文档文本内容
第四辑
平面向量（选填题）…………………………………………………………………
01
排列组合与二项式定理（选填题）…………………………………………………
05
事件与概率、分布列与统计综合（选填题）………………………………………
11
复数（选填题）………………………………………………………………………
20
集合与常用逻辑用语（选填题）……………………………………………………
24
平面向量（选填题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考I 卷
3
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
向量垂直的坐标表
示；平面向量线性
运算的坐标表示
2024 年新高考II
卷
3
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
数量积的运算律；
已知数量积求模；
垂直关系的向量表
示
2023 年新高考I 卷
3
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
平面向量线性运算
的坐标表示；向量
垂直的坐标表示；
利用向量垂直求参
数
2023 年新高考II
卷
13
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量
，
满足
，
，则
．
数量积的运算律
2022 年新高考I 卷
3
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在
中，点D 在边AB 上，
．记
，则
（ ）
A．
B．
用基底表示向量
C．
D．
2022 年新高考II
卷
4
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．6
向量夹角的坐标表
示；平面向量线性
运算的坐标表示
近三年新高考数学平面向量选填题考查情况总结
考点：涵盖向量垂直的坐标表示（2024 年新课标Ⅰ卷）、数量积运算及向量垂直（2024 年新课标Ⅱ
卷）、向量线性运算与垂直（2023 年新课标Ⅰ卷）、数量积运算律（2023 年新课标Ⅱ卷）、用基底表示向
量（2022 年新课标Ⅰ卷）、向量夹角与线性运算（2022 年新课标Ⅱ卷）。
题型：多为选择题，分值5 分，侧重考查向量的坐标运算、数量积、垂直关系及线性运算，注重对向
量基本概念和运算规则的理解与应用。
2025 年新高考平面向量选填题高考预测
题型与分值：预计为选择题或填空题，分值5 分。
考查方向：延续对向量垂直、数量积、线性运算的考查，可能强化坐标运算与几何意义的结合，或涉
及向量模长、夹角的综合计算，注重运算能力与逻辑推理，如根据向量垂直或数量积求参数，或利用坐标
运算解决向量关系问题。
1. 向量的运算
（1）两点间的向量坐标公式：
，
，
终点坐标
始点坐标
（2）向量的加减法
，
，
（3）向量的数乘运算
，则：
（4）向量的模
，则
的模
（5）相反向量
已知
，则
；已知
（6）单位向量
（7）向量的数量积
（8）向量的夹角
（9）投影向量
向量
在
上的投影向量为
（10）向量的平行关系
（11）向量的垂直关系
（12）向量模的运算
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量
，
满足
，
，则
．
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在
中，点D 在边AB 上，
．记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【名校预测·第一题】（福建省福州第一中学2024-2025 学年高三数学试题）
已知
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025 学年高三下学期3 月月考数学试题）
已知向量
，若
反向共线，则实数
的值为（ ）
A．
B．3
C．3 或
D．
或7
【名校预测·第三题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025 学年数学试题）
已知
，
，若
与
的夹角是钝角，则实数
的取值范围是 ．
【名校预测·第四题】（山东省泰安第一中学2024-2025 学年高三下学期4 月月考数学试题）
若向量
在向量
上的投影向量为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【名校预测·第五题】（重庆市巴蜀中学2024-2025 学年高三下学期二诊数学试题）
已知向量
都是单位向量，且向量满足向量
的夹角为
，则
的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【名师押题·第一题】已知向量
，
，若
，则
的值为 ．
【名师押题·第二题】已知单位向量
，
满足
，则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【名师押题·第三题】已知平面向量
，
，
，
，且A，B，C 三点
共线，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【名师押题·第四题】在直角梯形
中，
，
，
，
是
的中点，若
，则
（ ）.
