甘肃省武威市（凉州区）2018 年中考数学真题试题
一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分.每小题只有一个正确选项.
1. -2018 的相反数是（ ）
A. -2018 B. 2018 C.
D.
【答案】B
【解析】分析：直接利用倒数的定义进而分析得出答案．
详解：-2018 的倒数是：-
．
故选B．
点睛：此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．
2. 下列计算结果等于
的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】【分析】A、根据同底数幂的乘法法则计算.
B、不是同类项，不能合并.
C、不是同类项，不能合并.
D、根据同底数幂的乘法法则计算；
【点评】考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，熟记它们的运算法则是解题的
关键.
3. 若一个角为
，则它的补角的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】【分析】两个角的和等于
则这两个角互为补角.
【解答】一个角为
，则它的补角的度数为:
故选C.
【点评】考查补角的定义，熟练掌握补角的定义是解题的关键.
4. 已知
，下列变形错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【解答】由
得，3a=2b，
A. 由
得
，所以变形正确，故本选项错误；
B. 由
得3a=2b，所以变形错误，故本选项正确；
C. 由
可得
，所以变形正确，故本选项错误；
D.3a=2b 变形正确，故本选项错误.
故选B.
【点评】考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.
5. 若分式
的值为0，则的值是（ ）
A. 2 或-2 B. 2 C. -2 D. 0
【答案】A
【解析】【分析】分式值为零的条件是：分子为零，分母不为零.
【解答】根据分式有意义的条件得：
解得：
故选A.
【点评】考查分式值为零的条件，分式值为零的条件是：分子为零，分母不为零.
6. 甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10 次，他们成绩
的平均数与方差如下表：
甲
乙
丙
丁
平均数（米）
11.1
11.1
10.9
10.9
方差
1.1
1.2
1.3
1.4
若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】A
【解析】【分析】根据平均数和方差的意义解答．
【解答】从平均数看，成绩好的同学有甲、乙，
从方差看，甲、乙中，甲方差小，甲发挥稳定.
故选A.
【点评】考查平均数和方差的意义，方差越小，乘积越稳定.
7. 关于的一元二次方程
有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】【分析】关于的一元二次方程
有两个实数根，得
解不等式
即可.
【解答】关于的一元二次方程
有两个实数根，
得
解得：
故选C.
【点评】考查一元二次方程
根的判别式
，
当
时，方程有两个不相等的实数根.
当
时，方程有两个相等的实数根.
当
时，方程没有实数根.
8. 如图，点是正方形
的边
上一点，把
绕点顺时针旋转
到
的位置，
若四边形
的面积为25，
，则
的长为（ ）
A. 5 B.
C. 7 D.
【答案】D
【解析】【分析】利用旋转的性质得出正方形边长，再利用勾股定理得出答案．
【解答】∵把△ADE 顺时针旋转△ABF 的位置，
∴四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于25，
∴AD=DC=5，
∵DE=2，
∴Rt△ADE 中,
故选D.
【点评】考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
9. 如图，
过点
，
，
，点是轴下方
上的一点，连接
，
，则
的度数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】【分析】连接CD，根据圆周角定理可知∠OBD=∠OCD,根据锐角三角形函数即可求出
∠OCD 的度数.
【解答】连接CD，
∵∠OBD 与∠OCD 是同弧所对的圆周角，
∴∠OBD=∠OCD.
∵
∴
故选B.
【点评】考查圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等
是解题的关键.
10. 如图是二次函数
（，，是常数，
）图象的一部分，与轴的交点在点
和
之间，对称轴是
.对于下列说法：①
；②
；③
；④
（为实数）；⑤当
时，
，其中正确的是（ ）
A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
【答案】A
【解析】【分析】由开口方向和对称轴的位置可判断①；由对称轴为直线x=1 可判断②；由x=3
时
可判断③；根据函数在
时取得最大值，可以判断④，由-1<x<3 时，函数图象位于
x 轴上方可判断⑤．
【解答】∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
抛物线的对称轴
可知：
故①正确；
∵抛物线的对称轴
∴b= 2
−a，即2a+b=0，故②正确；
由图象知当x=3 时，
把b= 2
−a 代入得：
故③错误；
故④正确；
由图象可知，当−1<x<3 时，函数图象有些部分位于x 轴上方，故⑤错误.
故选A.
【点评】考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，不等式等知识点，
难度适中，属于高频考点.
二、填空题：本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分.
11. 计算：
__________．
【答案】0
【解析】【分析】按照实数的运算顺序进行运算即可.
