球以相同的周期绕地球做匀速圆周运动。则( )
A. 空间站的线速度比月球的小
B. 空间站的加速度比月球的大
C. 空间站、月球分别与地球的连线在相等时间内扫过的面积相等
D. 空间站、月球轨道半径的三次方跟周期的二次方的比值相等
【答案】A
【解析】A.由题可知，空间站和月球具有相同的周期，根据T = 2π
ω 可知，它们具有相同的角速度，结合
v =ωr可知，由于空间站的轨道半径小于月球的轨道半径，因此空间站的线速度小于月球的线速度，A 正确；
B.根据an=ω
2r可知，空间站和月球具有相等的角速度，由于空间站的轨道半径小于月球的轨道半径，因此空
间站的加速度比月球的小，B 错误；
C.空间站和月球具有相等的角速度，则它们与地球连线在相等时间内转过的角度相等，由于空间站的轨道半
径小于月球的轨道半径，则它们与地球的连线在相等时间内扫过的面积不相等，C 错误；
D.空间站、月球的周期相等，轨道半径不相等，因此空间站、月球轨道半径的三次方跟周期的二次方的比值
不相等，D 错误。
故选：A。
20.（多选）2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间
中继通信。鹊桥二号采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道(如图)，近月点A距月心约为2.0×10
3km，远月点
B距月心约为1.8×10
4 km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是( )
A. 鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1
B. 鹊桥二号在C、D两点的速度相同
C. 鹊桥二号从C经B到D的运动时间等于12h
D. 鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9km/ s且小于11.2km/ s
【答案】AD
【解析】A.近月点A距月心约为2.0×10
3km，远月点B距月心约为1.8×10
4km，根据牛顿第二定律有
G Mm
r A
2 =maA，G Mm
r B
2 =maB，解得鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1，故A 正确；
B.根据对称性可知，鹊桥二号在C、D两点的速度大小相等，方向相反，即鹊桥二号在C、D两点的速度不相
同，故B 错误；
C.根据图示可知，鹊桥二号从C经B到D的任意位置的速度均小于从D经A到C的任意位置的速度，即鹊桥二
号从C经B到D的时间大于从D经A到C的时间，由于周期为24 h，可知，鹊桥二号从C经B到D的运动时间
大于12h，故C 错误；
D.鹊桥二号没有脱离地球的束缚，可知其在地面的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，即鹊桥
二号在地球表面附近的发射速度大于7.9km/ s且小于11.2km/ s，故D 正确。
故选AD。
21.（多选）如图所示，假设有一颗中继星(在月球的外侧)，同时受到月球和地球的万有引力，中继星绕地球做
匀速圆周运动的周期与月球绕地球做匀速圆周运动的周期均为T，中继星与月球的线速度大小分别为v1、v2，
下列说法正确的是( )
A. v1<v2
B. v1>v2
C. 中继星与月球中心间的距离为T
π |v1- v2|
D. 中继星与月球中心间的距离为T
2π |v1- v2|
【答案】BD
【解析】中继星与月球都绕地球做匀速圆周运动，且周期相等，中继星的轨道半径大于月球的轨道半径，则
中继星的线速度v1大于月球的线速度v2，选项A 错误、B 正确；由r1= T v1
2π 、r2= T v2
2π ，可得中继星与月球中
心间的距离d =r1-r2= T
2π (v1- v2)，选项C 错误、D 正确。
22.（多选）我国计划在月球表面建立长期驻留的太空基地，在基地建设前对月球相关物理量进行探测。已知月
球半径为R，月球近地卫星的周期为T，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，忽略地球、月球自转影
响。根据以上提供的物理量可得( )
A. 月球的质量为4 π
2 R
3
GT
2
B. 月球的密度为3 π
GT
2
C. 月球表面的重力加速度为4 π
2 R
T
2
D. 质量为m的物体在月球表面受到的重力为mg
【答案】ABC
