40.一轮备考中计算向量数量积的六大方法
一．基本原理
1.定义法
平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量
与
，它们的夹角是
，则数量
a
b
叫
与
的数量积，记作
，即有
(
).
cos
a b
a
b
a b
cos
a b
a b
0
2.坐标法
设向量
为向量
的夹角.
1
1
2
2
,
,
,
,
a
x y
b
x
y
,a b
（1）数量积:
.
1
2
1
2
|
| cos
a b
a b
x x
y y
‖
（2）模:
.
2
2
1
1
|
|
a
a a
x
y
（3）夹角：
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
cos
|
|
x x
y y
a b
x
y
x
y
a b
‖
（4）两非零向量
的充要条件:
.
a
b
1
2
1
2
0
0
a b
x x
y y
3.基底法
4.投影法
向量
在
方向上的投影：设
为
、
的夹角，则
为
在
方向上的投影.
b
a
a
b
cos
b
b
a
投影也是一个数量，不是向量.当
为锐角时投影为正值；当
为钝角时投影为负值；当
为直角时投影为；当
时投影为
；当
时投影为
.
0
0
|
|
b
180
b
5.极化恒等式
人教版必修二第22 页练习3 设置了这样的问题：求证：
.若我
2
2
)
(
)
(
4
b
a
b
a
b
a
们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.
下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.
证明：由于
，
两式相减可得：
b
a
b
a
b
a
2
)
(
2
2
2
b
a
b
a
b
a
2
)
(
2
2
2
.
2
2
)
(
)
(
4
b
a
b
a
b
a
特别，在
中，设
，点
为
中点，再由三角形中线向量公式可
ABC
AC
b
AB
a
,
M
BC
得：
(极化恒等式).
2
2
4
1
BC
AM
AC
AB
6.与外心有关的数量积计算
结论：如图1，
，特别地，若点
在线段
|
|
|
|
|
|
cos
|
|
OB
OD
OB
AOB
OA
OB
OA
A
的中垂线上时，
.
OB
2|
|
2
1
OB
OB
OA
如图1 如图2
进一步，外心性质：如图2，
为
的外心，可以证明：
O
ABC
（1）.
；
，同理可得
等.
2|
|
2
1
AB
AB
AO
2|
|
2
1
AC
AC
AO
BC
BO
（2）.
，同理可得
等.
)
|
|
|
(|
4
1
2
2
AC
AB
AF
AO
BF
BO
（3）.
，同理可得
等.
)
|
|
|
(|
2
1
2
2
AB
AC
BC
AO
AC
BO
证明:
AO BC
AD BC
2
2
2
2
1
1
1
(
)(
)
.
2
2
2
AB
AC
AC
AB
AC
AB
n
m
二．典例分析
★1.定义法计算
例1．已知向量
，
满足
，
，
，则
（）
a
b
|
| 5
a
|
| 6
b
6
a b
cos
,
=
a a
b
A．
B．
C．
D．
31
35
19
35
17
35
19
35
解析：
，
，
，
.
5
a
6
b
6
a b
2
2
5
6
19
a
a
b
a
a b
，因此，
2
2
2
2
25
2 6
36
7
a
b
a
b
a
a b
b
.故选：D.
19
19
cos
,
5 7
35
a
a
b
a a
b
a
a
b
★2.基底法计算
例2．已知平面向量
满足
，
，其中
为不共线的单位向
,a b
2
4
a
1
2
R
b
e
e
1
2
,
e e
量，若对符合上述条件的任意向量
，恒有
，则
夹角的最小值是（ ）
,a b
2
4
a
b
1
2
,
e e
A．
B．
C．
D．
6
π
4
π
3
π
2
解析：因
，则
2
4
a
，
2
2
2
1
2
2
(
)
|
| cos
,
0
|
|
cos
,
4
8
2
2
a
b
a
b
b
b
a b
b
a b
依题意，
恒成立，而
，
为不共线的单位向量，即有
2
|
|
2
b
1
2
b
e
e
1
2
,
e e
，于是得
恒成
2
2
1
2
1
2 cos
,
e e
b
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2 cos
,
2 cos
,
0
2
2
e e
e e
立，则
，即有
，又
，解得
2
1
2
4cos
,
2
0
e e
1
2
2
2
cos
,
2
2
e e
1
2
0
,
π
e e
，所以
夹角的最小值是
.故选：B
1
2
π
3π
,
4
4
e e
1
2
,
e e
π
4
★3.坐标法计算数量积
例3．已知向量
，若
，则
（ ）
(3,4),
(1,0),
t
a
b
c
a
b
,
,
a c
b c
t
A．
B．
C．5
D．6
6
5
解析：
,
,即
,解得
,故选：C
3
,4
c
t
cos
,
cos
,
a c
b c
9
3
16
3
5
t
t
c
c
5
t
★4.投影法计算
例4.（2020 年新高考卷）已知P 是边长为2 的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB
的取值范用是（）
A.
