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高中物理培优专题讲义：斜抛运动
一、 核心知识
✯1. 一个基本思路
初速度 v0 ，抛射角 θ ，取向上为正
水平方向： 匀速直线， v x = v0cosθ ， x = v0cosθ⋅t
竖直方向： 竖直上抛， v y = v0sinθ−gt ， y = v0sinθ⋅t −1
2 gt
2
✯2. 五个核心结论
物理量
公式
备注
上升时间
t上= v0sinθ
g
到最高点
总时间（飞行时间）
T = 2v0sinθ
g
对称性：上升=下降
射高（最大高度）
H = v0
2sin
2θ
2g
竖直分速度减为0
射程（水平距离）
X = v0
2sin2θ
g
当 θ = 45
∘ 时最大，
X max = v0
2
g
轨迹方程
y = x tanθ−
g x
2
2v0
2cos
2θ
抛物线
✯3. 对称性
时间对称： 从抛出点到最高点的时间 = 从最高点落回同一水平面的时间
速度对称： 同一高度上，速度大小相等，方向与水平面夹角相同（一上一下）
轨迹对称： 过最高点后左右对称
✯4. 一般位置的速度与夹角
任意时刻 t ：合速度 v =
❑√v x
2+ v y
2
速度方向与水平夹角 α ： tan α = v y
v x
= v0sinθ−gt
v0cosθ
二、 易错点
易错点1：混淆“射程”与“水平位移”
错误： 认为射程公式 X = v0
2sin2θ
g
总是成立。
纠正： 该公式仅适用于抛出点和落地点在同一水平面。若落地点比抛出点低（如从山坡上斜
抛），必须用 y =−h 代入方程求解，不能用射程公式。
易错点2：忽略斜抛运动的时间对称性应用场景
错误： 遇到从抛出点到最高点的时间，依然用竖直上抛公式分段计算，繁琐易错。
纠正： 牢记 t上= v0sinθ
g
，总时间 T =2t上 ，直接秒杀选择填空题。
易错点3：对“最高点”的速度认识不清
错误： 认为最高点速度为零。
纠正： 斜抛最高点竖直分速度为零，水平分速度仍为 v0cosθ ，因此最高点速度不为零，且
此时速度最小（但不为0）。
易错点4：处理“类斜抛”（如电场、斜面）时胡乱套公式
错误： 在电场力与重力合成等效重力场中，直接使用原斜抛公式。
纠正： 应先求出等效重力加速度 g
′ 和等效抛射角 θ
′ ，再代入标准斜抛公式。
易错点5：求射程极值时忽略自变量的定义域
错误： 令 sin 2θ =1 得 θ = 45
∘ 即认为最大射程。
纠正： 当落点与抛出点有高度差时，最大射程对应的抛射角不是45°（通常小于45°）。需用
函数求导或代数方法求极值。
三、解题方法
（一）四种分解方式
分解1：水平方向（匀速） + 竖直方向（上抛）
【标准分解，最常用】
{
x = v0cosθ⋅t
y = v0sinθ⋅t −1
2 gt
2)
适用： 求射程、射高、飞行时间、落点不等高。
口诀： “水平匀速竖上抛，时间只由竖分量。”
分解2：沿初速度方向（匀速） + 竖直向下（自由落体）
【伽利略分解，物理意义最清晰】
核心思想： 斜抛运动可以看作两个独立运动的合成：
✯1. 以初速度 v0 沿抛射角 θ 方向的匀速直线运动（如果不受重力）；
✯2. 从静止开始的自由落体运动（竖直向下）。
数学表达：
设沿初速度方向的位移： ⃗s1=⃗v0t
自由落体位移： ⃗s2= 1
2⃗gt
2 （ ⃗g 竖直向下）
合位移： ⃗s=⃗v0t + 1
2⃗gt
2
坐标形式（以抛出点为原点，x 水平，y 竖直）：
{
x = v0cosθ⋅t
y = v0sinθ⋅t −1
2 gt
2)
结果与分解1 完全一样，但理解角度不同。
优点：
直接揭示了抛体运动的矢量合成本质：匀速 + 匀加速（自由落体）。
特别适合解决相对运动问题（如从运动平台上斜抛，或在加速参考系中）。
简化“打移动靶”问题：将重力视为背景，只考虑相对匀速运动。
