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中考冲刺：代几综合问题(基础)
一、选择题
1.（2017•河北一模）如图，点A 的坐标为（0，1），点B 是x 轴正半轴上的一动点，以AB 为
边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B 的横坐标为x，设点C 的纵坐标为y，能表示y 与x
的函数关系的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 如图，在半径为1 的⊙O 中，直径AB 把⊙O 分成上、下两个半圆，点C 是上半圆上一个
动点（C 与点A、B 不重合），过点C 作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P，设
CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y 与x 的函数关系的图象是（ ）
二、填空题
3. 将抛物线y1＝2x2向右平移2 个单位，得到抛物线ｙ２的图象如图所示，P 是抛物线y2
对称轴上的一个动点，直线x＝t 平行于y 轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若
△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足的条件的t 的值，则t＝
______．
4. （2017•宝山区一模）如图，D 为直角△ABC 的斜边AB 上一点，DE⊥AB 交AC 于E，如果
△AED 沿DE 翻折，A 恰好与B 重合，联结CD 交BE 于F，如果AC=8，tanA=
，那么CF：
DF=______．
三、解答题
5. 一个形如六边形的点阵.它的中心是一个点（算第一层）、第二层每边有两个点,第三
层每边有三个点……依次类推.
（1）试写出第n 层所对应的点数；
（2）试写出n 层六边形点阵的总点数；
（3）如果一个六边形点阵共有169 个点，那么它一共有几层？
6. 如图，Rt△ABC 中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q 分别从点A 和点B
同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度，沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点
C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x 秒．
（1）用含x 的代数式表示BQ、PB 的长度；
（2）当x 为何值时，△PBQ 为等腰三角形；
（3）是否存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x 的值；
若不存在，请说明理由
7. 阅读理解：对于任意正实数a、b，∵
结论：在a+b≥2
（a、b 均为正实数）中,若a．b 为定值p，则a+b≥2
,只有当
a=b 时,a+b 有最小值2
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m=____________时，ｍ＋
有最小值，最小值为____________；
（2）探究应用：已知A（-3,0）、B（0，-4），点P 为双曲线ｙ＝
（ｘ＞０）上的任一点，过
点P 作PC⊥ｘ轴于点C，PD⊥ｙ轴于点D，求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形
ABCD 的形状．
8. （深圳期末）如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+3 与坐标轴分别交于A、B 两
点，直线x=1 交AB 于点D，交x 轴于点E，P 是直线x=1 上一动点．
（1）直接写出A、B 的坐标；A______，B______；
（2）是否存在点P，使得△AOP 的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请
说明理由．
（3）是否存在点P 使得△ABP 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，
请说明理由．
9.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2cm，点A、C 分别在y 轴
和x 轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A、B 和D(4，
)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找到点M，使得M 到D、B 的距离之和最小，求出点M 的坐标；
（3）如果点P 由点A 出发沿线段AB 以2cm/s 的速度向点B 运动，同时点Q 由点B 出发沿
线段BC 以1cm/s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设
S=PQ2（cm2）．
①求出S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；
②当S=
时，在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形,
求出点R 的坐标．
10．已知：抛物线y＝－x2＋2x＋m-2 交y 轴于点A（0，2m-7）．与直线y＝
x 交于点B、C
（B 在右、C 在左）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得
，
若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由；
（3）射线OC 上有两个动点P、Q 同时从原点出发，分别以每秒
个单位长度、每秒2
个单位长度的速度沿射线OC 运动，以PQ 为斜边在直线BC 的上方作直角三角形PMQ（直角边
分别平行于坐标轴），设运动时间为t 秒，若△PMQ 与抛物线y＝－x2＋2x＋m-2 有公共点，求
t 的取值范围．
11. 在平面直角坐标系
中，抛物线
经过A（－3,0）、B（4,0）两点，
且与y 轴交于点C，点D 在x 轴的负半轴上，且BD＝BC，有一动点P 从点A 出发，沿线段AB 以
每秒1 个单位长度的速度向点B 移动，同时另一个动点Q 从点C 出发，沿线段CA 以某一速度
向点A 移动.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求此时t 的值；
（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ＋MA 的值最小？若存在,求出点M 的坐
标；若不存在,请说明理由.
答案与解析
【答案与解析】 一、选择题
1．【答案】A.