A．1
B．
C．
D．
【名师押题·第五题】在等边
中，
，点M 为AB 的中点，点N 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【名师押题·第六题】已知平面向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
排列组合与二项式定理（选填题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考II
卷
14
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4
的方格表中选4 个方格，要求每行和每列均
恰有一个方格被选中，则共有 种选
法，在所有符合上述要求的选法中，选中方
格中的4 个数之和的最大值是 ．
全排列问题；写出
基本事件
2023 年新高考I 卷
13
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了
4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课，学生
需从这8 门课中选修2 门或3 门课，并且每类
选修课至少选修1 门，则不同的选课方案共
有 种（用数字作答）．
分类加法计数原
理；实际问题中的
组合计数问题
2023 年新高考II
卷
3
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解
学生参加体育运动的情况，用比例分配的分
层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和
高中部两层共抽取60 名学生，已知该校初中
部和高中部分别有400 名和200 名学生，则不
同的抽样结果共有（ ）．
A．
种 B．
种
C．
种 D．
种
分步乘法计数原理
及简单应用；实际
问题中的组合计数
问题；抽样比、样
本总量、各层总
数、总体容量的计
算
2022 年新高考I 卷
13
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）
的展开式中
的系数为
（用数字作答）．
两个二项式乘积展
开式的系数问题
2022 年新高考II
卷
5
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、
乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺
汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不
同排列方式共有（ ）
元素（位置）有限
制的排列问题；相
邻问题的排列问题
A．12 种
B．24 种
C．36 种
D．48 种
近三年新高考数学排列组合与二项式定理选填题考查情况总结
考点：涵盖排列问题（2024 年新课标Ⅱ卷方格表选方格）、分类加法计数（2023 年新课标Ⅰ卷）、分
层抽样组合计数（2023 年新课标Ⅱ卷）、二项式展开式系数（2022 年新课标Ⅰ卷）、相邻排列问题（2022
年新课标Ⅱ卷），侧重计数原理与公式应用。
题型：均为选填题，分值5 分，注重实际情境中的计数与二项式定理简单计算。
2025 年新高考排列组合与二项式定理选填题高考预测
题型与分值：预计为选填题，分值5 分。
考查方向：延续排列组合实际应用（如分组、排队），二项式定理求特定项系数，或与概率等简单结
合，强化计数原理（分类、分步）及公式运用，考查分析与计算能力。
1.分类计数原理（加法原理）
.
2.分步计数原理（乘法原理）
.
3.排列数公式
=n(n−1)⋯(n−m+1)=
n！
(n−m)！.(
，
∈N*，且
)．注:规定0!=1.
4.组合数公式
Cn
m
=
=
n(n−1)⋯(n−m+1)
1×2×⋯×m
=
n！
m！⋅(n−m)！(
∈N*，
，且
).
5.排列数与组合数的关系
.
6．单条件排列
以下各条的大前提是从
个元素中取
个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有An−1
m−1
种；
②某（特）元不在某位有An
m−An−1
m−1
（补集思想）=An−1
1
An−1
m−1
（着眼位置）=An−1
m + Am−1
1
An−1
m−1
（着眼
元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：k(k≤m≤n)个元在固定位的排列有Ak
k An−k
m−k
种.
②浮动紧贴：
个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有An−k+1
n−k+1 Ak
k
种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h 个（k≤h+1），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近
的所有排列数有Ah
h Ah+1
k
种.
（3）两组元素各相同的插空
个大球
个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当n>m+1 时，无解；当n≤m+1时，有
Am+1
n
An
n =Cm+1
n
种排法.
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为Cm+n
n
.
7．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的
、
个物件等分给
个人，各得
件，其分配方法数共有
N=Cmn
n ⋅Cmn−n
n
⋅Cmn−2n
n
⋅⋯⋅C2n
n ⋅Cn
n=(mn )!
(n!)m
.
（2）(平均分组无归属问题)将相异的
·
个物体等分为无记号或无顺序的
堆，其分配方法数共有
N=
Cmn
n ⋅Cmn−n
n
⋅Cmn−2n
n
...⋅C2n
n ⋅Cn
n
m!
= (mn )!
m!(n!)m
.
