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§10.4 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
课标要求 1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公
式计算概率.
1.相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A 与B，如果P(AB)= 成立，则称事件A 与事件B 相互独立，
简称为独立.
(2)性质：若事件A 与B 相互独立，那么A 与 ，A与 ，A与B也都相互独立.
2.条件概率
(1)概念：一般地，设A，B 为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)= 为在事件A 发
生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率.
(2)两个公式
①利用古典概型：P(B|A)= ；
②概率的乘法公式：P(AB)= .
(3)条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则
①P(Ω|A)= ；
②如果B 和C 是两个互斥事件，则P(B∪C|A)= .
③设B和B 互为对立事件，则P(B|A)= .
3.全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，
则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)= .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意两个事件，公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.( )
(2)P(B|A)表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P(AB)表示事件A，B 同时发生的概率.( )
(3)抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A，“第二枚正面朝上”为事件B，则A，B
相互独立.( )
(4)若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B⊆Ω，都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).( )
2.若P(A|B)=1
9，P(B)=1
3，则P(AB)的值是( )
A. 1
27
B.1
3
C.1
9
D.1
4
3.某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，则拨号不超过两次就拨对
号码的概率为( )
A.1
5
B.2
5
C.3
5
D. 9
20
4.甲箱中有3 个白球，2 个黑球，乙箱中有1 个白球，3 个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙
箱中任取一球，则从乙箱中取出白球的概率是 .
1.理清“相互独立”和“事件互斥”的区别
两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概
率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥.
2.不要混淆P(B|A)与P(A|B)
前者是在A 发生的条件下B 发生的概率，后者是在B 发生的条件下A 发生的概率.
题型一 相互独立事件
命题点1 事件相互独立性的判断
例1 (2021·新高考全国Ⅰ)有6 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两
次，每次取1 个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字
是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是
7”，则( )
A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
命题点2 相互独立事件的概率
例2 小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C 三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a，a，1
2
，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为1
4 ，则他三道题都答错的概率为( )
A.1
2
B.1
3
C.1
4
D.1
6
概率问题中的递推数列
在概率与统计的问题中，经常会出现概率统计与数列综合考查的问题，一般以压轴题的形式出现.主要有四
种类型：(1)an＝pan－1＋q 型；(2)an＋1＝pan＋f(n)型；(3)an＋1＝anf(n)型；(4)an＋1＝pan＋qan－1型.
典例 (多选)甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的.从一个人传
球到另一个人称传球一次.若传球开始时甲持球，记传球n 次后球仍回到甲手里的概率为Pn，则下列结论正
确的是( )
A.P2＝1
2
B.P4＝5
8
C.Pn＝1
2(1－Pn－1)
D.Pn＝1
3 －1
3(- 1
2)
n-1
思维升华 求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积.
(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
跟踪训练1 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人
是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则( )
A.两人都中靶的概率为0.12
B.两人都不中靶的概率为0.42
C.恰有一人中靶的概率为0.46
D.至少有一人中靶的概率为0.74
题型二 条件概率
命题点1 条件概率
例3 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加4×100 米接力赛跑.记事件A 为“甲同学不跑第一棒”，事件
B 为“乙同学跑第二棒”，则P(B|A)的值为( )
A.1
9
B.4
9
C.1
3
D.2
9
命题点2 条件概率性质的应用
例4 (多选)下列结论中错误的是( )
A.P(B|A)=P(A|B)
B.P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)
C.P(AB)=P(B|A)P(A)
D.P(B|A)P(A)≥P(A)+P(B)
思维升华 求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(B|A)= P( AB)
P( A) .
(2)样本点法：P(B|A)=n( AB)
n( A) .
(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解.
