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专题09 导数及其应用（B 卷，考点练+模拟练）
一、填空题
1．（23-24 高三上·上海浦东新·期中）已知
，则
.
2．（21-22 高二下·上海杨浦·期末）函数
的驻点为 .
3．（23-24 高三上·上海闵行·期中）已知函数
，若
，则
.
4．（22-23 高三下·上海闵行·阶段练习）已知偶函数
在
上有且仅有一个极大值点，没有极小值点，则
的取值范围为 ．
5．（2024·上海闵行·二模）对于任意的
，且
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为 .
6．（22-23 高三下·上海·阶段练习）已知关于
的方程
有唯一实数根，则实数
的取值范围为
．
7．（2024 高三·上海·专题练习）已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a R
∈）.对于不相等的实数
x1，x2，设m＝
，n＝
，现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；
②对于任意的a 及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；
③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；
④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.
其中真命题有 （写出所有真命题的序号）.
1
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8．（23-24 高二下·上海·期末）已知函数
，若在区间
上存在
个不同的数
，使得
成立，则
的取值集合是 .
二、单选题
9．（2024 高三·上海·专题练习）如图，函数
的图象在点
处的切线是，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．1
10．（2024 高三·上海·专题练习）函数
是区间
上是增函数，且函数
在区间
上又是减函数，那么区间
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（23-24 高三上·上海中学·期中）从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”--图书
馆，建设高水平现代化开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不规则的地，其平面图形
､
､
如图1 所示，
（百米），建立如图2 所示的平面直角坐标系，将曲线AB 看成函数
图象
的一部分，
为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形
（如
图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（ ）
2
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A．2
B．
C．
D．
12．（23-24 高三上·上海虹口·期中）对于两个定义在R 上的函数
与
，构造新函数
如下：对任意
，
．现已知
是严格增函数，对于以下两个命题：
①
与
中至少有一个是严格增函数；②
与
中至少有一个函数无最大值．其
中（ ）
A．①和②都是真命题
B．只有①是真命题
C．只有②是真命题
D．没有真命题
三、解答题
13．（23-24 高三上·上海宝山·期中）已知
.
(1)求
的导函数以及驻点.
(2)求平行于
的切线方程；
(3)求
的单调性.
14．（22-23 高二下·上海黄浦·期末）已知函数
.
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）求函数
在区间
上的最大值和最小值.
3
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15．（22-23 高二下·上海浦东新·期末）已知函数
.
(1)若
，求函数
在
处的切线方程；
(2)若函数
在
上严格增，求实数
的取值范围.
16．（23-24 高三上·上海浦东新·期中）图①是高桥中学的校门，它由上部屋顶，和下部两根立柱组成，如
图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面
和
是全等的等腰梯形，左右两坡屋面
和
是全等的三角形.点
在平面
和
上的射影分别为H、M，已知
，
，梯形
的面积是
面积的4 倍，设
.
(1)求屋顶面积S 关于
的函数关系式；
(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为
（
为正的常数），下部两根立柱的总造价与其单
根的高度成正比，比例系数为
，假设校门的总高度为3m，试问，当
为何值时，校门的总造价（上部
屋顶和下部两根立柱）最低?
17．（23-24 高三上·上海奉贤·阶段练习）定义可导通数
在
处的弹性函数为
，其中
为
的导函数，在区间D 上，若函数
的弹性函数值大于1，则称
在区间D 上具有弹性，
相应的区间D 也称作
的弹性区间．
(1)若
，求
的弹性函数；
(2)对于函数
（其中为自然对数的底数）
（i）当
时，求
的弹性区间D；
4
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（ii）若
在（i）中的区间D 上恒成立，求实数的取值范围
一、填空题
1．（2024·上海闵行·二模）函数
在
处的切线方程为 .
2．（2023·上海南洋模范中学·模拟预测）已知函数
，则
．
3．（2023·上海奉贤·三模）函数
在区间
的平均变化率与在
处的瞬时变化率相
同，则正数
．
4．（2024·上海浦东新·三模）已知
为偶函数，若
，则
．
5．（2023·上海奉贤·一模）设函数
在区间
上恰有三个极值点，则
的取值范围为
．
6．（2023·上海徐汇·模拟预测）已知函数
，其中
，若曲线
在
处
的切线斜率为1，则
的最小值为 ．
7．（2023·上海奉贤·二模）已知
为
上的奇函数，且当
时，
，则
的驻点为 ．
8．（2023·上海嘉定·三模）设函数
，
的导函数是
，
，当
时，
，那么关于
的不等式
的解是 .
9．（2024·上海徐汇·二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道
相交于点
，一根长度为的直杆
5
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的两端点
分别在
上滑动（
两点不与
点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直
杆上的点
满足
，则
面积的取值范围是 .
10．（2024·五爱高级中学·模拟预测）函数
的表达式为
，如果
且
，则abc 的取值范围为 ．
11．（2022·上海杨浦·模拟预测）已知平面向量
，
满足
，设
与
的夹角为
，且
，则
的取值范围为 ．
12．（2023·上海金山·二模）已知函数
和
的表达式分别为
，
，若对任意
，若存在
，使得
，则实数
的取值范围是
.
二、单选题
13．（2024·上海闵行·模拟预测）计算：
（ ）
A．0
B．
C．
D．
14．（2023·上海黄浦·三模）将函数
，
的图象绕点
顺时针旋转
角（
）得
到曲线C，若曲线C 仍是一个函数的图形，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2021·上海松江·二模）已知函数
，若存在相异的实数
，使得
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成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2024·上海·高考真题）已知函数
的定义域为R，定义集合
，在使得
的所有
中，下列成立的是（ ）
A．存在
是偶函数
B．存在
在
处取最大值
C．存在
是严格增函数
D．存在
在
处取到极小值
三、解答题
17．（2017·上海普陀·模拟预测）已知函数
．
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）讨论
在区间
上的最小值．
18．（2023·上海嘉定·一模）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而
制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．
材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W 来刻画梁的承重能力．对于
两个截面积相同的梁，称W 较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下
表所列，
圆形截面
正方形截面
矩形截面
条件
r 为圆半径
a 为正方形边长
h 为矩形的长，b 为矩形的宽，
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抗弯截面系
数
(1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；
(2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为
的观点．考虑梁取材于
圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，请问
为何值时，其抗弯截面系数
取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理．
19．（2024·上海·一模）（1）在用“五点法”作出函数
的大致图象的过程中，第一步
需要将五个关键点列表，请完成下表：
0
0
1
（2）设实数
且
，求证：
；（可以使用公式：
）
（3）证明：等式
对任意实数
恒成立的充要条件是
20．（2023·上海嘉定·一模）已知
．
(1)求函数
的单调区间和极值；
(2)请严格证明曲线
有唯一交点；
(3)对于常数
，若直线
和曲线
共有三个不同交点
，其
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中
，求证：
成等比数列．
21．（2023·上海金山·一模）设函数
的定义域为
，给定区间
，若存在
，使得
，则称函数
为区间
上的“均值函数”，
为函数
的“均值点”．
(1)试判断函数
是否为区间
上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说
明理由；
(2)已知函数
是区间
上的“均值函数”，求实数
的取值范围；
(3)若函数
（常数
）是区间
上的“均值函数”，且
为其“均值点”．将区间
任意划分成
（
）份，设分点的横坐标从小到大依次为
，记
，
，
．再将区间
等分成
（
）份，设等分点的横坐标从小到大依次为
，记
．求使得
的最小整数
的值．
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