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专题03 函数的概念与性质（考点练+模拟练）
一、填空题
1．（2024·上海·高考真题）已知
则
．
【答案】
【分析】利用分段函数的形式可求
.
【解析】因为
故
，
故答案为：
.
2．（23-24 高二下·上海·期末）函数
的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据二次根式被开方数非负、分母不为零可求得原函数的定义域.
【解析】对于函数
，有
，解得
，
故函数
的定义域为函数的定义域为
.
故答案为：
.
3．（22-23 高三下·上海·阶段练习）函数
的定义域为 ．
【答案】
【分析】直接根据题意列出不等式即可.
1
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【解析】由题意得
，则定义域为
，
故答案为：
.
4．（23-24 高三上·上海嘉定·期中）已知函数
的定义域为
，则实数
的取值范围是
.
【答案】
【分析】根据分式函数中分母不为0 得
恒成立，分类讨论，
时符合题意，
时利用判别式法列不等式求解即可.
【解析】函数
的定义域为
，
得
恒成立，
当
时，
恒成立；
当
时，
，得
，
综上，实数
的取值范围是
.
故答案为：
5．（2023·上海·模拟预测）已知
，则
的值域是 ；
【答案】
【分析】分段讨论
的范围即可.
【解析】当
时, 根据指数函数的图象与性质知
，
当
时,
.
综上:
的值域为
.
故答案为：
.
6．（23-24 高三上·上海·阶段练习）已知函数
的值域为
，则函数
的值域为
2
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.
【答案】
【分析】由函数的伸缩变换、平移变换以及函数值域的概念即可求解.
【解析】函数
的图象是通过一下操作得到的：
首先将函数
上所有点的横坐标缩小到原来的
得到
，
然后将函数
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象，
以上操作过程中不改变函数图象的“高度”，
也就是说函数
的值域和函数
的值域一样，都是
.
故答案为：
.
7．（2024 高三·上海·专题练习）若函数
的值域为
，则实数a 的值为 ．
【答案】2
【分析】分离常数得出
，根据
，即可得出该函数值域为
，从而得出a 的值．
【解析】由
，
∵
，∴
，
又该函数的值域为
，
∴
．
故答案为：2．
8．（2024·上海嘉定·二模）函数
的值域为 ．
【答案】
【分析】利用绝对值的定义化简函数解析式，结合不等式的性质，可得答案.
【解析】由函数
，
3
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当
时，
；当
时，
.
综上所述，函数
的值域为
.
故答案为：
.
9．（23-24 高三上·上海黄浦·期中）已知函数
为偶函数，则正实数
的值为
.
【答案】
【分析】利用偶函数的定义，可直接求出正实数
的值.
【解析】
为偶函数,
,
即
，可得到
，解得：
.
故答案为：
.
10．（2024·上海长宁·二模）已知函数
是定义域为
的奇函数，当
时，
，若
，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
或
【分析】由已知结合奇函数的定义可求出
及
时的函数解析式，然后结合对数函数性质即可求解
不等式.
【解析】因为函数
是定义域为
的奇函数，
所以
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
，
4
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所以
，
若
，
当
时，可得
，解得
，
当
时，可得
，解得
，
当
时，可得
，显然不成立，
故
的取值范围为
或
.
故答案为：
或
.
11．（2024 高三·上海·专题练习）已知函数
在R 上为奇函数，且当
时，
，则当
时，
的解析式为 ．
【答案】
【分析】利用奇函数的定义计算即可得答案.
【解析】函数
在
上为奇函数，且当
时，
，
当
时，
，
所以
.
故答案为：
.
12．（23-24 高三下·上海·阶段练习）设函数
的定义域为
，满足
，当
时，
，则
【答案】
/
【分析】
5
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将
写成
的形式，再由解析式代入计算即可得
.
【解析】由
可得
，
又
，所以
，
可得
.
故答案为：
13．（23-24 高三上·上海静安·期末）下列幂函数在区间
上是严格增函数，且图象关于原点成中心
对称的是 （请填入全部正确的序号）．
①
； ②
； ③
； ④
．
【答案】②
【分析】根据幂函数
性质，在区间
上单调递增，可得
，再结合奇函数性质即可判断.
