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八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共16 小题，1-10 每小题3 分，11-16 每小题3 分，共42 分，在
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，三角形的个数有（ ）
A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个
2．计算x3÷x 的结果是（ ）
A．3B．2x
C．x3
D．x2
3．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
4．如果一个三角形的两边长分别为6 和4，则第三边长可能是（ ）
A．1B．2C．3D．10
5．计算（ab2）
3的结果是（ ）
A．ab5 B．ab6 C．a3b5 D．a3b6
6．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形
B．面积相等的三角形
C．直角三角形D．周长相等的三角形
7．下列式子是因式分解的是（ ）
A．x（x
1
﹣）=x2
1
﹣B．x2
x=x
﹣
（x+1）C．x2+x=x（x+1）D．x2
x=x
﹣
（x+1）（x
1
﹣）
8．已知图中的两个三角形全等，则∠α 的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
9．x2
y
﹣2=20，且x+y=
5
﹣，则x
y
﹣的值为（ ）
A．5B．4C．﹣4 D．±4
10．下列各式中与（a
1
﹣）
2相等的是（ ）
A．a2
1
﹣B．a2+2a+1 C．a2
2a
1
﹣
﹣
D．（1
a
﹣）
2
11．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识
画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是
（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
12．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间
一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2
ab
■
+9b2，则中间一项的系数是（ ）
A．12
B．﹣12 C．12 或﹣12
D．36
13．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于E，则下列结论中正
确的是（ ）
A．BD+ED=AC
B．BD+ED=AD
C．DE 平分∠ADB
D．ED+AC＞AD
14．把a3
ab
﹣
2进行因式分解，结果正确的是（ ）
A．（a+ab）（a
ab
﹣
）B．a（a2
b
﹣
2）C．a（a
b
﹣）
2 D．a（a
b
﹣）（a+b）
15．分解因式后结果是﹣3（x
y
﹣）
2的多项式是（ ）
A．﹣3x2+6xy
3y
﹣
2
B．3x2
6xy
y
﹣
﹣2 C．3x2
6xy
﹣
+3y2 D．﹣3x2
6xy
3y
﹣
﹣
2
16．如图，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP，使之与△ABC 全等，从P1，P2，P3，P4
四个点中找出符合条件的点P，则点P 有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
二、填空题：本大题共3 小题，共10 分，17、18 小题各3 分，19 题每空2 分，把答
案写在题中横线上．
17．因式分解：2x2
18=
﹣
．
18．我们约定：a
b=10
★
a×10b，例如3
4=10
★
3×104=107，则3
17
★
的值为 ．
19．如图，∠BOC=9°，点A 在OB 上，且OA=1，按下列要求画图：
以A 为圆心，1 为半径向右画弧交OC 于点A1，得第1 条线段AA1；
此时，OA=AA1，∠OA1A=∠O=9°；
再以A1为圆心，1 为半径向右画弧交OB 于点A2，得第2 条线段A1A2；
再以A2为圆心，1 为半径向右画弧交OC 于点A3，得第3 条线段A2A3；…
则∠A3A1A2的度数为 ；
这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=
．
三、解答题：本大题共7 小题，共68 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
20．如图，点B，F，C，E 在直线l 上（F，C 之间不能直接测量），点A，D 在l 异侧，测
得AB=DE，AC=DF，BF=EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．
21．化简：
（1）x（x
1
﹣）+2x（x+1）﹣3x（2x
5
﹣）；
（2）（1
4y
﹣
）（1+4y）+（1+4y）
2；
计算：
（3）992；
（4）998×1002．
22．在△ABC 中，点D 是BC 上一点，F 是BA 延长线一点，DF 交AC 于E，∠B=42°，
∠C=59°，∠DEC=47°．求∠F．
23．（1）若a
b=5
﹣
，ab=3，求a2+b2的值；
（2）已知：a=96，b=92，求a2
2ab
﹣
+b2
5a
﹣
+5b
6
﹣的值．
24．观察思考：
如图，是一个平分角的仪器，其中，AB=AD，BC=DC，将点A 放在角的顶点，AB、AD
沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，则AE 就是这个角的平分线．
这个仪器的原理是 ．
实际应用：
根据这个道理我们可以作出一个已知角的平分线．
已知：∠AOB
求作：∠AOB 的平分线
作法：（1）
（2）
（3）
探索发现：
作出∠AOB 的平分线OC 以后，在OC 上任意取一点，我们发现了角的平分线有以
下性质：角的平分线上的点 ．
25．已知n 边形的内角和θ=（n
2
﹣）×180°．
（1）甲同学说，θ 能取720°；而乙同学说，θ 也能取820°，甲、乙的说法对吗？若对，
求出边数n，若不对，说明理由；
（2）若n 边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
26．（1）如图1，在正方形ABCD 中，E、F 分别是BC、CD 上的点，且∠EAF=45°，试判