B.
(
)
2,6
( 6,2)
C.
D.
( 2,4)
( 4,6)
解析：
的模为2，根据正六边形的特征，可以得到
在
方向上的投影的取值范围是
AB
AP
AB
，
( 1,3)
结合向量数量积的定义式，可知
等于
的模与
在
方向上的投影的乘积，
AP AB
AB
AP
AB
所以
的取值范围是
，故选：A.
AP AB
(
)
2,6
（方法2）坐标法
如图,取
为坐标原点,
所在直线为
轴建立平面直角坐标系,则
A
AB
x
,
.设
,则
,且
.
(0,0), (2,0),
(3
A
B
C
3),
( 1, 3)
F
( , )
P x y
( , ),
(2,0)
AP
x y
AB
1
3
x
所以
.答案:A
( , ) (2,0)
2
( 2,6)
AP AB
x y
x
★5.极化恒等式
例5．（2017 年2 卷）已知
是长为2 的等边三角形，
为平面
内一点，则
ABC
A
P
ABC
的最小值是（
）
(
)
PA
PB
PC
A.
B．
C．
D．
2
3
2
4
3
1
解析：（方法1.几何法）设点
为
中点，可得
，再设
中点为
M
BC
PM
PC
PB
2
AM
，这样用极化恒等式可知：
，在等边三角形
中，
N
2
2
2
1
2
AM
PN
PM
PA
ABC
，故
取最小值当且仅当
取最小，即
，
3
AM
PM
PA
2
3
2
2
PN
PM
PA
0
|
|
PN
故
.（公众号：凌晨讲数学）
2
3
)
(
min
PM
PA
（方法2.坐标法）以
中点为坐标原点，由于
，
，
．
BC
0
3
A
，
1
0
B ，
1
0
C
，
设
，
，
，
，
P x
y
，
3
PA
x
y
，
1
PB
x
y
，
1
PC
x
y
，
故
，则其最小值为
2
2
2
2 2
2
PA
PB
PC
x
y
y
2
2
3
3
2
2
4
x
y
3
3
2
4
2
，此时
，
．
0
x
3
2
y
★6.外接圆性质
例6．已知点
是
的外心，
，
，
，若
，则
O
ABC
A
6
AB
8
BC
2π
3
B
BO
xBA
yBC
（ ）
3
4
x
y
A．5
B．6
C．7
D．8
解析：如图，点O 在
、
上的射影是点
、
，它们分别为
、
的中点．
AB
AC
D
E
AB
AC
由数量积的几何意义，可得
，
2
1
18
2
BO BA
BA
BD
AB
．又
，
2
32
1
2
BC BO
BC
BE
BC
2π
3
B
所以
，又
，
1
cos
6 8
24
2
BA BC
BA
BC
B
BO
xBA
yBC
所以
，即
．
2
36
24
18
BO BA
xBA
yBC
BA
BA
C
x
y
BA
x
B
y
12
8
6
x
y
同理
，即
，解
2
24
64
32
BO BC
xBA
yBC
BC
C
y
x
B
BC
y
BA
x
3
8
4
x
y
得
．所以
．故选：C.
