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§9.4 列联表与独立性检验
课标要求 1.通过实例，理解2×2 列联表的统计意义.2.通过实例，了解独立性检验及其应用.
1.分类变量
为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为
分类变量.分类变量的取值可以用实数表示.
2.列联表与独立性检验
(1)关于分类变量X 和Y 的抽样数据的2×2 列联表：
X
Y
合计
Y=0
Y=1
X=0
a
b
a+b
X=1
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
n=a+b+c+d
(2)计算统计量χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d)，利用χ2的取值推断分类变量X 和Y 是否独立的方法称为
χ2独立性检验.
如表为5 个常用的小概率值和相应的临界值.
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)2×2 列联表中的数据是两个分类变量的频数.
( √ )
(2)事件A 和B 的独立性检验无关，即两个事件互不影响.
( × )
(3)χ2的大小是判断事件A 和B 是否相关的统计量.
( √ )
(4)在2×2 列联表中，若|ad-bc|越小，则说明两个分类变量之间关系越强.
( × )
2.一个2×2 列联表如表所示，则表中a，c 处的值分别为
( )
y1
y2
合计
x1
a
25
73
x2
21
b
c
合计
d
49
A.98，28
B.28，98
C.48，45
D.45，48
答案 C
解析 由2×2 列联表知，
a+25=73，b+25=49，b+21=c，
解得a=48，b=24，c=45.
3.想要检验喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该提出统计假设H0为( )
A.男性喜欢参加体育活动
B.女性不喜欢参加体育活动
C.喜欢参加体育活动与性别有关
D.喜欢参加体育活动与性别无关
答案 D
解析 独立性检验是一种假设性检验，假设有反证法的意味，应假设两类变量无关，在该假设下构造的随
机变量χ2应该很小，如果χ2很小，则不能肯定或否定假设，反之，则在一定程度上说明假设不合理，即认
为两个变量在一定程度上有关，所以想要检验喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该提出统计假设
H0：喜欢参加体育活动与性别无关.
4.(2024·哈尔滨模拟)根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得χ2=2.826，依据α=0.05 的独立性检验，
结论为( )
参考值：
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
A.x 与y 不独立
B.x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C.x 与y 独立
D.x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
答案 C
解析 零假设为H0：x 与y 独立，由χ2=2.826<3.841，依据α=0.05 的独立性检验，可得H0成立，故可以认
为x 与y 独立.
回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误.
题型一 列联表及等高堆积条形图
例1 (1)为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才.某学校在不加重学生负担的前提下，
提供个性、全面的选修课程.为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高
二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高堆积条形图，根据条形图，下列结论正确的是(
)
A.样本中不愿意选该门课的人数较多
B.样本中男生人数多于女生人数
C.样本中女生人数多于男生人数
D.该等高堆积条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数
答案 B
解析 由图乙可知，样本中男生，女生都大部分愿意选择该门课，则样本中愿意选该门课的人数较多，A
错误；由图甲可知，在愿意和不愿意的人中，都是男生占比较大，所以可以确定，样本中男生人数多于女
生人数，B 正确，C，D 错误.
(2)假设有两个分类变量X 与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2 列联表为
Y
X
y1
y2
合计
x1
10
18
28
x2
m
26
m+26
合计
m+10
44
m+54
则当整数m 取 时，X 与Y 的关系最弱( )
A.8
B.9
C.14
D.19
答案 C
解析 在两个分类变量的列联表中，当|ad-bc|的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小.
令|ad-bc|=0，得10×26=18m，
解得m≈14.4，
又m 为整数，所以当m=14 时，X 与Y 的关系最弱.
思维升华 利用2×2 列联表分析两个分类变量间关系的步骤
(1)根据题中数据获得2×2 列联表；
(2)根据频率特征，即将a
a+b与c
c +d(或
b
a+b 与
d
c +d)的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互
影响.
跟踪训练1 (2024·成都模拟)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85 分为优秀，85 分以下
为非优秀统计成绩，得到列联表：
优秀
非优秀
甲班
10
b
乙班
c
30
附：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )(n=a+b+c+d).