【解答】原式
故答案为：0.
【点评】本题考查实数的运算，主要考查负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及二次根式，
熟练掌握各个知识点是解题的关键.
12. 使得代数式
有意义的的取值范围是__________．
【答案】
【解析】【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件列出不等式进行计算即可.
【解答】代数式
有意义的条件是：
解得：
故答案为：
【点评】考查二次根式和分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零,
分式有意义的条件是分母不为零.
13. 若正多边形的内角和是
，则该正多边形的边数是__________．
【答案】8
【解析】【分析】根据多边形内角和公式进行计算即可.
【解答】设正多边形的边数是
根据题意得：
解得：
故答案为：8.
14. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的侧面积为
__________．
【答案】108
【解析】试题分析：三视图就是主视图（正视图）、俯视图、左视图的总称。从物体的前面向后
面投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状；从物体的上面向下面投
射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状；从物体的左面向右面投射所得的视图
称左视图——能反映物体的左面形状。利用知识点：主府长对正，主左高平齐，府左宽相等，
得该几何体底面正六边形，AB=4，正六边形被分成6 个全等的等边三角形，边长AC=2
该几何体的表面积为2
+6
=48+12
考点：1、三视图，2、等边三角形，3、正六边形
15. 已知，，是
的三边长，，满足
，为奇数，则
__________．
【答案】7
【解析】【分析】根据非负数的性质直接求出，，根据三角形的三边关系可直接求出边长
【解答】，满足
，
根据三角形的三边关系，得
即：
为奇数，则
7.
故答案为：7.
【点评】考查非负数的性质以及三角形的三边关系，三角形任意两边之和大于第三边.
16. 如图，一次函数
与
的图象相交于点
，则关于的不等式组
的解集为__________．
【答案】
【解析】【分析】先将点P(n, 4)
−
代入数y=−x 2,
−
求出n 的值，再找出直线
落在数
y=−x 2
−的下方且都在x 轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】∵一次函数y=−x 2
−的图象过点P(n, 4)
−
，
∴4=
−
−n 2
−，解得n=2，
∴P(2, 4)
−
，
又∵y=−x 2
−与x 轴的交点是( 2,0)
−
，
∴关于x 的不等式组
的解集为−2<x<2.
故答案为: 2<
−
x<2.
【点评】考查一次函数与一次不等式，会数形结合是解题的关键.
17. 如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆
弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为，则勒洛三角形的
周长为__________．
【答案】
【解析】【分析】勒洛三角形的周长为3 段相等的弧，计算弧长即可.
【解答】勒洛三角形的周长为3 段相等的弧，每段弧的长度为：
则勒洛三角形的周长为：
故答案为：
【点评】考查弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键.
18. 如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为625，则第2018 次输出的结果为
__________．
【答案】1
【解析】【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．
【解答】当x=625 时,
当x=125 时,
=25，
当x=25 时,
=5，
当x=5 时,
=1，
当x=1 时，x+4=5，
当x=5 时,
=1，
当x=1 时，x+4=5，
当x=5 时,
=1，
…
(2018 3)÷2=1007…1
−
，
即输出的结果是1，
故答案为：1.
【点评】考查代数式的求值，找出其中的规律是解题的关键.
三、解答题
19. 计算：
.
【答案】原式
【解析】【分析】先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简即可.
【解答】原式=
=
﹒
．
【点评】考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.
20. 如图，在
中，
.
（1）作
的平分线交
边于点，再以点为圆心，
的长为半径作
；（要求：不写作
法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中
与
的位置关系，直接写出结果.
【答案】（1）作图见解析；（2）AC 与⊙O 相切．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法求出角平分线CO；
（2）过O 作OD⊥AC 交AC 于点D，先根据角平分线的性质求出DO=BO，再根据切线的判定定理
即可得出答案．
【解答】（1）如图,作出角平分线CO;
作出⊙O.
（2）AC 与⊙O 相切.
【点评】考查作图—复杂作图，直线与圆的位置关系，熟练掌握角平分线的作法是解题的关键.
21. 《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，
也首先记录了“盈不足”等问题.如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，
人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，
如果每人出9 文钱，就会多11 文钱；如果每人出6 文钱，又会缺16 文钱.问买鸡的人数、鸡的
价格各是多少？请解答上述问题.
【答案】合伙买鸡者有9 人，鸡价为70 文钱．
【解析】【分析】设合伙买鸡者有x 人，鸡价为y 文钱．根据如果每人出9 文钱，就会多11 文钱；
如果每人出6 文钱，又会缺16 文钱.列出方程组，求解即可.