【解析】因为幂函数
在区间
上是严格增函数，所以
，故④不满足题意,
因为该幂函数图象关于原点成中心对称，所以
为奇函数，
根据奇函数的性质
，
因为
的定义域为
，所以图象不关于原点成中心对称，故①不满足题意；
因为
的定义域为
，且
，故②满足题意；
因为
的定义域为
，且
，故③不满足题意.
故答案为：②.
14．（20-21 高一上·上海黄浦·期末）函数
的严格增区间是 .
6
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【答案】
【解析】根据
的解析式，可得
为奇函数，当
时，
，不妨令x>0，设
，根据对勾函数的性质，可求得
的单调减区间，可得
的单调增区间，综合分析，即
可得答案.
【解析】因为
，定义域为R，
所以
，即
在R 上为奇函数，
根据奇函数的性质可得，
在y 轴两侧单调性相同，
当x=0 时，
，
当
时，
，
不妨令x>0，设
，
根据对勾函数的性质可得，当
上单调递减，证明如下：
在
上任取
，且
，
则
=
，
因为
，
所以
，
所以
，即
，
所以
在
上为减函数，
7
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所以
在
上为增函数，
当
时，
，
，
，
又
，所以
在
为增函数
根据奇函数的性质，可得
在
也为增函数，
所以
在
上为严格增函数，
故答案为：
【点睛】解题的关键是熟练掌握函数的奇偶性、单调性，并灵活应用，结合对勾函数的性质求解，考查分
析理解，计算证明的能力，属中档题.
15．（21-22 高三下·上海徐汇·阶段练习）函数
的单调减区间是 ．
【答案】
，
【分析】根据绝对值的定义去绝对值，写成分段函数形式，再根据函数单调性求得单调递减区间．
【解析】去绝对值，得函数
当
时，函数
的单调递减区间为
当
时，函数
的单调递减区间为
综上，函数
的单调递减区间为
，
故答案为：
，
16．（2024 高三·上海·专题练习）已知函数
，则不等式
的解集是
【答案】
8
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【分析】
首先根据函数
的图象判断函数的单调性，根据单调性求解不等式.
【解析】
作出函数
的图像如图所示，由图可知，函数
在R 上单调递增，
因为
，
所以
等价于
，
即
，解得
，
所以不等式
的解集是
．
故答案为：
17．（23-24 高三下·上海·阶段练习）已知偶函数
在区间
上是严格减函数.若
，
则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据偶函数的性质及单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【解析】因为偶函数
在区间
上是严格减函数，
所以
在
上单调递增，
所以不等式
，即
，所以
，即
，
解得
，
9
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即
的取值范围是
.
故答案为：
18．（21-22 高一上·上海徐汇·期末）设函数
满足：对任意的非零实数x，均有
．则
在区间
上的最大值为 ．
【答案】
【分析】原式当中代入
，可解出
，
，从而写出
表达式，结合基本不等式可求出最
大值.
【解析】因为对任意非零实数
，均有
，
所以
，解得
，
所以
，解得
，
所以
，
当且仅当
时，即
时取等号，
即
在
上的最大值为
．
故答案为：
19．（2023·上海松江·模拟预测）已知定义在
上的偶函数
，若正实数a、b 满足
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先根据偶函数的定义，得出
的值，再由
得出
，用不等式“1”的妙
用，即可得出最小值．
10
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【解析】因为
是定义在
上的偶函数，
所以
，即
，
所以
，
因为若正实数a、b 满足
，
所以
，即
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故答案为：
．
20．（2024·上海松江·二模）已知
，函数
，若该函数存在最小值，则
实数
的取值范围是 .
【答案】
或
【分析】令
，
，
，
，分类讨论
的取值范围，判断
，
的单调性，结合
存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案．
【解析】由题意，令
，
，
，
，
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递减，则
在
上的值域为
，
因为
存在最小值，故需
，解得
，
结合
，此时
；
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增，则
在
上的值域为
，
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因为
存在最小值，故需
，即
，解得
，
这与
矛盾；
当
时，
在
上单调递减，且在
上的值域为
，
，此时存在最小
值2；
则实数
的取值范围为
或
．
故答案为：
或
．
21．（23-24 高三上·上海杨浦·期中）已知
，若实数
且
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】易知函数
为奇函数，可得
，则
利用基本不等式
即可求得其最小值为.
