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【苏科】七上数学·期末卷（学生版）
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（考试时间：120分钟
试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：苏科版七年级上册全册。
5．难度系数：0.85。
一、选择题：本题共6 小题，每小题2 分，共12 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．下列各数中，与2025 相等的是（
）
A．
2025
B．
2025
C．
2025
D．
2025
2．随着科学技术的不断提高，5G 网络已经成为新时代的“宠儿”，预计2025 到年，中国5G 用
户将超过460000000 人，将数460000000 用科学记数法表示为（
）
A．
8
4.6 10
B．
7
46 10
C．
9
0.46 10
D．
7
4.6 10
3．下列运算中，正确的是(
)
A． a
b
ab
B．
2
2
4
3
2
5
a
a
a
C．
2
2
2
3
2
a b
a b
a b
D．
4
(
)
4
a
a
4．下列说法中，正确的有（
）个
①射线AB 与射线BA是同一条射线；
②连接两点的线段叫做这两点的距离；
③把一个直角三角形以直角边为轴旋转一周得到的几何体是圆柱；
④因为AM
MB
，所以点M 是AB 的中点．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
5．如图A、B 两点之间相距4 个单位长度，B、C 两点之间相距6 个单位长度，现有一动点P 从点
A 开始沿数轴的正方向运动到达点C 停止，点P 到A、B、C 三点的距离之和的最大值为m，最小
值为n．则m
n
的值是（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
6．如图，已知长方形纸片ABCD，点E 和点F 分别在边AD 和BC 上，且∠EFC=37°，点H 和点
G 分别是边AD 和BC 上的动点，现将点A，B，C，D 分别沿EF，GH 折叠至点N，M，P，K，若
MN∥PK，则∠KHD 的度数为（
）
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A．37°或143°
B．74°或96°
C．37°或105°
D．74°或106°
二、填空题：本题共10 小题，每小题2 分，共20 分。
7．比较大小：
2
15
___________
1.35
．（填“”、“ ”或“ ”）
8．
60
AOB
，
15
AOC
，则
BOC
的余角的度数为___________．
9．已知
2
x 是关于x 的方程3
2
9
a
x
x
的解，那么关于y 的方程2
1
2
ay
y
的解为___________．
10．在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的是___________（填序号）．
11．下面的图形经过折叠可以围成的几何体名称是___________．
12．如图，将一个三角尺60角的顶点与另一个三角尺的直角顶点重合，若1
20
，则
2
的度数
是___________．
13．为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）
如图②所示，其中BC
AB
，ED
AB
．经使用发现，当
140
DCB
时，台灯光线最佳，此时
EDC
的大小为___________．
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14．如图①，点O 在直线AB 上，过O 作射线
,
120
OC
BOC
，三角板的顶点与点O 重合，边OM 与
OB 重合，边ON 在直线AB 的下方．若三角板绕点O 按10 / s
的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转
的过程中，第___________s时，直线ON 恰好平分锐角
AOC
（图②）．
15．如图，8 张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1 米，则长方
形展板的面积是___________平方米．
16．如图，有一张三角形纸片ABC ，
50
B
，
32
C
，点D 是AC 边上的固定点（
1
2
CD
AC
），
请在BC 上找一点F ，将纸片沿DF 折叠（DF 为折痕），点C 落在点E 处，使EF 与
ABC
V
的一边平
行，则
CDF
为___________度．
