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§9.2 用样本估计总体
课标要求 1.会用统计图表对总体进行估计，会求n 个数据的第p 百分位数.2.能用数字特征估计总体集中
趋势和总体离散程度.
1.百分位数
一般地，一组数据的第p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p %
的数据小于或等于这个
值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.
2.平均数、中位数和众数
(1)平均数：x＝1
n( x 1＋
x 2＋
…
＋
x n).
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数
时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时).
(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据).
3.方差和标准差
(1)方差：s2＝1
n
n
Σ
i=1
( x i－x) 2 或1
n
n
Σ
i=1
xi
2－x
2.
(2)标准差：s＝√
1
n
n
Σ
i=1
( xi- x)
2.
4.总体方差和总体标准差
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为Y ，则总体方差S2＝
1
N
N
Σ
i=1
(Yi－Y )2.
(2)加权式：如果总体的N 个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出
现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝1
N
k
Σ
i=1
fi(Yi－Y )2.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.( × )
(2)方差与标准差具有相同的单位.( × )
(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.( √ )
(4)在频率分布直方图中，可以用最高的小长方形底边中点的横坐标作为众数的估计值.( √ )
2.在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是( )
A.平均数
B.众数
C.百分位数
D.标准差
答案 D
解析 标准差反映了数据离散程度的大小，所以说标准差是用来描述一组数据离散程度的统计量，故D 正
确.
3.已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8 名同学的物理成绩分别为84，79，84，86，95，84，
87，93，则该组数据的平均数和众数分别是( )
A.86，84
B.84.5，85
C.85，84
D.86.5，84
答案 D
解析 将样本数据按升序排列为79 ，84 ，84 ，84 ，86 ，87 ，93 ，95 ，可得平均数
x＝79＋3×84＋86＋87＋93＋95
8
＝86.5，因为84 出现次数最多，所以众数为84.
4.(2024·周口模拟)已知一组从小到大排列的数据为a，2，2，4，4，5，6，b，8，8，若其第70 百分位数等
于其极差，则2a＋b＝ .
答案 10
解析 因为10×0.7＝7，所以a，2，2，4，4，5，6，b，8，8 的第70 百分位数为6＋b
2
，其极差为8－
a，所以6＋b
2
＝8－a，解得2a＋b＝10.
1.若x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a 的平均数为mx＋a，方差
为m2s2.
2.数据x1，x2，…，xn与数据x1'＝x1＋a，x2'＝x2＋a，…，xn'＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不
变.
题型一 样本数字特征的估计
例1 (1)(多选)(2024·郴州模拟)随机抽取8 位同学对他们2024 年数学新课标全国Ⅰ卷的平均分进行预估，
得到一组样本数据：97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有(
)
A.平均数为101
B.极差为9
C.方差为8
D.第60 百分位数为101
答案 ABD
解析 平均数为
97＋98＋99＋100＋101＋103＋104＋106
8
＝101，A 正确；
极差为106－97＝9，B 正确；
方差为(97-101)
2＋(98-101)
2＋…＋(106-101)
2
8
＝16＋9＋4＋1＋0＋4＋9＋25
8
＝8.5，C 错误；
因为60%×8＝4.8，故第60 百分位数为101，D 正确.
(2)如图是2023 年11 月中国的10 个城市地铁运营里程(单位：公里)及运营线路条数的统计图，下列判
断正确的是( )
A.这10 个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多
B.这10 个城市地铁运营里程的中位数是516 公里
C.这10 个城市地铁运营线路条数的平均数为15.4
D.这10 个城市地铁运营线路条数的极差是12
答案 C
解析 北京的地铁运营线路条数最多，而运营里程最长的是上海，A 错误；
地铁运营里程的中位数是558.6＋516
2
＝537.3(公里)，B 错误；
地铁运营线路条数的平均数为20＋27＋18＋14＋17＋12＋14＋10＋14＋8
10
＝15.4，C 正确；
地铁运营线路条数的极差是27－8＝19，D 错误.
思维升华 计算一组n 个数据第p 百分位数的步骤
跟踪训练1 (1)(多选)某次比赛通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，17，
18，20，32，则( )
A.该组数据的极差为25
B.该组数据的75%分位数为19
C.该组数据的平均数为17
D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等
答案 ACD
解析 极差为32－7＝25，故A 正确；
7×75%＝5.25，故75%分位数为20，故B 错误；
平均数为7＋12＋13＋17＋18＋20＋32
7
＝17，故C 正确；
去掉17 后，这两组数据的平均数相等，故D 正确.
