关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题04 构造函数的应用
目录（Ctrl 并单击鼠标可跟踪链接）
题型01 构造函数比较大小（加减、乘法、商式同构等）..........................................1
题型02 构造函数解不等式（原函数与导函数混合还原）..........................................5
题型03 构造函数求参数的最值（范围）........................................................9
题型04 构造函数证明不等式.................................................................13
题型01 构造函数比较大小（加减、乘法、商式同构等）
【解题规律·提分快招】
【常见同构形式】
（1）乘积模型：
（2）商式模型：
（3）和差模型：
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】B
【分析】构建
，利用导数判断
的单调性，进而可得
，再结合对数函
数单调性可得
.
【详解】记
，则
，
可知
在
上单调递增，则
，即
，
可得
；
又因为
，则
，即
；
所以
.
故选：B.
2．（24-25 高三上·福建福州·阶段练习）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】易得
，
，
，构建函数
，求导判断其单调性，利用单调性比较
大小即可.
【详解】由题意可得
，
，
，
设
，
，则
，
故当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
因为
，
，
，且
，
可得
，
，所以
.
故选：D.
3．（2024 高三·全国·专题练习）设a，b 都为正数，为自然对数的底数，若
，则（ ）
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将不等式变形为
，构造函数
，由导数确定函数单调性，由单调性及不
等关系即可求解.
【详解】由已知
，即
.
设
，则
，
.
，
，
.
当
时，
，
在
上单调递增，所以
.
故选：B.
4．（24-25 高三上·辽宁·阶段练习）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先通过数值放缩判断
与
及与
的大小关系，然后构造函数
，
利用导数研究函数
的单调性，借助函数单调性判断
与的大小关系.
【详解】因为
，所以
；
因为函数
单调递增，
，所以
，即
，则
，所以
；
构造函数
，则
，
令
，则
，
显然
在
上单调递增，所以
，
故
在
上单调递增，所以
，所以
在
上单调递增，
从而
，故有
，整理得
，
所以
，故
．
故选：B
5．（24-25 高三上·江西新余·阶段练习）设
，
，
，则
的大小关系为：
（ ）.
A．
B．
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C．
D．
【答案】A
【分析】分别构造函数
，
，利用导数求导，得
单调性求解即可．
【详解】令
，求导得
，
，，
当
时，
，函数
在
单调递减，
当
时，
，函数
在
单调递增，
所以
，所以
，当且仅当
，时等号成立，所以
，
所以
，设
，则
，
记
，则
，记
，
则
，所以
在
上单调递增，
故
时，
，即
，
所以
在
上单调递增，故
时，
，
即
，所以
在
上单调递增，
故
时，
，即
，所以
，
又
，所以
，即
，所以
．
故选：A
6．（24-25 高三上·山西吕梁·阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】对
分别取对数并作商，再构造函数
，利用导数探讨单调性
即可比较大小.
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】由
，得
，
令
，求导得
，令
，
求导得
，函数
在
上单调递减，
，
即
，函数
在
上单调递减，则
，
即
，
，因此
；
令
，求导得
，当
时，
，
即
，函数
在
上单调递减，则
，
即
，
，因此
，
所以
.
故选：C
【点睛】关键点点睛：对被比较大小的两个数取对数并作商，再构造函数是求解问题的关键.
题型02 构造函数解不等式（原函数与导函数混合还原）
【解题规律·提分快招】
一、构造函数解不等式解题思路
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为
；
（2）判断函数
的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“
”脱掉，得到具体的不等式
（组），但要注意函数奇偶性的区别.
二、构造函数解不等式解题技巧
求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形
模型1.对于
，构造
模型2.对于不等式
，构造函数
.
模型3.对于不等式
，构造函数
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
拓展：对于不等式
，构造函数
模型4.对于不等式
，构造函数
模型5.对于不等式
，构造函数
拓展：对于不等式
，构造函数
模型6.对于不等式
，构造函数
拓展：对于不等式
，构造函数
模型7.对于
，分类讨论：（1）若
，则构造
（2）若
，则构造
模型8.对于
，构造
.