α
0.05
0.01
0.005
xα
3.841
6.635
7.879
已知在全部的105 人中随机抽取1 人，成绩优秀的概率为2
7，则下列说法正确的是( )
A.甲班人数少于乙班人数
B.甲班的优秀率高于乙班的优秀率
C.表中c 的值为15，b 的值为50
D.根据表中的数据，若依据α=0.05 的独立性检验，能认为“成绩优秀率与班级有关系”
答案 D
解析 由条件知10+b+c+30=105，10+c
105 =2
7 ，故b+c=65，10+c=30，所以b=45，c=20，故C 错误；
由于甲班人数为10+b=10+45=55，乙班人数为c+30=20+30=50<55，故A 错误；
由于甲班优秀率为10
55= 2
11，乙班优秀率为20
50=2
5> 2
11，故B 错误；
由于χ2=105×(10×30- 45×20)
2
55×50×30×75
≈6.109>3.841，故D 正确.
题型二 列联表与独立性检验
例2 (2025·八省联考)为考察某种药物A 对预防疾病B 的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列
联表：
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
100
80
s
服用
150
70
220
合计
250
t
400
(1)求s，t；
(2)记未服用药物A 的动物患疾病B 的概率为p，给出p 的估计值；
(3)根据小概率值α＝0.01 的独立性检验，能否认为药物A 对预防疾病B 有效？
附：χ2＝
n(ad -bc)
2
(a＋b)(c＋d )(a＋c)(b＋d ).
α
0.05
0.01
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
解 (1)s＝100＋80＝180，t＝80＋70＝150.
(2)∵80
180 ＝4
9 ，∴p 的估计值为4
9 .
(3)零假设H0：药物A 对预防疾病B 无效.
根据列联表中的数据可得χ2＝400×(100×70-80×150)
2
250×150×180×220
＝2 000
297
≈6.734>6.635＝x0.01.
根据小概率值α＝0.01 的独立性检验，推断H0不成立，
即认为药物A 对预防疾病B 有效.
思维升华 独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据制成2×2 列联表.
(2)根据公式χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )计算.
(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断.
跟踪训练2 某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用
题’得分率的作用”的试验，其中甲班为试验班(加强“语文阅读理解”训练)，乙班为对比班(常规教
学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束
后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如表所示：
60 分
以下
61~
70 分
71~
80 分
81~
90 分
91~
100 分
甲班(人数)
3
11
6
12
18
乙班(人数)
7
8
10
10
15
现规定平均成绩在80 分以上(不含80 分)的为优秀.
(1)计算两个班级的优秀率；
(2)根据以上统计数据填写下面2×2 列联表，依据小概率值α=0.05 的独立性检验，能否认为加强“语文
阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率有帮助？
优秀人数
非优秀人数
合计
甲班
乙班
合计
参考公式及数据：
χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d)(a+c)(b+d )，n=a+b+c+d.
α
0.05
0.01
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
解 (1)由题意知，甲、乙两班均有学生50 人，
甲班优秀人数为30 人，优秀率为30
50=0.6=60%，
乙班优秀人数为25 人，优秀率为25
50=0.5=50%，
所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.
(2)补全2×2 列联表如下所示.
优秀人数
非优秀人数
合计
甲班
30
20
50
乙班
25
25
50
合计
55
45
100
零假设为H0：加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率没有帮助.
由χ2=100×(25×30-25×20)
2
55×45×50×50
≈1.01<3.841，
根据小概率值α=0.05 的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此认为H0成立，即加强“语文阅读
理解”训练对提高“数学应用题”得分率没有帮助.
题型三 独立性检验的综合应用
例3 (2024·拉萨模拟)为促进中华戏曲文化的传承与发展，某校开展了戏曲进校园文艺活动，从全校学
生中随机抽取60 名男生和60 名女生参加戏曲知识竞赛，并按得分(满分：100 分)统计，分别绘制成频
率分布直方图，如图所示.
