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2018 年浙江省杭州市临安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共15 小题，每小题3 分，共45 分。下面每小题给出的四个选
项中，有且只有一个是正确的,请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子
内）
1．（3 分）如果a 与﹣2 互为相反数，那么a 等于（ ）
A．﹣2 B．2C．﹣
D．
2．（3 分）小明从正面观察如图所示的两个物体，看到的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）我市2018 年的最高气温为39℃，最低气温为零下7℃，则计算2018 年
温差列式正确的（ ）
A．（+39）﹣（﹣7）B．（+39）+（+7）C．
（+39）+（﹣7）D．（+39）﹣（+7）
4．（3 分）化简
的结果是（ ）
A．﹣2 B．±2 C．2D．4
5．（3 分）下列各式计算正确的是（ ）
A．a12÷a6=a2
B．（x+y）2=x2+y2
C．
D．
6．（3 分）抛物线y=3（x
1
﹣）2+1 的顶点坐标是（ ）[来源:Z。xx。k.Com]
A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）
7．（3 分）如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E、F 分别是AB、BC 的中点，若
沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（
）
A．2B．4C．8D．10
8．（3 分）某青年排球队12 名队员的年龄情况如表：
年龄
18
19
20
21
22
人数
1
4
3
2
2
则这个队队员年龄的众数和中位数是（ ）
A．19，20 B．19，19 C．19，20.5 D．20，19
9．（3 分）某校九（1）班的全体同学最喜欢的球类运动用如图所示的统计图来表
示，下面说法正确的是（ ）
A．从图中可以直接看出喜欢各种球类的具体人数
B．从图中可以直接看出全班的总人数
C．从图中可以直接看出全班同学初中三年来喜欢各种球类的变化情况
D．从图中可以直接看出全班同学现在最喜欢各种球类的人数的大小关系
10．（3 分）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与
△ABC 相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（3 分）如图，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别与AB，AC 相交于点D，E，若AD=4，
DB=2，则DE：BC 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（3 分）10 名学生的平均成绩是x，如果另外5 名学生每人得84 分，那么整个
组的平均成绩是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．
（3 分）中央电视台2 套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天
平都平衡，则三个球体的重量等于（ ）个正方体的重量．
A．2B．3C．4D．5
14．（3 分）如图，⊙O 的半径OA=6，以A 为圆心，OA 为半径的弧交⊙O 于B、C 点，
则BC=（ ）
A．
B．
C．
D．
15．
（3 分）如图直角梯形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD 以D 为
中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE 的面积是（ ）
A．1B．2C．3D．不能确定
二、填空题（本大题共5 小题，每小题3 分，共15 分）
16．（3 分）P（3，﹣4）到x 轴的距离是 ．
17．（3 分）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉
紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC= 度．
18．（3 分）为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000 条鱼做上标记，然
后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200
条，若其中有标记的鱼有10 条，则估计池塘里有鱼 条．
19．（3 分）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5 个大小一样的正方
形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中
的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的
正方体盒子（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示） ．
20．（3 分）已知：2+
=22×
，3+
=32×
，4+
=42×
，5+
=52×
，…，若
10+
=102×
符合前面式子的规律，则a+b= ．
三、解答题（本大题共6 小题，共40 分。解答应写出文字说明，证明过程或推演步
骤）
21．（6 分）（1）化简
÷（x﹣
）．
（2）解方程：
+
=3．
22．（6 分）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c 为△ABC 的三边，且满足a2c2
b
﹣
2c2=a4
b
﹣
4，试判断△ABC 的形状．
解：∵a2c2
b
﹣
2c2=a4
b
﹣
4 （A）
∴c2（a2
b
﹣
2）=（a2+b2）（a2
b
﹣
2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC 是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
23．（7 分）某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）
