北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
11.4 抽样方法与总体分布的估计
一、选择题
1.(2021云南师大附中适应性考试,3)某单位有管理人员、业务人员、后勤人员共m人,其中业务人员有120
人,现采用分层抽样的方法从管理人员、业务人员、后勤人员中抽取部分职工了解他们的健康状况,若抽取
的管理人员有6人,且抽取的管理人员与业务人员的比为1∶4,抽取的后勤人员比业务人员少20人,则m的值
为( )
A.170 B.180 C.150 D.160
答案 A ∵抽取的管理人员有6人,且抽取的管理人员与业务人员的比为1∶4,抽取的后勤人员比业务人员
24
少20人,∴抽取的业务人员有4×6=24人,抽取的后勤人员有24-20=4人,根据分层抽样的特点可得 =
120
4+6+24
,故m=170,故选A.
m
2.(2021江西萍乡二模,6)2021年3月12日是全国第43个植树节,为提高大家爱劳动的意识,某中学组织开展
植树活动,并收集了高三年级1~11班植树量的数据(单位:棵),绘制了下面的折线图.根据折线图,下列结论不
正确的是( )
A.各班植树的棵数不是逐班增加的
B.4班植树的棵数低于11个班的平均值
C.各班植树棵数的中位数为6班对应的植树棵数
D.1至5班植树的棵数相对于6至11班,波动更小,变化比较平稳
答案 C 从题图可知,2班的植树量少于1班,8班的植树量少于7班,故A正确;
4班的植树棵数为10,11个班中只有2、3、8三个班的植树棵数少于10,且大于5棵,其余7个班的植树棵数
都超过10棵,且有6、7、9、10、11五个班的植树棵数都不少于15棵,将这五个班的植树棵数各取出5棵,
加到2、3、8班中去,这样除4班外,其余各班的植树棵数都超过了4班,所以4班植树的棵数低于11个班的
平均值,故B正确;北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
比6班植树棵数多的只有9、10、11三个班,其余七个班都比6班少,故6班所对应的植树棵数不是中位数,
故C是错误的;
1到5班的植树棵数的极差在10以内,6到11班的植树棵数的极差超过了15,另外从题图中明显看出,1至5
班植树的棵数相对于6至11班,波动更小,变化比较平稳,故D正确.故选C.
3.(2022届湘豫名校联盟11月联考,5)某校为了解学生体能素质,随机抽取了50名学生进行体能测试,并将这
50名学生成绩整理得如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图,下列结论中不正确的是( )
A.这50名学生中成绩在[80,100]内的人数占比为20%
B.这50名学生中成绩在[60,80)内的有26人
C.这50名学生成绩的中位数为70
D.这50名学生的平均成绩x=68.2(同一组中的数据用该组区间的中点值做代表)
答案 C 根据频率分布直方图,这50名学生中成绩在[80,100]内的频率为(0.012+0.008)×10=0.20,A正确;这
50名学生中成绩在[60,80)内的人数为(0.032+0.020)×10×50=26,B正确;(0.008+0.020)×10=0.28<0.5,
(0.008+0.020+0.032)×10=0.6>0.5,可得这50名学生成绩的中位数在(60,70)内,C错误;平均数x
=(45×0.008+55×0.020+65×0.032+75×0.020+85×0.012+95×0.008)×10=68.2,D正确.故选C.
4.(2021南宁摸底,5)一组数据的平均数为m,方差为n,将这组数据的每个数都乘a(a>0)得到一组新数据,则下
列说法正确的是( )
A.这组新数据的平均数为m
B.这组新数据的平均数为a+m
C.这组新数据的方差为an
D.这组新数据的标准差为a√n
x +x +…+x 1
答案 D 设原数据为x,x,…,x,共p个,则平均数m= 1 2 p ,方差n= [(x-m)2+(x-m)2+…+(x-
1 2 p p p 1 2 p
m)2],
ax +ax +…+ax a(x +x +…+x )
1 2 p 1 2 p
对于选项A、B,新数据的平均数为 = =am,故A、B错误;
p p北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1 1
对于选项C,新数据的方差为 [(ax-am)2+(ax-am)2+…+(ax-am)2]=a2× ×[(x-m)2+(x-m)2+…+(x-m)2]=a2n,
1 2 p 1 2 p
p p
故C错误;
对于选项D,新数据的标准差为 =a ,故D正确.故选D.