典型应用： 在匀速上升的电梯中斜抛一个小球，以电梯为参考系时，小球做“标准斜抛”；以地面为
参考系时，则需加上电梯的匀速。用本分解可快速求得合运动。
分解3：沿初速度方向（匀减速） + 垂直初速度方向（匀加速）
【基于重力分解，用于包络线推导】
将重力加速度分解为沿初速度方向和垂直初速度方向。
沿初速度方向：初速度 v0 ，加速度 −gsinθ
垂直初速度方向：初速度 0，加速度 gcosθ （向下）
方程（沿初速度方向为 x’ 轴，垂直向下为 y’ 轴）：
x' = v0t −1
2 gsinθ⋅t
2
y’= 1
2 cosθ gt
2
用途： 推导包络线、分析曲率半径、研究轨迹相对于初速度方向的对称性。
分解4：沿斜面方向 + 垂直斜面方向（斜面斜抛）
【用于斜面抛体】
建轴： x
′ 沿斜面向下， y
′ 垂直斜面向上。
将 ⃗v0 和 ⃗g 分解到两轴，两方向均为匀变速直线运动。
令 y
′ =0 解得飞行时间，代入 x
′ 得沿斜面射程。
（二） 四种分解方式对比表
分解方式
坐标轴
运动性质
最佳用途
核心公式
水平+竖直
x 水平， y 竖直
x : 匀
速； y :上抛
常规计算
（射程、时
间、高度）
T = 2v0s
g
X = v0
2sin 2θ
g
分解方式
坐标轴
运动性质
最佳用途
核心公式
初速方向匀速
+自由落体
沿初速方向(匀速)竖直向下
(自由落体)
匀速 + 自由
落体
矢量合成、
相对运动、平
台抛体
⃗s=⃗v0t + 2
沿初速方向
+ 垂直初速方
向
x
′ 沿 ⃗v0 y
′ 垂直 ⃗v0 向下
x
′ :匀减
速 y
′ : 初速0
匀加速
包络线推
导、曲率半径
x
′ = v0t −
y
′ = 1
2 gcosθt
2
沿斜面+ 垂直
斜面
x
′ 沿斜面 y
′ 垂斜面
两方向匀变
速
斜面抛体
（落回斜面）
令 y
′ =0 解
t ，再求 x
′
（三）包络线（安全抛物线）
✯1. 定义
从某一点以相同速率 v0、不同角度 θ 抛出的所有抛物线轨迹，存在一条包络线。所有轨迹
均位于包络线下方（或内侧），包络线上的点代表该方向能打到的最高（最远）边界。
✯2. 方程（以抛出点为原点）
直角坐标形式：
y = v0
2
2g −g
2v0
2 x
2
或者
y = v0
2
2g −g x
2
2v0
2
✯3. 意义
这是一个开口向下的抛物线，顶点在 (0, v0
2
2g )（即竖直上抛的最大高度）。
与 x 轴的交点为 x =± v0
2
g
，即水平抛出的最远射程的两倍。
物理含义： 对于给定的 ( x , y)，若该点在包络线下方（y < v0
2
2g −g x
2
2v0
2 ），则存在两个抛
射角可以击中该点（高抛和低抛）；若点在包络线上，则只有一个抛射角（相切）；若点在包
络线上方，则无法击中。
应用场景
抛体安全范围： 炮弹能否越过山坡？检查山坡最高点是否在包络线下方。
求最大覆盖区域： 所有轨迹覆盖的区域即为包络线与 x 轴之间的部分。
求最小抛速： 要击中某个目标点 ( x0, y0)，所需最小初速度满足 v0
2= g( y0+
❑√x0
2+ y0
2) 等（由
包络线反推）。
（四）重要结论
1.“时间半”——对称分割法
口诀： “斜抛想时间，只看竖分量；落地总时间，两倍升到顶。”
套路： 凡是要求从抛出到落回同一水平面的时间、速度、位移问题，一律先求上升时间
t上= v0sinθ
g
，然后：
总时间 T =2t上
最大高度 H = 1
2 gt上
2 （其实等于 v0
2sin
2θ
2g
）
落回水平面时速度大小 v = v0 ，方向与水平夹角 −θ
2.“平抛反演”——逆向思维
适用： 已知斜抛轨迹上一段（如从最高点到落地点），求初速度或角度。
操作： 从最高点开始到落地点的过程，可视为平抛运动（初速度 v0cosθ ，高度 H ）。
优势： 利用平抛公式快速求时间、水平位移，避免联立方程。