【解析】A、根据万有引力提供近地卫星绕月做圆周运动的向心力，得GMm
R
2
=m( 2π
T )
2 R，可得月球的质量
为4 π
2 R
3
GT
2 ，A 正确;
B、结合密度公式ρ= m
V ，月球的体积V = 4
3 π R
3，可得月球的密度为3 π
GT
2，B 正确;
C、月球表面的重力加速度g' = GM
R
2 ，代入M = 4 π
2 R
3
GT
2 ，可知月球表面的重力加速度g' = 4 π
2 R
T
2
，C 正确;
D、月球表面重力加速度与地球表面的重力加速度不相等， D 错误。
故选ABC．
四．变轨、追及及相遇问题
23.2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥
二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道
调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时
( )
A. 周期约为144 h
B. 近月点的速度大于远月点的速度
C. 近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D. 近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
【答案】B
【解析】A.冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得T 1
2
R1
3 = T 2
2
R2
3
整理得T 2=T 1
√
R2
3
R1
3 =288h，A 错误；
B.根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B 正确；
C.近月点从捕获轨道到冻结轨道，鹊桥二号进行近月制动，捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近
月点的速度，C 错误；
D.两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近
月点的加速度，D 错误。
故选B。
24.如图为地球的三个卫星轨道，Ⅱ为椭圆轨道，其半长轴为a，周期为T，Ⅰ、Ⅲ为圆轨道，且Ⅲ的半径与II
的半长轴相等，Ⅲ与Ⅱ相交于M点，Ⅰ与Ⅱ相切于N点，三颗不同的卫星A、B、C分别运行在轨道Ⅰ、Ⅱ、
Ⅲ上，已知引力常量为G，则( )
A. 由题中条件可求得地球质量
B. B、C在M点的向心加速度大小相等
C. A、B经过N点时的所受地球引力相同
D. A、B与地心的连线在相等时间内扫过的面积相等
【答案】A
【解析】A.椭圆轨道Ⅱ半长轴为a，周期为T，Ⅰ、Ⅲ为圆轨道，由于Ⅲ的半径与Ⅱ的半长轴相等，由开普勒
第三定律可知圆轨道Ⅲ的半径为a，卫星C的周期为T，则G Mm
a
2 =m 4 π
2
T
2 a，解得地球的质量M = 4 π
2a
3
GT
2 ，
故A 正确；
B.由 G Mm
r
2 =ma，解得a= GM
r
2 ，所以B、C在M点的加速度大小相等，由于卫星B做变速圆周运动，卫星
B的加速度与向心加速度不等，所以B、C在M点的向心加速度大小不相等，故B 错误；
C.A、B的质量未知，由 F =G Mm
r
2 可知A、B经过N点时的所受地球引力不一定相同，故C 错误；
D.由开普勒第二定律可知同一卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积相等，A、B与地心的连线在相等
时间内扫过的面积不一定相等，故D 错误。
故选A。
25.“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨
道和停泊轨道，则天问一号( )
A. 发射速度介于7.9km/ s与11.2km/ s之间
B. 从P点转移到Q点的时间大于6个月
C. 在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上大
D. 在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
【答案】B
【解析】A.因发射的卫星要脱离地球的引力而变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射
速度介于11.2km/ s与16.7 km/ s之间，故A 错误；
B.因P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期(1年共12个月)，