模型9.对于
，构造
.
模型10.（1）对于
，即
，
构造
．
（2）对于
，构造
．
模型11.（1）
（2）
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24 高二下·安徽亳州·期中）已知函数
及其导函数
的定义域均为R，
且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，构造函数
，判断
的单调性，将所求不等式进行同解变形，利用单调
性得到一元二次不等式，解之即得.
【详解】设
，则
，故
单调递增.
又
，故
可转化为
，即
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
由
单调递增可得
，解得
或
，
即不等式
的解集为
.
故选：
.
2．（23-24 高二下·重庆·期中）已知
是函数
的导数，且
，则不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】不等式
可化为
，故考虑构造函数
，
结合条件判断其单调性，利用单调性解不等式可得结论.
【详解】不等式
可化为
，
设
，则原不等式可化为
，
对函数
求导，得
，
因为
，所以
，
所以函数
是实数集上的增函数，
所以
．
故不等式
的解集为
.
故选：B.
3．（23-24 高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数
的导函数为
，且
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，由题意可得当
时，
，即可得
的单调性，结合
，可得
，又
，结合
单调性即可得解.
【详解】令
，则
，
由当
时，
，则当
时，
，
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即
在
上单调递减，
由
，则
，
由
，即
，故
.
故选：D.
4．（23-24 高二下·四川凉山·期末）已知可导函数
的定义域为
，其导函数
满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，利用导数研究函数的单调性，原不等式可转化为
，结合函数的单调性解不等式即可.
【详解】令
，则
，
故
在
上单调递减，
不等式
可变形为
，
即
，
所以
且
，解得
.
故选：A
5．（24-25 高三上·辽宁·期中）已知定义在
上的函数
及其导函数
，满足
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，结合题意得
，所以
在(0,+∞)上单调递增，
，
即
，即
，根据单调性解不等式即可.
【详解】令
，则
，
因为
，所以
，
所以
在(0,+ ∞)上单调递增，
，即
，
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
又
，则
，
所以
，即
，
所以
，解得
.
故选：
.
题型03 构造函数求参数的最值（范围）
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·湖南·期中）若
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】A
【分析】由条件得
，构造函数
，利用导数求出
的最小值，
从而得出答案.
【详解】
，
当且仅当
时，等号成立.
设
，则
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
所以
，
∴当且仅当
时，
取得最小值，且最小值为
.
故选：A.
2．（24-25 高三上·云南·阶段练习）若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】B
【分析】利用同构可得
，再结合导数讨论新函数的单调性后可得
的最小值.
【详解】因为
，故
，
而
为(0,+∞)上的增函数，故
即
，故
，
设
，则
，
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
，故
在
上为减函数，
当
时，
，故
在
上为增函数，
故
，
故选：B.
3．（24-25 高三上·广西贵港·阶段练习）已知
，若函数
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．3
【答案】B
【分析】由函数
，等价于
即
在R 上恒
成立，由
可得
，再分析函数
的单调性，即可求出
的最小值.
【详解】函数
，等价于
，
即
在R 上恒成立，
即
，
.则
，
令
，对其求导得
，
当
在
上单调递减，当
在
单调递增，
所以
故选：B
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知偶函数
在区间
单调递减，当
时，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得
在
上单调递增，由此脱去不等式中
，分离参数构造函数，利
用导数求出最值即可得解.
【详解】由函数
为偶函数，且在
单调递减，得
在
上单调递增，
当
时，
，
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
，
，求导得
，
在
上单调递增，
则
，因此
；令
，
，
，
函数h(x)在
上单调递减，则
，因此
，
所以
的取值范围是
.
故选：C
5．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数
，
，若
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合题意构造函数
，得到
，表示出
，再借助导数求出
的最小值即可.