三、解答题（本题共11 小题，共88 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸）
17．（本小题8 分）计算：(1)
2
3
1
2
3
3
6
；
(2)
2
5
7
36
3
9
12
．
18．（本小题8 分）解方程：(1)
5
2
1
2
x
x
x
；
(2) 2
1
2
1
3
2
x
x
．
19．（本小题6 分）已知
2
3
3
3
A
a
ab
，
2
10
3
6
B
a
ab
．
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(1)若
1
2
a
，�= 4，求2A
B
的值．
(2)试比较A 与B 的大小关系，并说明理由．
20．（本小题8 分）阅读与理解：
定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“美好方程”．
例如：方程2
1
3
x 的解为
2
x ，
1
0
x 解为= 1
x ，两个方程解之和为1，所以这两个方程互为“美
好方程”．
(1)请判断方程
4
5
1
x
x
与方程2
3
y
y
是否互为“美好方程”；
(2)若关于x 的方程
0
2
x
m
与方程3
4
x
x
是互为“美好方程”，求m 的值．
21．（本小题8 分）我国航天事业的飞速发展引发了航空航天纪念品的热销，某商店准备购进甲、
乙两类关于航空航天的纪念品进行销售.已知甲类纪念品的进价为m 元/件，乙类纪念品的进价比甲
类的进价多5 元/件.若每件甲类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了60％，每件乙类纪念品的
售价是在其进价的基础上提高了40％，根据上述条件，回答下面问题：
(1)请用含有m 的代数式填写下表：
进价/元
售价/元
甲类纪念品
m
乙类纪念品
(2)该商店分别购进甲类纪念品100 件，乙类纪念品80 件.两类纪念品全部售出后所得的总利润为
1080 元，问每件甲、乙两类纪念品进价分别多少元？
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22．（本小题8 分）按要求画图．
(1)①如图①由点A 到河边l 的最短路线的依据是________________．
②如果从点A 经过点B 再到河边l，要使路程最短，在图中画出行走路线．
(2)如图②，
AOB
内有一点P．过点P 作PC
OB
∥
交OA于点C，PD
OA
∥
交OB 于点D．
23．（本小题8 分）在一个大正方体的角上切去一个小正方体，剩余的几何体如图所示，其中从正
面、左面、上面看这个几何体时，看到的形状图如图①②③所示．
(1)从正面看到的形状图是图___________，从左面看到的形状图是图___________，从上面看到的
形状图是图___________；（填序号）
(2)若大正方体的边长为20cm ，小正方体的边长为10cm，求这个几何体的表面积与体积．
24．
（本小题8 分）如图，已知O 为直线AD 上一点，OC 是
AOB
内部一条射线且满足
AOB
与
AOC
互补，OM ，ON 分别为
AOB
，
AOC
的角平分线．
(1)
COD
与
AOB
相等吗？请说明理由；
(2)若
150
AOB
，试求
AON
与
MON
的度数；
(3)若
52
MON
，试求
AOB
的度数．
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25．（本小题8 分）如图，已知线段AB ，点C 是AB 的中点，点D 是AB 的三等分点，且点D 在点C
的右边．
在线段AC 上是否存在一点E ，使得点E 是AD 的中点，同时点C 也是DE 的中点？若存在，请用圆
规找出点E 的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由．
26．（本小题9 分）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地
结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律；若数轴上点A，点B 表示的数分别为a，b，则A，B
两点之间的距离为：
|
|
=
AB
a
b
，线段AB 的中点表示的数为
2
a
b
．
【问题情境】已知，点A、B、O 在数轴上对应的数为a、b、0，且满足
2
6
10
0
a
b
，点M、
N 分别从O、B 出发，同时向左匀速运动，M 的速度为每秒1 个单位长度，N 的速度为每秒3 个单
位长度，设运动的时间为t 秒（t＞0）．
【综合运用】
(1)直接写出OA ___________；OB ___________；
(2)①用含t 的代数式表示：t 秒后，点M 表示的数为___________；点N 表示的数为___________．