则从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一半时间应大于6个月，故B 正确；
C.因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨
道运行的周期比在调相轨道上小，故C 错误；
D.卫星从Q点变轨时，要加速增大速度才能进入火星轨道，即在地火转移轨道上Q点的速度小于火星轨道的
速度，根据v = √
GM
r
可知，在火星轨道上的速度小于地球轨道的速度，则在地火转移轨道运动时Q点的速度
小于地球绕太阳的速度，故D 错误。
故选B。
26.A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离Δr随时间变化的关系如图
所示。已知地球的半径为r，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，若不考虑A、B之间的万有引力，则卫星
A、B绕地球运行的周期分别为( )
A. 7T 0，56T 0
B. 9T 0，72T 0
C. 8T 0，64T 0
D. 14T 0，56T 0
【答案】A
【解析】设卫星A的轨道半径为R A，卫星B的轨道半径为RB，由题意卫星A的线速度大于卫星B的线速度，
则卫星A的轨道半径小于卫星B的轨道半径，结合图像有RB- R A =3r，RB+ R A =5r，
解得R A =r，RB= 4 r，设卫星A绕地球做匀速圆周运动周期为T A，则有
GM mA
R A
2
=mA R A 4 π
2
T A
2 ，解得
T A =
√
4 π
2r
3
GM
，卫星B绕地球做匀速圆周的周期为T B，则有
GM mB
RB
2
=mB RB
4 π
2
T B
2 ，解得
T B=8
√
4 π
2r
3
GM =8T A，由图像可知每经过时间t =8T 0，两卫星再一次相距最近，则有
( 2π
T A
- 2π
T B
)⋅8T 0=2π，联立解得T A =7T 0，T B=56T 0，A 正确；
27.2025年4月1日，长征二号丁运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将试验卫星准确送入预定轨道。
如图所示，某试验卫星绕地球圆周运动的轨道半径为R1，另一人造卫星01星绕地球圆周运动的轨道半径为R2，
且R1< R2，此时两卫星与地心恰好在一条直线上。已知地球质量为M，引力常量为G，地球表面重力加速度
为g，忽略地球自转，则下列说法正确的是( )
A. 地球的半径R = √
g
GM
B. 试验卫星线速度小于01星的线速度
C. 试验卫星与01星在相同时间内扫过的面积之比为
√
R1
R2
D. 若两颗卫星绕行方向一致，至少经过时间
2π
√
GM
R1
3 - √
GM
R2
3
，两卫星与地心再次共线
【答案】C
【解析】A.在地球表面GMm
R
2
=mg，故R = √
GM
g
，故A 错误；
B.根据GMm
r
2
=m v
2
r 可得v = √
GM
r
，故试验卫星线速度大于01星的线速度，故B 错误；
C.扫过的面积S = 1
2 vt·r = 1
2
√GMr t，故试验卫星与01星在相同时间内扫过的面积之比为 √
R1
R2
，故C 正确；
D.若两颗卫星绕行方向一致，两卫星与地心再次共线需满足2π
T 1
t - 2π
T 2
t = π，解得t =
T 1T 2
2(T 2-T 1)
，根据
GMm
r
2
=mr(
2π
T )
2
可知T =
√
4 π
2r
3
GM
，联立解得
t =
π
√
GM
R1
3 - √
GM
R2
3
，故D 错误。
五．宇宙速度、双星问题
28.天玑星是北斗七星之一，在天玑星周围还有一颗伴星，它们组成双星系统，各自绕二者连线上的某一点O做
匀速圆周运动，伴星距O点较远，如图所示。现已知天玑星的质量为M，二者之间连线的距离为L，运动周
期均为T，引力常量为G。下列说法正确的是( )
A. 伴星的线速度小于天玑星的线速度B. 伴星的质量大于天玑星的质量
C. 天玑星的运动半径为GT
2 M
4 π
2 L
2
D. 天玑星和伴星的总质量为4 π
2 L
3
GT
2
【答案】D
【解析】A、双星系统角速度相等，根据v =rω可知伴星的线速度大于天玑星的线速度，故A 错误；
BCD、根据万有引力提供向心力有GMm
L
2
= M r1ω
2=mr2ω
2，可知伴星的质量小于天玑星的质量，结合