√a2n √n
5.(2022届华大新高考联盟11月质量测评,7)“幸福感指数”是指某个人主观地评价自己对目前生活状态的
满意程度的指标.常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意度越高.甲、乙两位同学分别随
机抽取10位本地市民,调查他们的幸福感指数,甲得到10位市民的幸福感指数分别为6,7,7,7,8,8,8,9,10,10,乙
得到10位市民的幸福感指数的平均数为8,方差为0.4,则这20位市民幸福感指数的方差为( )
A.0.4 B.0.8 C.1 D.2
答案 C 设乙得到的10位市民的幸福感指数分别为x,x,…,x ,甲得到的10位市民的幸福感指数分别为
1 2 10
20
x ,x ,…,x ,由题意可得x+x+…+x =8×10=80,x +x +…+x =80,所以这20位市民幸福感指数的和∑
11 12 20 1 2 10 11 12 20
i=1
1 20 160
x=x+x+…+x =160,平均数x= ∑x= =8,
i 1 2 20 20 i 20
i=1
由题意知,乙得到10位市民的幸福感指数的方差为
1
∑
10
(x-8)2=
1 (
∑
10 x2-10×82)
=0.4,又∑
10
x=80,所
10 i=1 i 10 i=1 i i=1 i
20
以x2+x2+…+x2 =644.由题意得x2 +x2 +…+x2 =656,所以∑x2=644+656=1 300,所以这20位市民的幸福
1 2 10 11 12 20 i
i=1
1 20 1 20 1
感指数的方差为 ∑(x-8)2= (∑x2-20x2)= ×(1 300-20×82)=1,故选C.
20 i 20 i 20
i=1 i=1
二、解答题
6.(2022届四川绵阳中学质量检测二,17)手机厂商推出一款6寸大屏手机,现对500名该手机使用者(200名女
性,300名男性)进行调查,对手机进行评分,评分的频数分布表如下:
区间 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
女性
20 40 80 50 10
用户
男性
45 75 90 60 30
用户
(1)完成频率分布直方图,计算女性用户评分的平均值,并比较女性用户和男性用户评分的波动大小(不计算
具体值,给出结论即可);北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
(2)把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”,能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关?
n(ad-bc)2
参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.10 0.050 0.010 0.001
0
k 2.706 3.841 6.635 10.828
0
20 40
解析 (1)对于女性用户,评分在[50,60)的频率为 =0.1,评分在[60,70)的频率为 =0.2,评分在[70,80)的
200 200
80 50 10
频率为 =0.4,评分在[80,90)的频率为 =0.25,评分在[90,100]的频率为 =0.05.对于男性用户,评分
200 200 200
45 75 90
在[50,60)的频率为 =0.15,评分在[60,70)的频率为 =0.25,评分在[70,80)的频率为 =0.3,评分在
300 300 300
60 30
[80,90)的频率为 =0.2,评分在[90,100]的频率为 =0.1,所以女性用户和男性用户的频率分布直方图分
300 300
别如图所示:北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
女性用户评分的平均值为55×0.1+65×0.2+75×0.4+85×0.25+95×0.05=74.5.由图可得女性用户评分的波动小,
男性用户评分的波动大.
(2)根据打分的频数分布表得列联表如下:
评分良 非评分良
合计
好用户 好用户
女 140 60 200
男 180 120 300
合计 320 180 500
500×(140×120-60×180)2
K2= ≈5.2>2.706,故有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关.
