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§3.5 导数与函数的最值
课标要求 1.理解函数最值与极值的关系.2.掌握利用导数研究函数最值的方法.3.会用导数研究生活中的最优化
问题.
1.函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
2.求y=f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤
(1)求函数y=f(x)在区间(a，b)内的极值.
(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f ( a ) ，
f ( b ) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个
是最小值.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)连续函数f(x)在区间[a，b]上一定存在最值.( √ )
(2)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.( × )
(3)函数的极大值不一定是最大值，但一定不是最小值.( √ )
(4)有极值的函数一定有最值，但有最值的函数不一定有极值.( × )
2.函数f(x)=x3-3x+1 在区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是( )
A.1，-1
B.1，-17
C.3，-17
D.9，19
答案 C
解析 f '(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，
令f '(x)>0，得x>1 或x<-1，令f '(x)<0，得-1<x<1，
故f(x)在x=-1 处取得极大值，在x=1 处取得极小值，
且f(-1)=-1+3+1=3，f(-3)=-27+9+1=-17，f(0)=1，
所以函数f(x)=x3-3x+1 在区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是3，-17.
3.函数y=ln x
x 的最大值为( )
A.e-1
B.e
C.e2
D.10
答案 A
解析 由题意得函数定义域为(0，+∞)，
令y'=1- ln x
x
2
=0⇒x=e.
当x>e 时，y'<0；当0<x<e 时，y'>0，
所以函数在x=e 处取得极大值为e-1，
因为在定义域内只有一个极值，所以ymax=e-1.
4.函数f(x)=x3-x2-x+a 在区间[0，2]上的最大值是3，则a 的值为 .
答案 1
解析 由题意可知，f '(x)=3x2-2x-1，
令f '(x)=0，解得x=1 或x=-1
3(舍去).
当0≤x<1 时，f '(x)<0；当1<x≤2 时，f '(x)>0，
所以函数f(x)在[0，1]上单调递减，在(1，2]上单调递增.
又f(0)=a，f(1)=a-1，f(2)=a+2，
则f(2)最大，
所以当x=2 时，函数f(x)在区间[0，2]上的最大值为f(2)=a+2=3，解得a=1.
解题时灵活应用以下几个关键点
(1)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是
最值.
(2)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点.
题型一 利用导数求函数的最值
例1 已知函数f(x)=(x-1)ex-1
2ax2.
(1)若a=e，求f(x)在[0，2]上的最值；
(2)若a>0，求函数f(x)在[1，2]上的最小值.
解 函数f(x)=(x-1)ex-1
2ax2，
求导得f '(x)=xex-ax=x(ex-a).
(1)∵a=e，∴f(x)=(x-1)ex-1
2ex2，f '(x)=x(ex-e)，
当x∈[0，2]时，令f '(x)=0，得x=1(舍去x=0)，
∵f(1)=-1
2e，
f(0)=-1，f(2)=e2-2e，
∴f(x)min=f(1)=-1
2e，
f(x)max=f(2)=e2-2e.
(2)若a>0，则
①当ln a≥2，即a≥e2时，ex-a≤0，f '(x)≤0，函数f(x)在[1，2]上单调递减，
因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(2)=e2-2a；
②当1<ln a<2，即e<a<e2时，函数f(x)在[1，ln a)上单调递减，在(ln a，2]上单调递增，
因此函数f(x)的最小值为f(ln a)=a(ln a-1)-1
2a(ln a)2；
③当ln a≤1，即0<a≤e 时，ex-a≥0，f '(x)≥0，函数f(x)在[1，2]上单调递增，
因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)=-1
2a.
综上，当a≥e2时，f(x)在[1，2]上的最小值为e2-2a；
当e<a<e2时，f(x)在[1，2]上的最小值为a(ln a-1)-1
2a(ln a)2；
当0<a≤e 时，f(x)在[1，2]上的最小值为-1
2a.
思维升华 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的
单调性，从而得到函数f(x)的最值.
跟踪训练1 已知函数f(x)= x -a
x
-ln x(a∈R)，求f(x)在(0，e]上的最大值.
解 函数f(x)= x -a
x
-ln x(a∈R)的定义域为(0，+∞)，
则f '(x)= a
x
2-1
x =- x -a
x
2 .