【解析】作AD∥x 轴，作CD⊥AD 于点D，若右图所示，
由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C 的纵坐标是
y，
∵AD∥x 轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，
∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，
在△OAB 和△DAC 中，
，
∴△OAB≌△DAC（AAS），
∴OB=CD，∴CD=x，
∵点C 到x 轴的距离为y，点D 到x 轴的距离等于点A 到x 的距离1，
∴y=x+1（x＞0）．
故选A．
2．【答案】A．
【解析】
解：连接OP，
∵OC=OP，
∴∠OCP=∠OPC．
∵∠OCP=∠DCP，CD⊥AB，
∴∠OPC=∠DCP．
∴OP∥CD．
∴PO⊥AB．
∵OA=OP=1，
∴AP=y=
（0＜x＜1）．
故选 A．
二、填空题
3. 【答案】1 或3 或
；
【解析】
解：∵抛物线y1=2x2向右平移2 个单位，
∴抛物线y2的函数解析式为y=2（x-2）2=2x2-8x+8，
∴抛物线y2的对称轴为直线x=2，
∵直线x=t 与直线y=x、抛物线y2交于点A、B，
∴点A 的坐标为（t，t），点B 的坐标为（t，2t2-8t+8），
∴AB=|2t2-8t+8-t|=|2t2-9t+8|，AP=|t-2|，
∵△APB 是以点A 或B 为直角顶点的等腰三角形，
∴|2t2-9t+8|=|t-2|，
∴2t2-9t+8=t-2 ①
2t2-9t+8=-（t-2） ②，
整理 ①得，t2-5t+5=0，
解得
整理 ②得，t2-4t+3=0，
解得 t1=1，t2=3，
综上所述，满足条件的 t 值为：1 或3 或
．
故答案为： 1 或3 或
．
4. 【答案】6：5．
【解析】∵DE⊥AB，tanA═
，∴DE=
AD，
∵Rt△ABC 中，AC═8，tanA═
，
∴BC=4，AB=
=4
，
又∵△AED 沿DE 翻折，A 恰好与B 重合，
∴AD=BD=2
，DE=
，
∴Rt△ADE 中，AE=
=5，
∴CE=8﹣5=3，
∴Rt△BCE 中，BE=
=5，
如图，过点C 作CG⊥BE 于G，作DH⊥BE 于H，则
Rt△BDE 中，DH=
=2，
Rt△BCE 中，CG=
=
，
∵CG∥DH，∴△CFG∽△DFH，
∴
=
=
=
．
故答案为：6：5．
三、解答题
5. 【答案与解析】
解：（1）第n 层上的点数为6（n－1）（n≥2）．
（2）n 层六边形点阵的总点数为＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝1＋
＝3n(n－1)＋1．
（3）令3n(n－1)＋1＝169，得n＝8.所以，它一共是有8 层．
6. 【答案与解析】
解：
（1）∵∠B=90°，AC=10，BC=6，
∴AB=8．
∴BQ=x，PB=8-2x；
（2）由题意，得
8-2x=x，
∴x=
.
∴当x=
时，△PBQ 为等腰三角形；
（3）假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于20cm2，
则
，
解得 x1=x2=2．
假设成立，所以当 x=2 时，四边形APQC 面积的面积等于20cm2．
7. 【答案与解析】
解：
（1）１,２；
（2）探索应用：设P（ｘ，
），则C（ｘ，0），D（0，
），
∴CA＝ｘ＋３，DB=
+4,
∴S 四边形ABCD=
CA×DB=
(x+3) ×(
+4),
化简得：S=2(x+
)+12，
∵x>0,
>0,∴x+
≥2
=6，只有当x=
时，即x=3，等号成立.
∴S≥2×6+12=24,
∴S 四边形ABCD有最小值是24.
此时，P(3，4),C(3，0),D(0，4),AB=BC=CD=DA=5，
∴四边形是菱形.