断BE、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ．
（2）如图2：在四边形ABCD 中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．点E、F 分别
是BC、CD 上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE、EF、FD 之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点C，使DG=BE，连结AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．
请你帮小王同学写出完整的证明过程．
八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共16 小题，1-10 每小题3 分，11-16 每小题3 分，共42 分，在
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，三角形的个数有（ ）
A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个
【考点】三角形．
【分析】根据三角形的定义，在图上标注字母后，分别表示即可．
【解答】解：△ACB，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，共6 个，
故选：D．
2．计算x3÷x 的结果是（ ）
A．3B．2x
C．x3
D．x2
【考点】同底数幂的除法．
【分析】结合同底数幂的除法的概念和运算法则进行求解即可．
【解答】解：x3÷x
=x3
1
﹣
=x2．
故选D．
3．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
【考点】多边形内角与外角．
【分析】利用n 边形的内角和可以表示成（n
2
﹣）•180°，结合方程即可求出答案．
【解答】解：根据多边形的内角和可得：（n
2
﹣）180°=540°，
解得：n=5，则这个多边形是五边形．
故选B．
4．如果一个三角形的两边长分别为6 和4，则第三边长可能是（ ）
A．1B．2C．3D．10
【考点】三角形三边关系．
【分析】已知三角形的两边长分别为6 和4，根据在三角形中任意两边之和＞第三
边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．
【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得6
4
﹣＜x＜4+6，即2＜x
＜10．
因此，本题的第三边应满足2＜x＜10，把各项代入不等式符合的即为答案．
2，1，10 都不符合不等式2＜x＜10，只有3 符合不等式．
故选C．
5．计算（ab2）
3的结果是（ ）
A．ab5 B．ab6 C．a3b5 D．a3b6
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可．
【解答】解：（ab2）
3=a3•（b2）
3=a3b6．
故选D．
6．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形
B．面积相等的三角形
C．直角三角形D．周长相等的三角形
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中
线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．
【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：B．
7．下列式子是因式分解的是（ ）
A．x（x
1
﹣）=x2
1
﹣B．x2
x=x
﹣
（x+1）C．x2+x=x（x+1）D．x2
x=x
﹣
（x+1）（x
1
﹣）
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据因式分解的定义：就是把整式变形成整式的积的形式，即可作出判断．
【解答】解：A、x（x
1
﹣）=x2
1
﹣是整式的乘法，故不是分解因式，故A 错误；
B、x2
x=x
﹣
（x+1）左边的式子≠右边的式子，故B 错误；
C、x2+x=x（x+1）是整式积的形式，故是分解因式，故C 正确；
D、x2
x=x
﹣
（x+1）（x
1
﹣），左边的式子≠右边的式子，故D 错误；
故选C．
8．已知图中的两个三角形全等，则∠α 的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
【考点】全等图形．
【分析】要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即
可得答案．
【解答】解：∵图中的两个三角形全等
a 与a，c 与c 分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角
∴∠α=50°
故选：D．
9．x2
y
﹣2=20，且x+y=
5
﹣，则x
y
﹣的值为（ ）
A．5B．4C．﹣4 D．±4
【考点】平方差公式．
【分析】根据平方差公式x2
y
﹣2=（x+y）（x
y
﹣）进行计算即可．
【解答】解：∵x2
y
﹣2=（x+y）（x
y
﹣），
∴x2
y
﹣2=（x+y）（x
y
﹣）=20，
∵x+y=
5
﹣，
∴x
y=
4
﹣
﹣，
故选C．
10．下列各式中与（a
1
﹣）
2相等的是（ ）
A．a2
1
﹣B．a2+2a+1 C．a2
2a
1
﹣
﹣
D．（1
a
﹣）
2
【考点】完全平方公式．
【分析】利用完全平方公式判断即可．
【解答】解：列各式中与（a
1
﹣）
2相等的是（1
a
﹣）
2，
故选D
11．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识
画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是
（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边
角”画出．
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角
边角”定理作出完全一样的三角形．
故选D．
12．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间
一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2