【详解】∵
，
，
∴
，
令
，
∴
在
上单调递增，
∴
，即
，
∴
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
∴
，
∴
的最小值为
，
故选：B.
6．（24-25 高三上·江苏泰州·期中）已知函数
，若
恒成立，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】B
【分析】变形得到
，令
，则
，根据
的单调性得到
，分
和
两种情况，参变分离得到
，构造
，求
导得到其单调性，求出最小值为
，得到
.
【详解】
，
令
，则
，
因为
在R 上单调递增，所以
，
当
时，
可由
向右平移得到，
结合
与
的图象可知，
恒成立，
当
时，由
得到
，其中
，
令
，
，
则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
在
处取得极小值，也是最小值，最小值为
，
故
，
综上，
.
故选：B
【点睛】关键点点睛：同构构造
，从而令
，得到
，
根据
的单调性得到
，再进行下一步求解.
7．（24-25 高三上·河北·期中）当
时，
，则正数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用同构思想，得到
，构造函数
，利用
的单
调性得到
在区间
上恒成立，再构造函数
，求出
在区间
上的最大值，即可求解.
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】因为
，由
，得到
，即
，
令
，则
，因为
，所以
在区间
上恒成立，
即
在区间
上单调递增，又
，
所以
，可得
，即
在区间
上恒成立，
令
，则
，由
，得到
，由
，得到
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以
，得到
，
故选D.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用“同构”思想，将条件变形成
，构造函数
，利用
的单调性，将问题转化成
在区间
上恒成立，再构造函数
，求出
在区间
上的最大值，即可求解.
题型04 构造函数证明不等式
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·安徽六安·阶段练习）下列不等关系中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】对于A，直接证明即可；对于B，使用导数工具证明即可；对于C，用导数说明不等式不成立即
可；对于D，使用导数工具证明即可.
【详解】对于A，因为
，所以
，故A 正确；
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
对于B，设
，则对x>1有
，
所以f (x)在
上递增，从而对
有
，即
，故B 正确；
对于C，设
，则
，
由于对
，显然
的导函数
，
故
在
上单调递增.
从而对
有
，所以
在
上单调递增，
所以
，即
，故C 错误；
对于D，设
，则对
有
，
所以
在
上单调递增，从而
，故D 正确.
故选：C.
2．（24-25 高三上·湖南常德·阶段练习）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据选项合理构造函数，利用导函数判断函数单调性，得出函数的最值，从而判断不等式是否成
立.
【详解】对于A 选项：令
，
，
，令
，令
，则
，
即
时，h
′ (x)<0，h(x)单调递减，f
′ (x)单调递减，
即
时，h
′ (x)>0，h(x)单调递增，f
′ (x)单调递增，
f
′ (x)有最小值
，
所以
在(0,+ ∞)单调递增，故
，
所以
即
，故A 选项错误；
对于B 选项：由A 可知：
，
要证
，即需要证明：
，即
，
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即
，
，
令
，
，令
，令
，则
，
即
时，
，
单调递减，
单调递减，
即
时，
，
单调递增，
单调递增，
所以
有最小值
，
所以h(x)在(0,+ ∞)单调递增，故
，
所以
成立，故B 选项正确；
对于C 选项：由
得
，
因为
，所以
，
所以
，故C 选项错误，
对于D 选项：令
，因为
，
所以
在(0,+ ∞)上单调递增，所以
，
所以存在x∈(0,+ ∞)使得
，即
，
故D 选项错误；
故选：B.
二、填空题
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线的斜率为2，求
的值．
(2)当
时，证明：
，
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合切线斜率，求
的值；
（2）首先将所证明不等式两边取对数，变形为
，再构造不等式，利用导数判断函
数的单调性，即可证明.
