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1．设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
2．已知函数
，则（ ）
A．
有两个极值点
B．
有三个零点
C．点
是曲线
的对称中心
D．直线
是曲线
的切线
3．已知函数
，则（ ）
A．
时，函数
在
上单调递增
B．
时，若
有3 个零点，则实数
的取值范围是
C．若直线与曲线
有3 个不同的交点
，
，
，且
，则
D．若
存在极值点
，且
，其中
，则
1
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4．已知函数
有两个极值点．则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
的极值之和为
C．
，使得
有三个零点
D．当
时，
只有一个零点
5．记
为等差数列
的前n 项和，若
，
，则
.
6．设
为等差数列
的前
项和.若
，
，则
.
7．等差数列
中，
，则
．
8．若等差数列
前
项和为
，且
，
，数列
的前10 项的和为
.
9．已知
为第一象限角，
为第三象限角，
，
，则
.
10．在
中，已知
，
，求
的值.
2
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11．已知
为锐角，
．
（1）求
的值；
（2）求
的值．
12．已知
，
，求
的值．
13．在如图的4×4 的方格表中选4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共
有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4 个数之和的最大值是
．
14．2023 年深秋，鼻病毒、肺炎支原体、呼吸道合胞病毒、腺病毒肆虐天津各个高中.目前
病毒减员情况已经得到缓解，为了挽回数学课程，市教委决定派遣具有丰富教学经验的四
支不同的教师队伍A、B、C、D，前往四所高中E、F、G、H 进行教学指导，每支教师队
伍到一所高中，那么总共有 （请用数字作答）种的不同的派遣方法.如果已知A
教师队伍被派遣到H 高中，那么此时B 教师队伍被派遣到E 高中的概率是 .
3
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15．某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有 种不
同的排法，若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有 种不同的排法．
（用具体数字作答）
16．某学校围棋社团组织高一与高二交流赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段
三位选手，段位越高水平越高，已知高二每个段位的选手都比高一相应段位选手强一些，
比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获
得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序．则第一局比赛高一获胜的
概率为 ，在一场比赛中高一获胜的概率为 ．
17．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若
，
，求
的周长．
18．在
中，设角
、
及
所对边的边长分别为
、
及．已知
．
(1)求角
的大小；
(2)当
，
时，求边长．
19．在
中，角
所对的边分别为
的外接圆半径为
，且
．
(1)求
的值；
4
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(2)若
的面积为
，求
的周长．
20．已知
分别为锐角
三个内角
的对边，且
.
(1)求
；
(2)若
，求
周长取值范围.
5
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参考答案：
1．AD
【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为
，根据零点存在定理和极值的符号判
断出
在
上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进
行分析；C 选项，假设存在这样的
，使得
为
的对称轴，则
为
恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的
，使得
为
的对称中心，则
，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
【详解】A 选项，
，由于
，
故
时
，故
在
上单调递增，
时，
，
单调递减，
则
在
处取到极大值，在
处取到极小值，
由
，
，则
，
根据零点存在定理
在
上有一个零点，
又
，
，则
，
则
在
上各有一个零点，于是
时，
有三个零点，A 选项正确；
B 选项，
，
时，
，
单调递减，
时
，
单调递增，
此时
在
处取到极小值，B 选项错误；
C 选项，假设存在这样的
，使得
为
的对称轴，
即存在这样的
使得
，
1
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即
，
根据二项式定理，等式右边
展开式含有
的项为
，
于是等式左右两边
的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的
，使得
为
的对称轴，C 选项错误；
D 选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的
，使得
为
的对称中心，
则
，事实上，
，
于是
即
，解得
，即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，
，
，
由
，于是该三次函数的对称中心为
，
由题意
也是对称中心，故
，
即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）
的对称轴为
；（2）
关于
对称
；（3）任何三次函数
都有对称中心，
2
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对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是
的解，即
是三
次函数的对称中心
2．AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合
的单调性、极值可判断B，利用平移可判
断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，
，令
得
或
，
令
得
，
所以
在
，
上单调递增，
上单调递减，所以
是
极值点，故A 正确；
因
，
，
，
所以，函数
在
上有一个零点，
当
时，
，即函数
在
上无零点，
综上所述，函数
有一个零点，故B 错误；
令
，该函数的定义域为
，
，
则
是奇函数，
是
的对称中心，
将
的图象向上移动一个单位得到
的图象，
所以点
是曲线
的对称中心，故C 正确；
令
，可得
，又
，
当切点为
时，切线方程为
，当切点为
时，切线方程为
，故D
3
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错误.