10
9
11
12
x
y
7
10
11
3
4
3
4
9
12
x
y
三.习题演练
1．已知向量
满足
，则
（ ）
,a b
|
| 1,|
|
3,|
2 | 3
a
b
a
b
a b
A．
B．
C．1
D．2
2
1
解析：∵
，又∵
2
2
2
|
2 |
|
|
4
4
a
b
a
a b
b
|
| 1,|
|
3,|
2 | 3,
a
b
a
b
∴9
，∴
故选：C.
1 4
4 3
13
4
a b
a b
1
a b
2．已知向量
，若
，则
（ ）
(3,4),
(1,0),
t
a
b
c
a
b
,
,
a c
b c
t
A．
B．
C．5
D．6
6
5
解析：
,
,即
,解得
,故选：C
3
,4
c
t
cos
,
cos
,
a c
b c
9
3
16
3
5
t
t
c
c
5
t
3．已知非零向量
满足
，且
，则
与
的夹角为
a b
，
2
a
b
=
b
a
b
（–
）
a
b
A．
B．
C．
D．
π
6
π
3
2π
3
5π
6
解析因为
，所以
=0，所以
，所以
=
(
)
a
b
b
2
(
)
a
b
b
a b
b
2
a b
b
cos
，所以
与
的夹角为
，故选B．
2
2
|
|
1
2
2 |
|
a b
b
b
a
b
a
b
3
4．已知向量
，
满足
，
，则
_________
a
b
3
a
b
2
a
b
a
b
b
解析：法一：因为
，即
，
2
a
b
a
b
2
2
2
a
b
a
b
则
，整理得
，又因为
，即
2
2
2
2
2
4
4
a
a b
b
a
a b
b
r
r r
r
r
r r
r
2
2
0
a
a b
3
a
b
，则
，所以
.
2
3
a
b
2
2
2
2
3
a
a b
b
b
r
r r
r
r
3
b
法二：设
，则
，
c
a
b
r
r
r
3,
2 ,2
2
c
a
b
c
b
a
b
c
b
r
r
r
r
r
r
r
r
r
由题意可得：
，则
，
2
2
2
2
c
b
c
b
r
r
r
r
2
2
2
2
4
4
4
4
c
c b
b
c
c b
b
r
r r
r
r
r r
r
整理得：
，即
.故答案为：
.
2
2
c
b
r
r
3
b
c
r
r
3
5．已知向量
，
，
，
________．
0
a
b
c
1
a
2
b
c
a b
b c
c a
解析：由已知可得
，
2
2
2
2
2
9
2
0
a
b
c
a
b
c
a b
b c
c a
a b
b c
c a
因此，
.故答案为：
.
9
2
a b
b c
c a
9
2
6．若向量
满足
，则
_________
,a b
3,
5,
1
a
a
b
a b
b
解析: ∵
∴
,∴
.故答案为：
.
5
a
b
2
2
2
2
2
9
2
25
a
b
a
b
a b
b
3 2
b
r
3 2
7.（2022 北京卷）在
中，
，
，
．
为
所在平面内的
ABC
3
AC
4
BC
90
C
P
ABC
动点，且
，则
的取值范围是
1
PC
PA PB
(
)
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
[ 5
3]
[ 3
5]
[ 6
4]
[ 4
6]
解析：取
中点
，由向量的加法知，
，
AB
M
AB
PM
PB
AB
PM
PA
2
1
,
2
1
从而
.所以求
的最值转化为求线段
中
4
25
4
1
2
2
2
PM
AB
PM
PB
PA
PB
PA
AB
点
到单位圆
上动点
的距离
的最值.在
中，
.
M
C
P
PM
ABC
Rt
2
5
CM
设直线
与单位圆
相交于
，
两点，当点
位于点
，
处时，
分别取
CM
C
'
P
''
P
P
'
P
''
P
PM
得最小值
和最大值
，从而
的取值范围是
.
2
3
2
7
PB
PA
6,4
8.（2017 年江苏卷）在直角坐标系
中，
，点P 在圆
xoy
)
6,0
(
),
0,
12
(
B
A
上，若
，则点P 的横坐标的取值范围是
50
:
2
2
y
x
O
20
PB
PA
解析：设
中点为
，则
，故可知满足题意的
AB
M
65
|
|
4
1
2
2
2
PM
AB
PM
PB
PA
动
点P 又在圆
上，联立两圆方程可得，P 的横坐标的取值范围为：
65
)3
(
)
6
(
2
2
y
x
.