当a≤0 时，对任意的x>0，f '(x)<0 恒成立，此时函数f(x)的单调递减区间为(0，+∞)，
所以f(x)在(0，e]上单调递减，故f(x)在(0，e]上无最大值.
当a>0 时，由f '(x)>0，可得0<x<a，
由f '(x)<0，可得x>a.
此时，函数f(x)的单调递增区间为(0，a)，单调递减区间为(a，+∞).
当a≥e 时，函数f(x)在(0，e]上单调递增，
所以f(x)max=f(e)=-a
e .
当0<a<e 时，函数f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，e]上单调递减，
所以f(x)max=f(a)=-ln a.
综上，当a≤0 时，f(x)在(0，e]上无最大值；当0<a<e 时，f(x)在(0，e]上的最大值为-ln a；当a≥e 时，f(x)
在(0，e]上的最大值为-a
e .
题型二 已知函数的最值求参数
例2 (2024·淮安模拟)已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+aln x，a∈R.若f(x)在[1，e]上的最小值为-2a，求a
的取值范围.
解 函数f(x)的定义域为(0，+∞)，
f '(x)=2x-(2a+1)+a
x =2 x
2-(2a+1)x +a
x
=(2 x -1)( x -a)
x
.
①当a≤1 时，x∈[1，e]，f '(x)>0，所以f(x)在[1，e]上单调递增，f(x)的最小值为f(1)=-2a，满足题意；
②当1<a<e 时，
令f '(x)>0，则x>a 或0<x<1
2，
令f '(x)<0，则1
2<x<a，
所以f(x)在[1，a]上单调递减，在[a，e]上单调递增，
此时，f(x)的最小值为f(a)<f(1)=-2a，不满足题意；
③当a≥e 时，x∈[1，e]，f '(x)<0，所以f(x)在[1，e]上单调递减，f(x)的最小值为f(e)<f(1)=-2a，不满足题意.
综上可知，实数a 的取值范围是(-∞，1].
思维升华 含参数最值问题，关键是先讨论函数的单调性，利用单调性画出草图，借助函数图象，分类讨
论最值问题，由最值求参数的值时，要注意检验所求的值是否满足分类讨论的条件.
跟踪训练2 已知函数f(x)=xln x-(a+1)x+1(a>0)，若f(x)在[1，e]上的值域为[1-2e，-2]，求实数a
的值.
解 f(x)的定义域为(0，+∞)，f '(x)=ln x+x·1
x -(a+1)=ln x-a，
当0<x<ea时，f '(x)<0，当x>ea时，f '(x)>0，
所以f(x)在(0，ea)上单调递减，在(ea，+∞)上单调递增.
因为a>0，则ea>1，当ea≤e，即0<a≤1 时，
则 f(x)min=f(ea)=ealn ea-(a+1)ea+1=1-ea=1-2e，解得a=1+ln 2(舍去)；
当ea>e，即a>1 时，f(x)在[1，e]上单调递减，
所以f(1)=-a=-2，f(e)=1-ae=1-2e，解得a=2，符合题意.
综上所述，a=2.
题型三 生活中的优化问题
例3 我国是一个人口大国，产粮、储粮是关系国计民生的大事.现某储粮机构拟在长100 米，宽
80 米的长方形地面建立两座完全相同的粮仓(设计要求：顶部为圆锥形，底部为圆柱形，圆锥高与
底面直径之比为1∶10，粮仓高为50 米，两座粮仓连体紧靠矩形一边)，已知稻谷容重为600 千克
每立方米，粮仓厚度忽略不计，估算两个粮仓最多能储存稻谷(π 取近似值3)( )
A.105 000 吨
B.68 160 吨
C.157 000 吨
D.146 500 吨
答案 A
解析 由于粮仓高50 米，顶部为圆锥形，底部为圆柱形，圆锥高与底面直径之比为1∶10，
设粮仓顶部圆锥形的高为x 米，底面直径为10x 米，圆柱的高为(50-x)米，
两座粮仓总的容积为
V(x)=2[π(5 x)
2·(50- x)+ 1
3 π(5 x)
2 x]
=100 π
3
x2(75-x).
若靠矩形长边建造，则{
20 x ≤100，
10 x ≤80，
所以0<x≤5；
若靠矩形宽边建造，则{
20 x ≤80，
10 x ≤100，
所以0<x≤4.