(1)现有10 张某戏剧的演出票送给得分在80 分以上(含80 分)的同学，根据男生组和女生组得分在80 分
以上(含80 分)的人数，采用按比例分配的分层随机抽样的方法，则男生组、女生组分别得多少张该戏
剧的演出票？
(2)假设学生竞赛成绩在80 分以上(含80 分)被认定为这名学生喜爱戏曲.将参加竞赛的学生成绩及性别
制成下列2×2 列联表：
男生
女生
合计
喜爱戏曲
不喜爱戏曲
合计
将列联表补充完整并依据小概率值α=0.01 的独立性检验，能否认为学生喜爱戏曲与性别有关？
参考公式及数据：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d)(其中n=a+b+c+d).
α
0.05
0.01
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
解 (1)由频率分布直方图得，
男生组得分在80 分以上(含80 分)的有(0.010+0.005)×10×60=9(人)，
女生组得分在80 分以上(含80 分)的有(0.025+0.010)×10×60=21(人)，
所以男生组分得票数为
9
9+21×10=3，
女生组分得票数为21
9+21×10=7，
所以男生组、女生组分别得3 张和7 张该戏剧的演出票.
(2)由(1)知，男生组得分在80 分以上(含80 分)的有9 人，80 分以下的有51 人；女生组得分在80 分以上(含
80 分)的有21 人，80 分以下的有39 人，
所以补充2×2 列联表：
男生
女生
合计
喜爱戏曲
9
21
30
不喜爱戏曲
51
39
90
合计
60
60
120
零假设为H0：学生喜爱戏曲与性别无关.
根据列联表中数据计算，得χ2=120×(9×39-21×51)
2
60×60×30×90
=32
5 =6.4<6.635，
根据临界值表可知，没有充分证据推断H0不成立，即学生喜爱戏曲与性别无关.
思维升华 独立性检验的考查，往往与概率和抽样统计图等一起考查，这类问题的求解往往按各小题及提
问的顺序，一步步进行下去，是比较容易解答的，考查单纯的独立性检验往往用小题的形式，而且χ2的公
式一般会在原题中给出.
跟踪训练3 (2024·赤峰模拟)随着中国科技的迅猛发展和进步，中国民用无人机行业技术实力和国际竞
争力不断提升，市场规模持续增长.为了适应市场需求，我国某无人机制造公司研发了一种新型民用无
人机，为测试其性能，对其飞行距离与核心零件损坏数进行了统计，数据如下：
飞行距离x(千公里)
56
63
71
79
90
102
110
117
核心零件损坏数y(个)
61
73
90
105
119
136
149
163
(1)若建立y 关于x 的回归模型为y
^ =b
^x+a
^，求y 关于x 的经验回归方程(b
^精确到0.1，a
^精确到1)；
(2)为了检验核心零件报废是否与保养有关，该公司进行第二次测试，从所有同型号民用无人机中随机
选取100 台进行等距离测试，测试前对其中60 台进行核心零件保养，测试结束后，有20 台无人机核心
零件报废，其中保养过的占比30%，请根据统计数据完成2×2 列联表，并根据小概率值α=0.01 的独立
性检验，能否认为核心零件的报废与保养有关？
保养
未保养
合计
报废
20
未报废
合计
60
100
附：经验回归方程y
^ =b
^x+a
^中斜率和截距的最小二乘估计公式b
^=
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
n
Σ
i=1
( xi- x)
2
，a
^=y-b
^
x，χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，n=a+b+c+d.
α
0.1
0.05
0.01
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
参考数据：x=86，y=112，
8
Σ
i=1
xiyi=82 743，
8
Σ
i=1
xi
2=62 680.
解 (1)依题意，b
^=
8
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
8
Σ
i=1
( xi- x)
2
=
8
Σ
i=1
xi yi-8 x y
8
Σ
i=1
xi
2-8 x
2
=82 743-8×86×112
62 680-8×86
2
≈1.6，
a
^=y-b
^
x=112-1.6×86≈-26，
所以y 关于x 的经验回归方程为y
^ =1.6x-26.