3.“等效g”——类斜抛统一解法
适用： 带电粒子在匀强电场中的斜抛、在斜面上的斜抛、有恒定风力的情况。
步骤：
找出恒力合力 F合 （如重力与电场力合力、重力和风力合力）。
计算等效重力加速度 g
′ = F合/m 。
确定等效竖直方向（合力方向）和等效水平方向（垂直合力方向）。
将初速度分解为沿 g
′ 方向和垂直 g
′ 方向。
套用斜抛公式（用 g
′ 代替 g ，用新角度代替 θ ）。
4.“中点代换”——轨迹方程秒求偏转
适用： 已知轨迹上两点坐标，求初速度或角度。 套路： 斜抛轨迹方程
y = x tanθ−
g
2v0
2cos
2θ
x
2 中的系数可记忆为：
y = x tanθ−
g x
2
2v0
2cos
2θ
如果题目给出两个点（非原点），可以直接代入解方程组。若已知最大高度和射程，则
轨迹方程可写为：
y = H[1−(
2 x
X )
2
)(对称轴在 x=0)
四、例题精析
例 1．（单选）下列说法正确的是（ ）
A．所受合外力方向与速度方向不在一条直线上的物体，肯定做变加速曲线运动
B．物体做匀速率曲线运动时，其所受合外力的方向不一定与速度方向垂直
C．平抛运动的飞行时间由初速度和高度共同决定
D．斜抛运动的水平射程与初速度和抛射角度都有关
【答案】D
【解析】A．若物体所受合外力为恒力，且合外力方向与速度方向不在同一直线时，物体做匀变
速曲线运动（如平抛运动），并非一定做变加速曲线运动，故A 错误；
B．匀速率曲线运动的速率不变，说明合外力不做功，因此合外力方向一定与速度方向垂直，故B
错误；
C．平抛运动竖直方向为自由落体运动，由h= 1
2 gt
2
得飞行时间t = ❑√
2h
g ，仅由下落高度决定，与初速度无关，故C 错误；
D．设斜抛运动初速度为v0，抛射角为θ，则运动总时间t = 2v0sinθ
g
水平射程x = v0cosθ·t = v0
2sin 2θ
g
可知水平射程与初速度、抛射角度都有关，故D 正确。
故选D。
例 2．（单选）如图所示，M点在P点正下方，小球甲从P点平抛，同时小球乙从M点斜向上
抛出，两球恰好在与M点等高的N点相遇。相遇时甲、乙两球速度的水平分量分别为v1 x、v2 x，
竖直分量分别为v1 y、v2 y。不计空气阻力，则（ ）
A．v1 x = v2 x
B．v1 x =2v2 x
C．v1 y = v2 y
D．v1 y = 4 v2 y
【答案】A
【解析】AB． M在P点正下方，因此甲（从P出发）、乙（从M出发）到N点的水平位移大小相
等；两球同时出发到相遇，运动时间t相等。由水平位移公式x = v xt，可得v1 x= v2 x因此A 正确，B 错
误。
CD．设P到M的竖直高度为h，甲做平抛运动，竖直方向下落h= 1
2 gt
2
相遇时甲的竖直速度分量v1 y =>¿
乙从M出发，N与M等高，因此乙竖直方向总位移为0，设乙竖直初分量为v y 0，由位移公式
0= v y 0t −1
2 gt
2
得v y 0= 1
2 gt
相遇时乙竖直分量大小∣v2 y∣=∣v y 0−>∣= 1
2 gt
即|v1 y)=2|v2 y)
故CD 错误；
故选 A。
例 3．（单选）如图所示，某同学将两颗谷粒从O 点同时分别以速度v1、v2 抛出（其中v1 水
平），不计空气阻力，两只小鸟先后在空中的P 点接到谷粒。两谷粒的运动轨迹在同一竖直平
面内，则（ ）
A．谷粒1 后被鸟接到
B．谷粒1 从O 到P 平均速度大于谷粒2
C．谷粒2 在最高点的速度等于v1
D．谷粒1 加速度大于谷粒2 的加速度
【答案】B
【解析】A．分析竖直分运动，谷粒1 做自由落体运动，谷粒2 做竖直上抛运动，则谷粒1 比谷粒
2 下落的时间短，先被鸟接到，A 错误。
B．两谷粒位移相同，由v = x
t 得谷粒1 从O 到P 平均速度大，B 正确。
C．谷粒2 在最高点的速度等于水平速度，而在水平方向由x＝vxt 得v1＞v2x，C 错误。
