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浙江省2021 年中考（湖州市）
数学试题卷
卷 I
一、选择题（本题有10 小题，每小题3 分，共30 分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的
选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分．
1．实数﹣2 的绝对值是
A．﹣2 B．2 C．
D．
2．化简
的正确结果是
A．4 B．±4 C．
D．
3．不等式
的解集是
A．
B．
C．
D．
4．下列事件中，属于不可能事件的是
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天
D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
5．将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得
到的图形可能是
6．如图，已知点O 是△ABC 的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，则∠BOC 的度数是
A．60° B．70° C．80° D．90°
7．已知a，b 是两个连续整数，a＜
﹣1＜b，则a，b 分别是
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A．﹣2，﹣1 B．﹣1，0 C．0，1 D．1，2
8．如图，已知在△ABC 中，∠ABC＜90°，AB≠BC，BE 是AC 边上的中线，按下列步骤
作图：①分别以点B，C 为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径作弧，相交于点
M，N；②过点M，N 作直线MN，分别交BC，BE 于点D，O；③连结CO，DE．则下
列结论错误的是
A．OB＝OC B．∠BOD＝∠COD C．DE∥AB D．DB＝DE
9．如图，已知在矩形ABCD 中，AB＝1，BC＝
，点P 是AD 边上的一个动点，连结
BP，点C 关于直线BP 的对称点为C1，当点P 运动时，点C1也随之运动．若点P 从点
A 运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是
A．
B．
C．
D．
10．已知抛物线
(a≠0)与x 轴的交点为A(1，0)和B(3，0)，点P1(
，
)，
P2(
，
)是抛物线上不同于A，B 的两个点，记△P1AB 的面积为S1，△P2AB 的面
积为S2．有下列结论：①当
时，
；②当
时，
；③当
时，
；④当
时，
．其中正确结论的
个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
卷 II
二、填空题（本题有6 小题，每小题4 分，共24 分）
11．计算：
＝
．
12．如图，已知在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB 的值是
．
13．某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同．若以每1000 张奖券为一个
开奖单位，设5 个一等奖，15 个二等奖，不设其他奖项，则只抽1 张奖券恰好中奖的
概率是 ．
14．为庆祝中国共产党建党100 周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星
（A，B，C，D，E 是正五边形的五个顶点），则图中∠A 的度数是 度．
15．已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(3，4)，M 是抛物线
(a≠0)对称轴上的一个动点，小明经探究发现：当
的值确定时，抛物线的对称轴上
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能使△AOM 为直角三角形的点M 的个数也随之确定．若抛物线
(a≠0)
的对称轴上存在3 个不同的点M，使△AOM 为直角三角形，则
的值是 ．
16．由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事
如图，三姐妹为了平分一块边长为1 的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼
成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB 的长应是 ．
三、解答题（本题有8 小题，共66 分）
17．（本小题6 分）
计算：
．
18．（本小题6 分）
解分式方程：
．
19．（本小题6 分）
如图，已知经过原点的抛物线
与x 轴交于另一点A(2，0)．
（1）求m 的值和抛物线顶点M 的坐标；
（2）求直线AM 的解析式．
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20．（本小题8 分）
为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了：A．
党史宣讲；B．歌曲演唱；C．校刊编撰；D．诗歌创作等四个小组，团支部将各组人数情
况制成了如下统计图表（不完整）．
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）求a 和m 的值；
（2）求扇形统计图中D 所对应的圆心角度数；
（3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示：
小组类别
A
B
C
D
平均用时（小时）
2.5
3
2
3
求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间．
21．（本小题8 分）
如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠ACD 是
所对的圆周角，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB 的度数；
（2）过点D 作DE⊥AB，垂足为E，DE 的延长线交⊙O 于点F．若AB＝4，求DF 的
长．
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22．（本小题10 分）
今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为
4 万人，五月份为5.76 万人．
（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；
（2）若该景区仅有A，B 两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2 万、3 万和2 万．并且当
甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1 元，将有600 人原计划购买甲种门票
的游客和400 人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10
元，求景区六月份的门票总收人；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门
票总收入有最大值？最大值是多少万元？
23．（本小题10 分）
已知在△ACD 中，P 是CD 的中点，B 是AD 延长线上的一点，连结BC，AP．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP＝
，求BC 的长；
（2）过点D 作DE∥AC，交AP 延长线于点E，如图2 所示，若∠CAD＝60°，BD＝
AC，求证：BC＝2AP；
（3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC 时，BC＝2AP？若存