(2)依题意，核心零件报废的无人机中保养过的有20×30%=6(台)，未保养的有20-6=14(台)，
则2×2 列联表如下：
保养
未保养
合计
报废
6
14
20
未报废
54
26
80
合计
60
40
100
零假设为H0：核心零件的报废与保养无关，
则χ2=100×(6×26-14×54)
2
20×80×60×40
=9.375>6.635，根据小概率值α=0.01 的独立性检验，
推断H0不成立，即认为核心零件报废与保养有关，此推断犯错误的概率不超过0.01.
课时精练
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.观察下列各图，其中两个分类变量x，y 之间关系最强的是( )
答案 D
解析 观察等高堆积条形图发现
x1
x1+ y1
与
x2
x2+ y2
相差很大，就判断两个分类变量之间关系最强.
2.下列关于独立性检验的说法正确的是( )
A.独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验
B.独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系
C.利用χ2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，则我们可
以说在100 个吸烟的人中，有99 人患肺病
D.对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
答案 D
解析 对于A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者
是否是线性相关，故错误；
对于B，独立性检验并不能100%确定两个变量相关，故错误；
对于C，99%是指“吸烟”和“患肺病”存在关联的可能性，并非吸烟人中患肺病的发病率，故错误；
对于D，根据卡方计算的定义可知该选项正确.
3.(2024·枣庄模拟)某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗
情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表：
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
15
52
67
乙
6
63
69
合计
21
115
136
经计算得到χ2≈4.881，根据小概率值α=0.005 的独立性检验(已知χ2独立性检验中x0.005=7.879)，则可以认为(
)
A.两种疗法的效果存在差异
B.两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005
C.两种疗法的效果没有差异
D.两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005
答案 C
解析 零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异.由χ2≈4.881<7.879=x0.005，根据小概率值
α=0.005 的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为两种疗法效果没有差
异.
4.古语云：“朝霞不出门，晚霞行千里”，其大意是如果早晨起来看到天边有朝霞的话，今天的天气可能
不佳，会下雨，要引起重视，若是傍晚看到天边的晚霞，第二天很有可能是一个好天气，天气晴朗.某学习
小组针对“朝霞不出门”这一句的可信度进行了观测统计，得到如下2×2 列联表.
有朝霞
无朝霞
合计
当天有雨
8
8
16
当天无雨
2
12
14
合计
10
20
30
参考公式：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，n=a+b+c+d.
临界值参照表：
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
则下列说法正确的是( )
A.如果有朝霞，当天下雨的概率超过95%
B.能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关
C.能在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关
D.连续三天中必有一天出现朝霞
答案 B
解析 由题中2×2 列联表知，如果有朝霞，则当天下雨的概率约为80%，故A 选项错误；
由题得χ2=30×(8×12-8×2)
2
16×14×10×20
=30
7 ≈4.286>3.841，但小于7.879，故B 选项正确，C 选项错误；
有朝霞的天数占总天数的1
3，但并不意味着连续三天中必有一天出现朝霞，故D 选项错误.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.(2024·湛江模拟)某养老院有110 名老人，经过一年的跟踪调查，过去的一年中他们是否患过某流行疾病
和性别的相关数据如表所示：
性别
是否患过某流行疾病
合计
患过该疾病
未患过该疾病
男
20
b
a+b
女
c
50
c+d
合计
a+c
80
110
下列说法正确的有( )
参考公式：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，其中n=a+b+c+d.
附表：
α
0.1
0.05
0.01
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
A. a
a+b > c
c +d
B.χ2>6.635
C.根据小概率值α=0.01 的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联
D.根据小概率值α=0.01 的独立性检验，没有充分的证据推断是否患过该流行疾病与性别有关联
答案 ABC
解析 根据列联表中的数据可求得a=20，b=30，c=10，d=50，代入计算可得a
a+b=2
5> c
c +d =1
6，A 正确；
经计算可得χ2=110×(20×50-30×10)
2
30×80×50×60
≈7.486>6.635，B 正确；
结合附表数值以及独立性检验的实际意义，根据小概率值α=0.01 的独立性检验，认为是否患过该流行疾病
与性别有关联，C 正确，D 错误.
