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2018 年浙江省宁波市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12 小题，共48 分）
1.
在-3，-1，0，1 这四个数中，最小的数是( )
A. -3
B. -1
C. 0
D. 1
【答案】A
【解析】解：由正数大于零，零大于负数，得
-3<-1<0<1，
最小的数是-3，
故选：A．
根据正数大于零，零大于负数，可得答案．
本题考查了有理数比较大小，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．
2.
2018 中国(宁波)特色文化产业博览会于4 月16 日在宁波国际会展中心闭幕.本次博
览会为期四天，参观总人数超55 万人次，其中55 万用科学记数法表示为( )
A. 0.55×10
6
B. 5.5×10
5
C. 5.5×10
4
D. 55×10
4
【答案】B
【解析】解：550000=5.5×10
5，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10
n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数.确定n 的值时，
要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当
原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10
n的形式，其中
1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
3.
下列计算正确的是( )
A. a
3+a
3=2a
3
B. a
3⋅a
2=a
6
C. a
6÷ a
2=a
3
D. (a
3)
2=a
5
【答案】A
【解析】解：∵a
3+a
3=2a
3，
∴选项A 符合题意；
∵a
3⋅a
2=a
5，
∴选项B 不符合题意；
∵a
6÷ a
2=a
4，
∴选项C 不符合题意；
∵(a
3)
2=a
6，
∴选项D 不符合题意．
故选：A．
根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂
的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．
此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方
法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，
因为0 不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法
的法则时，底数a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什
么．
4.
有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背
面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为( )
A. 4
5
B. 3
5
C. 2
5
D. 1
5
【答案】C
【解析】解：∵从写有数字1，2，3，4，5 这5 张纸牌中抽取一张，其中正面数字是
偶数的有2、4 这2 种结果，
∴正面的数字是偶数的概率为2
5，
故选：C．
让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数5 即为所求的概率．
此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：
概率等于所求情况数与总情况数之比．
5.
已知正多边形的一个外角等于40
∘，那么这个正多边形的边数为( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【答案】D
【解析】解：正多边形的一个外角等于40
∘，且外角和为360
∘，
则这个正多边形的边数是：360
∘÷ 40
∘=9．
故选：D．
根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．
本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于
360 度．
6.
如图是由6 个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体
的三视图中，是中心对称图形的是( )
A. 主视图
B. 左视图
C. 俯视图
D. 主视图和左视图
【答案】C
【解析】解：从上边看是一个田字，
“田”字是中心对称图形，
故选：C．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了中心对称
图形．
7.
如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，E
是边CD 的中点，连结OE .若∠ABC =60
∘，
∠BAC =80
∘，则∠1的度数为( )
A. 50
∘
B. 40
∘
C. 30
∘
D.
20
∘
【答案】B
【解析】解：∵∠ABC =60
∘，∠BAC =80
∘，
∴∠BCA =180
∘-60
∘-80
∘= 40
∘，
∵对角线AC 与BD 相交于点O，E 是边CD 的中点，
∴EO是△DBC的中位线，
∴EO// BC，
∴∠1=∠ACB = 40
∘．
故选：B．
直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线
的性质得出答案．
此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO 是△DBC的
中位线是解题关键．
8.
若一组数据4，1，7，x，5 的平均数为4，则这组数据的中位数为( )
A. 7
B. 5
C. 4
D. 3
【答案】C
【解析】解：∵数据4，1，7，x，5 的平均数为4，
∴4+1+7+ x +5
5
= 4，
解得：x =3，
则将数据重新排列为1、3、4、5、7，
所以这组数据的中位数为4，
故选：C．
先根据平均数为4 求出x 的值，然后根据中位数的概念求解．
本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果
数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个
数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
9.