【解析】易知函数
的定义域为
，且满足
，
可得函数
为奇函数，
若
可得
，即
；
所以
，
当且仅当
时，即
时，等号成立；
即
的最小值为.
故答案为：
12
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22．（2024 高三·上海·专题练习）已知函数
，设
的最大值、最小值分别为
，
，若
，则正整数
的取值个数是 .
【答案】11
【分析】先化简
，再根据二次函数的性质可求
的最值，结合题设可得关于参数的不等式，求出
其解后可得正整数
的取值个数.
【解析】函数的定义域为
，
又
，
因为
，故
，故
，
故
，
，
则由
得，
，而故
又
，
，则
，2，3，
，11．
故正整数
的取值个数是11．
故答案为：11．
二、单选题
23．（22-23 高三上·上海浦东新·阶段练习）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】依次判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同，由此可得结果.
【解析】对于A，
与
定义域均为
，
，
与
为相等函数，A 正确；
13
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对于B，
定义域为
，
定义域为
，
与
不是相等函数，B 错误；
对于C，
定义域为
，
定义域为
，
与
不是相等函数，C 错误；
对于D，
定义域为
，
定义域为
，
与
不是相等函数，D 错误.
故选：A.
24．（22-23 高三下·上海宝山·期中）函数
的奇偶性为（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
【答案】C
【分析】求出
的定义域不关于原点对称，即可判断
为非奇非偶函数.
【解析】由函数
的定义域可得
，
则
，
由于定义域不关于原点对称，故
为非奇非偶函数.
故选：C.
25．（22-23 高一上·湖北鄂州·期中）已知函数
，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据换元法求函数解析式.
【解析】令
，可得
.
所以
，
14
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因此
的解析式为
.
故选：D.
26．（23-24 高三上·上海静安·期中）函数
的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性与函数值的正负确定选项.
【解析】设
，则
，
故
为奇函数，A，D 符合，排除B，C.
又
，所以当
时，
恒成立，故A 满足，D 排除.
故选：A
27．（23-24 高三上·上海松江·阶段练习）函数
在
上严格增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数的单调性列式求解．
【解析】
在
上单调递增，
15
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要使得
在
上单调递增，则
，解得
.
故选：A
28．（23-24 高三上·上海嘉定·期中）设定义域为是
的两个函数
，其值域依次是
和
，
给出下列四个命题:
①“
”是“
对任意
恒成立”的充要条件；
②“
”是“
对任意
恒成立”的充分不必要条件；
③“
”是“
对任意
恒成立”的充要条件；
④“
”是“
对任意
恒成立”的充分不必要条件；
下列选项中正确的是（ ）
A．①②④；
B．①②③；
C．①④；
D．②③④.
【答案】C
【分析】由定义域为是
的两个函数
，其值域依次是
和
，可得
为
的最小值，
为
的最大值，结合反例即可判定各命题的正误，从而得解.
【解析】因为定义域为是
的两个函数
，其值域依次是
和
，
所以
为
的最小值，
为
的最大值，
所以当
时，对任意
都有
，
反之当
对任意
恒成立时，也可以得到
，
故“
”为“
对任意
恒成立”的充要条件，所以①对，②错；
因为定义域为是
的两个函数
，其值域依次是
和
，
所以
为
的最小值，
为
的最大值，
所以当
时，可得“
对任意
恒成立”
16
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但是当“
对任意
恒成立”时，得不到
，
如反例
，
，则
，
任意
，
，即
恒成立，
但是
，
所以“
”是“
对任意
恒成立”的充分不必要条件；
所以④对，③错
故选：C.
三、解答题
29．（2024·上海·三模）已知
，函数
是定义在
上的奇函数，且
.
(1)求
的解析式；
(2)判断
的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.