D．两谷粒都只受重力，加速度相等，D 错误。
故选B。
例 4．（单选）如图所示，小球从斜面上A 点以大小相等的初速度分别水平向右（图甲）和垂
直斜面向上（图乙）抛出，随后小球均与斜面发生一次弹性碰撞并反弹（小球垂直斜面的速度
大小不变、方向反向，沿斜面方向的速度大小和方向均不变，碰撞时间极短），之后分别落回
斜面上的C、D 两点。设小球从A 到B、B 到C 的运动时间依次为t1、t2，位移依次为x1、
x2；小球从A 到E、E 到D 的运动时间依次为t3、t4，位移依次为x3、x4，不计空气阻力。下
列说法正确的是（ ）
A．t1<t2
B．t1=t3
C．x1 x2=1 3
∶
∶
D．x3 x4=1 3
∶
∶
【答案】D
【解析】AB．斜面倾角相同，可知平行斜面方向的加速度均为ax = mgsinθ
m
= gsinθ
垂直斜面方向上的加速度均为a y = mgcosθ
m
= gcosθ
小球在平行斜面方向都做匀加速直线运动，在垂直斜面方向上，都做相同的类竖直上抛运动。小
球与斜面发生弹性碰撞并反弹（小球垂直斜面的速度大小不变、方向反向，沿斜面方向的速度大小和
方向均不变，碰撞时间极短），对图甲可知从A 到B、B 到C 的运动时间相等，均为
t1=t2=2⋅v0sinθ
gcosθ = 2v0sinθ
gcosθ
；同理对图乙t3=t 4=2⋅
v0
gcosθ =
2v0
gcosθ
可得t1=t2≠t3 ，故AB 错误；
CD．对图甲：小球从A 到B、B 到C 的位移依次为x1、x2，有x1= v0cosθt1+ 1
2 axt1
2，
x1+ x2= v0cosθ⋅2t1+ 1
2 ax⋅(2t1)
2
可得x2= v0cosθt1+ 1
2 ax⋅3t1
2
可得
x1
x2
=
v0cosθt1+ 1
2 axt1
2
v0cosθt1+ 1
2 ax⋅3t1
2 ≠1
3
对图乙：小球从A 到E、E 到D 的位移依次为x3、x4，有x3= 1
2 axt3
2，x3+ x4= 1
2 ax(2t 4)
2
可得
x3
x4
=
1
2 axt3
2
1
2 ax⋅3t 4
2 =1:3，故C 错误，D 正确。
故选D。
例 5．（单选）如图所示，一固定斜面倾角为θ，斜面足够长。将小球从斜面顶端以速率v0向
右抛出，小球最终落在斜面上，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．若小球水平向右抛出，小球抛出时的速率v0越大，小球落在斜面瞬间速度方向与水平方向
的夹角变大
B．若小球水平向右抛出，则当t = 2v0 sinθ
gcosθ
时，小球距斜面的距离最远
C．若小球垂直斜面抛出，则当小球离斜面最远时，小球的位移大小为
v0
2
gcosθ
D．若小球垂直斜面抛出，则小球落到斜面时的位移大小为2v0
2tanθ
gcosθ
【答案】D
【解析】A．由平抛运动的推论可知，小球速度方向与水平方向夹角φ的正切值是位移与水平方向
夹角θ正切值的2 倍，即tanφ=2tanθ，故只要小球落在斜面上，则小球落在斜面瞬时速度方向不变，
A 错误；
B．将小球的重力加速度和速度均沿垂直斜面和沿斜面方向分解，则小球的运动可分解为垂直斜
面方向的类竖直上抛运动和沿斜面方向的匀加速运动，由运动的分解可知垂直斜面方向的加速度和沿
斜面方向的加速度大小分别为a1= gcosθ，a2= gsinθ，当小球垂直斜面方向的速度等于零时，小球离
斜面最远，若小球水平向右抛出，则t = v0sinθ
gcosθ ，B 错误；
C．若小球垂直斜面抛出，则t ' = v0
a1
=
v0
gcosθ ，则当小球离斜面最远时，小球垂直斜面方向的位
移大小为x1= v0
2
2a1
=
v0
2
2gcosθ ，沿斜面方向的位移大小x2= 1
2 a2t '
2= 1
2 gsinθ·
v0
2
g
2cos
2θ
= v0
2sinθ
2gcos
2θ
，
则小球的总位移大小为x =