如图，在△ABC中，∠ACB =90
∘，∠A =30
∘，AB = 4，
以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交边AB 于点D，则
CD
⌢
的长为( )
A. 1
6 π
B. 1
3 π
C. 2
3 π
D. 2√3
3
π
【答案】C
【解析】解：∵∠ACB =90
∘，AB = 4，∠A =30
∘，
∴∠B =60
∘，BC =2
∴CD
⌢
的长为60 π ×2
180
= 2π
3 ，
故选：C．
先根据ACB =90
∘，AB = 4，∠A =30
∘，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得
到弧CD 的长．
本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30 度角的性质，解题时注意弧长公式为：
l = nπR
180 (弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R)．
10. 如图，平行于x 轴的直线与函数y = k1
x (k1>0, x>0)，
y = k2
x (k2>0, x>0)的图象分别相交于A，B 两点，点A
在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若△ABC的面积
为4，则k1-k2的值为( )
A. 8
B. -8
C. 4
D. - 4
【答案】A
【解析】解：∵AB// x轴，
∴A，B 两点纵坐标相同．
设A(a,h)，B(b,h)，则ah=k1，bh=k2．
∵S△ABC = 1
2 AB⋅y A = 1
2 (a-b)h= 1
2 (ah-bh)= 1
2 (k1-k2)= 4，
∴k1-k2=8．
故选：A．
设A(a,h)，B(b,h)，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah=k1，bh=k2.根
据三角形的面积公式得到
S△ABC = 1
2 AB⋅y A = 1
2 (a-b)h= 1
2 (ah-bh)= 1
2 (k1-k2)= 4，求出k1-k2=8．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函
数的解析式.也考查了三角形的面积．
11. 如图，二次函数y =a x
2+bx的图象开口向下，且经过第三
象限的点P.若点P 的横坐标为-1，则一次函数
y =(a-b)x +b的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：由二次函数的图象可知，
a<0，b<0，
当x =-1时，y =a-b<0，
∴y =(a-b)x +b的图象在第二、三、四象限，
故选：D．
根据二次函数的图象可以判断a、b、a-b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪
几个象限，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数
的思想解答．
12. 在矩形ABCD 内，将两张边长分别为a 和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2 两种
方式放置(图1，图2 中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形
纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1 中阴影部分的面积为S1，图2 中阴影部分的
面积为S2.当AD - AB =2时，S2- S1的值为( )
A. 2a
B. 2b
C. 2a-2b
D. -2b
【答案】B
【解析】解：S1=( AB -a)⋅a+(CD -b)( AD -a)=( AB -a)⋅a+( AB -b)( AD -a)，
S2= AB( AD -a)+(a-b)( AB -a)，
∴S2- S1= AB( AD -a)+(a-b)( AB -a)-( AB -a)⋅a-( AB -b)( AD -a)=( AD -a)( AB - AB+b)+( AB
故选：B．
利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想
可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要
用括号括起来.也考查了正方形的性质．
二、填空题（本大题共6 小题，共24 分）
13. 计算：|-2018|=______．
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
【答案】2018
【解析】解：|-2018|=2018．
故答案为：2018．
直接利用绝对值的性质得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
14. 要使分式1
x -1有意义，x 的取值应满足______．
【答案】x≠1[ 来源:学,科,网Z , X , X , K ]
【解析】解：要使分式1
x -1有意义，则：x -1≠0．
解得：x≠1，故x 的取值应满足：x≠1．
故答案为：x≠1．
直接利用分式有意义则分母不能为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
15. 已知x，y 满足方程组{x +2 y =-
3
x -2 y =5
，则x
2- 4 y
2的值为______．
【答案】-8
【解析】解：原式=( x +2 y)( x -2 y)
=-3×5=-15故答案为：-15