故选：AC.
3．BD
【分析】根据函数求导后公式及结合
的取值情况可对A 项判断；
，求出
再结合函数极大小值即可对B 项判断；求出函数的二阶导数，从而求出
对称中心点
即可对C 项判断；根据函数存在极值点
再结合令
，求
出，即可对D 项判断.
【详解】对于A：求导
，当
时，
有2 个不
相等的实根
，
，在区间
上
，
单调递减，故选项A 错误.
对于B：当
时，令
，得
，
，若
有
3 个零点，则极大值
，极小值
，实数
的取值范围是
，故选项B 正确.
对于C：令二阶导数
，得
，则三次函数
的对称中心是
.当直线与曲线
有3 个不同的交点
，
，
，且
时，点
一定是对称中心，所以
，故选项C 错误.
对于D：若
存在极值点
，则
，
，
.令
，得
，因为
，于是
，
4
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所以
，化简得：
，
因为
，故
，于是
，即
.故选项D 正确.
故选：BD.
4．ACD
【分析】利用奇偶函数性质和平移法 判断A，利用极值和导数关系即可判断B，根据零点
个数与导数、函数的关系即可判断D.
【详解】对A，设
，定义域为
，关于原点对称，
且
，则
为奇函数，
的图象可由奇函数
的图象向上平移2 个单位长度得到，
故
的图象关于点
对称，选项A 正确．
对B，设
的极值点分别为
，令
，则
为方
程两不等实数根，
根据韦达定理知
，故
，
即
的极值之和为4，选项B 错误．
对C，依题意，方程
有两异根，则
，
，
，
令
，解得
或
，令
，解得
，
则
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，在区间
单
调递增．
则
时，
的图象与
轴有3 个交点，
5
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即
有3 个零点，此时
，即
，解得
，故选项C
正确．
对D，当
时，
，
，
此时
只有一个零点，选项D 正确．
故选：ACD.
5．95
【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出
，再利用等差数列的求和公式节即
可得到答案.
【详解】因为数列
为等差数列，则由题意得
，解得
，
则
.
故答案为：
.
6．15
【分析】根据等差数列基本量运算求出公差
，利用等差数列前n 项和公式运算得解.
【详解】
，
，又
，解得
，
.
故答案为：15.
7．60
【分析】根据等差数列的通项公式列式得
，再根据等差数列的求和公式可求出
结果.
6
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【详解】设公差为
，则
，即
，
所以
.
故答案为：
.
8．
【分析】由题意可得
，解方程求出
，即可求出
，再由等差数列
的前
项和公式求解即可.
【详解】设等差数列
的首项为
，公差为
，
则
，解得
，
故
，
所以
，
所以数列
的前10 项的和为
.
故答案为：
.
9．
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得
，再缩小
的范围，
最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得
，
因为
，
，
7
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则
，
，
又因为
，
则
，
，则
，
则
，联立
，解得
.
法二： 因为
为第一象限角，
为第三象限角，则
,
，
，
则
故答案为：
.
10．
【分析】利用同角三角函数求值，由
可以得到
,利用正切的和差公式就可
以得到答案.
【详解】因为
，
，有
，
所以
.
故答案为：
.
11．（1）
；（2）
．
8
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【分析】（1）根据题设条件，结合正切的倍角公式，即可求解；
（2）根据题设条件，求得
，结合
，即可求
解.
【详解】（1）因为
，可得
．
（2）因为
为锐角，可得
．
又因为
，所以
，可得
，
则
．
12．
．
【分析】先分析所求式
，分子、分母均为已知条件中和差角的
展开式的项．
【详解】∵
，
，
解得
，
，
所以
.
9
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13． 24 112
【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1 个方格可选；利用列举法写出
所有的可能结果，即可求解.
【详解】由题意知，选4 个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，
则第一列有4 个方格可选，第二列有3 个方格可选，
第三列有2 个方格可选，第四列有1 个方格可选，
所以共有
种选法；
每种选法可标记为
，
分别表示第一、二、三、四列的数字，
则所有的可能结果为：
，
，
，
，
所以选中的方格中，
的4 个数之和最大，为
.
