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§7.9 立体几何中的截面、交线问题
分值：42 分
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如果点E 是AA1的中点，那么过点D1，B，E 截正方体所得的截
面图形为( )
A.三角形
B.矩形
C.正方形
D.菱形
2.在三棱锥P-ABC 中，AB+2PC=9，E 为线段AP 上更靠近P 的三等分点，过E 作平行于AB，PC 的平面，
则该平面截三棱锥P-ABC 所得截面的周长为( )
A.5
B.6
C.8
D.9
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1，点M 在线段BC(不包括端点)上，点N 在线段CC1上，且CN=1
3
，若平面AMN 截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM 长的取值范围为( )
A.[
2
3 ，1)
B.[
1
3 ，2
3]
C.(0，1
3]
D.(0，2
3]
4.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，与直线A1C 垂直的平面α 截该正方体所得的截面多边形为M，则
M 的面积的最大值为( )
A.3√3
8
B.3√3
4
C.√3
2
D.√3
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q 是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形可能是( )
A.等边三角形
B.矩形
C.等腰梯形
D.正方形
6.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G 分别为BC，CC1，BB1的中点，则( )
A.直线A1G 与平面AEF 平行
B.V 三棱锥E - A1FG= 1
12
C.过A1C 的平面截此正方体所得的截面可能不是四边形
D.过A1C 的平面截此正方体所得的截面面积的取值范围是[
√6
2 ，√2]
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.如图，四棱锥S-ABCD 的所有棱长都等于2，E 为线段SA 的中点，过C，D，E 三点的平面与SB 交于点
F，则四边形DEFC 的周长为 .
8.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点K 为棱A1B1的中点，过A，C，K 三点作正方体的截面，
则截面的面积为 .
答案精析
1.D
2.B [如图所示，在三棱锥P-ABC 中，过E 分别作EF∥AB，EH∥PC，
再分别过点H，F 作HG∥AB，FG∥PC，可得E，F，G，H 四点共面，
因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH，同理可证，PC∥平面EFGH，所以截面即
为平行四边形EFGH，
又由E 为线段AP 上更靠近P 的三等分点，且AB+2PC=9，所以EF=1
3AB，EH=2
3PC，
所以平行四边形EFGH 的周长为2(EF+EH)=2
3(AB+2PC)=6.]
3.D [要想平面AMN 截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形，则要平面AMN 与正方形BCC1B1，
ADD1A1分别交于MN，AR，
显然与正方形ABB1A1无交线，只需保证与正方形A1B1C1D1无交线即可，
因为平面BCC1B1∥平面ADD1A1，平面AMNR 与两个平面分别交于MN，AR，
由面面平行的性质可得MN∥AR，
因为点N 在线段CC1上，且CN=1
3 ，
由几何关系知，随着BM 的增大，AR 增大，
故当R 与D1重合时，BM 最大，
因为正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1，所以正方体棱长为1，
连接AD1，D1N，
如图所示，由于MN∥AD1，故△ADD1∽△MCN，故CM=CN=1
3 ，故BM 最长为2
3 ，
故BM 长的取值范围是(0，2
3].]
4.B [连接A1B，因为BC⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AB1，且AB1⊥A1B，A1B∩BC=B，
BC，A1B⊂平面A1BC，
图① 图②
所以AB1⊥平面A1BC，
A1C⊂平面A1BC，
所以AB1⊥A1C，同理B1D1⊥A1C，且AB1∩B1D1=B1，
AB1，B1D1⊂平面AB1D1，
所以A1C⊥平面AB1D1，
所以平面α 为平面AB1D1或与其平行的平面，M 只能为三角形或六边形.
当M 为三角形时，其面积的最大值为√3
4 ×(√2)
2=√3
2 ，当M 为六边形时，此时的情况如图①所示，
设KD=x，则AK=1-x，KL=√2(1-x)，KE=√2x，依次可以表示出六边形的边长，如图②所示，六边形可看作
由两个等腰梯形构成，
其中LP∥KO∥EN，KO=√2，两个等腰梯形的高分别为√6
2 (1-x)，√6
2 x，
则S 六边形LKENOP=1
2 (√2x+√2)·√6
2 (1-x)+1
2 [√2(1-x)+√2]·√6
2 x=√3
2 (-2x2+2x+1)
=-√3(x - 1
2)
2
+3√3
4
，
当且仅当x=1
2时，六边形面积最大，即截面是正六边形时截面面积最大，最大值为3√3
4
.]
5.ABC [当点Q 与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)；
当点Q 与点D 重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)；
当点Q 不与点D，D1重合时，若Q，R 满足D1Q=D1R，则截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)，不可能为
正方形.]
6.ABD [对于A，取B1C1的中点H，分别连接GH，A1H，如图1，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得A1H∥AE，
因为A1H⊄平面AEF，且AE⊂平面AEF，所以A1H∥平面AEF，
又由E，F，G，H 分别为正方形BCC1B1的边BC，CC1，BB1，B1C1的中点，可得GH∥EF，
因为GH⊄平面AEF，且EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF，
又因为A1H∩GH=H，且A1H，GH⊂平面A1GH，所以平面A1GH∥平面AEF，
因为A1G⊂平面A1GH，所以A1G∥平面AEF，所以A 正确；
对于B，由E，F，G 分别为正方形BCC1B1的边BC，CC1，BB1的中点，可得S△EFG=1
4 S正方形BC C1B1=1
4 ，在
正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得A1B1⊥平面BCC1B1，
即A1到平面BCC1B1的距离为A1B1=1，
又由V 三棱锥E - A1 FG=V 三棱锥A1- EFG=1
3S△EFG·A1B1=1
3 × 1
4 ×1= 1
12 ，所以B 正确；
对于C，连接A1D，B1C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得A1B1∥CD，且B1C∥A1D，所以四边形A1B1CD
为平行四边形，
其中A1C⊂平面A1B1CD，所以过A1C 的平面截此正方体所得的截面可能是四边形，
所以C 错误；
对于D，如图2 所示，当截面为矩形ACC1A1时，此时点C1到A1C 的距离最远，
所以截面的面积最大，最大值为1×√2=√2；
分别取C1D1，AB 的中点I，J，当截面为菱形A1JCI 时，根据正方体的对称性，可得点I 到A1C 的距离最近，
截面的面积最小，
因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，可得A1C=√3，IJ=√2，
所以菱形的面积为S=1
2 ×√3×√2=√6
2 ，
所以过A1C 的平面截此正方体所得的截面面积的取值范围是[
√6
2 ，√2]，所以D 正确.]
7.3+2√3
解析 由题意知，四边形ABCD 为菱形，∴CD∥AB，
∵CD⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，
∴CD∥平面SAB，
∵CD⊂平面CDE，平面CDE∩平面SAB=EF，∴EF∥CD，则EF∥AB，
∵E 为SA 的中点，
则F 为SB 的中点，
∴EF=1
2AB=1，
∵△SAD 是边长为2 的等边三角形，则DE⊥SA，
且DE=2sin 60°=√3，
同理可得CF=√3，
因此四边形DEFC 的周长为3+2√3.
8.9
8
解析 如图1，取B1C1的中点M，连接KM，MC，
易证四边形KMCA 为等腰梯形，上底KM=√2
2 ，下底AC=√2，腰长AK=MC=√5
2 ，过点K 作KH⊥AC，如
图2，则其高为KH=3√2
4
，所以其面积为1
2 ×(
√2
2 +√2)× 3√2
4 =9
8.