【详解】（1）
，则
．
因为曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线斜率为2，
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，即
．
（2）当
时，
，要证
，即证
，
两边同时取对数得
，即证
令
，
则
．
所以
在(0,1)上单调递减，所以
，
所以
．
4．（24-25 高三上·四川·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
，证明：
.
【答案】(1)
单调递增区间为
，单调递减区间为
.
(2)证明见解析
【分析】（1）直接利用求函数单调性的方法求解即可；
（2）两个方法，方法一，先将
放大到
，然后利用导数证明
即可；方法二，
直接两式求差，然后根据未知数和参数的范围证明
即可.
【详解】（1）解
，
令
得
时，
，当
时，
，
故
单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）
，
要证明
，则只需证明
，
令
，
，
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
，当且仅当
时，上式等号成立，
当
时，
在区间
上单调递减，
，即
，
当
时，
得证.
【方法二】证明：令
，
，
，
，当且仅当
时，上式等号成立，
，
又
当
时，
在区间
上单调递减，
，
当
时，
得证.
5．（24-25 高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数
.
(1)若
在(0,+ ∞)上单调递增，求实数
的取值范围；
(2)当
时，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由函数单调转化为导数不小于0 恒成立，分离参数后利用导数求最值即可；
（2）求函数导数，经过多次求导可知导函数存在隐零点，即可分析导数的正负求函数最小值，得到
，再构造函数利用导数求
的最小值得证 .
【详解】（1）
，由题得
在
上恒成立，
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
.
设
，则
.
设
，则
，
显然，当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
在
处取得最小值
，
，即
在
上单调递增，即
，经验证
适合题意，
故实数
的取值范围是
.
（2）当
时，
，
.
令
.
设
，则
，
，即
在
上单调递增.
又由
，
在
上有唯一的零点
，即
在
上有唯一的零点
，即
，
当
时，
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递增，
，
设
，
恒成立，
在
上单调递增，
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
.
【点睛】关键点点睛：复杂的导数问题就在于需要多次求导，不断变换研究对象，通过逐层研究得到所需
要结论，这个过程需要思路清晰，过程严谨，求导及相关正负，单调性分析熟练，才能解决对应问题.
6．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
和
，若存在两个实数
，且
，使
得
，
，证明：
．
【答案】证明见解析
【分析】利用参数
作为媒介，换元后构造新函数，将要证明的不等式转化为证明
，利用
构造函数法，结合导数证得结论成立.
【详解】直接换元构造新函数
，即
，设
，
，则
，
则
，
，可得
，
，
由于
构造函数
，
，
因为
，所以
在(1,+∞)上单调递增，
故
，即
，
所以
.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式
（或
）转化为证明
（或
），进而构造辅助函数
；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
7．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)讨论
的单调性和最值；
(2)若关于x 的方程
有两个不等的实数根
，
，求证：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论得到导数的符号后可得函数的单调性和最值.
（2）利用同构可得原方程即为
有两个不同的实数根
，结合构造法可证
成立.
【详解】（1）由
得，
，其中
，
若
，则f
′ (x)<0在
上恒成立，故
在
上为减函数，
故
无最值；
若
，当
时，f
′ (x)>0；
当
时，f
′ (x)<0．
故
在
上为增函数，在
上为减函数，
故
，
无最小值．
综上：当
，
在
上单调递减，无最值；
当
，
在
上为增函数，在
上为减函数，
，
无最小
值．
（2）方程
，即
，
故
．
因为
为(0,+∞)上的增函数，所以
，
所以关于x 的方程
有两个不等的实数根
，
即
有两个不同的实数根
．
所以
，所以
．
不妨设
，故
，
要证
，即证
，
即证
，即证
，即证
．
设
，则
，
令
，
故
，所以
在
上为增函数，故
，
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
在
上为增函数，
所以
，故
成立．
【点睛】思路点睛：对于较为复杂的与指数、对数有关的方程，可以考虑利用同构将其转化为简单的方程，
从而利用常见的极值点偏移的方法来处理零点不等式.