8.二项式定理 (a+b)n=Cn
0an+Cn
1an−1b+Cn
2an−2b2+⋯+Cn
r an−r br+⋯+Cn
nbn
;
二项展开式的通项公式
T r+1=Cn
r an−r br (r=0，1，2⋯，n).
典例1
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4 的方格表中选4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被
选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4 个数之和的最大值是
．
典例2
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课，学生需从这8 门课中
选修2 门或3 门课，并且每类选修课至少选修1 门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
典例3
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法
作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有400 名和200 名
学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
典例4
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）
的展开式中
的系数为 （用数字作
答）．
典例5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在
两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12 种
B．24 种
C．36 种
D．48 种
【名校预测·第一题】（黑龙江省哈尔滨第三中学校2025 届高三下学期第二次模拟数学试题）
若在
的展开式中，含
项的系数为80，则
．（用数字作答）
【名校预测·第二题】（山东省泰安第一中学2024-2025 学年高三下学期4 月月考数学试题）
二项式
的展开式中，常数项为（ ）
A．24
B．6
C．
D．
【名校预测·第三题】（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025 学年高三第一次模拟试卷）
2024 年4 月26 日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感
和爱国热情.齐聚“天宫”的6 名宇航员分别是“70 后”蔡旭哲、“80 后”叶光富、李聪、李广苏，“90
后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6 人站成一排，两位指令长蔡
旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80 后”彼此不相邻，两位“90 后”彼此不相邻，则不同的站法共有
（ ）
A．16 种
B．32 种
C．48 种
D．64 种
【名校预测·第四题】（辽宁省本溪市高级中学2025 届高三下学期4 月月考数学试题）
中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、
羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，
甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼
物都满意的选择方法共有 种（用数字作答）
【名校预测·第五题】（河南省郑州外国语学校2024-2025 学年高三调研数学试卷）
现安排甲、乙、丙、丁、戊5 名同学参加2022 年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机
四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5 名同学全部被安排的不同方法数为
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、
戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【名师押题·第一题】将两个1，两个3，一个5 排成一行，则不同的排法种数为 .（用数字作答）
【名师押题·第二题】若二项式
展开式中的常数项为160，则
．
【名师押题·第三题】已知
的展开式中
项的系数为60，则实数
的值为 .
【名师押题·第四题】一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、
或向下跳一个单位长度，则此质点在第10 秒末到达点
的跳法共有 种．（用数字作答）
【名师押题·第五题】甲、乙等5 名志愿者参加2025 年文化和旅游发展大会的
、
、
、
四项服务工
作，要求每名志愿者只能参加1 项工作，每项工作至少安排1 人，且甲不参加
项工作，乙必须参加
项
工作，则不同的安排方法数有（ ）
A．36 种
B．42 种
C．54 种
D．72 种
【名师押题·第六题】为拓展学生数学视野，鼓励学生多读数学书，学校举办了“数学图书在哪”的抽奖
活动.如图，在一个5×5 的方格表中，按如下规则放置了一些图书，小方格中的数字表示与其有公共顶点的
小方格的图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内无限制，且每一个方格只能放1 本图
书.则所有可能的图书排列方式总数为（ ）
A．160
B．192
C．224
D．256
事件与概率、分布列与统计综合（选填题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考I 卷
9
6
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）随着“一带一路”国
际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.
为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从
该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均
值
，样本方差
，已知该种植区以往的
亩收入
服从正态分布
，假设推动出口后
的亩收入
服从正态分布
，则（ ）（若随
机变量Z 服从正态分布
，
）
A．
B．
C．
D．
指定区间的
概率；正态
分布的实际
应用
2024 年新高考I 卷
14
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张
卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标
有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，
4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人
各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡
求离散型随
机变量的均
值；均值的
性质；计算
古典概型问
片上数字的大小，数字大的人得1 分，数字小的人得
0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在
此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分
不小于2 的概率为 .