②当t 为何值时，恰好有AN
AM
？
(3)若点P 为线段AM 的中点，Q 为线段BN 的中点，M、N 在运动的过程中，
1
2
PQ
MN
的长度是否
发生变化？若不变，请说明理由；若变化，t 为何值时，
1
2
PQ
MN
有最小值？最小值是多少？
27．
（本小题9 分）如图1，在
AOB
的内部引一条射线OC ，则图中共有3个角，分别是
AOB
、AOC
和
BOC
．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC 是
AOB
的“定分线”．
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(1)一个角的角平分线___________这个角的“定分线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图2 ，若
87
MPN
，其中射线PQ是
MPN
的“定分线”，请求出
MPQ
的度数；
(3)如图3，若
140
MPN
，射线PQ绕点P 从PN 位置开始，以每秒15的速度逆时针旋转，当PQ与PN
成105时停止旋转，旋转的时间为t 秒．同时射线PM 绕点P 以每秒10的速度顺时针旋转，并与PQ同
时停止旋转．请直接写出射线PQ 是
MPN
“定分线”时t的值．
【苏科】七上数学·期末卷（解析版）
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（考试时间：120分钟
试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：苏科版七年级上册全册。
5．难度系数：0.85。
一、选择题：本题共6 小题，每小题2 分，共12 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．下列各数中，与2025 相等的是（
）
A．
2025
B．
2025
C．
2025
D．
2025
【答案】D
【详解】解：A、
2025
2025
，不符合题意；B、
2025
2025
，不符合题意；
C、
2025
2025
，不符合题意；D、
2025
2025
，符合题意；故选D．
2．随着科学技术的不断提高，5G 网络已经成为新时代的“宠儿”，预计2025 到年，中国5G 用
户将超过460000000 人，将数460000000 用科学记数法表示为（
）
A．
8
4.6 10
B．
7
46 10
C．
9
0.46 10
D．
7
4.6 10
【答案】A
【详解】解：
8
460000000
4.6 10
，故选：A．
3．下列运算中，正确的是(
)
A． a
b
ab
B．
2
2
4
3
2
5
a
a
a
C．
2
2
2
3
2
a b
a b
a b
D．
4
(
)
4
a
a
【答案】C
【详解】解：A、a
b
ab
，故A 错误；B、
2
2
2
4
3
2
5
5
a
a
a
a
，故B 错误；
C、
2
2
2
3
2
a b
a b
a b
，故C 正确；D、
4
4
4
(
)
a
a
a
，故D 错误．故选：C．
4．下列说法中，正确的有（
）个
①射线AB 与射线BA是同一条射线；
②连接两点的线段叫做这两点的距离；
③把一个直角三角形以直角边为轴旋转一周得到的几何体是圆柱；
④因为AM
MB
，所以点M 是AB 的中点．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【苏科】七上数学·期末卷（解析版）
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【答案】A
【详解】解：射线AB 与射线BA不是同一条射线，端点不同，延伸方向也不同，故①错误；
连接两点的线段的长度，叫两点之间的距离，故②错误；
把一个直角三角形以直角边为轴旋转一周得到的几何体是圆锥，故③错误；
因为AM
MB
，若M 在线段AB 上，则点M 是AB 的中点，故④错误；
即没有正确的说法，故选：A．
5．如图A、B 两点之间相距4 个单位长度，B、C 两点之间相距6 个单位长度，现有一动点P 从点
A 开始沿数轴的正方向运动到达点C 停止，点P 到A、B、C 三点的距离之和的最大值为m，最小
值为n．则m
n
的值是（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】B
【详解】解：点P 在线段��上
0
4
PB
，
4
6
10
PA
PB
PC
AB
PB
BC
PB
PB
，
0
4,
PB
10
14
PA
PB
PC
；
点P 在线段��上
0
6
PB
，
PA
PB
PC
AB
BP
PB
4
4
6
10
PC
BP
PC
BP
PB
，
0
6
PB
，
10
16
PA
PB
PC
，
综上：10
16.
