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专题09 导数及其应用（A 卷，考点练+模拟练）
一、填空题
1．（23-24 高二下·上海·阶段练习）极限
．
2．（23-24 高二下·上海·阶段练习）函数
的导函数为 ．
3．（22-23 高三下·上海杨浦·阶段练习）已知
为实数，函数
在
处的切线方程为
，则
的值为 ．
4．（22-23 高二下·上海浦东新·阶段练习）函数
在区间
上的最大值是 ．
5．（21-22 高二下·上海长宁·期末）在R 上可导的函数
的图象如图所示，则关于x 的不等式
的解集为 ．
6．（22-23 高二下·上海松江·期中）若函数
在
上严格增，那么a 的取值范围是
．
7．（23-24 高三上·上海浦东新·阶段练习）在等比数列
中，
，
分别是函数
的
1
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两个驻点，则
.
8．（2023·上海静安·二模）若
，其中
，则
的最小值为 .
9．（23-24 高三下·上海闵行·阶段练习）设
，
分别是定义域为
的奇函数和偶函数，当
时
，且
，则不等式
的解集为 .
10．（23-24 高三上·上海嘉定·期中）据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到
污染源距离的平方成反比，比例常数为
.现已知相距18km 的
，
两家化工厂（污染源）的污染
强度分别为
，
，它们连线段上任意一点
处的污染指数
等于两化工厂对该处的污染指数之和.设
.若
，且
时，
取得最小值，则
的值为 .
11．（23-24 高三下·上海南洋模范中学·阶段练习）已知向量
的夹角为
的单位向量，若对任意的
，且
，
，则
的取值范围是 ．
12．（23-24 高三上·上海交通大学附属中学·阶段练习）对于函数
和
，设
，
，若存在m，n，使得
，则称
和
互为“零点关联函数”，若函数
与
互为“零点关联函数”，则实数a 的最小值是 ．
二、单选题
13．（22-23 高三上·上海青浦·阶段练习）下列求导数运算正确的是( )
A．
B．
C．
D．
2
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14．（23-24 高二下·上海青浦·阶段练习）如果函数
的导函数
的图象如图所示，则以下关
于
判断正确的是（ ）
A．在区间
上是严格减函数
B．在区间
上是严格增函数
C．
是极小值点
D．
是极小值点
15．（22-23 高三上·上海普陀·阶段练习）已知
，函数
的导函数为
.下列说法正确的是
（ ）
A．
B．函数
的严格增区间为
C．
的极大值为
D．方程
有两个不同的解
16．（23-24 高三下·上海·阶段练习）已知函数
，①若函数
有最大值，并将
其记为
，则a 的最大值为
，
的最小值为
；②若函数
有零点，并将零点个数记为
，则函数
为偶函数（ ）
A．①成立②成立
B．①成立②不成立
C．①不成立②成立
D．①不成立②不成立
三、解答题
17．（23-24 高二下·上海·阶段练习）已知函数
，曲线
在点
处
的切线也是曲线
的切线．
(1)求
的严格增区间
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(2)若
，求a；
18．（23-24 高二下·上海·阶段练习）设函数
(1)求出
的所有单调区间;
(2)对于任意的
使得
恒成立，求实数m 的取值范围.
19．（23-24 高三上·上海浦东新·阶段练习）某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园．如图所示，
为圆心，半径为千米，点
、
、
都在半圆弧上，设
，
，其中
．
(1)若在花园内铺设一条参观的线路，由线段
、
、
三部分组成，求当
取何值时，参观的线路最
长；
(2)若在花园内的扇形
和四边形
内种满杜鹃花，求当
取何值时，杜鹃花的种植总面积最大．
20．（23-24 高三下·上海·阶段练习）已知函数
，
，
、
．
(1)若
，点
，求过点
与函数
的图象相切的直线方程；
(2)若
，在区间
上
的图象始终在
的上方，求实数
的取值范围．
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21．（23-24 高二下·上海·阶段练习）设函数
与
的定义域为
与
分别为函数
与
的导函数，若存在
，满足
且
，则称函数
与
为“优美函数”．
已知函数
与
．
(1)已知
和
，求证：
和
；
(2)当
时，若函数
与
为“优美函数”，求
的取值范围；
(3)当
时，已知函数
与
为“优美函数”，求证：
．
一、填空题
1．（2024·上海静安·二模）已知物体的位移
（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系
，
则在时间段
内，物体的瞬时速度为
的时刻
（单位：s）．
2．（2024·上海静安·二模）已知实数
，记
．若函数
在区间
上的最小
值为
，则
的值为 ．
3．（2024·上海·三模）中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面
为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的
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高度为y，记矩形截面抵抗矩
．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x
与高y 的最佳之比应为 ．
4．（2024·上海闵行·二模）对于任意的
，且
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为 .
5．（2023·上海徐汇·三模）对任意数集
，满足表达式为
且值域为
的函数
个数为
.记所有可能的
的值组成集合
，则集合
中元素之和为 .
二、单选题
6．（2024·上海·三模）在区间
上，
是函数
在该区间严格增的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
7．（2024·上海金山·二模）设
，有如下两个命题：
①函数
的图象与圆
有且只有两个公共点；
②存在唯一的正方形
，其四个顶点都在函数
的图象上．
则下列说法正确的是（ ）．
A．①正确，②正确
B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确
D．①不正确，②不正确
三、解答题
8．（2024·上海·模拟预测）设定义域为
的函数
在
上可导，导函数为
.若区间
及实数
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满足：
对任意
成立，则称函数
为
上的“
函数”.
(1)判断
是否为
上的
函数，说明理由；
(2)若实数满足：
为
上的
函数，求的取值范围；
(3)已知函数
存在最大值．对于：
：对任意
与
恒成立，
：对任意正整
数
都是
上的
函数，问：
是否为
的充分条件？
是否为
的必要条件？证明你的结
论.
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