❑√x1
2+ x2
2=
v0
2
2gcos
2θ
，C 错误；
D．由类竖直上抛的对称性，小球落到斜面时的位移大小x' = 1
2 a2(2t ' )
2= 2v0
2 tanθ
gcosθ
，D 正确。
故选 D。
例 6．（单选）多个相同小球从地面上同一点，沿不同方向以相同速率抛出，在同一个竖直面
内运动，小球最终落回到地面上。不计空气阻力，则小球运动经过的区域可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设抛出点为原点，初速度为v0，抛射角为θ。则有
x = v0cosθ×t ，y = v0sinθ×t −1
2 gt
2
解得y = x tanθ−
g
2v0
2cos
2θ
x
2
因为1+ tan
2θ =
1
cos
2θ
令u= tanθ
联立整理得y = xu−g
2v0
2 x
2(1+u
2)
对 u 求极值，可得y = v0
2
2 g −g
2v0
2 x
2
可知y −x图像是一个开口向下的抛物线。
故选B。
例 7．（单选）如图所示，某运动员在M点将篮球斜向上抛出，篮球在空中划过一道弧线后，
到达N点。已知篮球抛出时速度方向与水平方向的夹角为60°，速度大小为v0，M、N两点的
连线与水平方向的夹角为30°。若不计空气阻力，篮球视为质点，重力加速度大小为g，则篮
球由M点运动到N点的时间为（ ）
A．
❑√3 v0
2g
B．2❑√3 v0
3 g
C．v0
2g
D．
❑√3 v0
3 g
【答案】B
【解析】 抛出时水平方向分速度v x = v0cos 60
∘= v0
2
竖直方向分速度：v y 0= v0sin 60
∘=
❑√3 v0
2
设运动时间为t，水平位移x = v xt = v0
2 t
竖直位移y = v y 0t −1
2 gt
2=
❑√3 v0
2
t −1
2 gt
2
题意可知y
x = tan 30
∘=
❑√3
3
解得运动时间： t = 2❑√3 v0
3 g
故选B 。
例 8．（单选）某同学课间踢毽子，毽子运动轨迹如图实线所示，A 、B、C为轨迹上三点，
B为轨迹最高点。已知直线AB、直线BC与水平方向夹角分别为60°和30°。不计空气阻力，
毽子从A运动到B与从B运动到C的时间之比为（ ）
A．1:3
B．3:1C．1:❑√3
D．❑√3:1
【答案】B
【解析】设毽子在最高点B的速度为v0，方向水平，B与轨迹上任一点连线与水平方向的夹角为θ，
从B到该点，y = 1
2 gt
2，x = v0t，tanθ = y
x =gt
2v0
得t = 2v0 tanθ
g
从A到B可视为从B到A平抛运动的逆运动，故
t AB
t BC
= tan60°
tan30° =3
故选B。
例 9．（单选）如图所示为俯视图，在水平面内有一个圆，一质点以一定初速度v0由圆周上A
点沿着切线方向发射，运动一段时间后，恰好沿着圆周切线方向经过圆周上的B点且速度大小
也为v0。已知质点在运动过程中水平方向仅受到一个大小恒定、方向不变的力F作用，则质点
从A运动至B的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．质点可能做圆周运动
B．根据题中信息无法确定恒力F的方向
C．质点在相同的时间内速率的变化量总是相等的
D．质点的速率先减小后增大
【答案】D
【解析】A．圆周运动需要向心力方向时刻指向圆心，而质点受恒力F，方向恒定，无法提供时刻
变化的向心力，因此不可能做圆周运动，故A 错误；
BD．质点初、末速率均为v0，方向为圆上A、B 两点的切线方向。根据力和运动的合成与分解，
恒力F 方向应与初速度、末速度所在直线均成45°，质点做类斜抛运动，速率先减小后增大，故D 正
确，B 错误；
C．质点受恒力F，加速度a= F
m恒定（大小、方向均不变）。根据加速度的定义式Δv =a⋅Δt
