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第 04 讲 随机事件、频率与概率 (分层精练）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25高二上·吉林·阶段练习）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游
戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游
戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、
乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（ ）
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
【答案】A
【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式
【分析】由独立事件概率乘法公式可得.
【详解】记甲、乙、丙投中分别即为事件 ，
由题知 ，
则3人中至少有2人投中的概率为：
.
故选：A.
2．（24-25高二上·浙江杭州·开学考试）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概
率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（
）
A．两人都中靶的概率为0.12 B．两人都不中靶的概率为0.42
C．恰有一人中靶的概率为0.46 D．至少一人中靶的概率为0.74
【答案】C
【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式
【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可.
【详解】设甲中靶为事件 ， 乙中靶为事件 ，
则两人都中靶的概率为 ，两人都不中靶的概率为 ，
恰有一人中靶的概率为 ，
至少一人中靶的概率为 .
故选：C
3．（24-25高三上·重庆·开学考试）某池塘中饲养了A､B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼
群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东､南､西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），
若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有（ ）
采样
品种A 品种B
点
东 20 9
南 7 3
西 17 8
A．6尾 B．10尾 C．13尾 D．17尾
【答案】C
【知识点】计算频率
【分析】根据鱼群在池塘里是均匀分布的，利用频率求解.
【详解】解：因为鱼群在池塘里是均匀分布的，
所以品种A约所占比为： ，
所以在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有 尾，
故选：C
4．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，
从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是（ ）
A．3件都是正品 B．至少有2件是次品
C．3件都是次品 D．至少有1件是正品
【答案】D
【知识点】判断事件是否是随机事件
【分析】根据必然事件的概念进行判断.
【详解】因为12件产品中，只有2件是次品，从中取3件，其中必定至少有1件是正品.
故选：D
5．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）事件A与B独立， 、 分别是A、B的对立事
件，则下列命题中成立的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式
【分析】根据独立事件的乘法公式与对立事件的定义，依次判断选项即可.
【详解】A：由题意知， ，故A错误；
B：由题意知， ，故B错误；
C：事件A与B独立， 、 分别是A、B的对立事件，
所以A与 独立，则 ，故C正确；
D：
，故D错误．
故选：C
6．（24-25高三上·上海·开学考试）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个
球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白
球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析
【分析】写出事件的全部基本事件，再根据互斥事件、对立事件的定义判断即可.
【详解】解：设事件 =｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝，
则 所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，
黑)}，
事件 =｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }；
事件 ｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}，
事件 ｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}，
事件 ｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝，
由互斥事件及对立事的定义可知事件 、事件 与 均是互斥而非对立的事件.
故选：B
7．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为 ，
且 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件
的概率加法公式
【分析】根据互斥事件，对立事件的概率关系即可计算求解.
【详解】由题可知， ，
又 ，所以 ，解得 ，
所以 .
故选：D.
8．（24-25高三上·上海·开学考试）已知事件 与事件 是互斥事件，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】事件的运算及其含义、判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概
率
【分析】举反例排除ABC，再结合互斥事件定义，事件运算，概率性质证明D.
【详解】若随机试验为抛掷一枚质地均匀的骰子，事件 ， ，
则事件 与事件 是互斥事件，
此时 ， ， ，
所以 ，A错误；
， ， ，B错误；
，C错误；
因为事件 与事件 是互斥事件，
所以 ，所以 为必然事件，
所以 ，D正确.
故选：D.
二、多选题
9．（23-24高二上·河南·阶段练习）现有8张卡片，有3张分别印有“一等奖”，“二等奖”，“三等奖”，其余5张印有“谢谢惠顾”．甲从中任选1张，设事件A表示“甲没
有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲获得二等奖”，事件D表示
“甲获得三等奖”，事件E表示“甲中奖”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A和事件E是对立事件 B．事件B和事件C是互斥事件
C． D．
【答案】ABC
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系、计算古典概型问题
的概率
【分析】用1,2.3分别表示印有“一等奖”，“二等奖”，“三等奖”的三张卡片；用
表示印有“谢谢惠顾”的五张卡片，写出样本空间 ，及事件
，根据对立事件的定义验证选项A；根据互斥事
件的定义验证选项B；根据并、交事件的定义写出事件 ， ，再
根据古典概型的概率公式检验选项C，D即可.
【详解】用1,2.3分别表示印有“一等奖”，“二等奖”，“三等奖”的三张卡片；用
表示印有“谢谢惠顾”的五张卡片，则样本空间为 ，
由题意知 ，
因为 ，所以事件A和事件E是对立事件，故选项A正确；
因为 ，所以事件B和事件C是互斥事件，故选项B正确；
因为 ，所以 ，故选项C正确；
因为 ，所以 ，所以 ，故选项D错误；
故选：ABC.
10．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知事件 ， 满足： ， ，则
（ ）.
A．若 ， 互斥，则
B．若 ， 互斥，则
C．若 ， 互相独立，则
D．若 ， 互相独立，则
【答案】AD
【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式
【分析】根据概率加法公式判断A，根据互斥事件定义判断B，根据独立事件概率乘法公式
判断D，根据概率加法公式判断C.【详解】当 ， 互斥时， ，
又 ， ，
所以 ，A正确；
当 ， 互斥时，事件 ， 不可能同时发生，
所以 ，B错误；
当 ， 互相独立，则 ，
又 ， ，
所以 ，D正确；
当 ， 互相独立时， ，C错误.
故选：AD.
三、填空题
11．（23-24高一下·宁夏固原·期末）体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投
篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概
率为 .
【答案】 /
【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法
公式
【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解.
【详解】记 “甲投中”， “乙投中”，
则 ,
所以甲、乙两人恰好有一人投中的概率为
.
故答案为：0.38.