一、单选题
1．（23-24 高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数y = f (x)是定义在R 上的奇函数，
是
的导函
数，且当
时，
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，求导，分析函数的单调性，再结合函数的奇偶性和特殊点的函数值，可
解不等式.
【详解】令
，则
．
因为当
时，
，所以
，
所以
在
上单调递增．
因为
为奇函数，所以
为奇函数．
因为
，所以
，所以
，即
，
所以
，所以
．
故选：D
【点睛】关键点点睛：在选择题中，解决此类与不等式有关的问题，构造合适的函数，是解决问题的关键.
本题注意到有
，即
，所以根据导数的运算法则，可构造商的函数
，之后的问题就好分析了.
2．（23-24 高二下·江苏淮安·期末）函数
，
，若存在正数
，
，使得
，则
的最小值为（ ）
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【分析】分析可知
，结合
的单调性可得
，
，构建
，利
用导数求其单调性和最值，即可得结果.
【详解】因为
，则
，
由题意可得：
，
整理可得
，即
，
又因为
在
内单调递减，则
在
内单调递减，
可得
，则
，
构建
，可得
，
当
时，
；当
时，
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
，所以
的最小值为.
故选：B.
3．（23-24 高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】转化已知条件，配凑为
，构造函数
，根据
，以及
在
单调递增，求得
，再构造函数
，利用导数研究其最小值，
即可求得
的最小值，以及
的最小值.
【详解】因为
，故可得
，且
，故
，
又
，则
；
若
，则
，
，而
，显然不成立，故
，即
；
令
，则
，故
在
单调递增；
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则由
，可得
，又
，故
，
也即
，解得
，令
，则
，
时
，
时
，
故
在
单调递减，在
单调递增，故
在
处取得最小值，最小值
，
也即
，当且仅当
时取得等号；故
，当且仅当
时取得等号，故
的最小值为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考察导数中的同构问题，处理本题的关键是能够根据已知条件，配凑出
，再构造函数
，从而进一步求得
更加明确的关系，进而求
的最小值.
4．（2024·四川德阳·三模）已知函数
及其导函数
在定义域均为
且
是偶函
数，其函数图象为不间断曲线且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】依题意得函数
在
上单调递增,因为
,所以
,得
,求解即可.
【详解】由
得
则当x>0时,得
,
，
则当x>0时,
,得函数
在
上单调递增,
因为
,所以
,
由于
是偶函数,则
,
而函数
在
上单调递增,得
,
得
,
得
,
故选：C.
5．（24-25 高三上·安徽马鞍山·期中）已知
，
，
，当
时，
恒
成立，则
的最小值为（ ）
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，
，利用导数研究
的零点，易知
的零点也是
的
零点，由此利用韦达定理，经过变形，然后构造出函数
，利用导数研究其最小值即可得.
【详解】当
时，不等式
恒成立，
设
，
，则
，
令f
′ (x)<0得
，令f
′ (x)>0得
，
所以
在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
因为
，
时
，
时
，
故
在(0,+ ∞)上有两个零点，记为
，
显然
或
时
，
时
，
要使
恒成立，则
，
也是
的两个零点，
故
，
，
又
，所以
，所以
，所以
，
令
，则
，令
得
，令
得
，
所以
在(0,2)上单调递减，在
上单调递增，
所以
的最小值为
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助导数研究
零点，得到
的零点也是
的零点，即可结合韦达定理得到
，再构造相应函数，借助导数研究其最小值即可
得解.
6．（2024·湖北·模拟预测）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】C
【分析】转化
和
，设
，根据导数求出
的单调性，比较
和
的大小，转化
和
，设
，求出
，令
，利用导数求出
的单调性，利用导数求出
的单调性，比较
和的大小.