ω= 2π
T ，r1+r2= L，解得r1= GT
2m
4 π
2 L
2 ，M +m= 4 π
2 L
3
GT
2 ，故BC 错误，D 正确。
29.宇宙中有两颗相距很远的行星A和B，质量分别为mA，mB，半径分别为R A、RB，第一宇宙速度分别为v A、
vB。两颗行星周围卫星的轨道半径r的三次方与运行周期T的平方的关系如图所示，T 0为卫星环绕行星表面运
行的周期。下列关系式正确的是( )
A. mA<mB
B. mA =mB C. v A = vB
D. v A>vB
【答案】D
【解析】AB.根据万有引力提供向心力可知G Mm
r
2 =m 4 π
2r
T
2
，对于环绕行星A表面运行的卫星，有
T 0
2= 4 π
2 R A
3
G mA
，对于环绕行星B表面运行的卫星，有T 0
2= 4 π
2 RB
3
G mB
，联立解得
mA
mB
= R A
3
RB
3 ，由图可知R A
3 > RB
3，故
mA>mB，A、B 错误；
CD .行星近地卫星的线速度即第一宇宙速度为v = 2πR
T 0
，因为R A
3 > RB
3，故v A>vB，C 错误，D 正确。
故选D。
30.“十五五”期间，我国太空探源科学卫星计划将发射多颗卫星，其中系外地球巡天卫星是“为人类寻找新
家”的。假如在不久的未来，我们找到一个人类梦寐以求的第二家园，宇航员在该行星表面附近自高H处以
初速度v0水平抛出一个小球，测出小球从抛出到落地的水平位移为s，已知该行星半径为R，万有引力常量为
G，则下列说法中正确的是( )
A. 行星表面的重力加速度为2 H v0
2
H
2- s
2
B. 行星的质量为2s
2 R
2v0
2
GH
C. 行星的第一宇宙速度为v0
√2 Rs
H
D. 行星的平均密度为3 H v0
2
2GRπ s
2
【答案】D
【解析】A、小球做平抛运动，水平位移为：s= v0t，竖直方向上，H = 1
2 gt
2，得月球表面的重力加速度为：
g= 2 H v0
2
s
2
，故A 错误；
B、物体在月球表面，根据重力等于万有引力，有：G m月m
R
2
=mg，解得月球的质量为：m月= 2 H R
2v0
2
G s
2
，
故B 错误；
C、在月球表面，根据重力充当向心力可知：m g月=m v
2
R ，解得月球的第一宇宙速度为：v = v0
√
2 HR
s
2
，故
C 错误；
D、月球的平均密度为：ρ=
m月
4
3 π R
3 = 3 H v0
2
2GRπ s
2，故D 正确。
31.如图所示，天文观测中观测到有质量相等的三颗天体位于边长为l的等边三角形△ABC三个顶点上，三颗天
体均做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G，不计其他天体对它们的影响，关于这个三星系统，下
列说法正确的是( )
A. 三颗天体的质量均为4 π
2l
3
3GT
2
B. 三颗天体的质量均为4
√3 π
2l
3
3GT
2
C. 三颗天体线速度大小均为πl
T
D. 三颗天体线速度大小均为
√3 πl
3T
【答案】A
【解析】AB.轨道半径r =
√3
3 l，设三颗星的质量均为M，有2× G M
2
l
2
cos30° = Mr 4 π
2
T
2 ，解得M = 4 π
2l
3
3GT
2，
故A 正确，B 错误；
CD.2× G M
2
l
2
cos30° = M v
2
r ，解得v = 2
√3 πl
3T
，故C、D 错误。
32.宇宙中有一个由中子星和红矮星组成的双星系统，双星绕其连线上的某点做匀速圆周运动。观测显示，中子
星的线速度大小为v1，红矮星的线速度大小为v2，两星之间的距离为L。已知引力常量为G，忽略其他天体对
该双星系统的影响，则该双星系统的总质量为( )
A. (v1+υ2)
2 L
2G
B. (υ1
2+ v2
2)L
G
C. υ1v2 L
G
D. (υ1+ v2)
2 L
G
【答案】D
【解析】设中子星的质量为m1，红矮星的质量为m2，两星的角速度均为ω，由v =rω得
r1= v1
ω 、r2= v2
ω ，又L=r1+r2，联立解得ω= v1+ v2
L
。
由万有引力提供向心力，对中子星有G m1m2
L
2
=m1r1ω
2=m1v1ω，
对红矮星有G m1m2
L
2
=m2r2ω
2=m2v2ω，
两式相加得G (m1+m2)
L
2
=(v1+ v2)ω，
将ω= v1+ v2
L
代入上式可得该双星系统的总质量M =m1+m2= (v1+ v2)
2 L
G
，D 正确。