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
16. 如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C 处测
得A，B 两点的俯角分别为45
∘和30
∘.若飞机离地面的高度CH 为1200 米，且点
H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度AB 为______米(结果保留根号)．
【答案】1200(√3-1)
【解析】解：由于CD // HB，
∴∠CAH =∠ACD = 45
∘，∠B =∠BCD =30
∘
在Rt △ACH中，∵∴∠CAH = 45
∘
∴AH =CH =1200米，
在Rt △HCB，∵tan ∠B = CH
HB
∴HB =
CH
tan∠B = 1200
tan30
∘
= 1200
√3
3
=1200√3(
米)．
∴AB = HB - HA=1200√3-1200=1200(√3-1)米
故答案为：1200(√3-1)
在Rt △A CH和Rt △HCB中，利用锐角三角函数，用CH 表示出AH、BH 的长，然后
计算出AB 的长．
本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题.题目难度不大，解决本题的关键是用含
CH 的式子表示出AH 和BH．
17. 如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC
边上的动点，连结PM，以点P 为圆心，PM 长为半径作
⊙P.当⊙P与正方形ABCD 的边相切时，BP 的长为
______．
【答案】3 或4√3
【解析】解：如图1 中，当⊙P与直线CD 相切时，设PC = PM =m．
在Rt △PBM中，∵P M
2= B M
2+ P B
2，
∴x
2= 4
2+(8- x)
2，
∴x =5，
∴PC =5，BP = BC - PC =8-5=3．
如图2 中当⊙P与直线AD 相切时.设切点为K，连接PK，则PK ⊥AD，四边形
PKDC 是矩形．
∴PM = PK =CD =2BM，
∴BM = 4，PM =8，
在Rt △PBM中，PB =√8
2- 4
2= 4√3．
综上所述，BP 的长为3 或4√3．
分两种情形分别求解：如图1 中，当⊙P与直线CD 相切时；如图2 中当⊙P与直线
AD 相切时.设切点为K，连接PK，则PK ⊥AD，四边形PKDC 是矩形；
本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨
论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
18. 如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠B是锐角，AE⊥BC
于点E，M 是AB 的中点，连结
MD，ME.若∠EMD =90
∘，则cos B的值为______．
【答案】√3-1
2
【解析】解：延长DM 交CB 的延长线于点H．
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB = BC = AD =2，AD //CH，
∴∠ADM =∠H，
∵AM = BM，∠AMD =∠HMB，
∴△ADM≌△BHM，
∴AD = HB =2，
∵EM ⊥DH，
∴EH = ED，设BE = x，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB =∠EAD =90
∘∵A E
2= A B
2- B E
2= D E
2- A D
2，
∴2
2- x
2=(2+ x)
2-2
2，
∴x =√3-1或-√3-1(舍弃)，
∴cos B = BE
AB = √3-1
2
，
故答案为√3-1
2
．
延长DM 交CB 的延长线于点H .首先证明DE = EH，设BE = x，利用勾股定理构建方
程求出x 即可解决问题．
本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性
质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考
常考题型．
三、计算题（本大题共1 小题，共6 分）
19. 已知抛物线y =- 1
2 x
2+bx +c经过点(1,0)，(0, 3
2 ).
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)将抛物线y =- 1
2 x
2+b x +c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的
方法及平移后的函数表达式．
[来源:Zxxk.Com]
【答案】解：(1)把(1,0)，(0, 3
2 )代入抛物线解析式得：{
- 1
2 +b+c =0
c = 3
2
，
解得：{
b=-1
c = 3
2
，
则抛物线解析式为y =- 1
2 x
2- x + 3
2；
(2)抛物线解析式为y =- 1
2 x
2- x + 3
2 =- 1
2 ( x +1)
2+2，
将抛物线向右平移一个单位，向下平移2 个单位，解析式变为y =- 1
2 x
2．
【解析】(1)把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b 与c 的值即可；
(2)指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．
此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特
征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