的函数关系如图所示，其中BA 是线段，且BA∥x 轴，AC 是射线．
（1）当x≥30，求y 与x 之间的函数关系式；
（2）若小李4 月份上网20 小时，他应付多少元的上网费用？
（3）若小李5 月份上网费用为75 元，则他在该月份的上网时间是多少？[来源:学科网ZXXK]
24．（7 分）不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相
同），其中白球有2 个，黄球有1 个，现从中任意摸出一个是白球的概率为
．
（1）试求袋中蓝球的个数；
（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格
法，求两次摸到都是白球的概率．
25．（6 分）已知：如图，E、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE=CF．
求证：（1）△ADF≌△CBE；
（2）EB∥DF．
26．（8 分）如图，△OAB 是边长为2+
的等边三角形，其中O 是坐标原点，顶点B
在y 轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A 落在边OB 上，记为A′，折痕为EF．
（1）当A′E∥x 轴时，求点A′和E 的坐标；
（2）当A′E∥x 轴，且抛物线y=﹣
x2+bx+c 经过点A′和E 时，求抛物线与x 轴的交
点的坐标；
（3）当点A′在OB 上运动，但不与点O、B 重合时，能否使△A′EF 成为直角三角形？
若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．
2018 年浙江省杭州市临安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15 小题，每小题3 分，共45 分。下面每小题给出的四个选
项中，有且只有一个是正确的,请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子
内）
1．（3 分）如果a 与﹣2 互为相反数，那么a 等于（ ）
A．﹣2 B．2C．﹣
D．
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：﹣2 的相反数是2，那么a 等于2．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上
“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是
0．
2．（3 分）小明从正面观察如图所示的两个物体，看到的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别找出四个选项中图形是从哪个方位看到的，此题得解．
【解答】解：A、从上面看到的图形；
B、从右面看到的图形；
C、从正面看到的图形；
D、从左面看到的图形．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，观察组合体，找出它的三视图是解题的
关键．
3．（3 分）我市2018 年的最高气温为39℃，最低气温为零下7℃，则计算2018 年
温差列式正确的（ ）
A．（+39）﹣（﹣7）B．（+39）+（+7）C．
（+39）+（﹣7）D．（+39）﹣（+7）
【分析】根据题意列出算式即可．
【解答】解：根据题意得：（+39）﹣（﹣7），
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（3 分）化简
的结果是（ ）
A．﹣2 B．±2 C．2D．4
【分析】本题可先将根号内的数化简，再开根号，根据开方的结果为正数可得出答
案．
【解答】解：
=
=2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简，解此类题目要注意算术平方根为非负数．
5．（3 分）下列各式计算正确的是（ ）
A．a12÷a6=a2
B．（x+y）2=x2+y2
C．
D．
【分析】此类题目难度不大，可用验算法解答．
【解答】解：A、a12÷a6是同底数幂的除法，指数相减而不是相除，所以a12÷a6=a6，
错误；
B、（x+y）2为完全平方公式，应该等于x2+y2+2xy，错误；
C、
=
=
=﹣
，错误；
D、正确．
故选：D．
【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．
运算法则：①am÷an=am
n
﹣，
②
÷
=
（a≥0，b＞0）．
6．（3 分）抛物线y=3（x
1
﹣）2+1 的顶点坐标是（ ）
A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）
【分析】已知抛物线顶点式y=a（x
h
﹣）2+k，顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：∵抛物线y=3（x
1
﹣）2+1 是顶点式，
∴顶点坐标是（1，1）．故选A．
【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
7．（3 分）如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E、F 分别是AB、BC 的中点，若
沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（
）
A．2B．4C．8D．10
【分析】本题考查空间想象能力．
【解答】解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，
由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一，
正方形的面积=4×4=16，
∴图中阴影部分的面积是16÷4=4．
故选：B．
【点评】解决本题的关键是得到阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系．
8．（3 分）某青年排球队12 名队员的年龄情况如表：
年龄
18
19
20
21
22
人数
1
4
3
2
2
则这个队队员年龄的众数和中位数是（ ）
A．19，20 B．19，19 C．19，20.5 D．20，19