在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．
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24．（本小题12 分）
已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数
(x＞0)图象上的一个动点，连
结AO，AO 的延长线交反比例函数
(k＞0，x＜0)的图象于点B，过点A 作AE⊥y 轴
于点E．
（1）如图1，过点B 作BF⊥x 轴于点F，连结EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO
是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE 的面积．
（2）如图2，过点E 作EP∥AB，交反比例函数
(k＞0，x＜0)的图象于点P，连
结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A 在运动过程中，△POE 的面积是否会发生变化？
请说明理由．
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浙江省2021 年初中学业水平考试（湖州市）
数学试题卷
卷 I
一、选择题（本题有10 小题，每小题3 分，共30 分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的
选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分．
1．实数﹣2 的绝对值是
A．﹣2 B．2 C．
D．
【答案】B
【解析】
，故选B
2．化简
的正确结果是．
A．4 B．±4 C．
D．
【答案】C
【解析】
，故选C．
3．不等式
的解集是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，移项得
，解得
，故选A．
4．下列事件中，属于不可能事件的是
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天
D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
【答案】D
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【解析】从一个只装有白球和红球的袋中摸球，可能摸出白球或红球，不可能摸出黄球，
故选D．
5．将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得
到的图形可能是
【答案】A
【解析】本题考查长方体的展开图问题，属于基础题，选项A 符合题意．
6．如图，已知点O 是△ABC 的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，则∠BOC 的度数是
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】C
【解析】本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系，∠BOC＝2∠A＝80°，选C．
7．已知a，b 是两个连续整数，a＜
﹣1＜b，则a，b 分别是
A．﹣2，﹣1 B．﹣1，0 C．0，1 D．1，2
【答案】C
【解析】
，与0.7 相邻的连续整数是0 和1，选C．
8．如图，已知在△ABC 中，∠ABC＜90°，AB≠BC，BE 是AC 边上的中线，按下列步骤
作图：①分别以点B，C 为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径作弧，相交于点
M，N；②过点M，N 作直线MN，分别交BC，BE 于点D，O；③连结CO，DE．则下
列结论错误的是
A．OB＝OC B．∠BOD＝∠COD C．DE∥AB D．DB＝DE
【答案】D
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【解析】∵OD 垂直平分BC，所以OB＝OC，故A 正确；
根据三线合一可知OD 平分∠BOC，故B 正确；
易知DE 是三角形的中位线，所以有DE∥AB，故C 正确．综上，选D．
9．如图，已知在矩形ABCD 中，AB＝1，BC＝
，点P 是AD 边上的一个动点，连结
BP，点C 关于直线BP 的对称点为C1，当点P 运动时，点C1也随之运动．若点P 从点
A 运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，C1运动的路径是以B 为圆心，
为半径，圆心角为120°的弧上运动，故
线段CC1扫过的区域是一个圆心角为120°的扇形＋一个以
为边长的等边三角
形，故S＝
，故选B．
10．已知抛物线
(a≠0)与x 轴的交点为A(1，0)和B(3，0)，点P1(
，
)，
P2(
，
)是抛物线上不同于A，B 的两个点，记△P1AB 的面积为S1，△P2AB 的面
积为S2．有下列结论：①当
时，
；②当
时，
；③当
时，
；④当
时，
．其中正确结论的
个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由于
，
的底相同，当
时，P1到AB 的距离＞P2到AB 的距
离，故③正确，其他选项无法比较P1，P2与x 轴距离的远近，故选A．
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卷 II
二、填空题（本题有6 小题，每小题4 分，共24 分）
11．计算：
＝
．
【答案】1
【解析】
．
12．如图，已知在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB 的值是
．
【答案】
【解析】sinB＝
．
13．某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同．若以每1000 张奖券为一个
开奖单位，设5 个一等奖，15 个二等奖，不设其他奖项，则只抽1 张奖券恰好中奖的
概率是 ．
【答案】
【解析】设恰好中奖为时间A，则P(A)＝
．
14．为庆祝中国共产党建党100 周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星
（A，B，C，D，E 是正五边形的五个顶点），则图中∠A 的度数是 度．
【答案】36
【解析】首先根据正五边形的内角和计算公式，求出每个内角的度数为108°，即∠ABC＝
∠BAE＝108°，那么等腰△ABC 的底角∠BAC＝36°，同理可求得∠DAE＝36°，
故∠CAD＝∠BAE﹣∠BAC﹣∠EAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°．其实正五角星的五
个角是36°，可以作为一个常识直接记住．
15．已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(3，4)，M 是抛物线
(a≠0)对称轴上的一个动点，小明经探究发现：当
的值确定时，抛物线的对称轴上
能使△AOM 为直角三角形的点M 的个数也随之确定．若抛物线
(a≠0)
10
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的对称轴上存在3 个不同的点M，使△AOM 为直角三角形，则
的值是 ．
【答案】2 或﹣8
【解析】由题意知，以OA 的直径的圆与直线
相切，则
，解得
＝2
或﹣8．
16．由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事
如图，三姐妹为了平分一块边长为1 的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼
成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB 的长应是 ．