【答案】(1)
(2)
在区间
上为严格增函数，证明见解析
【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得
，求出
的值，结合函数的解析式求出
的值，计
算可得答案；
（2）根据题意，根据单调性的定义，结合作差法证明可得答案．
【解析】（1）根据题意，
是定义在
上的奇函数，
则有
，解得
，
又由
，解得
，
所以
，
定义域为
，
17
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且
，所以
；
（2）
在区间
上为严格增函数．
证明如下：设任意
，则
，
由
，得
，
即
，
，
，
所以
，即
，
故
在区间
上为严格增函数．
30．（23-24 高三上·上海杨浦·期中）已知
为实数，设
.
(1)若
，求函数
，
的最小值；
(2)判断函数
，
的奇偶性，并说明理由.
【答案】(1)
(2)当
时
为偶函数，当
时
为非奇非偶函数.
【分析】（1）首先得到
的解析式，将其写成分段函数，再分段利用函数的单调性分别求出函数的最
小值，即可得解；
（2）分别判断
、
的奇偶性，即可得解.
【解析】（1）当
时
，
当
时
，函数在
上单调递增，则
，
当
时
，函数在
上单调递减，在
上单调递增，
18
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所以
，
综上可得
.
（2）因为
定义域为
，
又
为偶函数，
为偶函数，
所以当
时
为偶函数，
当
时
关于
对称，此时
为非奇非偶函数，
所以
为非奇非偶函数，
综上可得：当
时
为偶函数，当
时
为非奇非偶函数.
31．（22-23 高三上·上海杨浦·阶段练习）已知
是二次函数且
，
(1)求函数
的解析式；
(2)设
（
为常数），若
在
上严格增，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据待定系数法即可求解二次函数的解析式，
（2）根据二次函数的对称轴，即可求解单调性，
【解析】（1）设
，由
得
，进而得
，故
，
19
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所以
（2）
，
对称轴为
，
由于
在
上严格增，因此
32．（23-24 高三上·上海黄浦·期中）已知函数
(1)若关于
的不等式
的解集为
，求实数
的值：
(2)若函数
在
上的最大值为2，求实数
的值.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）由
，则问题转化为关于
的不等式
的解集为
，再根据三个二次
之间的关系理解运算；
（2）令
，求出
的解析式，由
结合二次函数的性质计算可得.
【解析】（1）因为
，
所以关于
的不等式
等价于
，
即关于
的不等式
的解集为
，
所以关于
的方程
的两根是
，
，且
，
20
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所以
，解得
.
（2）令
，则
，
，
因为
，所以二次函数
开口向上，对称轴为
，
所以
在
上单调递减，
所以
，即
，解得
.
33．（23-24 高三下·上海·开学考试）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦
的重要内容．习近平指出：“绿水青山就是金山银山”．某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研
小组研究发现：一棵水果树的产量
（单位：千克）与肥料费用
（单位：元）满足如下关系：
．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）
元．已知这种水果的
市场售价为16 元千克，且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为
（单位：元）．
(1)求
的函数关系式
(2)当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当投入的肥料费用为40 元时，种植该果树获得的最大利润是430 元．
【分析】（1）根据题意可得
，则化为分段函数即可，
（2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润．
【解析】（1）
；
21
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（2）当
时，
，对称轴为
,
当
时，
，
当
时，
当且仅当
时等号成立
答：当投入的肥料费用为40 元时，种植该果树获得的最大利润是430 元．
34．（2021·上海青浦·一模）设函数
，
为常数.
（1）若
为偶函数，求
的值；
（2）设
，
，
为减函数，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）根据偶函数的定义求解即可；
（2）化简函数
，根据函数减函数的定义确定a 的范围.
【解析】（1）因为
为偶函数，且
，所以
即
即
所以
对一切
成立，所以
（2）因为
，且
所以
，
任取
，
因为
，所以
且
又
在区间
上为减函数，所以
22
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即
，所以
又
，所以
.
35．（21-22 高三上·上海徐汇·阶段练习）设
是定义在
上的函数，且
，当
时，
．
(1)判断
的单调性，并证明；
(2)若
，解不等式
．
【答案】(1)
为
上的减函数，证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据函数单调性的定义，任取
，结合题目条件
得到
，即可证明；
（2）利用赋值法，令
，得到
，令
，
，得到
，从而将原不等式转化为
，结合题目条件
得到
，再利用函数的单调性即可求解.