题的概率
2024 年新高考II 卷
4
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面
积相等的100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块
稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A．100 块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100 块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例
超过80%
C．100 块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间
D．100 块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg
之间
计算几个数
的平均数；
计算几个数
据的极差、
方差、标准
差；计算几
个数的中位
数
2023 年新高考I 卷
9
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）有一组样本数据
，其中
是最小值，
是最大值，则
（ ）
A．
的平均数等于
的平均数
B．
的中位数等于
的中位数
C．
的标准差不小于
的标准差
D．
的极差不大于
的极差
计算几个数
的中位数；
计算几个数
的平均数；
计算几个数
据的极差、
方差、标准
差
2023 年新高考II 卷
12
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在信道内传输0，1 信
号，信号的传输相互独立．发送0 时，收到1 的概率
为
，收到0 的概率为
；发送1 时，收
到0 的概率为
，收到1 的概率为
. 考
虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是
指每个信号只发送1 次，三次传输 是指每个信号重
复发送3 次．收到的信号需要译码，译码规则如下：
单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收
到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收
到1，0，1，则译码为1）.
利用互斥事
件的概率公
式求概率；
独立事件的
乘法公式；
独立重复试
验的概率问
题
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依
次收到l，0，1 的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，
0，1 的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1 的概率
为
D．当
时，若发送0，则采用三次传输方案
译码为0 的概率大于采用单次传输方案译码为0 的概
率
2022 年新高考I 卷
5
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）从2 至8 的7 个整
数中随机取2 个不同的数，则这2 个数互质的概率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
计算古典概
型问题的概
率；实际问
题中的组合
计数问题
2022 年新高考II 卷
13
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知随机变量X
服从正态分布
，且
，则
．
指定区间的
概率
近三年新高考数学事件与概率、分布列与统计综合选填题考查情况总结
考点：涵盖正态分布实际应用（2024 年新课标Ⅰ卷）、古典概型概率计算（2024 年新课标Ⅰ卷、2022
年新课标Ⅰ卷）、统计量分析（均值、方差、极差、中位数，如2024 年新课标Ⅱ卷、2023 年新课标Ⅰ
卷）、独立事件概率（2023 年新课标Ⅱ卷），注重实际情境与概念结合。
题型：以选择题为主，分值5-6 分，侧重考查概率统计知识在实际问题中的应用及基本计算能力。
2025 年新高考事件与概率、分布列与统计综合选填题高考预测
题型与分值：预计为选择题或填空题，分值5-6 分。
考查方向：延续正态分布、古典概型、统计量计算的考查，可能结合分布列简单问题，强化实际应用
（如生活场景中的概率计算、统计量分析），注重对概念的理解与运算准确性，如根据统计图表分析数据
特征，或利用概率公式解决实际问题。
1. 等可能性事件的概率
.
2. 互斥事件A，B 分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
3.
个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
4. 独立事件A，B 同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).
5.
个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
6.
次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率
7.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）
;
（2）
.
8. 数学期望
9. 数学期望的性质
（1）
.
（2）若
～
,则
.
(3) 若
服从几何分布,且
，则
.
10. 方差
11. 标准差
=√Dξ .
12.方差的性质
(1)
；
(2）若
～
，则
.
(3) 若
服从几何分布,且
，则
.
13.方差与期望的关系
.
14.正态分布密度函数
，式中的实数μ，σ （σ >0）是参数，分别表示个体的平均
数与标准差.
15.对于
，取值小于x 的概率
.
P(x1<x0<x2)=P(x<x2)−P(x<x1)
.
1. 条件概率
条件概率的定义
条件概率的性质
已知B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P(A|
B)．
当P(B)>0 时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B 也可以记成AB)
类似地，当P(A)>0 时，A 发生时B 发生的条件概率为P(B|A)＝
(1)0≤P(B|A)≤1，
(2)如果B 和C 是两
个互斥事件，则
P(B∪C|A)＝P(B|A)
＋P(C|A)
P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同
前者是在A 发生的条件下B 发生的概率，后者是在B 发生的条件下A 发生的概率．
2. 条件概率的三种求法
定义法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
基本事件法
借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A)，再求事件AB 所包含的基本
事件数n(AB)，得P(B|A)＝
缩样法
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求
解，它能化繁为简
3. 全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2 …
∪
∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则
对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝
，此公式为全概率公式.