【答案】
﹣1
【解析】如图，CD＝1，DG＝
，则求得CG＝
，根据△CDG∽△DEG，可求得DE
＝
，∴AE＝1﹣
，∴AB＝
AE＝
﹣1．
三、解答题（本题有8 小题，共66 分）
17．（本小题6 分）
计算：
．
【答案】
【解析】解：原式
．
18．（本小题6 分）
11
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解分式方程：
．
【答案】
【解析】解：
．
经检验，
是原方程的解．
19．（本小题6 分）
如图，已知经过原点的抛物线
与x 轴交于另一点A(2，0)．
（1）求m 的值和抛物线顶点M 的坐标；
（2）求直线AM 的解析式．
【答案】（1）﹣4，(1，﹣2)；（2）
．
【解析】解：（1）∵抛物线
过点
，
，解得
，
，
∴顶点
的坐标是
．
（2）设直线
的解析式为
，
∵图象过
，
，解得
，
∴直线
的解析式为
．
20．（本小题8 分）
为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了：A．
党史宣讲；B．歌曲演唱；C．校刊编撰；D．诗歌创作等四个小组，团支部将各组人数情
况制成了如下统计图表（不完整）．
12
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根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）求a 和m 的值；
（2）求扇形统计图中D 所对应的圆心角度数；
（3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示：
小组类别
A
B
C
D
平均用时（小时）
2.5
3
2
3
求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间．
【答案】（1）20，20；（2）36°；（3）2.6 小时．
【解析】解：（1）由题意可知四个小组所有成员总人数是
（人）．
，
．
．
（2）
，
∴扇形统计图中
所对应的圆心角度数是
．
（3）
（小时），
∴这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间是2.6 小时．
21．（本小题8 分）
如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠ACD 是
所对的圆周角，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB 的度数；
（2）过点D 作DE⊥AB，垂足为E，DE 的延长线交⊙O 于点F．若AB＝4，求DF 的
长．
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【答案】（1）60°；（2）
．
【解析】解：（1）连结
，
，
，
是
的直径，
，
．
（2）
，
，
，且
是直径，
，
．
22．（本小题10 分）
今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为
4 万人，五月份为5.76 万人．
（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；
（2）若该景区仅有A，B 两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2 万、3 万和2 万．并且当
甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1 元，将有600 人原计划购买甲种门票
的游客和400 人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10
元，求景区六月份的门票总收人；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门
票总收入有最大值？最大值是多少万元？
【答案】（1）20%；（2）①798；②24，817.6
【解析】解：（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为
，
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由题意，得
解这个方程，得
（舍去）
答：四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长20%．
（2）①由题意，得
（万元）
答：景区六月份的门票总收入为798 万元．
②设丙种门票价格降低
元，景区六月份的门票总收人为
万元，
由题意，得
化简，得
，
，
∴当
时，
取最大值，为817.6 万元．
答：当丙种门票价格降低24 元时，景区六月份的门票总收人有最大值，为817.6
万元．
23．（本小题10 分）
已知在△ACD 中，P 是CD 的中点，B 是AD 延长线上的一点，连结BC，AP．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP＝
，求BC 的长；
（2）过点D 作DE∥AC，交AP 延长线于点E，如图2 所示，若∠CAD＝60°，BD＝
AC，求证：BC＝2AP；
（3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC 时，BC＝2AP？若存
在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）略；（3）
．
【解析】（1）解：
，
，
，
，
是等边三角形，
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是
的中点，
，
在
中，
，
，
．
（2）证明：连结
，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
，
是等边三角形，
，
，
又
，
，
，
．
（3）存在这样的
．
24．（本小题12 分）
已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数
(x＞0)图象上的一个动点，连
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结AO，AO 的延长线交反比例函数
(k＞0，x＜0)的图象于点B，过点A 作AE⊥y 轴
于点E．
（1）如图1，过点B 作BF⊥x 轴于点F，连结EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO
是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE 的面积．
（2）如图2，过点E 作EP∥AB，交反比例函数
(k＞0，x＜0)的图象于点P，连
结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A 在运动过程中，△POE 的面积是否会发生变化？
请说明理由．
【答案】（1）①略；②1；（2）不变．
【解析】解：（1）①证明 设点
的坐标为
，
则当
时，点
的坐标为
，
，
轴，
，
∴四边形
是平行四边形．
②解 过点
作
轴于点
，
轴，
，
，
，
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∴当
时，
，即
．
．
（2）解：不改变．
理由如下：
过点
作
轴于点
与
轴交于点
，
设点
的坐标为
，点
的坐标为
，
则
，
由题意，可知
，四边形
是平行四边形，
，
即
，
，
18
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解得
，
异号，
，
，
．
∴对于确定的实数
，动点
在运动过程中，
的面积不会发生变化．
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