ab
■
+9b2，则中间一项的系数是（ ）
A．12
B．﹣12 C．12 或﹣12
D．36
【考点】完全平方公式．
【分析】运用完全平方公式求出（2a±3b）
2对照求解即可．
【解答】解：由（2a±3b）
2=4a2±12ab+9b2，
∴染黑的部分为±12．
故选：C．
13．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于E，则下列结论中正
确的是（ ）
A．BD+ED=AC
B．BD+ED=AD
C．DE 平分∠ADB
D．ED+AC＞AD
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【分析】根据角平分线的性质定理，可知DE=DC，在△ADC 中利用三边关系定理，
即可判断．
【解答】解：∵AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于E，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∴在△ADC 中，有AC+CD＞AD，即DE+AC＞AD，
故选D．
14．把a3
ab
﹣
2进行因式分解，结果正确的是（ ）
A．（a+ab）（a
ab
﹣
）B．a（a2
b
﹣
2）C．a（a
b
﹣）
2 D．a（a
b
﹣）（a+b）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：a3
ab
﹣
2
=a（a2
b
﹣
2）
=a（a+b）（a
b
﹣）．
故选：D．
15．分解因式后结果是﹣3（x
y
﹣）
2的多项式是（ ）
A．﹣3x2+6xy
3y
﹣
2
B．3x2
6xy
y
﹣
﹣2 C．3x2
6xy
﹣
+3y2 D．﹣3x2
6xy
3y
﹣
﹣
2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】将结果是﹣3（x
y
﹣）
2的多项式展开即可求解．
【解答】解：﹣3（x
y
﹣）
2
=
3
﹣（x2
2xy
﹣
+y2）
=
3x
﹣
2+6xy
3y
﹣
2．
故选：A．
16．如图，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP，使之与△ABC 全等，从P1，P2，P3，P4
四个点中找出符合条件的点P，则点P 有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定得出点P 的位置即可．
【解答】解：要使△ABP 与△ABC 全等，点P 到AB 的距离应该等于点C 到AB 的距
离，即3 个单位长度，故点P 的位置可以是P1，P3，P4三个，
故选C
二、填空题：本大题共3 小题，共10 分，17、18 小题各3 分，19 题每空2 分，把答
案写在题中横线上．
17．因式分解：2x2
18=
﹣
2 （
x + 3 ）（
x
3
﹣
）
．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】提公因式2，再运用平方差公式因式分解．
【解答】解：2x2
18=2
﹣
（x2
9
﹣）=2（x+3）（x
3
﹣），
故答案为：2（x+3）（x
3
﹣）．
18．我们约定：a
b=10
★
a×10b，例如3
4=10
★
3×104=107，则3
17
★
的值为
10
20
．
【考点】有理数的混合运算．
【分析】原式利用已知的新定义计算即可得到结果．
【解答】解：根据题中的新定义得：原式=103×1017=1020，
故答案为：1020
19．如图，∠BOC=9°，点A 在OB 上，且OA=1，按下列要求画图：
以A 为圆心，1 为半径向右画弧交OC 于点A1，得第1 条线段AA1；
此时，OA=AA1，∠OA1A=∠O=9°；
再以A1为圆心，1 为半径向右画弧交OB 于点A2，得第2 条线段A1A2；
再以A2为圆心，1 为半径向右画弧交OC 于点A3，得第3 条线段A2A3；…
则∠A3A1A2的度数为
27°
；
这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=
9
．
【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AA2的度数，
∠A3A1A2的度数，∠A3A2A4的度数，∠A4A3C 的度数，…，依此得到规律，再根据三
角形外角小于90°即可求解．
【解答】解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，
则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…，
∵∠BOC=9°，
∴∠A1AA2=18°，∠A3A1A2=27°，∠A3A2A4=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
∵n 为整数，故n=9．
故答案为：27°，9．
三、解答题：本大题共7 小题，共68 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
20．如图，点B，F，C，E 在直线l 上（F，C 之间不能直接测量），点A，D 在l 异侧，测
得AB=DE，AC=DF，BF=EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）先证明BC=EF，再根据SSS 即可证明．
（2）结论AB∥DE，AC∥DF，根据全等三角形的性质即可证明．
【解答】（1）证明：∵BF=CE，
∴BF+FC=FC+CE，即BC=EF，
在△ABC 和△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
（2）结论：AB∥DE，AC∥DF．
理由：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，
∴AB∥DE，AC∥DF．
21．化简：
（1）x（x
1
﹣）+2x（x+1）﹣3x（2x
5
﹣）；
（2）（1
4y
﹣
）（1+4y）+（1+4y）
2；
计算：
（3）992；
（4）998×1002．
【考点】整式的混合运算．
【分析】结合整式混合运算的运算法则进行求解即可．
【解答】解：（1）原式=x2
x
﹣+2x2+2x
6x
﹣
2+15x
=
3x
﹣
2+16x．
（2）原式=1
16y
﹣
2+1+16y2+8y
=2+8y．
（3）原式=2
=1002+1
200
﹣
=9801．
（4）原式=
=10002
4
﹣
=999996．