在相同的时间Δt内，速度的变化量Δv的大小和方向都相等，速度是矢量，速率是标量，质点做
曲线运动，在相同的时间内，速度变化量相同，速率变化量不一定相同，故C 错误。
故选D。
例 10．（单选）如图所示，在同一高度处将四个小球以相同的速率同时抛出：甲水平抛出、
乙斜向上抛出、丙斜向下抛出、丁竖直向下抛出。不计空气阻力，则最先落地的小球是
（ ）
A．甲
B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【解析】设抛出点离地高度为h，初速度大小为v0，取竖直向下为正方向。四个小球在竖直方向
上均只受重力作用，加速度均为g。 根据竖直方向的位移时间公式：h= v y 0t + 1
2 gt
2
可知，在h和g相同的情况下，竖直向下的初速度分量v y 0越大，落地时间t越短。
分析四个小球竖直方向的初速度分量：
甲球做平抛运动，初速度水平，竖直分速度 v y 甲=0
乙球斜向上抛出，初速度有竖直向上的分量，即 v y 乙<0
丙球斜向下抛出，设速度与水平方向夹角为 θ，则竖直分速度 v y 丙= v0sin θ，由于 0<sin θ<1，
故 0<v y 丙<v0
丁球竖直向下抛出，初速度竖直向下，竖直分速度 v y 丁= v0
综上所述，竖直向下的初速度分量大小关系为：v y 丁>v y 丙>v y 甲>v y 乙
因此，丁球的落地时间最短，最先落地。故选D。
例 11．（单选）如图所示，建筑工人向房顶抛投建筑材料，初速度v0大小为15m/ s，与水平
方向的夹角为53°，抛出点M和落点N的连线与水平方向夹角为45°，重力加速度大小为
g=10m/ s
2，sin53° =0.8，忽略空气阻力。则M点到N点的时间是（ ）
A．0.4 s
B．0.6sC．0.8 s
D．1.0 s
【答案】B
【解析】由几何关系可知，物体的水平位移x 与竖直位移y 相等，而x = v0cos53
∘t，
y = v0sin53
∘⋅t −1
2 gt
2
解得t =0.6 s
故选B。
例 12．（多选）投掷铅球时，铅球的出手高度h、出手速度v0 的大小和方向（用出手速度方
向与水平方向的夹角θ 表示，也叫抛出角）都对成绩有影响。如图所示，一同学在练习投掷铅
球（可视为质点）时，另一同学用手机的连拍功能记录了铅球在空中的运动位置。已知手机连
拍的时间间隔为T=0.2s，图中1 位置为铅球刚出手时的位置，4 位置为铅球运动中的最高点，8
位置为铅球刚要落地时的位置，测得水平射程x=11.2m。不计空气阻力，重力加速度g=10m/
s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，下列说法正确的是（ ）
A．出手速度v0 的大小为8m/s
B．抛出角θ=37°
C．铅球离地面的最大高度为1.8m
D．落地速度的大小为8 ❑√2m/ s
【答案】BD
【解析】A．相邻位置时间间隔T =0.2s，从出手（位置1）到最高点（位置4）共3T =0.6 s
最高点竖直速度为0，因此竖直初速度 v0 y = g⋅3T =10×0.6=6m/ s
从出手到落地（位置8）总时间t 总=7T =1.4 s，水平总位移x =11.2m
水平分速度 v0 x = x
t 总
= 11.2
1.4 =8m/ s
出手速度大小v0=
❑√v0 x
2 + v0 y
2 =
❑√8
2+6
2=10m/ s，A 错误；
B．抛出角 tanθ = v0 y
v0 x
= 6
8 = 3
4 ，得θ =37
∘，B 正确；
C．小球从最高点位置4 到落地点位置8 共用时t
′ = 4T =0.8 s
最大高度h= 1
2 gt
′2= 1
2 ×10×0.8
2m=3.2m，C 错误；
D．落地时水平速度v x = v0 x =8m/ s，竖直速度v y = gt
′ =8m/ s
因此落地速度大小v =
❑√v x
2+ v y
2 =8 ❑√2m/ s，D 正确。
故选 BD。