(2)若某校高一年级10 个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，96，95，则
这组数据的众数是 ；中位数是 .
答案 96 92.5
解析 这组数据从小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，95，96，96，其中96 出现的次数最多，
则这组数据的众数是96，中位数是92＋93
2
＝92.5.
题型二 总体集中趋势的估计
例2 某考试机构举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情
况，作出升学规划，决定是否参加强基计划.在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，
随机抽取了100 名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50，70)，[70，90)，[90，110)，
[110，130)，[130，150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)求出图中a 的值并估计本次考试的及格率(“及格率”指得分为90 分及以上的学生所占的比例)；
(2)估计该校学生联考数学成绩的第80 百分位数；
(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.
解 (1)由频率分布直方图的性质，可得(a＋0.004＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，
解得a＝0.003.
本次考试的及格率约为(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%.
(2)得分在110 分以下的学生所占的比例为(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66，
得分在130 分以下的学生所占的比例为0.66＋0.014×20＝0.94，
所以第80 百分位数位于[110，130)内，
由110＋20× 0.8-0.66
0.94 -0.66＝120，估计第80 百分位数为120.
(3)由题图可得，众数的估计值为100.
平均数的估计值为0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6.
思维升华 频率分布直方图中的数字特征
(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标.
(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等.
(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和.
跟踪训练2 某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100 名学生，统计他们每天体
育锻炼的时间，并以此作为样本，按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]
进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.已知样本中体育锻炼时间在[50，60)内的学生有10 人.
(1)求频率分布直方图中a 和b 的值；
(2)估计样本数据的中位数和平均数(求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表).
解 (1)由题意可知，学生每天体育锻炼的时间在[50，60)内的频率为10
100＝0.1，
则a＝0.1
10 ＝0.01，
由各组频率之和为1，可知(0.005＋0.01＋b＋0.025×2＋0.005)×10＝1，
解得b＝0.03.
(2)前3 组的频率之和为(0.005＋0.01＋0.03)×10＝0.45<0.5，
前4 组的频率之和为0.45＋0.025×10＝0.7>0.5，
所以样本数据的中位数在第4 组，设为x，
所以0.45＋(x－70)×0.025＝0.5，解得x＝72，
估计样本数据的中位数是72，
估计平均数是(45＋95)×0.05＋55×0.1＋65×0.3＋(75＋85)×0.25＝72.
题型三 总体离散程度的估计
例3 某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行了10 次配对试验，每次配对试
验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理
后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10).
试验结果如下：
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为z，样本方差为s2.
(1)求z，s2；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z
≥2√
s
2
10
，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，
否则不认为有显著提高).
解 (1)由题意得zi＝xi－yi 的值分别为9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12，
则z＝1
10×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，
s2＝1
10×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12
－11)2]＝61.
(2)由(1)知，z＝11，2√
s
2
10
＝2√6.1＝√24.4，
故有z≥2√
s
2
10
，
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
思维升华 总体离散程度的估计
标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标
准差(方差)越小，数据的离散程度越小.
跟踪训练3 某校随机抽取了100 名学生参加“奥运会”知识竞赛，统计得到参加竞赛的每名学生的成
绩(单位：分)，然后按[40，50)，[50，60)，…，[90，100]分成6 组，并绘制成如图所示的频率分布直
方图，已知b＋0.03＝2a.
(1)求a，b 的值，并估计参加竞赛的学生成绩的第30 百分位数；
(2)已知成绩在[80，90)内所有学生的平均成绩为84 分，方差为6，成绩在[90，100]内所有学生的平均
成绩为98 分，方差为10，求成绩在[80，100]内所有学生的平均成绩x和方差s2.
解 (1)因为在频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，
所以(0.005＋0.01＋b＋0.03＋a＋0.01)×10＝1，所以a＋b＝0.045，
所以{
a＋b＝0.045,
b＋0.03＝2a,解得{
a＝0.025,
b＝0.02,
因为(0.005＋0.01)×10＝0.15，(0.005＋0.01＋0.02)×10＝0.35，
所以参加竞赛的学生成绩的第30 百分位数在[60，70)内，设为x，
所以(0.005＋0.01)×10＋(x－60)×0.02＝0.3，解得x＝67.5.