PA
PB
PC
∴最大值为
16
m
，最小值为
10
n
，
∴
16 10
6
m
n
，故选：B．
6．如图，已知长方形纸片ABCD，点E 和点F 分别在边AD 和BC 上，且∠EFC=37°，点H 和点
G 分别是边AD 和BC 上的动点，现将点A，B，C，D 分别沿EF，GH 折叠至点N，M，P，K，若
MN∥PK，则∠KHD 的度数为（
）
A．37°或143°
B．74°或96°
C．37°或105°
D．74°或106°
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【答案】D
【详解】解：①当PK 在AD 上方时，延长MN 、KH 相交于点Q ，如图所示
∵MN
PK
∥
，∴
K
Q
∠
∠，
∵
90
K
，∴
90
Q
，
∵
90
MNE
，∴
MNE
Q
∠
∠，∴EN
KQ
∥
，∴
AEN
AHQ
∠
∠
，
∵
37
EFC
，AD
BC
∥
，∴
37
AEF
EFC
∠
=∠
，
∵翻折，∴
37
AEF
NEF
∠
=∠
，∴
74
AEN
∠
，∴
74
AHQ
∠
，
∵
KHD
AHQ
∠
∠
，∴
74
KHD
∠
，
②当PK 在BC 下方时，延长MN 、HK 相交于点O，如图所示
∵MN
PK
∥
，∴
90
O
OKP
∠
∠
，
∵
90
MNE
，∴
MNE
O
∠
∠
，∴EN
HO
∥
，∴
AEN
AHO
∠
∠
，
∵
37
EFC
，AD
BC
∥
，∴
37
AEF
EFC
∠
=∠
，
∵翻折，∴
37
AEF
NEF
∠
=∠
，∴
74
AEN
∠
，∴
74
AHO
∠
，
∵
180
AHO
KHD
∠
∠
，∴
106
KHD
∠
，故选D．
二、填空题：本题共10 小题，每小题2 分，共20 分。
7．比较大小：
2
15
___________
1.35
．（填“”、“ ”或“ ”）
【答案】
【详解】解：
2
2
1
1
5
5
，
1.35
1.35
，2
1
1.35
5
，
故
2
15
1.35
，故答案为：．
8．
60
AOB
，
15
AOC
，则
BOC
的余角的度数为___________．
【答案】45或15
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【详解】解：当射线OC 在
AOB
内部时，
∵
60
AOB
，
15
AOC
，
∴
60
15
45
BOC
AOB
AOC
，
∴
BOC
的余角的度数为90
45
45
；
当射线OC 在
AOB
的外部时，
∵
60
AOB
，
15
AOC
，
∴
60
15
75
BOC
AOB
AOC
，
∴
BOC
的余角的度数为90
75
15
，
综上所述，
BOC
的余角的度数为45或15．故答案为：45或15．
9．已知
2
x 是关于x 的方程3
2
9
a
x
x
的解，那么关于y 的方程2
1
2
ay
y
的解为___________．
【答案】
1
y
【详解】把
2
x 代入方程3
2
9
a
x
x
中得：3
4
7
a
，解得：
1
a ，
将
1
a 代入方程2
1
2
ay
y
得：2
1 2
y
y
，解得：
1
y ，故答案为：
1
y ．
10．在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的是___________（填序号）．
【答案】①②③
【详解】解：①平板弹墨线，体现了基本事实“两点确定一条直线”；
②建筑工人砌墙，体现了基本事实“两点确定一条直线”；
③会场摆直茶杯，体现了基本事实“两点确定一条直线”；
④弯河道改直，体现了基本事实“两点之间线段最短”；
所以，在上列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有①②③，故答案为：①②③．
11．下面的图形经过折叠可以围成的几何体名称是___________．
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【答案】三棱柱
【详解】根据题意得，有2 个三角形的面，3 个长方形的面，
∴围成的几何体名称是三棱柱．故答案为：三棱柱．
12．如图，将一个三角尺60角的顶点与另一个三角尺的直角顶点重合，若1
20
，则
2
的度数
是___________．
【答案】50
【详解】解：∵
60
BAC
，1
20
，
∴
1
60
20
40
CAE
BAC
，
又∵
90
DAE
，
∴
2
90
40
50
DAE
CAE
，故答案为：50．
13．为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）
如图②所示，其中BC
AB
，ED
AB
．经使用发现，当
140
DCB
时，台灯光线最佳，此时
EDC
的大小为___________．
【答案】130
【详解】解：如图所示，过点C 作CK
AB
∥
，
∵DE
AB
∥
，
∴CK
DE
∥
，
【苏科】七上数学·期末卷（解析版）