8. 【答案与解析】
解：（1）当x=0 时，y=3．即A 点坐标是（0，3），
当y=0 时，﹣x+3=0，解得x=4，即B 点坐标是（4，0）；
（2）存在这样的P，使得△AOP 周长最小
作点O 关于直线x=1 的对称点M，
M 点坐标（2，0）连接AM 交直线x=1 于点P，
由勾股定理，得AM=
=
=
由对称性可知OP=MP，C△AOP=AO+OP+AP=AO+MP+AP=AO+AM=3+
；
（3）设P 点坐标为（1，a），
①当AP=BP 时，两边平方得，AP2=BP2，12+（a﹣3）2=（1﹣4）2+a2．
化简，得6a=1．
解得a= ．即P1（1，）；
②当AP=AB=5 时，两边平方得，AP2=AB2，12+（a﹣3）2=52．
化简，得a2﹣6a﹣15=0．
解得a=3±2
，即P2（1，3+2
），P3（1，3﹣2
）；
③当BP=AB=5 时，两边平方得，BP2=AB2，即（1﹣4）2+a2=52．
化简，得a2=16．
解得a=±4，即P4（1，4），P5（1，﹣4）．
综上所述：P1（1，）；P2（1，3+2
），P3（1，3﹣2
）；P4（1，4），P5（1，﹣4）．
9. 【答案与解析】
解：
（1）据题意可知：A（0，2），B（2，2），C（2，0）．
∵抛物线y=ax2+bx+c 经过点A、B 和D（4，），
∴
，
∴
，
∴y=﹣x2+ x+2；
（2）点B 关于抛物线的对称轴x=1 的对称点为A．连接AD，与对称轴的交点即为M．
∵A（0，2）、D（4，），
∴直线AD 的解析式为：y=﹣x+2，
当x=1 时，y= ，
则M（1，）；
（3）①由图象知：PB=2﹣2t，BQ=t，AP=2t，
∵在Rt△PBQ 中，∠B=90°，
∴S=PQ2=PB2+BQ2，
∴=（2﹣2t）2+t2，
即S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）．
②当S=
时，
=5t2﹣8t+4
即20t2﹣32t+11=0，
解得：t= ，t=
＞1（舍）
∴P（1，2），Q（2，）．
PB=1．
若R 点存在，分情况讨论：
（i）假设R 在BQ 的右边，如图所示，这时QR=PB， RQ∥PB，
则R 的横坐标为3，R 的纵坐标为，即R（3，），代入y=﹣x2+ x+2，左右两边相
等，
故这时存在R（3，）满足题意；
（ii）假设R 在PB 的左边时，这时PR=QB，PR∥QB，
则R（1，）代入y=﹣x2+ x+2，左右两边不相等，
则R 不在抛物线上
综上所述，存点一点R，以点P、B、Q、R 为顶点的四边形只能是口PQRB．
则R（3，）．
此时，点R（3，）在抛物线=- x2+ x+2 上．
10. 【答案与解析】
解：
（1）点A（0，2m﹣7）代入y=﹣x2+2x+m﹣2，
m﹣2=2m﹣7，
解得：m=5
故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）如图1，由
，
得
，
∴B（
，2
），C（﹣
，﹣2
）B（
，2
），
关于抛物线对称轴x=1 的对称点为B′（2﹣
，2
），
将B′，C 代入y=kx+b，得：
，
解得：
，
可得直线B'C 的解析式为：
，
由
，可得
，
故当F（1，6）使得∠BFE=∠CFE；
（3）如图2，当t 秒时，P 点横坐标为﹣t，则纵坐标为﹣2t，则M（﹣2t，﹣2t）在抛物线上
时，
可得﹣（﹣2t） 2﹣4t+3=﹣2t，整理得出：4t2+2t﹣3=0，
解得：
，
当P（﹣t，﹣2t）在抛物线上时，可得﹣t2﹣2t+3=﹣2t，整理得出：t2=3，
解得：
，舍去负值，
所以若△PMQ 与抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2 有公共点t 的取值范围是
．
11．【答案与解析】
解：
（1）∵抛物线y=ax2+bx+4 经过A（﹣3，0），B（4，0）两点，
∴
，解得
，
∴所求抛物线的解析式为：y=﹣x2+ x+4；
（2）如图1，依题意知AP=t，连接DQ，
∵A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4），
∴AC=5，BC=4
，AB=7．
∵BD=BC，
∴AD=AB﹣BD=7﹣4
，
∵CD 垂直平分PQ，
∴QD=DP，∠CDQ=∠CDP．
∵BD=BC，
∴∠DCB=∠CDB．
∴∠CDQ=∠DCB．
∴DQ∥BC．
∴△ADQ∽△ABC．
∴
=
，
∴
=
，
∴
=
，
解得DP=4
﹣
，
∴AP=AD+DP=
．
∴线段PQ 被CD 垂直平分时，t 的值为
；
（3）如图2，设抛物线y=﹣x2+ x+4 的对称轴x= 与x 轴交于点E．点A、B 关于对称轴
x= 对称，
连接BQ 交该对称轴于点M．
则MQ+MA=MQ+MB，即MQ+MA=BQ，
∵当BQ⊥AC 时，BQ 最小，此时，∠EBM=∠ACO，
∴tan∠EBM=tan∠ACO= ，
∴
= ，
∴
= ，解ME=
．
∴M（，
），即在抛物线y=﹣x2+ x+4 的对称轴上存在一点M（，
），使得
MQ+MA 的值最小．
