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专题04 构造函数的应用
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题型01 构造函数比较大小（加减、乘法、商式同构等）..........................................1
题型02 构造函数解不等式（原函数与导函数混合还原）..........................................2
题型03 构造函数求参数的最值（范围）........................................................4
题型04 构造函数证明不等式..................................................................5
题型01 构造函数比较大小（加减、乘法、商式同构等）
【解题规律·提分快招】
【常见同构形式】
（1）乘积模型：
（2）商式模型：
（3）和差模型：
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
1
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2．（24-25 高三上·福建福州·阶段练习）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 高三·全国·专题练习）设a，b 都为正数，为自然对数的底数，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·辽宁·阶段练习）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·江西新余·阶段练习）设
，
，
，则
的大小关系为：
（ ）.
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·山西吕梁·阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 构造函数解不等式（原函数与导函数混合还原）
【解题规律·提分快招】
一、构造函数解不等式解题思路
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为
；
（2）判断函数
的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“
”脱掉，得到具体的不等式
（组），但要注意函数奇偶性的区别.
二、构造函数解不等式解题技巧
求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形
模型1.对于
，构造
模型2.对于不等式
，构造函数
.
模型3.对于不等式
，构造函数
拓展：对于不等式
，构造函数
模型4.对于不等式
，构造函数
2
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模型5.对于不等式
，构造函数
拓展：对于不等式
，构造函数
模型6.对于不等式
，构造函数
拓展：对于不等式
，构造函数
模型7.对于
，分类讨论：（1）若
，则构造
（2）若
，则构造
模型8.对于
，构造
.
模型9.对于
，构造
.
模型10.（1）对于
，即
，
构造
．
（2）对于
，构造
．
模型11.（1）
（2）
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24 高二下·安徽亳州·期中）已知函数
及其导函数
的定义域均为R，
且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二下·重庆·期中）已知
是函数
的导数，且
，则不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数
的导函数为
，且
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
3
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C．
D．
4．（23-24 高二下·四川凉山·期末）已知可导函数
的定义域为
，其导函数
满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·辽宁·期中）已知定义在
上的函数
及其导函数
，满足
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 构造函数求参数的最值（范围）
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·湖南·期中）若
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．0
C．
D．
2．（24-25 高三上·云南·阶段练习）若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
3．（24-25 高三上·广西贵港·阶段练习）已知
，若函数
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．3
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知偶函数
在区间
单调递减，当
时，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数
，
，若
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·江苏泰州·期中）已知函数
，若
恒成立，则实数
的取
4
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值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三上·河北·期中）当
时，
，则正数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 构造函数证明不等式
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·安徽六安·阶段练习）下列不等关系中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·湖南常德·阶段练习）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、解答题
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线的斜率为2，求
的值．
(2)当
时，证明：
，
．
4．（24-25 高三上·四川·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
，证明：
.
5．（24-25 高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数
.
(1)若
在(0,+ ∞)上单调递增，求实数
的取值范围；
5
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(2)当
时，证明：
.
6．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
和
，若存在两个实数
，且
，使
得
，
，证明：
．
7．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)讨论
的单调性和最值；
(2)若关于x 的方程
有两个不等的实数根
，
，求证：
．
一、单选题
1．（23-24 高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数y = f (x)是定义在R 上的奇函数，
是
的导函
数，且当
时，
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二下·江苏淮安·期末）函数
，
，若存在正数
，
，使得
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
3．（23-24 高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·四川德阳·三模）已知函数
及其导函数
在定义域均为
且
是偶函
数，其函数图象为不间断曲线且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·安徽马鞍山·期中）已知
，
，
，当
时，
恒
6
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成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·湖北·模拟预测）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．（23-24 高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知
，则下列关系式可能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 高二下·河南·期中）设定义在
上的函数
的导函数为
，若满足
，
且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
在
上单调递增
B．不等式
的解集为
C．若
恒成立，则
D．若
，则
三、填空题
9．（24-25 高三上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知
是R 上的奇函数，且对任意的x∈R均有
成立．若
，则不等式
的解集为 ．
10．（24-25 高三上·甘肃兰州·期中）已知函数
，
，若
，
，则
的最小值为 ．
11．（24-25 高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数
，若对任意
，都有
，则
的取值范围为 .
四、解答题
12．（2024·河北·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
.
7
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13．（23-24 高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数
，
．
(1)证明：
．
(2)证明：
．
(3)若
，求
的最大值．
14．（2024·天津·二模）已知
，
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若函数
存在极大值，且极大值为1，求证：
．
15．（23-24 高三上·河北保定·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，比较
与
的大小；
(2)若函数
，且
，证明：
.
8