【解析】（1）设
，则
，因为当
时
，
所以
，
23
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即
时，
，
所以
为
上的减函数；
（2）令
，得
，所以
，
令
，
，得
，所以
，
则
，
即
，
由于
，
则
，
因为
为
上的减函数，
所以
，解得：
或
，
故解集为
．
36．（2023·上海·模拟预测）函数
(1)当
时，是否存在实数c，使得
为奇函数；
(2)若函数
过点
，且函数
图像与
轴负半轴有两个不同交点，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)不存在
(2)
且
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【分析】（1）将
代入得
，先考虑其定义域，再假设
为奇函数，得到方程
无解，从而得以判断；
（2）先半点
代入
求得
，从而得到
，再利用二次函数的根的分布得到
关于
的不等式组，解之可得
，最后再考虑
的情况，从而得到
的取值范围.
【解析】（1）当
时，
，定义域为
，
假设
为奇函数，则
，
而
，则
，此时无实数满足条件，
所以不存在实数，使得函数
为奇函数；
（2）
图像经过点
，则代入得
，解得
，
所以
，定义域为
，
令
，则
的图像与
轴负半轴有两个交点，
所以
，即
，解得
，
若
，即
是方程
的解，
则代入可得
，解得
或
.
由题意得
，所以实数
的取值范团
且
.
37．（20-21 高三下·上海嘉定·阶段练习）已知
.
（1）当
时，讨论函数
的奇偶性；
25
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（2）当
，
，
时，
的最大值为
，求
的零点；
（3）当
时，对于任意的
，总有
，试求
的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）零点为0，或-4；（3）
.
【分析】（1）分
和
两种情况利用函数奇偶性的定义判断即可，
（2）由题意可得当
时，
取得最大值
，从而可求出
，进而可求出函数的零点，
（3）令
，则命题转化为：任给
，不等式
，然后分
和
两种情况讨
论可求出
的取值范围
【解析】（1）当
时，函数
，函数定义域为
.
当
时，
；所以
为奇函数；
当
时，
；
；
所以
，
所以
为非奇非偶函数.
（2）
，当
时，
，
由
知对称轴
，
故当
，即
时，
取得最大值
，
即
，所以
，
所以
，由
，得
或
，
所以
的零点为0，或
.
（3）
26
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任意的
，总有
，令
，则命题转化为：
任给
，不等式
，
当
时，
满足
；
当
时，有
对于任意的
恒成立；
由
得
，所以
，
所以要使
恒成立，则有
.
38．（2022·上海闵行·模拟预测）已知函数
的定义域为
，值域为
．若
，则称
为“
型函数”；若
，则称
为“
型函数”．
(1)设
，
，试判断
是“
型函数”还是“
型函数”；
(2)设
，
，若
既是“
型函数”又是“
型函数”，求实数
的
值；
(3)设
，
，若
为“
型函数”，求
的取值范围．
【答案】(1)
是“
型函数”；
(2)
(3)
．
【分析】(1)利用基本不等式以及双勾函数的性质求出函数的值域可求解；
(2)分
和
结合函数的单调性分类讨论求解；
(3)分
不同的取值结合“
型函数”的定义即可求范围.
【解析】（1）当
时，
，
27
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当且仅当
时取等号，
由于
，
所以函数
的值域为
，
因为
，所以
，
所以
是“
型函数”；
（2）
，定义域为
，
由题意得函数
的值域也为
，
显然
，否则值域不可能由负到正，
当
时，
在
上单调递增，
则
，得
；
当
时，
在
上单调递减，
则
，得
；
（3）
，
，
由题意得函数
的值域
，
当
时，
的最小值
，
当
时，
的最小值
，
当
时，
的最小值
，
当
时，
的最大值
，
当
时，
的最大值
，
故
满足的不等组为
（无解）或
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或
或
（无解），
因为
，由点
所在的可行域，
得当
时，
取最大值，最大值为2，
当
与
相切，
即
时，
取最小值，最小值为1，
因此
的取值范围是
．
一、填空题
1．（2023·上海普陀·二模）函数
的定义域为 ．
【答案】
【分析】
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求函数
的定义域，保证根号下的式子大于等于0，分母不为0 即可.