【解答】设合伙买鸡者有x 人，鸡价为y 文钱．
根据题意可得方程组
，
解得
．
答：合伙买鸡者有9 人，鸡价为70 文钱．
【点评】考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，列方程.
22. 随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩
短了时空距离，改变了人们的出行方式.如图，，两地被大山阻隔，由地到地需要绕行
地，若打通穿山隧道，建成，两地的直达高铁，可以缩短从地到地的路程.已知：
，
，
公里，求隧道打通后与打通前相比，从地到地的路程
将约缩短多少公里？（参考数据：
，
）
【答案】隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程将约缩短224 公里．
【解析】
【分析】过点C 作CD⊥AB, 垂足为D, 在Rt△ADC 和Rt△BCD 中，分别解直角三角形即
可.
【解答】如图，过点C 作CD⊥AB, 垂足为D,
在Rt△ADC 和Rt△BCD 中，
∵ ∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640．
∴ CD=320，AD=
，
∴ BD=CD=320，BC=
,
∴ AC+BC=
，
∴ AB=AD+BD=
，
∴ 1088-864=224（公里）．
答：隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程将约缩短224 公里．
【点评】考查解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键.
23. 如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3 个小正方形所形成的图案.
（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？
（2）现将方格内空白的小正方形（，，，，，）中任取2 个涂黑，得到新图案.请用列表或
画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率.
四、解答题（二）：本大题共5 小题，共50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【答案】（1）；（2）
【解析】【分析】
直接写出米粒落在阴影部分的概率即可.
画树状图写出所有的情况，根据概率的求法计算概率.
【解答】解：（1）米粒落在阴影部分的概率为
；
（2）列表：
第二次
A
B
C
D
E
F
A
(A，B)
(A，C)
(A，D)
(A，E)
(A，F)
B
（B , A）
(B，C)
(B，D)
(B，E)
(B，F)
C
(C , A)
(C，B)
(C，D)
(C，E)
(C，F)
D
(D , A）
(D，B)
(D，C)
(D，E)
(D，F)
E
(E , A)
(E，B)
(E，C)
(E，D)
(E，F)
F
(F , A)
(F , B)
(F , C)
(F , D)
(F，E)
共有30 种等可能的情况，其中图案是轴对称图形的有10 种，
故图案是轴对称图形的概率为
；
【点评】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的
比.
24. “足球运球”是中考体育必考项目之一.兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球
的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按，，，四个
等级进行统计，制成了如下不完整的统计图.（说明：级：8 分—10 分，级：7 分—7.9 分，
级：6 分—6.9 分，级：1 分—5.9 分）
根据所给信息，解答以下问题：
（1）在扇形统计图中，对应的扇形的圆心角是_______度；
（2）补全条形统计图；
（3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在_______等级；
（4）该校九年级有300 名学生，请估计足球运球测试成绩达到级的学生有多少人？
【答案】（1）117；（2）画图见解析；（3）B；（4）30 人.
【解析】【分析】（1）根据B 的认识和所占的百分比，求出总人数是：18÷45%=40，求得
则C 级的人数,进而求得
（2）根据（1）求出的C 级的人数，即可作出条形统计图；
（2）根据扇形统计图，用1 减去A、B、C 三个级别的百分比，即可求出D 级的学生人数占全班
学生人数的百分比；
（3）一共有40 名同学，中间两个数是第20 和21，都落在B 级，所抽取学生的足球运球测试成
绩的中位数会落在B 等级；
（4）用总人数乘以A 级所占的百分比即可求解．
【解答】(1)总人数是：18÷45%=40，
则C 级的人数是：40 4 18 5=13.
−−
−
对应的扇形的圆心角是:
故答案为：117；
（2）如图
（3）B；
（4）
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计
图直接反映部分占总体的百分比大小．
25. 如图，一次函数
的图象与反比例函数
（为常数且
）的图象交于
，
两点，与轴交于点.
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，且
，求点的坐标.
【答案】（1）反比例函数的表达式为
；（2）点P（-6，0）或（-2，0）．
【解析】【分析】（1）把点A（-1，a）代入
，得
,得到A（-1，3），
代入反比例函数
，得
,即可求得反比例函数的表达式.
（2）联立两个函数表达式得
,解得
，
．求得点B 的坐标，
当
时，得
.求得点C（-4，0）． 设点P 的坐标为（，0）．根据
，
列出方程求解即可.