故答案为：24；112
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1 个方
格可选，利用列举法写出所有的可能结果.
14． 24
【分析】将四支教师队伍进行全排可求得派遣方法的个数，只考虑
教师队伍被派遣的可
能情况，利用古典概型的概率公式可求得
教师队伍被派遣到
高中的概率.
【详解】由题意可知，每支教师队伍到一所高中的派遣方法数为
，
由于A 教师队伍被派遣到H 高中，则B 教师队伍可派遣到其它个高中，
因此
教师队伍被派遣到
高中的概率是
.
故答案为：
；
.
15．
【分析】根据语文、数学、英语、物理、化学、体育的全排列得出第一空；
分类讨论体育所在节数，由分类加法计数原理得出第二空.
【详解】某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有
种
10
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不同的排法
当体育在第一节时，在第三，四，五，六节中选2 节排语文和数学，其余排英语、物理、
化学，则共有
种不同的排法
当体育在第二节时，在第四，五，六节中选2 节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，
则共有
种不同的排法
当体育在第三节时，在第一，五，六节中选2 节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，
则共有
种不同的排法
当体育在第四节时，在第一，二，六节中选2 节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，
则共有
种不同的排法
当体育在第五节时，在第一，二，三节中选2 节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，
则共有
种不同的排法
当体育在第六节时，在第一，二，三，四节中选2 节排语文和数学，其余排英语、物理、
化学，则共有
种不同的排法
则若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有
种不同的排法
故答案为：
；
【点睛】本题主要考查了全排列问题和不相邻排列问题，涉及了分类加法计数原理的应用，
属于中档题.
16．
【分析】第一局先安排2 个对手共9 种不同安排方法，利用古典概型求解，安排一场三局
比赛的出场顺序共36 种，列出高一获胜的安排方法，利用古典概型求解.
【详解】设
为高一出场选手，
为高二出场选手，其中表示段位，
则第一局比赛中，共有
11
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，共9 个基本事件，
其中高一能取得胜利的基本事件为
，
，
，共3 个，
所以第一局比赛高一获胜的概率为
，
在一场三局比赛中，共有不同的
种安排方法，
其中高一能获胜的安排方法为
，
，
，
，
，
，共6 种，故在一场比赛中高一获
胜的概率为
.
故答案为：
；
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件
进行化简处理即可求解，常规方
法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解
决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出
，然后根据正弦定理算出
即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由
可得
，即
，
由于
，故
，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由
，又
，消去
得到：
12
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，解得
，
又
，故
方法三：利用极值点求解
设
，则
，
显然
时，
，注意到
，
，在开区间
上取到最大值，于是
必定是极值点，
即
，即
，
又
，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设
，由题意，
，
根据向量的数量积公式，
，
则
，此时
，即
同向共线，
根据向量共线条件，
，
又
，故
方法五：利用万能公式求解
设
，根据万能公式，
，
整理可得，
，
解得
，根据二倍角公式，
，
13
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又
，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又
，则
，进而
，得到
，
于是
，
，
由正弦定理可得，
，即
，
解得
，
故
的周长为
18．(1)
(2)
【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合
及两角和的正弦公式计算化
简即可得；
（2）根据正弦定理即可计算出
，结合
可求出
，再使用正弦定理即可得到.
【详解】（1）由正弦定理得
，
由于
，则
，
展开得
，
14
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即
，因为
，
化简得
，则
，
又
，所以
；
（2）由正弦定理，得
，即有
，
因为
，所以
是锐角，即
，
所以
，
，
所以
.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式结合已知即可得解；
（2）由（1）求出
，再根据正弦定理可得出
的关系，再根据三角形的面积公式
求出边长，即可得解.
【详解】（1）由
，结合正弦定理
，
得
，化简得
，
因为
，且
不同时为钝角，则
，
15
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所以
，
又
，所以
，因此
；
（2）由（1）知
，
则
，
由正弦定理得
，
令
，则
，
则
，解得
，
因此
的周长为
．
20．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简可得
，即可求得结
果.
（2）由正弦定理结合辅助角公式得
，再由角
的范围结合三角函数
的性质求得
的范围，即可求得周长的范围.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可得
且
所以
，且
16
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则
所以
（2）由正弦定理得
，
则
，
又
是锐角三角形，则
，
，
可得
，
又
周长为
，且
故
周长的取值范围为
.
17