22．在△ABC 中，点D 是BC 上一点，F 是BA 延长线一点，DF 交AC 于E，∠B=42°，
∠C=59°，∠DEC=47°．求∠F．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】先利用外角定理求∠FAC=∠B+∠C=101° ，由对顶角相等得：
∠AEF=∠DEC=47°，最后利用三角形的内角和定理求∠F 的度数．
【解答】解：∵∠B=42°，∠C=59°，
∴∠FAC=∠B+∠C=42°+59°=101°，
∵∠AEF=∠DEC=47°，
∴∠F=180°﹣∠FAC﹣∠AEF=180°
101°
47°=32°
﹣
﹣
．
23．（1）若a
b=5
﹣
，ab=3，求a2+b2的值；
（2）已知：a=96，b=92，求a2
2ab
﹣
+b2
5a
﹣
+5b
6
﹣的值．
【考点】整式的加减—化简求值；完全平方公式．
【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值；
（2）原式变形后，将a 与b 的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵a
b=5
﹣
，ab=3，
∴原式=（a
b
﹣）
2+2ab=25+6=31；
（2）∵a=96，b=92，∴a
b=4
﹣
，
则原式=（a
b
﹣）
2
5
﹣（a
b
﹣）﹣6=16
20
6=
10
﹣
﹣
﹣
．
24．观察思考：
如图，是一个平分角的仪器，其中，AB=AD，BC=DC，将点A 放在角的顶点，AB、AD
沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，则AE 就是这个角的平分线．
这个仪器的原理是 全等三角形的对应角相等 ．
实际应用：
根据这个道理我们可以作出一个已知角的平分线．
已知：∠AOB
求作：∠AOB 的平分线
作法：（1）
（2）
（3）
探索发现：
作出∠AOB 的平分线OC 以后，在OC 上任意取一点，我们发现了角的平分线有以
下性质：角的平分线上的点 到角的两边的距离相等 ．
【考点】角平分线的性质；作图—基本作图．
【分析】根据题目所给条件可利用SSS 定理判定△ADC≌△ABC，进而得到
∠DAC=∠BAC；再根据角平分线的作法和性质即可求解．
【解答】解：在△ADC 和△ABC 中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC，
∴AC 就是∠DAB 的平分线．
故答案为：全等三角形的对应角相等．
作法：（1）在边OA，OB 上分别取OM=ON；
（2）移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N 重合．
（3）过角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．
角的平分线有以下性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
故答案为：到角的两边的距离相等．
25．已知n 边形的内角和θ=（n
2
﹣）×180°．
（1）甲同学说，θ 能取720°；而乙同学说，θ 也能取820°，甲、乙的说法对吗？若对，
求出边数n，若不对，说明理由；
（2）若n 边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】（1）根据多边形内角和公式，列出方程求得θ 的值，判断是否为整数即可；
（2）根据题意，列出方程（n
2
﹣）×180°+360°=（n+x
2
﹣）×180°，求得x 的值即可．
【解答】解：（1）甲对，乙不对．
理由：∵当θ 取720°时，720°=（n
2
﹣）×180°，
解得θ=6；
当θ 取820°时，820°=（n
2
﹣）×180°，
解得θ=
；
∵n 为整数，
∴θ 不能取820°；
（2）依题意得，
（n
2
﹣）×180°+360°=（n+x
2
﹣）×180°，
解得x=2．
26．（1）如图1，在正方形ABCD 中，E、F 分别是BC、CD 上的点，且∠EAF=45°，试判
断BE、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：
EF=BE
+ DF
．
（2）如图2：在四边形ABCD 中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．点E、F 分别
是BC、CD 上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE、EF、FD 之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点C，使DG=BE，连结AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是
EF=BE
+ DF
．
请你帮小王同学写出完整的证明过程．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定．
【分析】（1）如图（1）中，把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADE′，只要证明
△AFE≌△AFE′即可解决问题．
（2）如图（2）中，将△ABE 绕点A 旋转到△ADG 位置连接GF．只要证明
△FAE≌△FAG 得EF=FG，理由等量代换和图形中相关线段的和差关系证得
EF=BE+DF．
【解答】解：（1）结论：EF=BE+DF．理由如下：
如图（1）中，在正方形ABCD 中，∵AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，
把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADE′，
∵∠ADF=∠ADE′=90°，
∴点F、D、E′共线，
∴∠E′AF=90°
45°=45°=
﹣
∠EAF，
在△AFE 和△AFE′中，
，
∴△AFE≌△AFE′（SAS），
∴EF=FE′=DE′+DF=BE+DF．
（2）结论：EF=BE+DF 成立．理由如下：
如图（2）中，因为AB=AD，所以可以将△ABE 绕点A 旋转到△ADG 位置，
∵∠B+∠ADF=180°，∠B=∠GDA，
∴∠GDA+∠ADF=180°，
∴G、D、F 共线，
∵∠BAE+∠DAF=∠EAF=60°，∠GAD=∠BAE，
∴∠GAF=∠EAF，
在△FAE 和△FAE′中，
，
∴△FAE≌△FAG（SAS），
EF=FG=DG+DF=BE+DF．
