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专题03 导数及应用（选填题）
考点
五年考情（2020-2024）
命题趋势
考点1 利用导
数求函数单调
性，极值最值
2024 全国甲卷 Ⅰ卷
2023 Ⅱ卷 乙 甲
2022 甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 乙卷
2021 甲卷 Ⅰ卷
2020 Ⅰ卷 Ⅲ卷
构造函数利用导数求函数单调性
从而进行比较大小，利用导数求
函数的极值点以及最值问题收高
考必考题型
考点2 构造函
数利用导数求
单调性比较大
小
2023 甲卷
2022 甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷
2021 乙卷 Ⅱ卷
2020 ⅠⅡⅢ卷
考点3 导数综
合应用
2021 上海卷 Ⅱ卷
2022 天津卷 2023 天津卷
2021 Ⅰ卷 北京卷
零点含参问题的讨论是导数综合
题型的重难点
考点01 利用导数求函数单调性，极值最值
一、单选题
1．（2024·全国·高考甲卷）设函数
，则曲线
在点
处的切线与两坐标轴所围
成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
1
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2．（2023 年全国新高考Ⅱ卷）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值为（ ）．
A．
B．e
C．
D．
3．（2023 年全国高考乙卷数学（文）试题）函数
存在3 个零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 年全国高考甲卷数学（文）试题）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022 年全国高考甲卷数学（文）试题）当
时，函数
取得最大值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
6．（2021 年全国高考甲卷数学（文）试题）设
，若
为函数
的极大值点，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2021 年全国新高考Ⅰ卷）若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2020 年全国高考Ⅰ卷）函数
的图像在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2020 年全国高考Ⅲ卷）若直线l 与曲线y=
和x2+y2=
都相切，则l 的方程为（ ）
A．y=2x+1
B．y=2x+
C．y=
x+1
D．y=
x+
10．（2019 年全国高考Ⅲ卷）已知曲线
在点
处的切线方程为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二 多选题
11 （2024·全国·高考Ⅰ卷）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
2
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C．当
时，
D．当
时，
三 填空题
12．（2024·全国·高考Ⅰ卷）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
.
13．（2023·全国乙卷）设
，若函数
在
上单调递增，则a 的取值范围是
______.
14．（2022 全国乙卷）已知
和
分别是函数
（
且
）的极小值点和极大
值点．若
，则a 的取值范围是____________．
15．（2022 年全国新高考Ⅰ卷）若曲线
有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
________________．
16．（2021·全国甲卷）曲线
在点
处的切线方程为__________．
17．（2021 年全国新高考Ⅰ卷）函数
的最小值为______.
三、双空题
18．（2022 年全国高考Ⅱ卷）曲线
过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
考点02 构造函数利用导数求单调性比较大小
一、单选题
1．（2023 年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数
．记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022 年全国高考甲卷数学（文）试题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2021 年全国高考Ⅱ卷数学试题）已知
，
，
，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2020 年全国高考Ⅲ卷数学试题）设
，
，
，则（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
6（2022·全国甲卷）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2021·全国乙卷）设
，
，
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2020 年全国新高考Ⅰ卷）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2020 年全国高考Ⅱ卷）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2020 年全国高考Ⅲ卷）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<a<b
考点03 导数综合应用
一、单选题
1．（2024·上海·高考真题）已知函数
的定义域为R，定义集合
，在使得
的所有
中，下列成立的是（ ）
A．存在
是偶函数
B．存在
在
处取最大值
C．存在
是严格增函数
D．存在
在
处取到极小值
二、多选题
2．（2024·全国·高考Ⅱ卷）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
三 填空题
3．（2022·天津·统考高考真题）设
，对任意实数x，记
．若
至
少有3 个零点，则实数
的取值范围为______.
4．（2021 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）函数
的最小值为______.
5．（2023·天津·统考高考真题）若函数
有且仅有两个零点，则
的取值范围为
4
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_________．
6．（2021·北京·统考高考真题）已知函数
，给出下列四个结论：
①若
，
恰 有2 个零点；
②存在负数
，使得
恰有1 个零点；
③存在负数
，使得
恰有3 个零点；
④存在正数
，使得
恰有3 个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
5