（1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A 包
含的样本点数，n(AB)为事件AB 包含的样本点数.
（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A 的概率的求解问题，转化为了在不同情
况下发生的简单事件的概率的求和问题.
4. 贝叶斯公式
一般地,设
是一组两两互斥的事件,有
且
,则对
任意的事件
有
5. 数字样本特征
（1）众数：在一组数据中出现次数最多的数
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若
为偶数个，中位数为中间两个数的平均数
（3）平均数：
，反映样本的平均水平
（4）方差：
反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；
越大，样本波动越大，越不稳定；
越小，样本波动越小，越稳定；
（5）标准差：
，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样
（6）极差：等于样本的最大值
最小值
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.
为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均
值
，样本方差
，已知该种植区以往的亩收入
服从正态分布
，假设推动出口后
的亩收入
服从正态分布
，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布
，
）
A．
B．
C．
D．
典例2
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标
有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自
从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1 分，数字小的人得0 分，
然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于
2 的概率为 .
典例3
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块
稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表
亩产
量
[900，
950）
[950，
1000）
[1000，
1050）
[1050，
1100）
[1100，
1150）
[1150，
1200）
频数
6
12
18
30
24
10
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A．100 块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100 块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%
C．100 块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间
D．100 块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间
典例4
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）有一组样本数据
，其中
是最小值，
是最大值，则（ ）
A．
的平均数等于
的平均数
B．
的中位数等于
的中位数
C．
的标准差不小于
的标准差
D．
的极差不大于
的极差
典例5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在信道内传输0，1 信号，信号的传输相互独立．发送0 时，收到1 的概率
为
，收到0 的概率为
；发送1 时，收到0 的概率为
，收到1 的概率为
. 考
虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1 次，三次传输 是指每个信号重复
发送3 次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到
的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1 的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1 的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1 的概率为
D．当
时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0 的概率大于采用单次传输方案译码为0 的
概率
【名校预测·第一题】（025 届湖南省长沙市雅礼中学高三4 月综合自主测试数学试题）
语文老师要从10 篇课文中随抽3 篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2 篇才能及格．某位同学
只能背诵其中的6 篇，则他能及格的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025 学年高三下学期3 月月考数学试题）
（多选）体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.杭州
学军中学西溪校区高三学生参加体育测试，其中理科班女生的成绩
与文科班女生的成绩
均服从正态分
布，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【名校预测·第三题】（广东省深圳市高级中学2024-2025 学年高三下学期数学试题）
（多选）样本数据
的平均数是
，方差是
，极差为
，则下列判断正确的是（ ）
A．若
，则
的平均数为
B．若
，则
的方差为0
C．若
的极差是
，则
D．若
，则这组数据的第75 百分位数是
【名校预测·第四题】（广东省深圳市高级中学2024-2025 学年高三下学期数学试题）
依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，
表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，
表示事件“第一次抛
掷骰子的点数为奇数”，
表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，
表示事件“两次抛掷骰子的点
数之和为7”，则（ ）
A．
与
为对立事件
B．
与
为相互独立事件
C．
与
为相互独立事件
D．
与
为互斥事件
【名校预测·第五题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学数学试题）
一只口袋装有形状、大小完全相同的3 只小球，其中红球、黄球、黑球各1 只．现从口袋中先后有放回地
取球2n 次
，且每次取1 只球，X 表示2n 次取球中取到红球的次数，当
为奇数时，
；当
为偶数时，
,则X 的数学期望为 （用n 表示），Y 的数学期望为 （用n 表示）．
【名师押题·第一题】某市高三年级男生的体重