因为V '(x)=100π(50x-x2)，当0<x≤5 时，V '(x)>0，V(x)在(0，5]上单调递增，
所以当x=5 时，V(x)取得最大值175 000 π
3
，
两个粮仓最多能储存稻谷
175 000 π
3
×0.6≈105 000(吨).
思维升华 解决最优化问题，应从以下几个方面入手
(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域.
(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点.
跟踪训练3 (2025·宁德模拟)为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一
个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10 万元，每年
需另投入流动成本c(x)(单位：万元)与ln x
10成正比(其中x(单位：台)表示产量)，并知当生产20 台
该农机产品时，需要流动成本0.7 万元，每件产品的售价p(x)(单位：万元)与产量x(单位：台)的函
数关系为p(x)=- x
100+10
x +51
50(其中x≥10).若生产的产品当年能全部售完，则该工厂的最大年利润为
万元.(参考数据：取ln 2 为0.7，ln 3 为1.1，ln 5 为1.6)
答案 24.4
解析 记当年销售该产品x 台获得的利润为f(x)(单位：万元).
依题设，c(x)=kln x
10，k>0，
当生产20 台该农机产品时，需要流动成本0.7 万元得，0.7=kln 20
10，可得k=1，∴c(x)=ln x
10，
∴f(x)=p(x)x-c(x)-10
=(- x
100 + 10
x + 51
50)x-ln x
10-10
=- 1
100x2+51
50x-ln x+ln 10(x≥10).
∴f '(x)=- 1
50x+51
50-1
x =-( x -1)( x -50)
50 x
，
∵x≥10，∴当x∈[10，50)时，f '(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(50，+∞)时，f '(x)<0，f(x)单调递减，
∴当x=50 时，f(x)取得极大值也是最大值，
f(50)=- 1
100×502+51
50×50-ln 50+ln 10=24.4，
∴当年产量为50 台时，利润f(x)最大，最大利润是24.4 万元.
课时精练
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.已知函数f(x)=-x+2sin x，x∈[0，π]，则函数f(x)的最大值为( )
A.0
B.2-π
2
C.√3-π
3
D.√3-π
6
答案 C
解析 f(x)=-x+2sin x，x∈[0，π]，
∴f '(x)=-1+2cosx，
令f '(x)=0，得x=π
3 ，
∴f (
π
3)=√3-π
3 ，
又f(0)=0，f(π)=-π，
∴f(x)max=f (
π
3)=√3-π
3 .
2.函数f(x)=(3x-1)e2x的最小值为( )
A.-3e
- 4
3
B.-3
2 e
- 1
3
C.0
D.-4e-2
答案 B
解析 由f(x)=(3x-1)e2x，得f '(x)=(6 x +1)e2x，
令f '(x)<0，得x<-1
6；令f '(x)>0，得x>-1
6，所以函数f(x)在(-∞，- 1
6)上单调递减，在(- 1
6 ，+∞)上单调
递增，
所以f(x)=(3x-1)e2x的最小值为f (- 1
6)=(- 1
2 -1)e
- 1
3=-3
2 e
- 1
3.
3.已知函数f(x)=ln x+ax 在(0，1)上有最大值，则a 的取值范围是( )
A.(0，+∞)
B.(0，1)
C.(-∞，-1)
D.(-1，0)
答案 C
解析 因为f '(x)=1
x +a，x>0，
所以当a≥0 时，f '(x)>0 恒成立，
故f(x)在(0，+∞)上单调递增，不存在最大值；
当a<0 时，令f '(x)=0，得x=-1
a，
所以当x∈(0，- 1
a)时，f '(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(- 1
a ，+ ∞)时，f '(x)<0，函数f(x)单调递减，
所以f(x)max=f (- 1
a)，
所以0<-1
a<1，解得a<-1.