200×300×320×180
7.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,18)书籍是精神世界的入口,阅读让精神世界闪光,阅读逐渐成为许多人
的一种生活习惯,每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况,北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
通过随机抽样调查了100位年轻人,对这些人每天的阅读时间(单位:分钟)进行统计,得到样本的频率分布直
方图,如图所示.
(1)根据频率分布直方图,估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数x(单位:分钟,同一组数据用该组数据区
间的中点值表示);
(2)若年轻人每天阅读时间X近似地服从正态分布N(μ,100),其中μ近似为样本平均数x,求P(64<X≤94);
(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式,研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60),
[60,70),[80,90)的年轻人中抽取10人,再从中任选3人进行调查,求抽到每天阅读时间位于[80,90)的人数ξ的
分布列和数学期望.
参考数据:若X~N(μ,δ2),则①P(μ-δ<X≤μ+δ)≈0.682 7;②P(μ-2δ<X≤μ+2δ)≈0.954 5;③P(μ-3δ<X≤μ+3δ)≈0.997 3.
解析 (1)根据频率分布直方图得x=(55×0.010+65×0.020+75×0.045+85×0.020+95×0.005)×10=74.
(2)由题意知μ=74,δ=10,X~N(74,100),
0.682 7+0.954 5
所以P(64<X≤94)=P(μ-δ<X≤μ+2δ)≈ =0.818 6.
2
(3)由于每天阅读时间位于分组[50,60),[60,70)和[80,90)的频率之比为1∶2∶2,故抽取的10人中位于这三组的人
数分别为2,4,4,
C3
1
C2C1
1
C1C2
3
C3
随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)= 6 = ,P(ξ=1)= 6 4= ,P(ξ=2)= 6 4= ,P(ξ=3)= 4
C3 6 C3 2 C3 10 C3
10 10 10 10
1
= ,ξ的分布列为:
30
ξ 0 1 2 3
1 1 3 1
P
6 2 10 30
1 1 3 1 6
∴E(ξ)=0× +1× +2× +3× = .
6 2 10 30 5
8.(2022届北京一六一中学开学考试,18)已知表1和表2是某年部分日期天安门广场升旗时刻表.
表1:某年部分日期的天安门广场升旗时刻表
日期 升旗时刻 日期 升旗时刻
1月1日 7:36 7月9日 4:53
1月21日 7:31 7月27日 5:07
2月10日 7:14 8月14日 5:24
3月2日 6:47 9月2日 5:42北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
3月22日 6:16 9月20日 5:59
4月9日 5:46 10月8日 6:17
4月28日 5:19 10月26日 6:36
5月16日 4:59 11月13日 6:56
6月3日 4:47 12月1日 7:16
6月22日 4:46 12月20日 7:31
表2:某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表
升旗 升旗 升旗
日期 日期 日期
时刻 时刻 时刻
2月
7:23 2月11日 7:13 2月21日 6:59
1日
2月
7:22 2月13日 7:11 2月23日 6:57
3日
2月
7:20 2月15日 7:08 2月25日 6:55
5日
2月
7:17 2月17日 7:05 2月27日 6:52
7日
2月
7:15 2月19日 7:02 2月28日 6:49
9日
(1)从表1的日期中随机选出一天,试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率;
(2)甲,乙两人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗,且两人的选择相互独立.记X为这两个人中观看升
旗的时刻早于7:00的人数,求X的分布列和数学期望E(X);
(3)将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据( 31).记表2中所有升旗时刻
如7:31化为7
60
对应数据的方差为s2,表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为 ,判断s2与 的大小.(只需写出结论)
s2 s2
* *
解析 (1)记事件A为“从表1的日期中随机选出一天,这一天的升旗时刻早于7:00”,在表1的20个日期中,
15 3
有15个日期的升旗时刻早于7:00,所以P(A)= = .
20 4
(2)X的可能取值为0,1,2.