（单位：kg）近似服从正态分布
．若
，则
．
【名师押题·第二题】已知互不相等的数据
，
，
，
，
，
，的平均数为，方差为
，数据
，
，
，
，
，
的方差为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
与
的大小关系无法判断
【名师押题·第三题】某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教
工代表组成，人数比为
，现由评委团对1 号菜品和2 号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一
票）.若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有
的人投票给1 号菜品，教工代表中有
的人投票给2
号菜品，那么，从1 号菜品的投票人中任选1 人，他是学生代表的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【名师押题·第四题】有6 张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字7.先把这些
卡片正面朝上排成一排.规定一次试验：掷一颗均匀的骰子一次，若点数为
，则将向上数字为
的卡片翻
面并放置原处；若没有向上数字为
的卡片，则卡片不作翻动.进行上述试验3 次，发现卡片朝上的数字之
和为偶数，在这一条件下，骰子恰有一次点数为2 的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【名师押题·第五题】为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师
打2 局，当两人获胜局数不少于3 局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率
分别为
，
，且满足
，每局之间相互独立.记甲、乙在
轮训练中训练过关的轮数为
，若
，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（ ）
A．28
B．24
C．32
D．27
【名师押题·第六题】人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为
．是新一轮科技革命和产业变革
的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新
的科学．某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用
技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5
次，每次点击随机生成数字0 或1 或2，点击结束后，生成的5 个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券
码为0，则获一等奖；如果奖券码为3 的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一
次抽奖，则他获二等奖的概率为 ．
复数（选填题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考I 卷
2
5
（2024·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
复数的除法运算；
复数的乘方
2024 年新高考II
卷
1
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
求复数的模
2023 年新高考I 卷
2
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
共轭复数的概念及
计算；复数的除法
运算
2023 年新高考II
卷
1
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，
对应的点位于（ ）．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
在各象限内点对应
复数的特征；复数
代数形式的乘法运
算
2022 年新高考I 卷
2
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
共轭复数的概念及
计算
2022 年新高考II
卷
2
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）
（ ）
A．
B．
C．
D．
复数代数形式的乘
法运算
近三年新高考数学复数选填题考查情况总结
考点：涵盖复数除法、乘方运算（2024 年新课标Ⅰ卷）、求模（2024 年新课标Ⅱ卷）、共轭复数计算
（2023 年新课标Ⅰ卷、2022 年新课标Ⅰ卷）、复数乘法及象限位置（2023 年新课标Ⅱ卷、2022 年新课标
Ⅱ卷），侧重复数基本运算与概念。
题型：均为选择题，分值5 分，注重对复数运算法则（乘、除）、共轭复数、模及几何意义（象限）
的考查。
2025 年新高考复数选填题高考预测
题型与分值：预计为选择题，分值5 分。
考查方向：延续对复数乘除运算、共轭复数、模的考查，可能结合复数方程或几何意义（如对应点所
在象限），强化对复数基本概念和运算法则的掌握，考查运算准确性与概念理解。
1. 虚数单位：，规定
2. 虚数单位的周期
3. 复数的代数形式：Z=
，
叫实部，
叫虚部
4. 复数的分类
5. 复数相等：
若
6. 共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；
，
7. 复数的几何意义：复数
复平面内的点
8. 复数的模：
， 则
；
典例1
（2024·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，
对应的点位于（ ）．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【名校预测·第一题】（贵州省贵阳市第一中学2025 届高三下学期数学试卷）
复数
的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．
【名校预测·第二题】（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025 学年高三第一次模拟试卷）
复数
，则
在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【名校预测·第三题】（辽宁省本溪市高级中学2025 届高三下学期4 月月考数学试题）
已知复数z 满足
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【名校预测·第四题】（黑龙江省哈尔滨第三中学校2025 届高三下学期第二次模拟数学试题）
复数
，
在复平面内对应的点关于直线
对称，且
（其中i 为虚数单位），则复数
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【名校预测·第五题】（河北省石家庄市第一中学2025 届高三第二次模拟考试数学试题）
已知
，且
，为虚数单位，则
的最大值是 ．