例 13．（多选）如图所示，某同学正在练习投篮，虚线ABC 为篮球在空中的运动轨迹，B 点
为轨迹最高点，C 点在篮筐的中心，忽略空气的阻力，关于该过程下列说法正确的是（ ）
A．篮球的加速度是恒定的B．篮球的速度是变化的
C．相同时间内篮球速度变化量不相等
D．篮球在B 点速度为零
【答案】AB
【解析】AC．篮球在空中运动过程中只受到重力，加速度不变始终等于重力加速度，相等时间内
速度的变化量相同，故A 正确，C 错误；
B．篮球做曲线运动，篮球在运动过程中，速度的大小和方向不断变化，故B 正确；
D．篮球在最高点的速度是水平的，不为零，故D 错误。
故选AB。
例 14．如图所示，两小球A、B 同时以v0=5m/ s的速度从O 点分别斜向下、斜向上射出，
A、B 两小球的速度方向均与水平方向成θ =37°夹角，当小球A 落地时，小球B 恰好运动到最
高点，重力加速度g 取10m/ s
2，sin37° =0.6，cos37° =0.8，求：
(1)O 点到水平地面的高度H；
(2)小球B 从抛出到落地的过程中的水平位移x。
【答案】(1)1.35m
(2)3.6m
【解析】（1）小球B 从抛出到最高点所用时间t = v0⋅sin37°
g
=0.3 s
小球A 竖直方向的初速度大小v y = v0⋅sin37° =3m/ s
O 点到水平地面的高度H = v yt + 1
2 gt
2=1.35m
（2）小球B 从抛出到最高点的高度h= v0sin37°+0
2
⋅t =0.45m
小球B 从最高点到落地所用时间t
′ =
❑√
2(H +h)
g
=0.6 s
小球B 的水平位移x = v0⋅cos37°⋅(t +t
′)=3.6m
例 15．如图，将小球从空中A点以一定的初速度斜向右上抛出，抛出时的初速度与水平方向
的夹角θ =37°，经过一段时间t =0.3 s，小球运动到B点，小球在B点的速度与水平方向的夹
角β =53°，重力加速度g取10m/ s
2，sin37° =0.6，cos37° =0.8，不计空气阻力。求：
(1)小球从A点抛出时的速度大小v A；
(2)A、B两点间的水平距离x AB和竖直距离y AB。
【答案】(1)v A =1.8m/ s
(2)x AB=0.432m，y AB=0.126m
【解析】（1）小球在A点的水平分速度大小等于在B点的水平分速度大小，即
v x= v Acosθ = vBcos β
小球在A点的竖直分速度大小为v Ay = v Asinθ
小球在B点的竖直分速度大小为vBy = vBsin β
根据运动学规律得vBy =−v Ay+>¿
解得v A =1.8m/ s，vB=2.4 m/ s
（2）根据抛体运动的规律可得A、B两点间的水平距离x AB= v xt
代入数据解得x AB=0.432m
竖直距离y AB= vBy
2 −v Ay
2
2g
解得y AB=0.126m
例 16．一位同学在水平面上进行跳远训练，该同学以与水平面成37°大小为5m/ s的速度离开
地面腾空（如图所示），不计空气阻力，取g=10m/ s
2，该同学可视为质点。则该同学到达
最高点时的速度大小为___________ m/s，在空中运动的时间为___________s，跳远成绩为
__________m。（sin37
°=0.6，cos37
°=0.8）
【答案】 4 0.6 2.4
【解析】[1]由题可知，该同学做斜抛运动，即竖直方向做匀减速直线运动，水平方向做匀速直线
运动。在最高点时竖直方向的速度为零，则该同学到达最高点时的速度等于水平速度大小，即为
v = v x = v0cos37
∘= 4 m/ s
[2]该同学在竖直方向的分速度为v y = v0sin37
∘=3m/ s
则该同学从开始运动到最高点的时间为t1= v y
g =0.3 s
根据对称性可知，该同学在空中运动的时间为0.6s
[3]该同学的跳远成绩为x = v xt =2.4 m