四、解答题（本大题共7 小题，共72 分）
20. 先化简，再求值：( x -1)
2+ x(3- x)，其中x =- 1
2．
【答案】解：原式= x
2-2 x +1+3 x - x
2= x +1，
当x =- 1
2时，原式=- 1
2 +1= 1
2．
【解析】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把x
的值代入即可．
此题主要考查了整式的混合运算--化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对
应字母的值代入求整式的值．
21. 在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在图1 中画出线段BD，使BD // AC，其中D 是格点；
(2)在图2 中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E 是格点．
【答案】解：(1)如图所示，线段BD 即为所求；
(2)如图所示，线段BE 即为所求．
【解析】(1)将线段AC 沿着AB 方向平移2 个单位，即可得到线段BD；
(2)利用2×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC．
本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图
形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
22. 在第23 个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间(用t
表示，单位：小时)，采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t <2，
2≤t <3，3≤t <4，t ≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D 表示，根据调查结
果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解
答下列问题：
(1)求本次调查的学生人数；
(2)求扇形统计图中等级B 所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；
(3)若该校共有学生1200 人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t <4的人数．
【答案】解：
(1)由条形
图知，A 级
的人数为
20 人，
由扇形图知：
A 级人数占
总调查人数
的10 %
所以：
20÷10 % =20× 100
10 =200(人)
即本次调查的学生人数为200 人；
(2)由条形图知：C 级的人数为60 人
所以C 级所占的百分比为：60
200 ×100 % =30 %，
B 级所占的百分比为：1-10 % -30 % - 45 % =15 %，
B 级的人数为200×15 % =30(人)
D 级的人数为：200×45 % =90(人)
B 所在扇形的圆心角为：360
∘×15 % =54
∘．
(3)因为C 级所占的百分比为30 %，
所以全校每周课外阅读时间满足3≤t <4的人数为：1200×30 % =360(人)
答：全校每周课外阅读时间满足3≤t <4的约有360 人．
【解析】(1)由条形图、扇形图中给出的级别A 的数字，可计算出调查学生人数；
(2)先计算出C 在扇形图中的百分比，用1-[( A + D+C )在扇形图中的百分比]可计算
出B 在扇形图中的百分比，再计算出B 在扇形的圆心角．
(3)总人数×课外阅读时间满足3≤t <4的百分比即得所求．
本题考查了扇形图和条形图的相关知识.题目难度不大.扇形图中某项的百分比
= 该项人数
总人数
×100 %，扇形图中某项圆心角的度数=360
∘×该项在扇形图中的百分比．
23. 如图，在△ABC中，∠ACB =90
∘，AC = BC，D 是AB 边
上一点(点D 与A，B 不重合)，连结CD，将线段CD 绕点C
按逆时针方向旋转90
∘得到线段CE，连结DE 交BC 于点
F，连接BE．
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)当AD = BF时，求∠BEF的度数．
【答案】解：(1)由题意可知：CD =CE，∠DCE =90
∘，
∵∠ACB =90
∘，
∴∠ACD =∠ACB -∠DCB，
∠BCE =∠DCE -∠DCB，
∴∠ACD =∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
{
AC = BC
∠ACD =∠BCE
CD =CE
∴△ACD≌△BCE(SAS)
(2)∵∠ACB =90
∘，AC = BC，
∴∠A = 45
∘，
由(1)可知：∠A =∠CBE = 45
∘，
∵AD = BF，
∴BE = BF，
∴∠BEF =67.5
∘
【解析】(1)由题意可知：CD =CE，∠DCE =90
∘，由于∠ACB =90
∘，所以
∠ACD =∠ACB -∠DCB，∠BCE =∠DCE -∠DCB，所以∠ACD =∠BCE，
从而可证明△ACD≌△BCE(SAS)
(2)由△ACD≌△BCE(SAS)可知：∠A =∠CBE = 45
∘，BE = BF，从而可求出
∠BEF的度数．
本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角
形的判定与性质，本题属于中等题型．
24. 某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000 元，乙种商品共用了2400 元.