]1,
2
5
[
9．在边长为2 的正六边形ABCDEF 中，动圆
的半径为1、圆心在线段CD（含端点）
Q
上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则
的取值范围是（ ）
AP AB
A．
.
B．
C．
D．
[2,8]
[4,8]
[2,10]
[4,10]
解析：由
，可得
为
与
在
方向上的投影之
cos
,
AP AB
AB
AP
AP AB
AP AB
AB
AP
AB
积.正六边形ABCDEF 中，以D 为圆心的圆
与DE 交于M，过M 作
于
，
Q
MM
AB
M
设以C 为圆心的圆
与
垂直的，切线与圆
切于点N 与
延长线交点为
，
Q
AB
Q
AB
N
则
在
方向上的投影最小值为
，最大值为
,又
，
AP
AB
AM
AN
1
AM
，则
，
，则
的取值
cos60
1
4
AN
AB
BC
2 4
8
AP AB
2 1
2
AP AB
AP AB
范围是
.故选A.
[2,8]
10．已知
是
的外心，
，
，则
（ ）
O
ABC
A
4
AB =
uuur
2
AC
AO
AB
AC
A．10
B．9
C．8
D．6
解析：如图，O 为
的外心，设
为
的中点，则
,
ABC
A
,
D E
,
AB AC
,
OD
AB OE
AC
故
AO
AB
AC
AO AB
AO AC
|
|
|
| cos
|
|
| co
|
s
AO
AB
AO
AC
OAD
OAE
,故选：A
|
|
|
|
|
|
|
|
AD
AB
AE
AC
2
2
2
2
1
1
1
|
|
4
1 |
|
2
2
2
2
2
10
AB
AC
注.关于极化恒等式的应用，我将其总结为在处理数量积范围问题时，若发现题干有“共起
点，定底边”的特征，我们就可尝试使用该恒等式，做法就是把中线连出即可，下面我将
再通过一个例题予以分析.
11.（2021 成都三诊）已知等边
的三个顶点均在圆
上，点
，
ABC
2
2
4
x
y
3, 6
P
则
的最小值为（）
PA PB
PA PC
A．
B．
C．
D．
14
10
8
2
解析：（法1.极化恒等式）根据题干特征，共起点的数量积范围问题，我们尝试往恒等式
方向走.记
中点为
，
中点为
.
BC
M
AM
N
由于
，而
.由于
为等边三
PM
PA
PC
PB
PA
2
)
(
)
4
1
(
2
2
2
2
AM
PN
PM
PA
ABC
角形，则
三点共线，且由于
是外心，也是重心，故
.
M
O
A
,
,
O
3
2
AM
OA
则
，显然，由
在圆外，且
共线（
中点为
min
min
|
|
)]
(
[
PN
PC
PB
PA
P
N
O,
AM
N
）
，
则
.综
上
所
述
，
2
5
|
|
|
|
|
|
min
ON
OP
PN
.
8
2
1
2
)]
(
[
2
2
min
min
AM
PN
PC
PB
PA
（法2.基底法）
(
)(
)
(
)(
)
PA PB
PA PC
PO
OA PO
OB
PO
OA PO
OC
2
2
(
)
(
)
PO
PO OA
OB
OA OB
PO
PO OA
OC
OA OC
，因为等边
的三个顶点均在圆
2
2
(
)
PO
PO OA
OB
OA
OC
OA OB
OA OC
ABC
A
上，因此
，
2
2
4
x
y
1
cos
2 2 (
)
2
2
OA OB
OA OB
AOB
，因为等边
的三个顶点均在圆
上，所以原点
是
2
2
( 3)
( 6)
3
OP
ABC
A
2
2
4
x
y
O
等边
的重心，因此
，所以有：
ABC
A
0
OA
OB
OC
18
2
2
14
14
cos
PA PB
PA PC
PO OA
OP OA
OP
OA
AOP
，当
时，即
同向时，
有最小值，最小
14
6cos
AOP
0
AOP
,
OP OA
PA PB
PA PC
值为
.