【详解】
，
设
，则
，
当
时，
在(1,+ ∞)上单调递增，
，即
，
，又
，
设
，
则
，
令
，
则
，
在(1,+∞)上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递减，
，
，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于通过所比较值的变形，构造函数
和
进行大小比较.
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
二、多选题
7．（23-24 高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知
，则下列关系式可能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】构造函数
，利用导数研究其单调性一一判定选项即可.
【详解】令
，所以
，
显然
时，f
′ (x)<0，即此时
单调递减，
当
时，f
′ (x)>0，即此时
单调递增，
则
，且
时
，可作出函数
大致图象如下：
因为
，则
，此时
，由于不确定
的关系，
由y = f (x)的单调性与图象可知
的大小不确定，则A、B 都有可能正确；
显然
，所以
，
，则C 错误，D 正确.
故选：ABD
8．（23-24 高二下·河南·期中）设定义在
上的函数
的导函数为
，若满足
，
且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
在
上单调递增
B．不等式
的解集为
C．若
恒成立，则
D．若
，则
【答案】BCD
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】构造函数
，根据条件计算得
，利用导数研究其单调性可判定A、B，分离参
数结合
的单调性与最值可判定C，由题意得出
，结合
的单调性得
出
即可判定D.
【详解】因为
，所以
.
令
，则
，
所以
（c 为常数），所以
.
因为
，所以
，即
.
对于A，因为
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，故A 错误.
对于B,当
时，
，x =0时，
，x>0时，
而
，根据
单调性知：
，故B 正确.
对于C，若
，则
.
当
时，
恒成立.
当
时，
等价于
，即
.
令
，则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
，故C 正确.
对于D，若
，即
.
因为
在
恒小于0，在
上又单调递增，且
，
所以
，且
，所以
，
故D 正确.
故选：BCD
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】思路点睛：根据已知条件先构造函数得出
解析式，利用导数研究其单调性即可判定前两个选
项，对于恒成立问题经常使用分离参数的方法，计算
的最值即可判定C，对于双变量问题常利用转
化消元的思想，同构的思想.
三、填空题
9．（24-25 高三上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知
是R 上的奇函数，且对任意的x∈R均有
成立．若
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】构造函数
，利用导数得到
的单调性，再将问题转化为
，从而得解．
【详解】由
得
．
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
又
，
为奇函数，
所以
，
，
则
．
故答案为：
．
10．（24-25 高三上·甘肃兰州·期中）已知函数
，
，若
，
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】先通过对数运算得到
，然后构造函数
分析出
的关系式，由此可
将
化简为关于的函数，借助
的单调性可求出
的最小值.
【详解】因为
，所以
，则
，
于是
，
，所以
，
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
构造函数
，且
，当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以
，于是
，
又
，当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递
减，
所以
，故
，当且仅当
，即
（
舍去）时取到最小值，
所以
，
故答案为：
．
11．（24-25 高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数
，若对任意
，都有
，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意可得
对任意
恒成立，且
，令函数
，则
对任意
恒成立，对
求导分析单调性，可得
对任意
恒成立，
由
可得出
的范围.
【详解】由题意可得
对任意
恒成立，且
.
令函数
，则
对任意
恒成立.
，
当
时，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
且当x∈(0,1)时，g(x)<0，当x∈(1,+∞)时，g(x)>0，
所以
，即
对任意
恒成立.
因为
，所以
.
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为：
.
四、解答题
12．（2024·河北·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先明确函数定义域和求导，根据导数结构特征对
进行
和
的分类讨论导数正负即
可得单调性.
（2）证
，故问题转化成证
，接着构造函数
研究其单调性和最值即可得证.
【详解】（1）由题函数定义域为
，
，
故当
时，
恒成立，所以函数
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，令
，
则
时，
；
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
综上，当
时，函数
在
上单调递减；当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）由（1）当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
在
上恒成立，
故证
证
，
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即
，
令
，则
，
故当
时，
；
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
上恒成立，故
，
所以当
时，
.