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个
数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以
不只一个．
【解答】解：数据19 出现了四次最多为众数；20 和20 处在第6 位和第7 位，其平
均数是20，所以中位数是20．
所以本题这组数据的中位数是20，众数是19．
故选：A．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生
往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的
时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇
数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
9．（3 分）某校九（1）班的全体同学最喜欢的球类运动用如图所示的统计图来表
示，下面说法正确的是（ ）
A．从图中可以直接看出喜欢各种球类的具体人数
B．从图中可以直接看出全班的总人数
C．从图中可以直接看出全班同学初中三年来喜欢各种球类的变化情况
D．从图中可以直接看出全班同学现在最喜欢各种球类的人数的大小关系
【分析】利用扇形统计图的特点，可以得到各类所占的比例，但总数不确定，不能
确定每类的具体人数．
【解答】解：因为扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，不能反映具体数
量的多少和变化情况，
所以A、B、C 都错误，
故选：D．
【点评】本题考查了扇形统计图的知识，扇形统计图直接反映部分占总体的百分
比大小．解题的关键是能够读懂扇形统计图并从中整理出进一步解题的有关信息
10．（3 分）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与
△ABC 相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：由正方形的性质可知，∠ACB=180°
45°=135°
﹣
，
A、C、D 图形中的钝角都不等于135°，
由勾股定理得，BC=
，AC=2，
对应的图形B 中的边长分别为1 和
，
∵
=
，
∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，掌握两组对应边的比相等且夹角对应
相等的两个三角形相似是解题的关键．
11．（3 分）如图，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别与AB，AC 相交于点D，E，若AD=4，
DB=2，则DE：BC 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三
角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
=
=
=
．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，对应边不要搞错．
12．（3 分）10 名学生的平均成绩是x，如果另外5 名学生每人得84 分，那么整个
组的平均成绩是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】整个组的平均成绩=15 名学生的总成绩÷15．
【解答】解：先求出这15 个人的总成绩10x+5×84=10x+420，再除以15 可求得平
均值为
．故选B．
【点评】此题考查了加权平均数的知识，解题的关键是求的15 名学生的总成绩．
13．
（3 分）中央电视台2 套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天
平都平衡，则三个球体的重量等于（ ）个正方体的重量．
A．2B．3C．4D．5
【分析】由图可知：2 球体的重量=5 圆柱体的重量，2 正方体的重量=3 圆柱体的重
量．可设一个球体重x，圆柱重y，正方体重z．根据等量关系列方程即可得出答案．
【解答】解：设一个球体重x，圆柱重y，正方体重z．
根据等量关系列方程2x=5y；2z=3y，消去y 可得：x=
z，[来源:学,科,网Z,X,X,K]
则3x=5z，即三个球体的重量等于五个正方体的重量．
故选：D．
【点评】此题的关键是找到球，正方体，圆柱体的关系．
14．（3 分）如图，⊙O 的半径OA=6，以A 为圆心，OA 为半径的弧交⊙O 于B、C 点，
则BC=（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据垂径定理先求BC 一半的长，再求BC 的长．
【解答】解：设OA 与BC 相交于D 点．
∵AB=OA=OB=6
∴△OAB 是等边三角形．
又根据垂径定理可得，OA 平分BC，
利用勾股定理可得BD=
=3
所以BC=6
．
故选：A．
【点评】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理．
15．（3 分）如图直角梯形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD 以D 为
中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE 的面积是（ ）
A．1B．2C．3D．不能确定
【分析】如图作辅助线，利用旋转和三角形全等证明△DCG 与△DEF 全等，再根据
全等三角形对应边相等可得EF 的长，即△ADE 的高，然后得出三角形的面积．
【解答】解：如图所示，作EF⊥AD 交AD 延长线于F，作DG⊥BC，[来源:学&科&网]
∵CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED，
∴∠EDF+∠CDF=90°，DE=CD，
又∵∠CDF+∠CDG=90°，
∴∠CDG=∠EDF，
在△DCG 与△DEF 中，
，
∴△DCG≌△DEF（AAS），
∴EF=CG，
∵AD=2，BC=3，
∴CG=BC
AD=3
2=1
﹣
﹣
，
∴EF=1，
∴△ADE 的面积是：
×AD×EF=
×2×1=1．
故选：A．
【点评】本题考查梯形的性质和旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的
距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的