跟踪训练2 (1)为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展
党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛.某班级在5 道党史题中(有3 道选择题和2 道填空题)，不放
回地依次随机抽取2 道题作答，设事件A 为“第一次抽到选择题”，事件B 为“第二次抽到选择题”，
则P(B|A)等于( )
A.3
5
B. 3
10
C.3
4
D.1
2
(2)(多选)一个箱子中装有大小、形状均相同的8 个小球，其中白球5 个、黑球3 个，现在从箱子中不放
回地取两次球，第一次先从箱子中随机取出1 个球，第二次再从箱子中随机取出2 个球，分别用A，B
表示事件“第一次取出白球”“第一次取出黑球”；分别用C，D 表示事件“第二次取出的两球都为黑
球”“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是( )
A.P(C|B)= 1
21
B.P(D|A)=3
7
C.P(B)=3
8
D.P(BC)= 1
56
题型三 全概率公式的应用
例5 (1)某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，
这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保
险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险
人在一年内发生事故的概率是( )
A.0.155
B.0.175
C.0.016
D.0.096
(2)设5 支枪中有2 支未校正，3 支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射
击，中靶率为0.4.若任取一支枪射击，结果未中靶，则该枪未校正的概率为 .
思维升华 利用全概率公式解题的思路
(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1，2，…，n).
(2)求P(Ai)和所求事件B 在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai).
(3)代入全概率公式计算.
跟踪训练3 (多选)湖南张家界是国家5A 级景区，有许多好看的景点.李先生和张先生预选该景区的玻
璃栈道和凤凰古城游玩，他们第一天去玻璃栈道和凤凰古城游玩的概率分别为0.3 和0.7，如果他们第
一天去玻璃栈道，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.3；如果第一天去凤凰古城，那么第二天去玻璃栈
道的概率为0.6.设A1=“第一天去玻璃栈道”，A2=“第二天去玻璃栈道”，B1=“第一天去凤凰古城”，
B2=“第二天去凤凰古城”，则( )
A.P(A2|A1)=0.3
B.P(A2|B1)=0.3
C.P(A2)=0.51
D.P(B2)=0.49
答案精析
落实主干知识
1.(1)P(A)P(B) (2)B B
2.(1) P( AB)
P( A) (2)①n( AB)
n( A)
②P(A)P(B|A) (3)①1
②P(B|A)+P(C|A) ③1-P(B|A)
3.
n
∑
i=1
P(Ai)P(B|Ai)
自主诊断
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.A 3.B 4. 8
25
探究核心题型
例1 B [事件甲发生的概率P(甲)=1
6 ，事件乙发生的概率P(乙)=1
6 ，事件丙发生的概率P(丙)=
5
6×6=
5
36 ，事件丁发生的概率P(丁)=
6
6×6=1
6.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A
错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为
1
6×6= 1
36 ，P(甲丁)=P(甲)P(丁)，故B 正确；事件乙与事件丙同
时发生的概率为
1
6×6= 1
36 ，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C 错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立
事件，故D 错误.]
例2 C [记小刚答对A，B，C 三道题分别为事件D，E，F，且D，E，F 相互独立，
且P(D)=P(E)=a，P(F)=1
2.
恰好能答对两道题为事件DEF+DEF+DEF，且DEF ，DEF，DEF 两两互斥，
所以P(DEF+DEF+DEF)
=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)
=P(D)P(E)P(F)+P(D)P(E)P(F)+P(D)P(E)P(F)
=a×a×(1- 1
2)+a×(1-a)×1
2+(1-a)×a×1
2=1
4 ，
整理得(1-a)2=1
2 ，他三道题都答错为事件D E F ，
故P(D E F)=P(D)P(E)P(F)
=(1-a)2(1- 1
2)=1
2(1-a)2=1
4 .]
微拓展
典例 ACD [A 选项，第一次传球后到乙或丙手里，故P1=0，
第二次传球，球有1
2的概率回到甲手里，故P2=1
2 ，A 正确；
C 选项，Pn-1为传球(n-1)次后球仍回到甲手里的概率，要想传球n 次后球仍回到甲手里，则第(n-1)次传球后
球不在甲手里，在乙或丙手里，且下一次传球有1
2的概率回到甲手里，故Pn=1
2(1-Pn-1)，C 正确；
D 选项，由C 选项知
Pn=1
2(1-Pn-1)，
即Pn=-1
2Pn-1+1
2 ，
设Pn+λ=-1
2(Pn-1+λ)，
故Pn=-1
2Pn-1-3
2λ，
所以-3
2λ=1
2 ，解得λ=-1
3 ，
故Pn-1
3=-1
2(Pn-1- 1
3)，
又P1-1
3=-1
3≠0，
所以{Pn- 1
3}是首项为-1
3 ，公比为-1
2的等比数列，
故Pn-1
3=-1
3(- 1
2)
n-1
，
故Pn=1
3-1
3(- 1
2)
n-1
，D 正确；
B 选项，由D 选项可知P4=1
3-1
3 ×(- 1
2)
3
=3
8 ，B 错误.]