【解析】
，
，
或
所以定义域为：
.
故答案为：
2．（2023·上海嘉定·一模）若函数
的值域是
，则此函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】分类讨论分两种情况解不等式即可.
【解析】当
时，
当
时，
故答案为：
3．（2024·上海·三模）若
，
，则满足
的m 的最大值为 ．
【答案】
/
【分析】先判断函数
的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到
的最大值.
30
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【解析】当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
于是，在
上，
都成立，即
为偶函数.
由指数函数的单调性可知，
在
上单调递增，
因此，不等式
等价于
，
即
，解得
.
故m 的最大值为
.
故答案为：
.
4．（2024·上海长宁·二模）已知函数
是定义域为
的奇函数，当
时，
，若
，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
或
【分析】由已知结合奇函数的定义可求出
及
时的函数解析式，然后结合对数函数性质即可求解
不等式.
【解析】因为函数
是定义域为
的奇函数，
所以
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
，
所以
，
31
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若
，
当
时，可得
，解得
，
当
时，可得
，解得
，
当
时，可得
，显然不成立，
故
的取值范围为
或
.
故答案为：
或
.
5．（2023·上海虹口·一模）设
，
，若函数
为奇函数，则
．
【答案】
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得
值，结合奇函数
即可求解
.
【解析】由于
为奇函数，所以定义域关于原点对称，由
，故
取
，则
，代入得
，由此
的定义域为
，因此
，所以
，
故答案为：
6．（2022·上海嘉定·模拟预测）已知函数
是定义域为
的奇函数，且当
时，
．
若函数
在
上的最小值为，则实数
的值为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件及奇函数的定义求出当
时函数的解析式，再利用函数的单调性对
进行分类讨
论，确定单调性即可求解.
【解析】由题意可知，因为
，所以
，
所以
，
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因为函数
是定义域为
的奇函数，所以
.
因为函数
在
上的最小值为
当
时，由函数的性质知，函数
在
上单调递增；
当
时，
取得最小值为
，
因为函数
在
上的最小值为，所以
，解得
（舍），
当
时，由函数的性质知，函数
在
上单调递增；
当
时，
取得最小值为
，
因为函数
在
上的最小值为，所以
，解得
，
当
时，由对勾函数的性质知，函数
在
上单调递增；在
上单调递减；
当
时，
取得最小值为
，
因为函数
在
上的最小值为，所以
，解得
（舍），
综上，实数
的值为.
故答案为：.
7．（2022·上海·模拟预测）设函数
满足
，定义域为
，值域为A，若集合
可取得A 中所有值，则参数a 的取值范围为 .
【答案】
，
，
【分析】由
可得
，可判断当
时，
；当
时，
；
从而可得
，
，
时，参数
的最小值为
，从而求得．
33
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【解析】令
得，
或
（舍去）；
当
时，
，故对任意
，
都存在
，
，
，故
，
故
，
，
，而当
时，
，
故当
，
，
时，参数
的最小值为
，
故参数
的取值范围为
，
，
故答案为：
，
．
8．（2022·上海静安·二模）已知函数
，若对任意
，当
时，总有
成立，则实数
的最大值为 .
【答案】1
【分析】分
、
、
、
依次讨论
的范围，进而判断
是否恒成
立，即可求解.
【解析】当
时，
，则
不成立；
当
，
，取
，
，此时
不成立；
当
时，
，则
，对于任意
，有
，当
时取
等号，所以总有
成立；
当
时，
，当
取最大值1，当
时取最小值0，则
，
34
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对于任意
，有
，当
时取等号，所以总有
成立；
综上可得
，故实数
的最大值为1.
故答案为：1.
二、单选题
9．（2023·上海长宁·一模）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性和单调性逐项分析判断.