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BC
AB
，
BC
CK
，
90
BCK
，
140
DCB
，
50
DCK
DCB
BCK
，
∵CK
DE
∥
，
180
EDC
DCK
，
130
EDC
．
故答案为：130．
14．如图①，点O 在直线AB 上，过O 作射线
,
120
OC
BOC
，三角板的顶点与点O 重合，边OM 与
OB 重合，边ON 在直线AB 的下方．若三角板绕点O 按10 / s
的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转
的过程中，第___________s时，直线ON 恰好平分锐角
AOC
（图②）．
【答案】6 或24
【详解】解：
120
BOC
，
60
AOC
，
当直线ON 恰好平分锐角
AOC
时，如图：
1
30
2
BON
AOC
，
此时，三角板旋转的角度为90
30
60
，
60
10
6
t
；
当ON 在
AOC
的内部时，如图：
三角板旋转的角度为360
90
30
240
，
240
10
24
t
；
t
的值为：6 或24．故答案为：6 或24．
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15．如图，8 张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1 米，则长方
形展板的面积是___________平方米．
【答案】130
【详解】解：设第二小的正方形的边长是x 米，则五种正方形的边长从小到大依次是1 米，x 米，
1
x
米，
3
x
米，
4
x
米，
根据长方形展板上下对边相等，得
3
4
3
1
x
x
x
x
，解得
3
x ，
展板的长是
3
4
2
7
13
x
x
x
（米）
，展板的宽是
4
2
4
10
x
x
x
（米），
长方形展板的面积是13 10
130
（平方米）．故答案为：130．
16．如图，有一张三角形纸片ABC ，
50
B
，
32
C
，点D 是AC 边上的固定点（
1
2
CD
AC
），
请在BC 上找一点F ，将纸片沿DF 折叠（DF 为折痕），点C 落在点E 处，使EF 与
ABC
V
的一边平
行，则
CDF
为___________度．
【答案】74 或33或123或58
【详解】解：由题意知，分EF
AC
∥
，EF
AB
∥
，EF
BC
∥
三种情况求解；
当EF
AC
∥
时，如图，
∴
32
EFB
C
，
由折叠可知，
180
74
2
EFB
CFD
EFD
，
∴
180
74
CDF
C
CFD
；
当EF
AB
∥
时，如图，延长EF 交AC 于M ，
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∴
50
CFM
B
，
∴
50
BFE
CFM
，
由折叠可得，
180
115
2
BFE
DFC
，
∴
180
33
CDF
DFC
C
；
当EF
AB
∥
时，如图，
∴
50
CFE
B
，
由折叠可得，
1
25
2
CFD
CFE
，
∴
180
123
CDF
CFD
C
，
当EF
BC
∥
时，如图，DF
BC
，
∴
180
90
58
CDF
C
，
综上所述，
CDF
的度数为74或33或123或58，
故答案为：74 或33或123或58．
三、解答题（本题共11 小题，共88 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸）
17．（本小题8 分）计算：(1)
2
3
1
2
3
3
6
(2)
2
5
7
36
3
9
12
．
【详解】（1）解：
2
3
1
2
3
3
6
8
3
9
6
…………………………3 分
8
3
54
8
3
54
49
；………………………………………………4 分
（2）解：
2
5
7
36
3
9
12
2
5
7
36
36
36
3
9
12
…………………………3 分
24
20
21
25
．………………………………………………8 分
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18．（本小题8 分）解方程：(1)
5
2
1
2
x
x
x
；
(2) 2
1
2
1
3
2
x
x
．
【详解】（1）解：
5
2
1
2
x
x
x
，
去括号，得5
2
2
2
x
x
x
，………………………………1 分
移项，得5
2
2
2
x
x
x
，………………………………2 分
合并同类项，得2
4
x ，………………………………3 分
系数化为1，得
2
x ；………………………………………………4 分
（2）解：2
1
2
1
3
2
x
x
，
去分母，得
2 2
1
6
3
2
x
x
，………………………………5 分
去括号，得4
2
6
3
6
x
x
，………………………………6 分
移项，得4