三要素：①定点为旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
二、填空题（本大题共5 小题，每小题3 分，共15 分）
16．（3 分）P（3，﹣4）到x 轴的距离是
4
．
【分析】根据点在坐标系中坐标的几何意义即可解答．
【解答】解：根据点在坐标系中坐标的几何意义可知，P（3，﹣4）到x 轴的距离是|
4
﹣|=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是点到y 轴的距离
纵坐标的绝对值就是点到x 轴的距离．
17．（3 分）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉
紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=
36
度．
【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC=
=108°，△ABC 是等腰三角形，
∴∠BAC=∠BCA=36 度．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．
n 边形的内角和为：180°（n
2
﹣）．
18．（3 分）为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000 条鱼做上标记，然
后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞
200 条，若其中有标记的鱼有10 条，则估计池塘里有鱼
20 000
条．
【分析】捕捞200 条，其中有标记的鱼有10 条，即在样本中有标记的所占比例为
，而在整体中有标记的共有1000 条，根据所占比例即可解答．
【解答】解：1000
=20 000（条）．
故答案为：20000．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体．
19．（3 分）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5 个大小一样的正方
形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中
的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的
正方体盒子（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）
．
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【解答】解：
，
故答案为：
．
【点评】本题通过考查正方体的侧面展开图，展示了这样一个教学导向，教学中要
让学生确实经历活动过程，而不要将活动层次停留于记忆水平．我们有些老师在
教学“展开与折叠”时，不是去引导学生动手操作，而是给出几种结论，这样教
出的学生肯定遇到动手操作题型时就束手无策了．
20．（3 分）已知：2+
=22×
，3+
=32×
，4+
=42×
，5+
=52×
，…，若
10+
=102×
符合前面式子的规律，则a+b=
109
．
【分析】要求a+b 的值，首先应该认真仔细地观察题目给出的4 个等式，找到它们
的规律，即
中，b=n+1，a=（n+1）2
1
﹣．
【解答】解：根据题中材料可知
=
，
∵10+
=102×
，
∴b=10，a=99，[来源:学#科#网]
a+b=109．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出式子的规律．
三、解答题（本大题共6 小题，共40 分。解答应写出文字说明，证明过程或推演步
骤）
21．（6 分）（1）化简
÷（x﹣
）．
（2）解方程：
+
=3．
【分析】（1）先计算括号内分式的减法，再计算除法即可得；
（2）先去分母化分式方程为整式方程，解整式方程求解的x 值，检验即可得．
【解答】解：（1）原式=
÷（
﹣
）
=
÷
=
•
=
；
（2）两边都乘以2x
1
﹣，得：2x
5=3
﹣
（2x
1
﹣），
解得：x=﹣
，
检验：当x=﹣
时，2x
1=
2
﹣
﹣≠0，
所以分式方程的解为x=﹣
．
【点评】本题主要考查分式的混合运算与解分式方程，解题的关键是掌握解分式
方程和分式混合运算的步骤．
22．（6 分）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c 为△ABC 的三边，且满足a2c2
b
﹣
2c2=a4
b
﹣
4，试判断△ABC 的形状．
解：∵a 2c2
b
﹣
2c2=a4
b
﹣
4 （A）
∴c2（a2
b
﹣
2）=（a2+b2）（a2
b
﹣
2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC 是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：
C
；
（2）错误的原因为： 没有考虑
a=b
的情况
；
（3）本题正确的结论为：
△
ABC
是等腰三角形或直角三角形
．
【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；
（2）根据题目中B 到C 可知没有考虑a=b 的情况；
（3）根据题意可以写出正确的结论．
【解答】解：（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为：C；
（2）错误的原因为：没有考虑a=b 的情况，
故答案为：没有考虑a=b 的情况；
（3）本题正确的结论为：△ABC 是等腰三角形或直角三角形，
故答案为：△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
【点评】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题
意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．
23．（7 分）某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）
的函数关系如图所示，其中BA 是线段，且BA∥x 轴，AC 是射线．
（1）当x≥30，求y 与x 之间的函数关系式；