4.某海上油田A 到海岸线(近似直线)的垂直距离为10 海里，垂足为B，海岸线上距离B 处100 海里有一原
油厂C，现计划在BC 之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3 倍，
要使从油田A 处到原油厂C 修建管道的费用最低，则中转站M 到B 处的距离应为( )
A.5√2 海里
B.5√2
2 海里
C.3√2 海里
D.10√2 海里
答案 B
解析 设BM=x(0<x<100)，并设陆地上修建石油管道的单位长度费用为1，
则AM=√100+ x
2，MC=100-x，
所以总费用为f(x)=3√100+ x
2+100-x(0<x<100)，则f '(x)=
3 x
√100+ x
2-1，
令f '(x)>0，则5√2
2 <x<100，
即f(x)在(
5√2
2
，100)上单调递增；
令f '(x)<0，则0<x<5√2
2 ，
即f(x)在(0，5√2
2 )上单调递减，
所以当x=5√2
2 时，f(x)取得最小值.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.已知定义在R 上的函数f(x)，其导函数f '(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A.f(a)<f(b)<f(c)
B.函数f(x)在x=c 处取得最大值，在x=e 处取得最小值
C.函数f(x)在x=c 处取得极大值，在x=e 处取得极小值
D.函数f(x)的最小值为f(d)
答案 AC
解析 由题图可知，当x≤c 时，f '(x)≥0，
所以函数f(x)在(-∞，c]上单调递增，
又a<b<c，所以f(a)<f(b)<f(c)，故A 正确；
因为f '(c)=0，f '(e)=0，
且当x<c 时，f '(x)>0；
当c<x<e 时，f '(x)<0；
当x>e 时，f '(x)>0.
所以函数f(x)在x=c 处取得极大值，但不一定取得最大值，在x=e 处取得极小值，但不一定是最小值，故B
不正确，C 正确；
由题图可知，当d≤x≤e 时，f '(x)≤0，所以函数f(x)在[d，e]上单调递减，从而f(d)>f(e)，故D 不正确.
6.(2025·莆田模拟)已知函数f(x)=(x2-3x+1)ex，则下列说法中正确的是( )
A.f(x)在R 上有两个极值点
B.f(x)无最大值、无最小值
C.f(x)有最小值、无最大值
D.函数f(x)在R 上有三个零点
答案 AC
解析 ∵f(x)的定义域为R，
f '(x)=(x2-x-2)ex=(x-2)(x+1)ex，
∴当x∈(-∞，-1)∪(2，+∞)时，f '(x)>0；当x∈(-1，2)时，f '(x)<0，
∴f(x)在(-∞，-1)，(2，+∞)上单调递增，在(-1，2)上单调递减，
∴f(x)的极大值为f(-1)=5
e ，极小值为f(2)=-e2，
当x<0 时，x2-3x+1>0，ex>0，
∴f(x)>0 在(-∞，0)上恒成立，
可作出f(x)的图象如图所示，
对于A，f(x)的极大值点为-1，极小值点为2，A 正确；
对于B，C，f(-1)不是f(x)的最大值，f(2)是f(x)的最小值，B 错误，C 正确；
对于D，由图象可知，f(x)在R 上有且仅有两个零点，D 错误.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.已知函数y=(x+a)ex的最小值为-1，则实数a= .
答案 -1
解析 y'=(x+a+1)ex，
当x∈(-∞，-a-1)时，y'<0，函数单调递减，
当x∈(-a-1，+∞)时，y'>0，函数单调递增，
故当x=-a-1 时，函数取得极小值，也是最小值，为-e-a-1，
故-e-a-1=-1，所以a=-1.
8.(2024·雅安模拟)已知f(x)=ln x，g(x)=x，若f(m)=g(n)，则m-n 的最小值为 .
答案 1
解析 由题设f(m)=g(n)=t，则ln m=n=t，
得m=et，n=t，则m-n=et-t，
设h(x)=ex-x，h'(x)=ex-1，
令h'(x)=0，得x=0，
当x∈(-∞，0)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(0，+∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增，
所以当x=0 时，函数取得最小值，h(0)=1，
所以m-n 的最小值为1.
四、解答题(共28 分)
9.(13 分)小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小
型电子产品需投入年固定成本2 万元，当年产量为x 万件时，需另投入流动成本W(x)万元.已知在年产量不
足4 万件时，W(x)=1
3x3+2x，在年产量不小于4 万件时，W(x)=7x+64
x -27.每件产品售价6 元.通过市场分析，
小王生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式；(年利润=年销售收入-年固定成
本-流动成本)(6 分)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？(7 分)
解 (1)由题意，当0<x<4 时，P(x)=6x-2-(
1
3 x
3+2 x)=-1
3x3+4x-2；
当x≥4 时，P(x)=6x-2-(7 x + 64
x -27)=25-x-64
x .