3
6
2
6
x
x
，………………………………7 分
合并同类项，得
10
x
．………………………………………………8 分
19．（本小题6 分）已知
2
3
3
3
A
a
ab
，
2
10
3
6
B
a
ab
．
(1)若
1
2
a
，�= 4，求2A
B
的值．
(2)试比较A 与B 的大小关系，并说明理由．
【详解】（1）解：∵
2
3
3
3
A
a
ab
，
2
10
3
6
B
a
ab
∴2A
B
2
2
2
3
3
3
10
3
6
a
ab
a
ab
2
2
6
6
6 10
3
6
a
ab
a
ab
2
4
3
a
ab
，………………………………………………2 分
当
1
2
a
，�= 4 时，原式
2
1
1
4
3
4
1 6
5
2
2
；……………………3 分
（2）解：
2
3
3
3
A
a
ab
，
2
10
3
6
B
a
ab
∴
2
2
3
3
3
10
3
6
A
B
a
ab
a
ab
2
2
3
3
3 10
3
6
a
ab
a
ab
2
7
3
a
，…………………………………4 分
∵
2
0
a
∴
2
7
3
0
a
，即
0
A
B
，
∴A
B
．………………………………………………6 分
20．（本小题8 分）阅读与理解：
定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“美好方程”．
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例如：方程2
1
3
x 的解为
2
x ，
1
0
x 解为= 1
x ，两个方程解之和为1，所以这两个方程互为“美
好方程”．
(1)请判断方程
4
5
1
x
x
与方程2
3
y
y
是否互为“美好方程”；
(2)若关于x 的方程
0
2
x
m
与方程3
4
x
x
是互为“美好方程”，求m 的值．
【详解】（1）解：解方程
4
5
1
x
x
得：
2
x ，…………………………………1 分
解方程2
3
y
y
得：
1
y ，……………………………………………2 分
∴
2
1
1
x
y
，……………………………………………3 分
∴方程
4
5
1
x
x
与方程2
3
y
y
是互为“美好方程”．…………………………………4 分
（2）解：关于x 的方程
0
2
x
m
的解为：
2
x
m
，………………………………………………5 分
方程3
4
x
x
的解为
2
x ，………………………………………………6 分
∵关于x 的方程
0
2
x
m
与方程3
4
x
x
是互为“美好方程”，
∴2
2
1
m
，………………………………………………7 分
解得：
1
2
m
．………………………………………………8 分
21．（本小题8 分）我国航天事业的飞速发展引发了航空航天纪念品的热销，某商店准备购进甲、
乙两类关于航空航天的纪念品进行销售.已知甲类纪念品的进价为m 元/件，乙类纪念品的进价比甲
类的进价多5 元/件.若每件甲类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了60％，每件乙类纪念品的
售价是在其进价的基础上提高了40％，根据上述条件，回答下面问题：
(1)请用含有m 的代数式填写下表：
进价/元
售价/元
甲类纪念品
m
乙类纪念品
(2)该商店分别购进甲类纪念品100 件，乙类纪念品80 件.两类纪念品全部售出后所得的总利润为
1080 元，问每件甲、乙两类纪念品进价分别多少元？
【详解】（1）解：∵甲类纪念品的进价为m 元/件，乙类纪念品的进价比甲类的进价多5 元/件、
若每件甲类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了60% ，每件乙类纪念品的售价是在其进价的基
础上提高了40%，
∴乙类纪念品的进价为
5
m
元/件，每件甲类纪念品的售价是
1 60%
1.6
m
m
元/件，每件乙类纪
念品的售价是
1 40%
5
1.4
5
m
m
元/件，故可填写下表：………………………4 分
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进价/元
售价/元
甲类纪念品
m
1.6m
乙类纪念品
5
m
1.4
5
m
（2）解：该商店分别购进甲类纪念品100 件，乙类纪念品80 件，两类纪念品全部售出后所得的总
利润为1080 元，
∵100 60%
80 40%
5
1080
m
m
（
）
，解得，
10
m
，
5
15
m
（元），
答：每件甲、乙两类纪念品进价分别为10 元和15 元．…………………………………8 分
22．（本小题8 分）按要求画图．
(1)①如图①由点A 到河边l 的最短路线的依据是________________．
②如果从点A 经过点B 再到河边l，要使路程最短，在图中画出行走路线．
(2)如图②，
AOB
内有一点P．过点P 作PC
OB
∥
交OA于点C，PD
OA
∥
交OB 于点D．