（2）若小李4 月份上网20 小时，他应付多少元的上网费用？
（3）若小李5 月份上网费用为75 元，则他在该月份的上网时间是多少？
【分析】（1）由图可知，当x≥30 时，图象是一次函数图象，设函数关系式为
y=kx+b，使用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，从图象上看，30 小时以内的上网费用都是60 元；
（3）根据题意，因为60＜75＜90，当y=75 时，代入（1）中的函数关系计算出x 的值
即可．
【解答】解：（1）当x≥30 时，设函数关系式为y=kx+b，
则
，
解得
．
所以y=3x
30
﹣
；
（2）4 月份上网20 小时，应付上网费60 元；
（3）由75=3x
30
﹣
解得x=35，所以5 月份上网35 个小时．
【点评】本题考查识图能力，利用待定系数法求一次函数关系式．
24．（7 分）不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相
同），其中白球有2 个，黄球有1 个，现从中任意摸出一个是白球的概率为
．
（1）试求袋中蓝球的个数；
（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格
法，求两次摸到都是白球的概率．
【分析】（1）首先设袋中蓝球的个数为x 个，由从中任意摸出一个是白球的概率为
，利用概率公式即可得方程：
=
，解此方程即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都是
摸到白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案
【解答】解：（1）设袋中蓝球的个数为x 个，
∵从中任意摸出一个是白球的概率为
，
∴
=
，
解得：x=1，
∴袋中蓝球的个数为1；
（2）画树状图得：
∵共有12 种等可能的结果，两次都是摸到白球的有2 种情况，
∴两次都是摸到白球的概率为：
=
．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法
可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状
图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
25．（6 分）已知：如图，E、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE=CF．
求证：（1）△ADF≌△CBE；
（2）EB∥DF．
【分析】（1）要证△ADF≌△CBE，因为AE=CF，则两边同时加上EF，得到AF=CE，又
因为ABCD 是平行四边形，得出AD=CB，∠DAF=∠BCE，从而根据SAS 推出两三角
形全等；
（2）由全等可得到∠DFA=∠BEC，所以得到DF∥EB．
【解答】证明：（1）∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+FE，即AF=CE．
又ABCD 是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥BC．
∴∠DAF=∠BCE．
在△ADF 与△CBE 中
，
∴△ADF≌△CBE（SAS）．
（2）∵△ADF≌△CBE，
∴∠DFA=∠BEC．
∴DF∥EB．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、AAS、ASA、HL．
注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的
参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
26．（8 分）如图，△OAB 是边长为2+
的等边三角形，其中O 是坐标原点，顶点B
在y 轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A 落在边OB 上，记为A′，折痕为EF．
（1）当A′E∥x 轴时，求点A′和E 的坐标；
（2）当A′E∥x 轴，且抛物线y=﹣
x2+bx+c 经过点A′和E 时，求抛物线与x 轴的交
点的坐标；
（3）当点A′在OB 上运动，但不与点O、B 重合时，能否使△A′EF 成为直角三角形？
若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．
【分析】（1）当A′E∥x 轴时，△A′EO 是直角三角形，可根据∠A′OE 的度数用O′A 表
示出OE 和A′E，由于A′E=AE，且A′E+OE=OA=2+
，由此可求出OA′的长，也就能
求出A′E 的长．据此可求出A′和E 的坐标；
（2）将A′，E 点的坐标代入抛物线中，即可求出其解析式．进而可求出抛物线与x
轴的交点坐标；
（3）根据折叠的性质可知：∠FA′E=∠A，因此∠FA′E 不可能为直角，因此要使
△A′EF 成为直角三角形只有两种可能：
①∠A′EF=90°，根据折叠的性质，∠A′EF=∠AEF=90°，此时A′与O 重合，与题意不符，
因此此种情况不成立．
②∠A′FE=90°，同①，可得出此种情况也不成立．
因此A′不与O、B 重合的情况下，△A′EF 不可能成为直角三角形．
【解答】解：（1）由已知可得∠A′OE=60°，A′E=AE，
由A′E∥x 轴，得△OA′E 是直角三角形，
设A′的坐标为（0，b），
AE=A′E=
b，OE=2b，
b+2b=2+
，
所以b=1，A′、E 的坐标分别是（0，1）与（
，1）．
（2）因为A′、E 在抛物线上，
所以
，
所以
，
函数关系式为y=﹣
x2+
x+1，
由﹣
x2+
x+1=0，
得x1=﹣
，x2=2
，
与x 轴的两个交点坐标分别是（
，0）与（
，0）．
（3）不可能使△A′EF成为直角三角形．
∵∠FA′E=∠FAE=60°，
若△A′EF 成为直角三角形，只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°
若∠A′EF=90°，利用对称性，则∠AEF=90°，
A、E、A 三点共线，O 与A 重合，与已知矛盾；
同理若∠A′FE=90°也不可能，
所以不能使△A′EF 成为直角三角形．
【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、直角三角
形的判定和性质等知识点，综合性较强．