跟踪训练1 C [设甲中靶为事件A，乙中靶为事件B，P(A)=0.6，P(B)=0.7，
则两人都中靶的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42，
两人都不中靶的概率为P(A B)=[1-P(A)][1-P(B)]=0.4×0.3=0.12，
恰有一人中靶的概率为P(AB∪AB)=[1-P(A)]P(B)+P(A)[1-P(B)]=0.4×0.7+0.6×0.3=0.46，
至少有一人中靶的概率为1-P(A B)=0.88.]
例3 D [已知事件A 为“甲同学不跑第一棒”，事件B 为“乙同学跑第二棒”，
则P(A)=
C3
1 A3
3
A4
4 =3
4 ，
P(AB)=C2
1 A2
2
A4
4 =1
6 ，
所以P(B|A)= P( AB)
P( A ) =
1
6
3
4
=2
9.]
例4 ABD [P(A|B)= P( AB)
P(B) ，P(B|A)= P( AB)
P( A) ，而P(A)与P(B)不一定相等，故A 不正确；
当B，C 为互斥事件时，等式成立，故B 不正确；
由概率的乘法公式知C 正确；
P(B|A)P(A)=P(AB)≤P(A)+P(B)，故D 不正确.]
跟踪训练2 (1)D [P(A)=3
5 ，P(AB)=3×2
5×4 = 3
10 ，所以P(B|A)= P( AB)
P( A) =
3
10
3
5
=1
2.]
(2)ACD [由题得P(B)=
C3
1
C8
1=3
8 ，C 选项正确；
根据条件概率得P(C|B)=n(BC )
n(B) =
C3
1C2
2
C3
1C7
2= 1
21 ，A 选项正确；
P(D|A)=n( DA)
n( A) =C5
1C4
1C3
1
C5
1C7
2 =4
7 ，
B 选项错误；
P(BC)=P(B)P(C|B)=3
8 × 1
21= 1
56 ，D 选项正确.]
例5 (1)B [设事件B1表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件B2表示“被保险人是‘一般的’”，事件B3
表示“被保险人是‘冒失的’”，则P(B1)=20%，P(B2)=50%，P(B3)=30%.设事件A 表示“被保险人在一年
内发生事故”，则P(A|B1)=0.05，P(A|B2)=0.15，P(A|B3)=0.30.由全概率公式，得P(A)=
3
∑
i=1
P(Bi)P(A|
Bi)=20%×0.05+50%×0.15+30%×0.30=0.175.]
(2)0.8
解析 设事件A 表示“射击时中靶”，事件B1表示“使用的枪校正过”，事件B2表示“使用的枪未校
正”，
则P(A|B1)=0.9，P(B1)=0.6，
P(A|B2)=0.4，P(B2)=0.4，
根据全概率公式得
P(A)=P(AB1)+P(AB2)
=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)
=0.9×0.6+0.4×0.4=0.7，
所以P(A)=1-P(A)=0.3，
所以P(B2|A)= P( A B2)
P( A)
= P( A |B2)P(B2)
P( A)
=(1-0.4)×0.4
0.3
=0.8.
跟踪训练3 ACD [由题干可知P(A2|A1)=0.3，P(A2|B1)=0.6，A 正确，B 错误；
P(A1)=0.3，P(B1)=0.7，
P(B2|A1)=0.7，P(B2|B1)=0.4，所以P(A2)=P(A1A2)+P(B1A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|
B1)=0.3×0.3+0.7×0.6=0.51，P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.3×0.7+0.7×0.4=0.49，
C，D 正确.]