12．（24-25高一下·全国·随堂练习）甲、乙两人各射击一次，命中的概率分别为0.8和
0.6，两人同时命中的概率为0.5，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为 ．
【答案】0.9/
【知识点】事件的运算及其含义
【分析】代入和事件概率公式，即可求解.
【详解】设甲射击命中的事件为 ，乙射击命中的事件为 ，
则 .故答案为：
四、解答题
13．（23-24高二上·河北保定·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算
工具，下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……，
上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等
于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字
15.现将算盘的个位，十位，百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件 “表示的三位
数能被3整除”， “表示的三位数能被5整除”.
(1)判断事件 ， 是否相互独立；
(2)求事件 ， 至少一个发生的概率.
【答案】(1)事件 ， 相互独立
(2)
【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的判断、利用对立事件的概率公式
求概率、计算古典概型问题的概率
【分析】（1）求出基本事件总数，分别求得 事件， 事件发生所包含的基本事件数，进
而计算可 ，可得结论；
（2）法一：根据 计算即可；法二：利用
对立事件的概率公式可求结论.
【详解】（1）由题意可得相应组成的三位数字分别为111、115、151、155、511、515、
551、555，基本事件总数为8个，
能被3整除的数有111，555共2个，故 事件包含的基本事件数为2，
能被5整除的数有115，155，515，555共4个，故 事件包含的基本事件数为4，
所以 包含的基本事件数为1.
， ， ，则 ，
事件 与事件 相互独立；
（2）法一： .
所以事件 ， 至少一个发生的概率为 .法二： .
所以事件 ， 至少一个发生的概率为 .
14．（23-24高一下·江苏南京·期末）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素
质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生
面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､
乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是 ，答对第二
题的概率分别是 .
(1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率；
(2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
(3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率
公式求概率
【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案；
（2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中
有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利
用对立事件求概率公式得到答案.
【详解】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是 ，答对第二题的概率
分别是 ，
甲考生通过某校强基招生面试的概率为 .
（2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为 ，
甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：
.（3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为 ，
甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：
.
B能力提升
15．（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综
合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基
招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有
甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是 ，答对第
二题的概率分别是 .
(1)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
(2)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.
【答案】(1) ；
(2) .
【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率
公式求概率
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算即得.
（2）由（1）中信息，利用相互独立事件及对立事件的概率公式计算即得.
【详解】（1）（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是 ，答对第二题
的概率分别是 ，
甲考生通过某校强基招生面试的概率为 ，
同理，乙考生通过某校强基招生面试的概率为 ，
所以甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：
.
（2）丙考生通过某校强基招生面试的概率为 ，
所以甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：.
16．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）在一个盒子中有2个白球，3个红球，甲、乙两
人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，每次取1个，取后不
放回，直到2个白球都被取出来后就停止取球．
(1)求2个白球都被乙取出的概率；
(2)求2个白球都被甲取出的概率；
(3)求将球全部取出才停止取球的概率
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、有放回与无放回问题的概率
【分析】（1）结合题意可得第一次甲取出红球，第二次乙取出白球，第三次甲取出红球，
第四次乙取出白球，计算其概率即可；
（2）分甲第一次和第三次取出白球，甲第三次和第五次取出白球，甲第一次和第五次取出
白球的情况及求其对应的概率，再求概率之和即可.
（3）分取出白球的情况及其对应概率，再求概率之和即可.
【详解】（1）若2个白球都被乙取出记为事件 ，即第一次甲取出红球，第二次乙取出白
球，第三次甲取出红球，第四次乙取出白球，结束取球，
则 ;
（2）若2个白球都被甲取出记为事件 ，三种情况：
①第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，结束取球，
其概率为 ；
②第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出红球，第四次乙取出红球，第五
次甲取白球，
其概率为 ；
③第一次甲取出红球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，第四次乙取出红球，第五
次甲取白球，
其概率为 ；
故 ．（3）若将球全部取出才停止取球记为事件 ，则最后一次即第5次取出的一定是白球．
四种情况：
①第1次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为 ；
②第2次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为 ；
③第3次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为 ；
④第4次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为 ；
故 ．
17．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科
学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，
象棋也继围棋､国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项
目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同
学进行单循环比赛.已知甲､乙､丙､丁4名同学所在小组的赛程如表：
第一轮 甲-乙 丙-丁
第二轮 甲-丙 乙-丁
第三轮 甲-丁 乙-丙
规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛
结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则
以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为 ，
假设甲､乙､丙3名同学水平相当，彼此间胜､负､平的概率均为 ，丁同学的水平较弱.面对
任意一名同学时自己胜､负､平的概率都分别为 .每场比赛结果相互独立.
(1)求丁同学的总分为5分的概率；
(2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙､丁2名同学是平局，求甲同学
能获得奖励的概率.【答案】(1)
(2)
【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式
【分析】（1）利用相互独立事件的乘法公式即可求解；
（2）利用相互独立事件的乘法公式及互斥事件的概率的加法公式即可求解.
【详解】（1）丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平，
记第 轮比赛丁同学胜、平的事件分别为 ， ，丁同学三轮比赛结果为一胜
两平的事件为M，则 ，
即丁同学的总分为5分的概率为 .
（2）由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，则在第二、三轮
比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜，故丁同学的总分为7分，且同丁同学比赛后，
甲、乙、丙三人分别获得0分，0分、1分，若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名.
① 若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如
何，甲同学的总分为6分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率 .
②若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙2名同学平局，第三轮比赛中乙、丙
2名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，
此时的概率 .
③若第一轮比赛中甲、乙2名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜，第三轮比赛中当乙、
丙2名同学平局时，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率
；
第三轮比赛中当乙，丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分
均为4分，需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖
励，
此时的概率 .
综上，甲同学能获得奖励的概率 .