【点睛】思路点睛：证明含参函数不等式问题通常转化成研究函数最值问题，第（2）问证当
时，
可将问题转化成证
，接着根据其结构特征进行变形转化和构造函数，利
用导数确定所构造的函数单调性和最值即可得证.
13．（23-24 高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数
，
．
(1)证明：
．
(2)证明：
．
(3)若
，求
的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3).
【分析】（1）设
，求导，分析函数单调性，求函数h(x)的最小值，得到最小值大于
或等于0 即可.
（2）利用（1）的结论进行放缩，再利用导数求函数最小值即可.
（3）首先由条件同构方程，得到
，再利用变量转化，变形
，并构造函数
，
利用导数求函数的最大值.
【详解】（1）设
，
则
，
由h
′ (x)>0，得
；由h
′ (x)<0，得
.
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以函数h(x)在
上递减，在(0,+∞)上递增.
所以
，所以
恒成立.
即
恒成立.
（2）由（1）得
，（当
时取“
”）
所以
.
设
，
则
，
由φ
′ (x)>0
；由φ
′ (x)<0
，
所以φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以
（当
时取“
”）
因为
，
中，“
”成立的条件不一致，
所以
.
（3）由题意可知，
，
即
，
函数
是增函数+增函数，所以单调递增，
所以
，即
，所以
，
，
设
，
，
当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
所以当
时，
取得最大值
，
所以
的最大值为
.
32
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据（1）的结果，对不等式进行放缩，第3 问的关键是将方程
两边同构成
，根据函数的单调性得到等式
，这是解题的关键.
14．（2024·天津·二模）已知
，
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若函数
存在极大值，且极大值为1，求证：
．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数，求切点处切线的方程；
（2）利用导数，分类讨论函数的单调性；
（3）由极大值，求出
的值，通过构造函数求最值的方法证明不等式.
【详解】（1）当
时，
，则
，
又
，则切线的斜率
，
所求切线方程为
，即
．
（2）函数
的定义域为
，
．
①当
时，
，
在
上单调递增．
②当
时，
时，f
′ (x)>0，
函数
在
上单调递增；
时，f
′ (x)<0，
函数
在
上单调递减．
③当
时，
时，f
′ (x)>0，函数
在
上单调递增；
时，f
′ (x)<0，函数
在
上单调递减．
综上可得，
33
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减．
（3）证明：由（2）可知，当
时，
存在极大值，且极大值为
，
则
，即
，
整理得
，从而
，设
，则
．
令
，所以
，
当
时，
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，所以
在
上单调递增．
而
，所以
的根为
， 从而
．
因此
，即证
成立，
也就是证
，即证
，
也就是证
，设
，即证
．
设
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增．
，即
恒成立，
恒成立．
【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．
注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问
题处理，证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.
15．（23-24 高三上·河北保定·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，比较
与
的大小；
34
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)若函数
，且
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）构造
，利用导数求函数的单调性与最值，则可判断
与
的大小关系；
（2）先求得
， 再证
，则可得
，所以有
，即
，
得证.
【详解】（1）解：设函数
，
可得
，
当
时，
，则
在区间
上单调递增，
所以
，所以
，所以
.
（2）证明：设函数
，
当
时，
，则
恒成立，
则由
，得
，
又
，所以
，
因为
，可得
，
令
，可得
，
所以
单调递增，即
在区间
上单调递增，
所以
，
所以
在区间
上单调递增，
又
，所以
，同理得
，
要证
，
只需证
，即证
.
35
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
，所以
，
设函数
，则
，
所以
在区间
上单调递增，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
所以
，即
.
【点睛】利用导数比较大小、利用导数证明不等式，常常通过构造函数，把不等式转化为确定函数的单调
性，利用单调性得函数值的大小，为此需要求导，利用导数确定单调性，在此过程中可能需要多次求导
（当然需要多次构造函数）才能得出最终结论．
36