(2)成绩在[80，90)和成绩在[90，100]内的学生人数之比为0.025∶0.01＝5∶2，
所以x＝5×84＋2×98
5＋2
＝88，
s2＝5×[6＋(84 -88)
2]＋2×[10＋(98-88)
2]
5＋2
＝330
7 .
课时精练
[分值：100 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则2.5 是该组数据的( )
A.极差
B.平均数
C.中位数
D.众数
答案 C
解析 由题意得众数为2，极差为5－1＝4，平均数为1＋2＋2＋3＋4＋5
6
＝17
6 ，中位数为2＋3
2
＝2.5.
2.若一组数据x1，x2，…，xn的方差为9，则数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1 的方差为( )
A.9
B.18
C.19
D.36
答案 D
解析 ∵x1，x2，x3，…，xn的方差为s2＝9，∴2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1 的方差为22·s2＝4×9＝36.
3.某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则( )
A.a＝0.1
B.车速众数的估计值是70
C.车速平均数的估计值大于其中位数的估计值
D.车速中位数的估计值是62.5
答案 D
解析 由10(a＋3a＋4a＋2a)＝1，得a＝0.01，A 错误；
车速在[60，70)内的频率最大，所以车速众数的估计值是65，B 错误；
车速的平均数约为0.1×45＋0.3×55＋0.4×65＋0.2×75＝62，车速的中位数m∈[60，70)，则(m－
60)×0.04＝0.1，解得m＝62.5，C 错误，D 正确.
4.某班50 名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖.
成绩/分
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
人数
■
■
1
2
3
5
6
8
10
12
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是( )
A.平均数，方差
B.中位数，方差
C.中位数，众数
D.平均数，众数
答案 C
解析 由表格数据可知，成绩为91 分、92 分的人数为50－(12＋10＋8＋6＋5＋3＋2＋1)＝3(人)，成绩为
100 分的出现的次数最多，所以成绩的众数为100，成绩从小到大排列后处在第25，26 位的两个数都是98
分，所以数据的中位数为98，所以中位数和众数与被遮盖的数据无关.
5.身体质量指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.该指标是通
过体重(kg)除以身高(m)的平方计算得来.这个公式所得比值在一定程度上可以反映人体密度.一般情况下，
我国成年人的身体质量指数在18.5~23.9 内属正常范围.已知A，B，C 三人的体质指数的平均值为20，方差
为3.D，E 两人的体质指数分别为18 和22.则这5 人的体质指数的方差为( )
A.17
5
B.14
5
C.17
3
D.14
3
答案 A
解析 设A，B，C 三人的体质指数分别为a，b，c，由于A，B，C 三人的体质指数的平均值为20，方差
为3 ，故(a-20)
2＋(b-20)
2＋(c -20)
2
3
＝3 ，则(a －20)2 ＋(b －20)2 ＋(c －20)2 ＝9 ，由于
a＋b＋c＋18＋22
5
＝20×3＋18＋22
5
＝20，故5 个人的体质指数的平均数为20，故1
5[(a－20)2＋(b－
20)2＋(c－20)2＋(18－20)2＋(22－20)2]＝9＋4＋4
5
＝17
5 ，故方差为17
5 .
6.(2024·海口模拟)已知数据x1，x2，x3，…，x10满足xi－xi－1＝1(2≤i≤10)，若去掉x1，x10后组成一组新数
据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是( )
A.中位数不变
B.若x1＝1，则数据x1，x2，x3，…，x10的第75 百分位数为7.5
C.平均数不变
D.方差变小
答案 B
解析 原来的中位数与现在的中位数均为x5＋x6
2
＝2 x1＋9
2
＝x1＋4.5，故中位数不变，故A 正确；
当x1＝1 时，数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.因为10×75%＝7.5，所以该
组数据的第75 百分位数是第8 个数8，故B 错误；
由于xi－xi－1＝1(2≤i≤10)，故x2＝x1＋1，x3＝x1＋2，…，x9＝x1＋8，x10＝x1＋9，原来的平均数为
x1＋x2＋…＋x10
10
＝10 x1＋45
10
＝x1＋4.5，去掉x1，x10 后的平均数为x2＋x3＋…＋x9
8
＝8 x1＋36
8
＝x1
＋4.5，平均数不变，故C 正确；
原来的方差为1
10[(x1－x1－4.5)2＋(x2－x1－4.5)2＋…＋(x10－x1－4.5)2]＝8.25，去掉x1，x10后的方差为1
8[(x2－
x1－4.5)2＋(x3－x1－4.5)2＋…＋(x9－x1－4.5)2]＝5.25，方差变小，故D 正确.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.某公司为保证产品生产质量，连续10 天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的
件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是( )
A.极差是4
B.众数小于平均数
C.方差是1.8
D.数据的80%分位数为4
答案 AC
解析 数据从小到大排列为1，1，2，3，3，3，3，4，5，5.
