2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题（含答案）

  
 
第1页/共8页
学科网（北京）股份有限公司
2024 年1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）
数学试题
注意事项：
]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写
在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40 的中位数为（    ）
A
 14
B. 16
C. 18
D. 20
2. 椭圆
的离心率为
，则
（    ）
A
 
B. 
C. 
D. 2
3. 记等差数列
的前
项和为
，则
（    ）
A. 120
B. 140
C. 160
D. 180
4. 设
是两个不同的平面，m，l 是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（    ）
A. 若
，则
B. 若
，则
C. 若
，则
D. 若
，则
5. 甲、乙、丙等5 人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2 人，则不同排法共有（    ）
A. 20 种
B. 16 种
C. 12 种
D. 8 种
  
 
第2页/共8页
学科网（北京）股份有限公司
6. 已知
为直线
上的动点，点
满足
，记
的轨迹为
，则（    ）
A. 
是一个半径为
的圆
B. 
是一条与相交的直线
C. 
上的点到的距离均为
D. 
是两条平行直线
7. 已知
，则
（    ）
A. 
B. 
C. 1
D. 
8. 设双曲线
的左、右焦点分别为
，过坐标原点的直线与
交于
两
点，
，则
的离心率为（    ）
A. 
B. 2
C. 
D. 
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9. 已知函数
，则（    ）
A. 函数
为偶函数
B. 曲线
的对称轴为
C. 
在区间
单调递增
D. 
的最小值为
10. 已知复数
均不为0，则（    ）
  
 
第3页/共8页
学科网（北京）股份有限公司
A. 
B. 
C. 
D. 
11. 已知函数
的定义域为
，且
，若
，则（    ）
A. 
B. 
C. 函数
是偶函数
D. 函数
是减函数
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12. 已知集合
，若
，则
的最小值为__________．
13. 已知轴截面为正三角形的圆锥
的高与球
的直径相等，则圆锥
的体积与球
的体积的比值
是__________，圆锥
的表面积与球
的表面积的比值是__________．
14. 以
表示数集
中最大的数．设
，已知
或
，则
的最小值为__________．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数
在点
处的切线与直线
垂直．
（1）求
；
（2）求
的单调区间和极值．
16. 盒中有标记数字1，2，3，4 的小球各2 个，随机一次取出3 个小球．
（1）求取出的3 个小球上的数字两两不同的概率；
  
 
第4页/共8页
学科网（北京）股份有限公司
（2）记取出的3 个小球上的最小数字为
，求
的分布列及数学期望
．
17. 如图，平行六面体
中，底面
是边长为2 的正方形，
为
与
的交点，
．
（1）证明：
平面
；
（2）求二面角
的正弦值．
18. 已知抛物线
焦点为
，过
的直线交
于
两点，过
与垂直的直线交
于
两点，其中
在
轴上方，
分别为
的中点．
（1）证明：直线
过定点；
（2）设
为直线
与直线
的交点，求
面积的最小值．
19. 离散对数在密码学中有重要
应用．设
是素数，集合
，若
，
记
为
除以
的余数，
为
除以
的余数；设
，
两两不同，若
，则称
是以
为底
的离散对数，记为
．
（1）若
，求
；
（2）对
，记
为
除以
的余数（当
能被
整除时，
）．证明：
，其中
；
  
 
第5页/共8页
学科网（北京）股份有限公司
（3）已知
．对
，令
．证明：
．
  
 
第6页/共8页
学科网（北京）股份有限公司
2024 年1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）
数学试题
注意事项：
]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写
在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
【1 题答案】
【答案】B
【2 题答案】
【答案】A
【3 题答案】
【答案】C
【4 题答案】
【答案】D
【5 题答案】
【答案】B
【6 题答案】
【答案】C
【7 题答案】
【答案】A
【8 题答案】
【答案】D
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
  
 
第7页/共8页
学科网（北京）股份有限公司
【9 题答案】
【答案】AC
【10 题答案】
【答案】BCD
【11 题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
【12 题答案】
【答案】
【13 题答案】
【答案】    ①
 
    ②. 
【14 题答案】
【答案】
##0.2
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15 题答案】
【答案】（1）
    
（2）单调递增区间为
、
，单调递减区间为
，极大值
，极小值
【16 题答案】
【答案】（1）
    
（2）分布列见解析，
【17 题答案】
【答案】（1）证明见解析；    
  
 
第8页/共8页
学科网（北京）股份有限公司
（2）
【18 题答案】
【答案】（1）证明见解析    
（2）
【19 题答案】
【答案】（1）1    （2）证明见解析 
（3）证明见解析