【解析】对于选项A：
为定义在
上的奇函数且在定义域内单调递增，故A 正确；
对于选项B：
为定义在
上的偶函数，故B 错误；
对于选项CD：
、
均为非奇非偶函数，故CD 错误；
故选：A.
10．（2021·上海闵行·模拟预测）已知函数
，若对任意的
，不等式
恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
在R 上为减函数，且
，不等式等价于
，则
在
上恒成立，可求实数的取值范围.
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【解析】函数
，由二次函数的图像和性质可知，
当
时，
为减函数，且
；当
时，
为减函数，且
，
所以
在R 上为减函数，
当
时，
；当
时，
，
所以
，不等式
等价于
，
则
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
得
，解得
.
故选：B
11．（2021·上海嘉定·二模）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设函数
，判断其单调性与奇偶性；从而得出
单调性与对称性，
将所求不等式化为
，根据函数单调性，即可求出结果.
【解析】设函数
，则函数
是定义域为
，
根据指数函数与幂函数的单调性可得，
是增函数，
是减函数，
是增函数，
所以
在
上单调递增；
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又
，所以
是奇函数，其图象关于原点对称；
又
，
即
的图象可由
向右平移一个单位，再向上平移两个单位后得到，
所以
是定义域为
的增函数，
且其图像关于点
对称，即有
，即
．
由
得
，
即
，
即
，所以
，解得
．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于根据函数的解析式，判断函数
的单调性与对称性，进而即可求解不等式.
12．（2021·上海崇明·模拟预测）下列命题中与“
为
上非奇非偶函数”等价的命题是（ ）
A．对任意
，有
或
B．存在
，有
且
C．存在
，有
或
D．存在
，有
且
【答案】D
【分析】根据奇函数与偶函数的定义，集合选项进行判定，即可求解.
【解析】根据奇函数与偶函数的定义：对于任意
，
，函数
为偶函数，对于任
意
，
，函数
为奇函数，
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所以，若存在
，使得
，函数
不是奇函数，
存在
，使得
，函数
不是偶函数，
由此可得，函数
为非奇非偶函数，
则存在
，有
且
.
故选：D.
三、解答题
13．（2022·上海闵行·模拟预测）已知定义在区间
上的两个函数
和
，其中
，
.
(1)求函数
的最小值
；
(2)若对任意
，
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将
的解析式进行配方，然后讨论对称轴与区间
的位置关系，可求出函数
的最小值
；
（2）根据函数的单调性求出函数
的最小值和
的最大值，然后使
，建立关系
式，解之即可求出答案.
【解析】（1）由
，则二次函数的对称轴为
，
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则当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
；
当
时，
在
上单调递减，
，
所以
；
（2）
，当
时，
，又
在区间
上单调递增，所以
.
若对任意
，
恒成立
则
，故
或
解得：
.
14．（2020·上海·模拟预测）设函数
的定义域为
.若存在实数
使得
，
均对任意
成立，则称
为“
型—
函
数”.
（1）若
是“
型—
函数”，求
的值；
（2）若
是“
型—
函数”，求证：函数
是周期函数；
（3）若
是“
型—
函数”，且
在
上单调递增，求证：存在正实数、
，使得
对任意
成立.
【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
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【分析】（1）由
是“
型—
函数”，可得
，结合已知条件，即可求得
值；
（2）由
是“
型—
函数”，可得
，结合已知条件，推导出
，根据周期函数定义，即可求得答案；
（3）构造函数
，设
，根据已知条件推导出
是周期函数，结合已知条件，即
可求得答案.
【解析】（1）
函数
的定义域为
.若存在实数
使得
，
均对任意
成立，则称
为“
型—
函数”
若
是“
型—
函数”
则
，将其代入
，
可得：
，令
，可得
（2）
是“
型—
函数”
则
，将其代入
，
可得：
，
，周期为：
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函数
是周期函数
（3）
，
令
及
，
则
，
不妨设
，则
是周期为
的函数.
∵
时，
，对任意
，
对任意
，取
使
，对任意
，
综上，取
，
，
则
对任意
成立
【点睛】本题解题关键是理解
为“
型—
函数”定义和周期的求法，考查了分析能力和计
算能力，属于难题.
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