该组数据的极差为5－1＝4，故A 正确；
众数为3，平均数为1×2＋2＋3×4＋4＋5×2
10
＝3，两者相等，故B 错误；
方差为1
10×[(1－3)2×2＋(2－3)2×1＋(3－3)2×4＋(4－3)2×1＋(5－3)2×2]＝1.8，故C 正确；
∵10×80%＝8，∴这组数据的80%分位数为第8 个数和第9 个数的平均数4.5，故D 错误.
8.移动互联网时代，智能终端市场商机无限，全球商家强势抢攻市场.通过同比数据发现，中国智能手机市
场呈现出积极的增长趋势.据报载，2023 年11 月，中国市场智能手机新机激活量为2 871 万台，同比增长
12.9%(同比增长率＝本期数据-去年同期数据
去年同期数据
×100%)，具体分为7 个品牌排名，统计数据如表所示，
则下列说法正确的有( )
排名
品牌
当月新机激活量/万台
同比新机激活量增长/万台
No.1
A
604.4
13.0
No.2
B
524.3
160.5
No.3
C
403.1
45.0
No.4
D
401.4
172.9
No.5
E
383.3
－47.5
No.6
F
376.3
－44.8
No.7
G
178.2
28.0
A.该月7 个品牌同比新机激活量增长数据的极差为125.4
B.该月7 个品牌新机激活量数据的平均数大于中位数
C.该月D 品牌新机激活量同比增长率大于75%
D.去年同期中国市场智能手机新机激活量小于2 600 万台
答案 BCD
解析 同比新机激活量增长数据的极差为172.9－(－47.5)＝220.4，故A 错误；
该月新机激活量数据的平均数为2 871
7
≈410.14，该月7 个品牌新机激活量数据的中位数为401.4，故B
正确；
去年同期D 品牌新机激活量为401.4－172.9＝228.5，所以同比增长率为172.9
228.5×100%≈75.67%>75%，故C
正确；
设去年同期中国市场智能手机新机激活量为x，由题意可得2 871- x
x
×100%＝12.9%，解得x≈2 543<2
600，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的3
5，则该组数
据的第40 百分位数是 .
答案 6
解析 由题意知该组数据的极差为17－2＝15，
中位数为m＋12
2
，
所以m＋12
2
＝15×3
5＝9，解得m＝6，
又6×40%＝2.4，
所以该组数据的第40 百分位数是该组数据的第三个数6.
10.已知某7 个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8 个数的方差为 .
答案 7
2
解析 原7 个数的方差为1
7
7
∑
i=1
( xi-2)
2＝4，
即
7
∑
i=1
( xi-2)
2＝4×7＝28，
加入一个新数据2 后所得8 个数的平均数为
x＝7×2＋2
8
＝2，
所以这8 个数的方差为s2＝1
8[28＋(2－2)2]＝7
2.
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)第8 届中国－南亚博览会暨第28 届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开
幕.本届南博会以“团结协作，共谋发展”为主题，共设15 个展馆，展览面积15 万平方米，吸引82 个国
家、地区和国际组织参会，2 000 多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100 家企业对此次展览进行
评分，分值均在[90，100]内，并将部分数据整理如表：
分数
[90，92)
[92，94)
[94，96)
[98，100]
频数
10
10
20
20
(1)估计这100 家企业评分的中位数(保留小数点后一位)；(6 分)
(2)估计这100 家企业评分的平均数与方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(7 分)
解 (1)由题意得这100 家企业评分在[96，98)内的频数为100－10－10－20－20＝40.