【详解】（1）解：①由点A 到河边l 的最短路线的依据是：垂线段最短，
故答案为：垂线段最短；
②如图，A
B
C
即为所求作：
………………………………………………4 分
（2）解：如图，PC 、PD即为所求作：
………………………………………8 分
23．（本小题8 分）在一个大正方体的角上切去一个小正方体，剩余的几何体如图所示，其中从正
面、左面、上面看这个几何体时，看到的形状图如图①②③所示．
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(1)从正面看到的形状图是图___________，从左面看到的形状图是图___________，从上面看到的
形状图是图___________；（填序号）
(2)若大正方体的边长为20cm ，小正方体的边长为10cm，求这个几何体的表面积与体积．
【详解】（1）解：由题意可得，从正面、左面、上面看到的平面图形分别是①，②，③，
故答案为：①，②，③．……………………………………………………………………3 分
（2）解：结合三视图可知，切去小正方体后，三个方向的面积并未发生改变，
则这个几何体的表面积为：
2
2
20 20
20 20
20 20
2 1200
2400cm
，…………………5 分
这个几何体的体积为：
3
20 20 20 10 10 10
7000cm
，…………………7 分
答：这个几何体的表面积与体积分别为
2
2400cm ，
3
7000cm ．……………………………………8 分
24．
（本小题8 分）如图，已知O 为直线AD 上一点，OC 是
AOB
内部一条射线且满足
AOB
与
AOC
互补，OM ，ON 分别为
AOB
，
AOC
的角平分线．
(1)
COD
与
AOB
相等吗？请说明理由；
(2)若
150
AOB
，试求
AON
与
MON
的度数；
(3)若
52
MON
，试求
AOB
的度数．
【详解】（1）解：
COD
AOB
；理由如下：
AOC
与
AOB
互补，
180
AOC
AOB
，
180
AOC
DOC
，
COD
AOB
；………………………………………………2 分
（2）解：∵
AOB
与
AOC
互补，
150
AOB
，
∴
180
150
30
AOC
，
∵ON 为
AOC
的角平分线，
∴
1
1 30
15
2
2
AON
AOC
，
∵OM 为
AOB
的角平分线，
150
AOB
，
∴
1
1
150
75
2
2
AOM
AOB
，
∴
75
15
60
MON
AOM
AON
；………………………………………………5 分
（3）解：∵OM ，ON 分别为
AOB
，
AOC
的角平分线，
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∴
1
2
AOM
AOB
，
1
2
AOM
AOC
，
∴
1
1
52
2
2
MON
AOM
AON
AOB
AOC
，
∴
104
AOB
AOC
①，
∵
180
AOB
AOC
②，
①
②
得
142
AOB
．………………………………………………8 分
25．（本小题8 分）如图，已知线段AB ，点C 是AB 的中点，点D 是AB 的三等分点，且点D 在点C
的右边．
在线段AC 上是否存在一点E ，使得点E 是AD 的中点，同时点C 也是DE 的中点？若存在，请用圆
规找出点E 的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由．
【详解】解：存在，理由如下，
以点D 为圆心，以BD长为半径画弧，交AC 于点E ，E 即为所求作，如图，
………………………………………………3 分
理由：∵
1
3
DE
BD
AB
，
∴
1
3
AE
AB
，
∴
1
2
AE
DE
AD
，
∴E 是AD的中点，……………………………………4 分
∵点C 是��的中点，
∴
1
2
AC
BC
AB
，……………………………………5 分
∴
1
1
1
2
3
6
CD
BC
BD
AB
AB
AB
，…………………………………6 分
∴
1
1
1
3
6
6
CE
DE
CD
AB
AB
AB
，
∴
1
2
CE
CD
DE
=
=
，…………………………………7 分
∴C 是DE 的中点．………………………………………………8 分
26．（本小题9 分）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地
结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律；若数轴上点A，点B 表示的数分别为a，b，则A，B
两点之间的距离为：
|
|
=
AB
a
b
，线段AB 的中点表示的数为
2
a
b
．
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【问题情境】已知，点A、B、O 在数轴上对应的数为a、b、0，且满足
2
6
10
0
a
b
，点M、