【名师押题·第一题】若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【名师押题·第二题】已知
是虚数单位，
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．3
【名师押题·第三题】若复数z 满足
，则z 的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．
【名师押题·第四题】复数
满足
，其中i 为虚数单位，则
对应的点在复平面的（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【名师押题·第五题】已知z 是方程
的一个复数根，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【名师押题·第六题】已知复数
，（为虚数单位）则
的最大值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
集合与常用逻辑用语（选填题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考I 卷
1
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
交集的概念及运
算；由幂函数的单
调性解不等式
2024 年新高考II
卷
2
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：
，
；命题q：
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
全称量词命题的否
定及其真假判断；
存在量词命题的否
定及其真假判断；
判断命题的真假
2023 年新高考I 卷
1
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
交集的概念及运
算；解不含参数的
一元二次不等式
2023 年新高考I 卷
7
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；
乙：
为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必
充要条件的证明；
判断等差数列；由
递推关系证明数列
是等差数列；求等
差数列前n 项和
要条件
2023 年新高考II
卷
2
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合
，
，若
，
则
（ ）．
A．2
B．1
C．
D．
根据集合的包含关
系求参数
2022 年新高考I 卷
1
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
交集的概念及运算
2022 年新高考II
卷
1
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
交集的概念及运
算；公式法解绝对
值不等式
近三年新高考数学集合与常用逻辑用语选填题考查情况总结
考点：涵盖集合的交集运算（2024 年新课标Ⅰ卷、2023 年新课标Ⅰ卷、2022 年新课标Ⅰ卷、2022 年
新课标Ⅱ卷）、由集合包含关系求参数（2023 年新课标Ⅱ卷）、解不等式（幂函数单调性解不等式、一元
二次不等式、绝对值不等式）、命题真假判断及否定（2024 年新课标Ⅱ卷）、充要条件证明（2023 年新课
标Ⅰ卷）。
题型：均为选择题，分值5 分，侧重集合运算、不等式求解及逻辑用语的基本概念应用，注重基础运
算与逻辑判断能力。
2025 年新高考集合与常用逻辑用语选填题高考预测
题型与分值：预计为选择题，分值5 分。
考查方向：延续集合交集、并集运算，可能结合不等式（如一元二次不等式、绝对值不等式）求解集
合；强化命题真假判断、充要条件分析，或涉及简单逻辑联结词，注重基础概念与运算的准确性，如根据
集合关系求参数范围，或判断命题的否定及真假。
1. 集合有
个元素，子集有
个，真子集有
个，非空真子集个数为
个.
2.
，
3.
4. 充分条件与必要条件
对于若
则
类型中，
为条件，
为结论
若
充分性成立，若
必要性成立
若
，
，则
是
的充分必要条件（简称：充要条件）
若
，
，则
是
的充分非必要条件（充分不必要条件）
若
，
，则
是
的必要非充分条件（必要不充分条件）
若
，
，则
是
的既不充分也不必要条件
5. 全称量词命题与存在量词命题
全称量词：
（任意，所有，全部），含有全称量词
的命题，叫做全称量词命题
存在量词：
：（存在一个，存在两个，存在一些），含有存在量词
的命题，叫做存在量词命题
1. 全称量词命题和存在量词命题的否定
全称量词命题的否定
全称量词命题：
，
，否定为：
，
存在量词命题的否定
存在量词命题：
，
，否定为：
，
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：
，
；命题q：
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合
，
，若
，则
（ ）．
A．2
B．1
C．
D．
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【名校预测·第一题】（广东省深圳市高级中学2024-2025 学年高三下学期第三次模拟试题）
若集合
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025 学年高三下学期3 月月考数学试题）
已知集合
，则
中元素的个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【名校预测·第三题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025 学年数学试题）
已知集合
，
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【名校预测·第四题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025 学年数学试题）
已知
，且数列
是等比数列，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【名校预测·第五题】（广东省广州市华南师范大学附属中学2024-2025 学年数学试题）
已知直线
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【名师押题·第一题】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【名师押题·第二题】已知集合
，
，则
（ ）
A．
，
B．
C．
D．
【名师押题·第三题】已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【名师押题·第四题】已知命题
：
，
，则
为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【名师押题·第五题】已知命题
，
，命题
，
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【名师押题·第六题】“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