14
6
8
12．在边长为4 的菱形
中，
，
为
中点，
为平面
内一
ABCD
60
A
M
CD
N
ABCD
点，若
，
AB
NB
AM
AN
A．16
B．14
C．12
D．8
解析：由
可得：
，故
在
中垂线上，由投影
|
|
|
|
AN
AM
NB
AB
|
|
|
|
MN
AN
N
AM
的定义可得：
.
2
2
1
AM
AN
AM
再根据余弦定理可得：
，故可得选B.
7
2
120
cos
2
2
2
DM
AD
DM
AD
AM
13．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，A 是双曲线C 的左顶
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
1F
2
F
点，以
为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于P，Q 两点，且
，则
1
2
F F
2
4
AP AQ
a
双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
2
3
5
解析：方法一：依题意，易得以
为直径的圆的方程为
.
1
2
F F
2
2
2
x
y
c
又由双曲线
，易得双曲线C 的渐近线方程为
.
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
b
y
x
a
当
时，如图，设
，则
.联立
，解得
或
b
y
x
a
0
0
(
,
)
P x
y
0
0
,
Q
x
y
2
2
2
b
y
x
a
x
y
c
x
a
y
b
，所以
，
.又因为
，所以
轴.
x
a
y
b
( , )
P a b
(
,
)
Q
a
b
(
,0)
A
a
AQ
x
所以
，
.所以
，所以
.
(2 , )
AP
a b
(0,
)
AQ
b
2
2
4
AP AQ
b
a
2
b
a
因为
，所以
.同理，当
时，亦可得
.故双曲线C 的离心
2
2
2
a
b
c
2
2
5a
c
b
y
x
a
2
2
5a
c
率为
.故选：C.
5
c
e
a
方法二（极化恒等式）：易得坐标原点O 为线段PQ 的中点，且
，
|
| 2
PQ
c
所以
，所以
2
2
2
2
2
2
2
1
1
(
)
(
)
| 2
|
|
|
4
4
4
AP AQ
AP
AQ
AP
AQ
AO
QP
a
c
a
，所以
.故选：C.
2
2
5a
c
5
c
e
a
14．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，点O 是
的外心，
ABC
A
ABC
A
．
cos
3
|
|
|
|
AO AB
AO AC
a
C
AB
AC
（1）求角A；
（2）若
外接圆的周长为
，求
周长的取值范围，
ABC
A
4 3
ABC
A
解析：（1）过点O 作AB 的垂线，垂足为D，因为O 是
的外心，所以D 为AB 的
ABC
A
中点，所以
，同理
，所以
，
cos
2
|
|
AO AB
c
AO
OAD
AB
2
|
|
AO AC
b
AC
cos
3
2
2
c
b
a
C
由正弦定理边化角得：
sin
sin
sin
(cos
cos
sin
sin
)
3
3
2
C
B
A
C
C
所以
整理得：
sin
cos
3sin
sin
sin
sin
sin(
)
sin
A
C
A
C
B
C
A
C
C
因为
，所以
所以
，即
3sin
sin
cos
sin
sin
A
C
A
C
C
(0, )
C
sin
0
C
3sin
cos
1
A
A
又
，
所以
，得
1
sin(
)
6
2
A
(0, )
A
5
(
,
)
6
6
6
A
6
6
A
3
A
（2）记
外接圆的半径为R，因为
外接圆的周长为
，
ABC
A
ABC
A
4 3
所以
，得
所以
周长
2
4 3
R
2
4 3
R
ABC
A
由（1）知
，
3
2 (sin
sin
sin
)
4 3(
sin
sin
)
2
L
a
b
c
R
A
B
C
B
C
2
3
B
C
所以
因为
，所以
3
2
4 3[
sin(
)
sin
]
12sin(
)
6
2
3
6
L
C
C
C
2
(0,
)
3
C
5
(
,
)
6
6
6
C
所以
所以
，即
所以
周长的取值
1
si
1
n
6
(
2
)
C
12
12sin(
)
6
18
6
C
12
18
L
ABC
A
范围为