【解答】（1）把点A（-1，a）代入
，得
,
∴ A（-1，3）
把A（-1，3）代入反比例函数
，得
,
∴ 反比例函数的表达式为
．
（2）联立两个函数表达式得
,解得
，
．
∴ 点B 的坐标为B（-3，1）．
当
时，得
.
∴ 点C（-4，0）．
设点P 的坐标为（，0）．
∵
，
∴
．
即
,
解得
，
.
∴ 点P（-6，0）或（-2，0）．
【点评】属于反比例函数和一次函数综合题，考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法
求反比例函数解析式，三角形的面积公式等，难度不大，熟练掌握各个知识点是解题的关键.
26. 已知矩形
中，是
边上的一个动点，点，，分别是
，
，
的中点.
（1）求证：
；
（2）设
，当四边形
是正方形时，求矩形
的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
．
【解析】【分析】（1）根据点F,H 分别是BC,CE 的中点，根据中位线的性质有FH∥BE，
．
．点G 是BE 的中点，
．即可证明△BGF ≌ △FHC．
（2）当四边形EGFH 是正方形时，可知EF⊥GH 且
证明
，即可求出矩
形的面积.
【解答】（1）∵点F,H 分别是BC,CE 的中点，
∴FH∥BE，
．
∴
．
又∵点G 是BE 的中点，
∴
．
又∵
，
∴△BGF ≌ △FHC．
（2）当四边形EGFH 是正方形时，可知EF⊥GH 且
∵在△BEC 中，点G，H 分别是BE,EC 的中点,
∴
且GH∥BC,
∴
又∵AD∥BC, AB⊥BC,
∴
，
∴
．
【点评】考查中位线的性质，正方形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定
方法是解题的关键.
27. 如图，点是
的边
上一点，
与边
相切于点，与边
，
分别相交于点，
，且
.
（1）求证：
；
（2）当
，
时，求
的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）
．
【解析】【分析】（1）连接OE,BE．证明OE∥BC. OE⊥AC．根据平行线的性质得到BC⊥AC,即可
证明
；
（2）在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，
，求得AB=5．在Rt △AOE 中，
,
．
．
【解答】（1）证明：连接OE,BE．
∵ DE=EF，
∴
=
,
∴
∵
∴
∴
∴OE∥BC.
∵⊙O 与边AC 相切于点E，
∴ OE⊥AC．
∴BC⊥AC,
∴∠C=90°.
（2）在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，
，
∴AB=5．
设⊙O 的半径为r，则
在Rt △AOE 中，
,
∴
．
∴
．
【点评】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形，题目比较典型，综合性比
较强，难度适中．
28. 如图，已知二次函数
的图象经过点
，与轴分别交于点，点
.点
是直线
上方的抛物线上一动点.
（1）求二次函数
的表达式；
（2）连接
，
，并把
沿轴翻折，得到四边形
.若四边形
为菱形，请求出此
时点的坐标；
（3）当点运动到什么位置时，四边形
的面积最大？求出此时点的坐标和四边形
的最大面积.
【答案】
（1）该二次函数的表达式为
；
（2）点P 的坐标为（
，）；
（3）P 点的
坐标为
，四边形ABPC 的面积的最大值为
．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相平分，可得P 点的纵坐标，根据函数值与自变量的对应关系，可得
答案；
（3）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m 的值，根据自变量与函数
值的对应关系，可得P 点坐标．
【解答】（1）将点B 和点C 的坐标代入
,
得
，解得
，
．
∴ 该二次函数的表达式为
．
（2）若四边形POP′C 是菱形，则点P 在线段CO 的垂直平分线上；
如图，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，
∵ C（0，3），
∴ E（0，）,
∴ 点P 的纵坐标等于．
∴
,
解得
，
（不合题意，舍去），
∴ 点P 的坐标为（
，）．
（3）过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q，与OB 交于点F，
设P（m，
），设直线BC 的表达式为
，
则
, 解得
.
∴直线BC 的表达式为
．
∴Q 点的坐标为（m，
），
∴
.
当
，
解得
，
∴ AO=1，AB=4，
∴ S 四边形ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ
=
=
=
．
当
时，四边形ABPC 的面积最大．
此时P 点的坐标为
，四边形ABPC 的面积的最大值为
．
【点评】本题考查了待定系数法求一次二次函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积、
解一元二次方程，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
求出点P 的纵坐标等于，列一元二次方程求解；
列出面积的关于的二次函数，根据二次
函数的性质进行求解即可.