设这100 家企业评分的中位数的估计值为x，
因为评分在[90，96)内的频数之和为10＋10＋20＝40<50，
评分在[90，98)内的频数之和为40＋40＝80>50，
所以x∈[96，98)，由50- 40
40
＝x -96
98-96，
得x＝96.5.
(2)这100 家企业评分的平均数的估计值为x＝1
100(91×10＋93×10＋95×20＋97×40＋99×20)＝96，
这100 家企业评分的方差的估计值为
s2＝1
100[(91－96)2×10＋(93－96)2×10＋(95－96)2×20＋(97－96)2×40＋(99－96)2×20]＝5.8.
12.(14 分)某英语老师负责甲、乙两个班的英语课，其中甲班有60 名学生，乙班有48 名学生.为分析他们的
英语成绩，该老师计划用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取18 名学生，统计他们英语考试的分数.
(1)该老师首先在甲班采用随机数法抽取所需要的学生，为此将甲班学生随机编号为01~60，按照以下随机
数表，以第2 行第21 列的数字4 为起点，从左到右依次读取数据，每次读取两位随机数，重复的跳过，一
行读完之后接下一行左端.求抽出的学生编号的中位数；(5 分)
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9243 4935 8200 3623 4869 6938 7481
2976 3413 2841 4241 2424 1985 9313 2322
8303 9822 5888 2410 1158 2729 6443 2943
(2)已知甲班的样本平均数为x1＝72，方差为s1
2＝92，两班总的样本平均数为x＝76，方差为s2＝96.
①求乙班的样本平均数x2和方差s2
2；(5 分)
②判断两班学生的英语成绩是否有明显差异.(如果|x1－x2|≥2√
s1
2＋s2
2
9
，则认为两班学生的英语成绩有明
显差异，否则不认为有明显差异)(4 分)
解 (1)根据按比例分配的分层随机抽样的规则，需要在甲班抽取的样本数为18×
60
60＋48＝10，
在随机数表中依次读取的编号为48，38，29，34，13，28，41，42，24，19，
编号从小到大依次为13，19，24，28，29，34，38，41，42，48，
所以抽出的学生编号的中位数为29＋34
2
＝31.5.
(2)①依题意，样本中甲班学生有10 人，乙班学生有8 人，由按比例分配的分层随机抽样的平均数和方差
的公式，
得x＝5
9 x1＋4
9 x2，
因此x2＝9 x -5 x1
4
＝9×76-5×72
4
＝81，
s2＝5
9 [ s1
2＋( x1- x)
2]＋4
9 [ s2
2＋( x2- x)
2]，
即96＝5
9(92＋42)＋4
9 (s2
2＋52)，解得s2
2＝56，
所以x2＝81，s2
2＝56.
②因为|x1－x2|＝|72－81|＝9，
2√
s1
2＋s2
2
9
＝2√
148
9
<2√
169
9 ＝26
3
<9，
因此|x1－x2|≥2√
s1
2＋s2
2
9
成立，
所以两班学生的英语成绩有明显差异.
13~15 题每小题5 分，16 题6 分，共21 分
13.已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中
位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为( )
A.12
B.20
C.25
D.27
答案 D
解析 设丢失数据是x，则平均数为61＋x
7
，众数是8，若x<8，则中位数为8，此时x＝－5；
若8<x<10，则中位数为x，此时2x＝61＋x
7
＋8，解得x＝9；
若x≥10，则中位数为10，此时2×10＝61＋x
7
＋8，解得x＝23，
所以丢失数据的所有可能值为－5，9，23，其和为27.