所以P(x)={
- 1
3 x
3+ 4 x -2，0< x<4，
25- x - 64
x ，x ≥4.
(2)当0<x<4 时，P'(x)=-x2+4，
令P'(x)=0，解得x=2.
易得P(x)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，
所以当0<x<4 时，P(x)max=P(2)=10
3 .
当x≥4 时，P(x)=25-(x + 64
x )≤25-2√x· 64
x =9，当且仅当x=64
x ，即x=8 时取等号.
综上，当年产量为8 万件时，所获年利润最大，最大年利润是9 万元.
10.(15 分)设函数f(x)=x2+ax-ln x，a∈R.
(1)若函数f(x)在[1，2]上单调递减，求实数a 的取值范围；(6 分)
(2)令g(x)=f(x)-x2，是否存在实数a，使得当x∈(0，e](e 是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3，若
存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.(9 分)
解 (1)∵f '(x)=2 x
2+ax -1
x
，
∴当x∈[1，2]时，f '(x)≤0 恒成立，
即2x2+ax-1≤0 恒成立，
即a≤-2x+1
x 恒成立，
又函数y=-2x+1
x 在[1，2]上单调递减，
∴当x=2 时，(-2 x + 1
x)min
=-7
2，
故a 的取值范围是(-∞，- 7
2].
(2)∵f(x)=x2+ax-ln x，a∈R，
∴g(x)=f(x)-x2=ax-ln x，x∈(0，e]，
∴g'(x)=a-1
x =ax -1
x
(0<x≤e)，
当a≤0 时，g(x)在(0，e]上单调递减，
g(x)min=g(e)=ae-1=3，
解得a=4
e ，不合题意，舍去；
当0<1
a<e，x∈(0，1
a)时，g'(x)<0，g(x)在(0，1
a)上单调递减，当x∈(
1
a ，e]时，g'(x)>0，g(x)在
(
1
a ，e]上单调递增，
∴g(x)min=g(
1
a)=1+ln a=3，解得a=e2，满足题意；
当1
a≥e，x∈(0，e]时，g'(x)≤0，g(x)在(0，e]上单调递减，g(x)min=g(e)=ae-1=3，
解得a=4
e ，不合题意，舍去，
综上，存在实数a=e2，使得当x∈(0，e]时，g(x)的最小值是3.
每小题5 分，共10 分
11.已知函数f(x)=x3-3x，x∈(a，a+4)存在最小值，则实数a 的取值范围为( )
A.[-2，1)
B.(-2，1)
C.[-3，1)
D.(-3，1)
答案 A
解析 ∵f(x)=x3-3x，∴f '(x)=3x2-3，
令f '(x)=3x2-3=0，得x=±1，
且当x<-1 时，f '(x)>0；当-1<x<1 时，f '(x)<0，当x>1 时，f '(x)>0，∴f(x)在(-∞，-1)上单调递增，在(-1，1)
上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
又f(-1)=2，f(1)=-2，令f(x)=x3-3x=-2，解得x=-2 或x=1，
∴其图象如图所示，
由图可知，当x∈(a，a+4)时，f(x)存在最小值，
∴-2≤a<1<a+4，解得-2≤a<1，
即实数a 的取值范围为[-2，1).
12.已知函数f(x)=ln x+x+1-xex，则函数f(x)的最大值为 .
答案 0
解析 f(x)的定义域为(0，+∞)，
f '(x)=1
x +1-(x+1)ex=(1+ x)(1- x e
x)
x
，
设g(x)=1-xex(x>0)，
则g'(x)=-(x+1)ex<0，
故函数g(x)在区间(0，+∞)上单调递减，
由于g(0)=1>0，g(1)=1-e<0，
故存在x0∈(0，1)，使g(x0)=0，
即g(x0)=1-x0e
x0=0，即e
x0= 1
x0
，
故当x∈(0，x0)时，g(x)>0，则f '(x)>0，当x∈(x0，+∞)时，g(x)<0，则f '(x)<0，
所以f(x)的单调递增区间为(0，x0)，单调递减区间为(x0，+∞).
即函数f(x)的最大值为f(x0)=ln x0+x0+1-x0e
x0=ln 1
e
x0+x0+1-x0· 1
x0
=0.