6.(2024·长春模拟)暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并
随机抽取了180 人的调查问卷，其中男生比女生少20 人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图.在被调
查者中，下列说法正确的是( )
参考公式及数据：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
α
0.1
0.05
0.01
0.005 0.001
xα
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多
B.男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8 人
C.经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的2 倍
D.根据小概率值α=0.01 的独立性检验，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关
答案 BD
解析 设男生人数为x，则女生人数为x+20，
由题意得x+x+20=180，
解得x=80，即在被调查者中，男生、女生人数分别为80，100，可得到如下2×2 列联表，
性别
锻炼情况
合计
经常锻炼
不经常锻炼
男
48
32
80
女
40
60
100
合计
88
92
180
由表可知，A 显然错误；
男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多48-40=8，B 正确；
在经常锻炼者中是男生的频率为48
88≈0.545 5，在不经常锻炼者中是男生的频率为32
92≈0.347 8，0.545 5
0.347 8
≈1.6，C 错误；
零假设H0：是否经常锻炼与性别无关，则χ2=180×(48×60-32×40)
2
80×100×88×92
≈7.115>6.635=x0.01，根据小概率值
α=0.01 的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为假期是否经常锻炼与性别有关，D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.在独立性检验中，统计量χ2有两个临界值：3.841 和6.635.当χ2≥3.841 时，至少有95%的把握说明两个事
件有关，当χ2≥6.635 时，至少有99%的把握说明两个事件有关，当χ2<3.841 时，认为两个事件无关.在一
项打鼾与心脏病的调查中，共调查了200 人，经计算χ2=20.87.根据这一数据分析，我们可认为打鼾与患心
脏病之间是 的(填“有关”或“无关”).
答案 有关
解析 因为χ2=20.87>6.635，
所以至少有99%的把握认为打鼾与患心脏病有关.
可认为打鼾与患心脏病之间是有关的.
8.在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验.现随机抽取100 只基因编辑小鼠对该
病毒疫苗进行实验，得到如下2×2 列联表(部分数据缺失)：
被某病毒感染
未被某病毒感染
合计
注射疫苗
10
50
未注射疫苗
30
50
合计
30
100
计算可知，根据小概率值α= 的独立性检验，认为 “给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该
病毒感染的效果”.
附：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，其中n=a+b+c+d.
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
答案 0.05
解析 完善2×2 列联表如下：
被某病毒感染
未被某病毒感染
合计
注射疫苗
10
40
50
未注射疫苗
20
30
50
合计
30
70
100
零假设为H0：给基因编辑小鼠注射该种疫苗不能起到预防该病毒感染的效果.
因为χ2=100×(10×30- 40×20)
2
50×50×30×70
≈4.762，
3.841<4.762<6.635，
所以根据小概率值α=0.05 的独立性检验，推断H0不成立，即认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到
预防该病毒感染的效果”.
四、解答题(共28 分)
9.(13 分)由中央电视台综合频道(CCTV-1)和某传媒公司联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课.
每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，受到了青年观众的喜爱.为了
了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B 两个地区的100 名观众，得到如下2×2 列联表.
非常喜欢
喜欢
合计
A
30
15
B
合计
已知在被调查的100 名观众中随机抽取1 名，该观众来自B 地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35.
(1)现从100 名观众中根据喜爱程度用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取20 名进行问卷调查，则应抽
取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B 地区的人数各是多少？(6 分)
(2)完成上述表格，依据小概率值α=0.05 的独立性检验，能否认为观众的喜爱程度与所在地区有关？(7 分)
附：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，n=a+b+c+d.
α
0.05
0.01
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
解 (1)由题意得来自B 地区且喜爱程度为“非常喜欢”的观众有0.35×100=35(人)，
所以应从A 地区抽取30× 20
100=6(人)，
从B 地区抽取35× 20
100=7(人).