N 分别从O、B 出发，同时向左匀速运动，M 的速度为每秒1 个单位长度，N 的速度为每秒3 个单
位长度，设运动的时间为t 秒（t＞0）．
【综合运用】
(1)直接写出OA ___________；OB ___________；
(2)①用含t 的代数式表示：t 秒后，点M 表示的数为___________；点N 表示的数为___________．
②当t 为何值时，恰好有AN
AM
？
(3)若点P 为线段AM 的中点，Q 为线段BN 的中点，M、N 在运动的过程中，
1
2
PQ
MN
的长度是否
发生变化？若不变，请说明理由；若变化，t 为何值时，
1
2
PQ
MN
有最小值？最小值是多少？
【详解】（1）解：由题意得：6
0
a
+
= ，
10
0
b
=
-
，解得：
6
a ，=10
b
，
6
OA
\
= ，
=10
OB
，故答案为：6，10；………………………………………………2 分
（2）解：①
M
，N 都是向左运动，M 的速度为每秒1 个单位长度，N 的速度为每秒3 个单位长
度，
M
t
\
-
：，
10
3
N
t
：-
，故答案为：t
，10
3t
；………………………………………………4 分
②由题意得：
6
=
6
10
3
t
t
，解得：1
2
5.5
5
t
t
，
；………………………………………6 分
（3）解：
P
为线段AM 的中点，Q 为线段BN 的中点，
点P 表示的数为：
6
2
t
，点Q 表示的数为：10
10
3
3
10
2
2
t
t
，
3
6
= 10
13
2
2
t
PQ
t
t
，
点M 表示的数是t
，点N 表示的数是10
3t
，
=
10
3
2
10
MN
t
t
t
＝
，
1
13
5
2
PQ
MN
t
t
，
①当
5
t 时，
1
13
5
13
5
18
2
2
PQ
MN
t
t
t
t
t
，
2
0
1
2
PQ
MN
\
+
的值随t 的值的增大而减小，
当=5
t
时，
1
2
PQ
MN
取得最小值，最小值为8；………………………………………………7 分
②当5
13
t
< <
时，
1
13
5
8
2
PQ
MN
t
t
+
=
- + -
= ，………………………………………………8 分
③当
13
t
时，
1
13
5
2
18
2
PQ
MN
t
t
t
+
= -
+ -
=
-
，
2
0
，
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1
2
PQ
MN
\
+
的值随t 的值的增大而增大，
当=13
t
时，
1
2
PQ
MN
取得最小值，最小值为8，
∴当5s
13s
t
时，
1
2
PQ
MN
取得最小值，最小值是8．………………………………………9 分
27．
（本小题9 分）如图1，在
AOB
的内部引一条射线OC ，则图中共有3个角，分别是
AOB
、AOC
和
BOC
．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC 是
AOB
的“定分线”．
(1)一个角的角平分线___________这个角的“定分线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图2 ，若
87
MPN
，其中射线PQ是
MPN
的“定分线”，请求出
MPQ
的度数；
(3)如图3，若
140
MPN
，射线PQ绕点P 从PN 位置开始，以每秒15的速度逆时针旋转，当PQ与PN
成105时停止旋转，旋转的时间为t秒．同时射线PM 绕点P 以每秒10的速度顺时针旋转，并与PQ同
时停止旋转．请直接写出射线PQ是
MPN
“定分线”时t的值．
【详解】（1）解：一个角的角平分线是这个角的“定分线”，故答案为：是；………………1 分
（2）解：①当PQ是
MPN
的角平分线时，
1
43.5
2
MPQ
MPN
；………………………2 分
②当PQ是
MPN
的三等分线时，且
MPQ
更小时，
1
29
3
MPQ
MPN
；………………………………………………3 分
③当PQ是
MPN
的三等分线时，且
MPQ
更大时，
2
58
3
MPQ
MPN
；
综上，
MPQ
的度数为43.5或29或58；………………………………………………4 分
（3）解：①当
1
3
QPN
MPN
时，如图，
则
1
15
140 10
3
t
t
，解得
28
11
t
；………………………………………………5 分
②当
1
2
QPN
MPN
时，如图，
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则
1
15
140 10
2
t
t
，解得
7
2
t
；………………………………………………6 分
③当
2
3
QPN
MPN
时，如图，
则
2
15
140 10
3
t
t
，解得
56
13
t
；………………………………………………8 分
综上，t的值为28
11 或7
2 或56
13 ．………………………………………………9 分
