文档文本内容
第 04 讲 随机事件、频率与概率
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................1
第二部分：高考真题回顾........................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................3
高频考点一：随机事件之间关系的判断.................................................................3
高频考点二：随机事件的频率与概率.....................................................................4
高频考点三：互斥事件与对立事件的概率.............................................................6
第一部分：基础知识
知识点一：概率与频率
一般地,随着试验次数 的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件 发生的频率 会逐渐稳定于事
件 发生的概率 .我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率 来估计概率
.
知识点二：事件的运算
定义 符号表示 图示
事件 与事件 至少一
并事件 个发生，称这个事件为
事件 与事件 的并事 或者
件（或和事件）
事件 与事件 同时发
交事件 生，称这个事件为事件 或者
与事件 的交事件
（或积事件）知识点三：事件的关系
定义 符号表示 图示
一般地，若事件 发
包含关系
生，则事件 一定发
(或 )
生，称事件 包含事件
(或事件 包含于事件
)
一般地，如果事件 与
互斥事件
事件 不能同时发生，
也就是说 是一个
不 可 能 事 件 ， 即
，则称事件
与事件 互斥(或互不
相容)
对立事件 一般地，如果事件 和
事件 在任何一次试验
中有且仅有一个发生， ，
即 ，且 且 .
，那么
称事件 与事件 互为
对立，事件 的对立事
件记为
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面
三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件 ：所选盒中有中国结，事件 ：所选盒中有记事本，事件
：所选盒中有笔袋，则（ ）
A．事件 与事件 互斥 B．事件 与事件 相互独立
C．事件 与事件 互斥 D．事件 与事件 相互独立第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：随机事件之间关系的判断
典型例题
例题1．（24-25高二上·河南周口·开学考试）若古典概型的样本空间 ，事件 ，
，则（ ）
A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立
例题2．（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥
而不对立的事件（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与至少有一个白球
C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球
D．至少有一个黑球与都是白球
例题3．（23-24高一下·山东临沂·阶段练习）从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥
而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少一个红球
C．至少有一个黑球与都是红球 D．恰好有一个黑球与都是红球
例题4．（多选）（23-24高一下·安徽亳州·期末）抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件 “第一
枚出现奇数点”， “第二枚出现偶数点”， “第一枚出现偶数点”，则（ ）
A．A与B互斥 B．A与C互为对立
C．A与B相互独立 D．A与B互为对立
练透核心考点
1．（24-25高一下·全国·课后作业）若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ）
A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙站排尾”
C．“甲站排头”与“乙不站排头” D．“甲不站排头”与“乙不站排头”
2．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件 “出现偶数点”，事件
“出现3点或4点”，则事件A与B的关系为（ ）
A．相互独立事件 B．相互互斥事件
C．即相互独立又相互互斥事件 D．既不互斥又不相互独立事件
3．（2024高二下·安徽·学业考试）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件： “点数为奇数”，“点数为偶数”， “点数大于2”， “点数小于2”， “点数为3”．则下列结论不正确的是
（ ）
A． 为对立事件 B． 为互斥不对立事件
C． 不是互斥事件 D． 是互斥事件
4．（24-25高二下·全国·随堂练习）若 ， ， ，则事件 与 的关系是（ ）
A．事件 与 互斥 B．事件 与 对立
C．事件 与 相互独立 D．事件 与 既互斥又相互独立
高频考点二：随机事件的频率与概率
典型例题
例题1．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作
答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”
然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回
答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300
个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（ ）
A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44%
例题2．（24-25高一上·广西崇左·开学考试）下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000
发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601
发芽种子频率
0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 （精确到0.1）．
例题3．（24-25高一上·江西抚州·开学考试）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白
球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到
绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球 个.练透核心考点
1．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆
中每辆车的赔付结果统计如表所示．
赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500
车辆数/辆 600 80 110 120 90
若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是
新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机
中，获赔金额为4500元的概率为 ．
2．（24-25高二·上海·课堂例题）某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀（含80
分），现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组 ，第二组 ，第三组
，第四组 ，第五组 ，其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，
0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数为 ，成绩优秀的经验概率是 ．
3．（23-24高一上·全国·课后作业）某制造商今年 月份生产了一批乒乓球，随机抽取 个进行检查，测
得每个乒乓球的直径（单位：mm），将数据分组如下：
分组 频数 频率
10 0.10
20 0.20
50 0.50
20 0.20
合计 100 1.00
若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为 ，则这批乒乓球的直径误差不超过 的
概率是 ．高频考点三：互斥事件与对立事件的概率
典型例题
例题1．（23-24高一下·山东临沂·期末）一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2
个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一下·山西长治·期末）已知事件 ， 互斥，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．事件 ， 互斥 D．
例题3．（23-24高二·上海·课堂例题）盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概
率是 ，从中取出2粒都是白子的概率是 ．问：从中任意取出2粒恰好是同一颜色的概率是多少？
练透核心考点
1．（24-25高二上·吉林·阶段练习）设 是一个随机试验中的两个事件，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·北京·期末）已知随机事件 和 互斥， 和 对立，且 ，则
（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
3．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）甲、乙、丙三名同学参加某项技能测试，已知甲、乙、丙通过测试
的概率分别为 ， ， ，且三人是否通过测试彼此独立，则甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率
为 .