(2)完成2×2 列联表如下：
非常喜欢
喜欢
合计
A
30
15
45
B
35
20
55
合计
65
35
100
零假设为H0：观众的喜爱程度与所在地区无关.
χ2=100×(30×20-35×15)
2
65×35×45×55
≈0.1<3.841=x0.05，
根据小概率值α=0.05 的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即观众的喜爱
程度与所在地区无关.
10.(15 分)某学校开展消防安全教育活动，邀请消防队进校园给师生进行培训，培训结束后抽取了部分学生
进行消防安全知识测试(满分100 分)，所得分数统计如表①所示，并按照学生性别进行分类，所得数据如
表②所示.
表①
得分
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
人数
50
100
200
400
250
表②
男生
女生
得分不低于80 分
4a
b
得分低于80 分
a
b
(1)估计这次测试学生得分的平均值；(每组数据以所在区间的中点值为代表)(7 分)
(2)依据小概率值α=0.001 的独立性检验，能否判断男生和女生对消防安全知识的掌握情况有差异？(8 分)
参考公式：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，n=a+b+c+d.
参考数据：
α
0.01
0.005
0.001
xα
6.635
7.879
10.828
解 (1)依题意，抽取的学生人数为50+100+200+400+250=1 000，则估计这次测试学生得分的平均值为
55×
50
1 000+65× 100
1 000+75× 200
1 000+85× 400
1 000+95× 250
1 000=82.
(2)依题意得{
4 a+b=650,
a+b=350, 解得{
a=100,
b=250,
可得2×2 列联表：
男生
女生
合计
得分不低于80 分
400
250
650
得分低于80 分
100
250
350
合计
500
500
1 000
零假设为H0：男生和女生对消防安全知识的掌握情况无差异.
则χ2=1 000×(400×250-250×100)
2
500×500×650×350
≈98.901>10.828=x0.001，
故依据小概率值α=0.001 的独立性检验，我们推断H0不成立，即能判断男生和女生对消防安全知识的掌握
情况有差异，此推断犯错误的概率不超过0.001.
每小题5 分，共10 分
11.某课外兴趣小组为研究数学成绩优秀是否与性别有关，通过随机抽样调查，得到成对样本观测数据的分
类统计结果，并计算得出χ2≈6.816，经查阅χ2独立性检验的小概率值和相应的临界值，知x0.01=6.635，则下
列判断正确的是( )
A.若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010
B.每100 个数学成绩优秀的人中就会有1 名是女生
C.数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01
D.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为数学成绩优秀与性别无关
答案 C
解析 因为χ2≈6.816>6.635=x0.01，所以数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01，即在
犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”，故C 正确，D 错误；
若某人数学成绩优秀，由已知数据不能判断他为男生的概率，故A 错误；
每100 个数学成绩优秀的人中可能没有女生，也有可能有多名女生，由已知数据不能确定结论，故B 错误.
12.(2024·宜春模拟)为了调查学生对网络课程是否喜爱，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现
男生中有80%喜欢网络课程，女生中有40%不喜欢网络课程，且依据小概率值α=0.05 的独立性检验认为喜
欢网络课程与性别有关，但依据小概率值α=0.01 的独立性检验认为喜欢网络课程与性别无关.已知被调查
的男、女学生的总人数为20k(k∈N*)，则k= .
附：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，n=a+b+c+d.
临界值表：
α
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
3.841
6.635
7.879
10.828
答案 5 或6
解析 设男、女学生的总人数为2m，则2m=20k(k∈N*)，并把列联表的数据补充完整：
喜欢
不喜欢
合计
男生
0.8m
0.2m
m
女生
0.6m
0.4m
m
合计
1.4m
0.6m
2m
所以χ2=2m(0.8m×0.4 m-0.2m×0.6m)
2
m×m×1.4 m×0.6m
=2m
21 ，
由题意得3.841≤2m
21 <6.635⇒80.661≤2m<139.335，
又2m=20k(k∈N*)，所以4.033≤k<6.967，
所以k=5 或k=6.