14.(2024·南通模拟)已知实数x0，x1，…，x2 024，则使
2 024
∑
i=0
|xi－k|和
2 024
∑
i=0
( xi-k )
2最小的实数k 分别为
x0，x1，…，x2 024的( )
A.中位数，标准差
B.平均数，中位数
C.中位数，平均数
D.标准差，平均数
答案 C
解析
2 024
∑
i=0
|xi－k|＝|x0－k|＋|x1－k|＋…＋|x2 024－k|，表示2 025 个绝对值之和，
根据绝对值的几何意义知，绝对值的和的最小值表示距离和的最小值，
因为2 025 为奇数，所以k 取x0，x1，…，x2 024的中位数时，
2 024
∑
i=0
|xi－k|有最小值；
2 024
∑
i=0
( xi-k )
2＝
2 024
∑
i=0
( xi
2－2kxi＋k2)＝(x0
2＋x1
2＋x2
2＋…＋x2 024
2
)－(2x0＋2x1＋2x2＋…＋2x2 024)k＋2
025k2为关于k 的一元二次函数，
故当k＝x0＋x1＋…＋x2 024
2 025
时，
2 024
∑
i=0
( xi-k )
2有最小值，
即k 为x0，x1，…，x2 024的平均数时，
2 024
∑
i=0
( xi-k )
2有最小值.
15.在一组数3，3，8，11，28 中插入两个整数m，n，使得新的一组数极差为原来极差的两倍，且众数和
中位数保持不变，则m＋n 的最大值为( )
A.57
B.58
C.60
D.61
答案 C
解析 若插入两个整数后众数不变，则插入的数可以是“两个都是3”，或是“一个是3，另一个不是
3”，或是“两个不等的且不是3，8，11，28”.
①因为新的一组数极差加倍，所以插入的两个数不可能都是3；
②因为中位数保持不变，若插入的数“一个是3，另一个不是3”，则一个是3，另一个数不小于8，
又因为极差加倍，则另一个数为53，此时m＋n＝56；
③若插入的两个数是不等的且不是3，8，11，28，且极差为50，中位数保持不变，
则两个数可以为
{
m＝7,
n＝53,{
m＝6,
n＝53,{
m＝5,
n＝53,{
m＝4 ,
n＝53,{
m＝2,
n＝52,
{
m＝1,
n＝51,{
m＝0,
n＝50,{
m＝-1,
n＝49, …{
m＝-21,
n＝29,
{
m＝-22,
n＝9, {
m＝-22,
n＝10, {
m＝-22,
n＝12, …{
m＝-22,
n＝27 ,
所以m＋n 的最大值为60.
16.(多选)(2024·焦作模拟)北京时间2024 年8 月12 日凌晨，第33 届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国
体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40 枚金牌、27 枚银牌和24 枚铜牌的最佳境
外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精
神举办了竞技比赛，此比赛共有5 名同学参加，赛后经数据统计得到该5 名同学在此次比赛中所得成绩的
平均数为8，方差为4，比赛成绩x∈(0，15］，且x∈N*，则下列可以作为该5 名同学中比赛成绩的最高
分的有( )
A.13
B.12
C.11
D.10
答案 BC
解析 设该5 名同学在此次比赛中所得成绩分别为x1，x2，x3，x4，x5，
由题得x＝1
5(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝8，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝40，
且s2＝1
5［( x1-8)
2＋( x2-8)
2＋( x3-8)
2＋( x4-8)
2＋( x5-8)
2］＝4，
则( x1-8)
2＋( x2-8)
2＋( x3-8)
2＋( x4-8)
2＋( x5-8)
2＝20.
不妨设x5最大，
若x5＝13，则( x1-8)
2＋( x2-8)
2＋( x3-8)
2＋( x4-8)
2＝－5 不成立，故A 错误；
若x5＝12，则( x1-8)
2＋( x2-8)
2＋( x3-8)
2＋( x4-8)
2＝4，满足题意，例如5 位同学的成绩可为7，7，
7，7，12，故B 正确；
若x5＝11，则( x1-8)
2＋( x2-8)
2＋( x3-8)
2＋( x4-8)
2＝11，满足题意，例如5 位同学的成绩可为5，7，
8，9，11，故C 正确；
若x5＝10，则x1＋x2＋x3＋x4＝30，且( x1-8)
2＋( x2-8)
2＋( x3-8)
2＋( x4-8)
2＝16，则x1
2＋x2
2＋x3
2＋x4
2
－16(x1＋x2＋x3＋x4)＋4×82＝16⇒x1
2＋x2
2＋x3
2＋x4
2＝16(x1＋x2＋x3＋x4)－4×82＋16＝16×30－4×82＋16
＝240，则可得{
x1＋x2＋x3＋x4＝30,
x1
2＋x2
2＋x3
2＋x4
2＝240,该方程组无正整数解，故D 错误.