已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8 元，且购进的甲、乙两种商品件
数相同．
(1)求甲、乙两种商品的每件进价；
(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60 元，乙
种商品的销售单价为88 元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种
商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销
售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于2460 元，问甲种商品按
原销售单价至少销售多少件？
[来源:Zxxk.Com]
【答案】解：(1)设甲种商品的每件进价为x 元，则乙种商品的每件进价为( x +8)元．
根据题意，得，2000
x
= 2400
x +8 ，
解得x = 40．
经检验，x = 40是原方程的解．
答：甲种商品的每件进价为40 元，乙种商品的每件进价为48 元；
(2)甲乙两种商品的销售量为2000
40 =50．
设甲种商品按原销售单价销售a 件，则
(60- 40)a+(60×0.7- 40)(50-a)+(88- 48)×50≥2460，
解得a≥20．
答：甲种商品按原销售单价至少销售20 件．
【解析】(1)设甲种商品的每件进价为x 元，乙种商品的每件进价为y 元.根据“某商场
购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000 元，乙种商品共用了2400 元.购进的甲、
乙两种商品件数相同”列出方程；
(2)设甲种商品按原销售单价销售a 件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460
元”列出不等式．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用.本题属于商品销售中的利润问题，
对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价-进价．
25. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三
角形．
(1)已知△ABC是比例三角形，AB =2，BC =3，请直接写出所有满足条件的AC
的长；
(2)如图1，在四边形ABCD 中，AD // BC，对角线BD 平分∠ABC，
∠BAC =∠ADC .求证：△ABC是比例三角形．
(3)如图2，在(2)的条件下，当∠ADC =90
∘时，求BD
AC 的值．
【答案】解：(1)∵△ABC是比例三角形，且AB =2、AC =3，
①当A B
2= BC ⋅AC时，得：4 =3 AC，解得：AC = 4
3 ；
②当BC
2= AB⋅AC时，得：9=2 AC，解得：AC = 9
2；
③当A C
2= AB⋅BC时，得：AC =6，解得：AC =√6(负值舍去)；
所以当AC = 4
3 或9
2或√6时，△ABC是比例三角形；
(2)∵AD // BC，
∴∠ACB =∠CAD，
又∵∠BAC =∠A DC，
∴△ABC∽△DCA，
∴BC
CA = CA
AD ，即C A
2= BC ⋅AD，
∵AD // BC，
∴∠ADB =∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD =∠CBD，
∴∠ADB =∠ABD，
∴AB = AD，
∴C A
2= BC ⋅AB，
∴△ABC是比例三角形；
(3)如图，过点A 作AH ⊥BD于点H，
∵AB = AD，
∴BH = 1
2 BD，
∵AD // BC，∠ADC =90
∘，
∴∠BCD =90
∘，
∴∠BHA =∠BCD =90
∘，
又∵∠ABH =∠DBC，
∴△ABH∽△DBC，
∴AB
DB = BH
BC ，即AB⋅BC = BH ⋅DB，
∴AB⋅BC = 1
2 B D
2，
又∵AB⋅BC = A C
2，
∴1
2 B D
2= A C
2，
∴BD
AC =√2．
【解析】(1)根据比例三角形的定义分A B
2= BC ⋅AC、BC
2= AB⋅AC、
A C
2= AB⋅BC三种情况分别代入计算可得；
(2)先证△ABC∽△DCA得C A
2= BC ⋅AD，再由∠ADB =∠CBD =∠ABD知
AB = AD即可得；
(3)作AH ⊥BD，由AB = AD知BH = 1
2 BD，再证△ABH∽△DBC得
AB⋅BC = BH ⋅DB，即AB⋅BC = 1
2 B D
2，结合AB⋅BC = A C
2知1
2 B D
2= A C
2，
据此可得答案．
本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练
掌握相似三角形的判定与性质．
[来源:Zxxk.Com]
26. 如图1，直线l：y =- 3
4 x +b与x 轴交于点A(4,0)，与y 轴交于点B，点C 是线段
OA 上一动点(0< AC < 16
5 ).以点A为圆心，AC 长为半径作⊙A交x 轴于另一点
D，交线段AB 于点E，连结OE 并延长交⊙A于点F．
(1)求直线l 的函数表达式和tan∠BAO的值；
(2)如图2，连结CE，当CE = EF时，
①求证：△OCE∽△OEA；
②求点E 的坐标；
(3)当点C 在线段OA 上运动时，求OE⋅EF的最大值．
【答案】解：∵直线l：y =- 3
4 x +b与x 轴交于点A(4,0)，
∴- 3
4 ×4 +b=0，
∴b=3，
∴直线l 的函数表达式y =- 3
4 x +3，
∴B(0,3)，
∴OA = 4，OB =3，
在Rt △AOB中，tan ∠BAO = OB
OA = 3
4 ；
(2)①如图2，连接DF，∵CE = EF，
∴∠CDE =∠FDE，
∴∠CDF =2∠CDE，
∵∠OAE =2∠CDE，
∴∠OAE =∠ODF，
∵四边形CEFD 是⊙O的圆内接四边形，
∴∠OEC =∠ODF，
∴∠OEC =∠OAE，
∵∠COE =∠EOA，
∴△COE∽△EOA，
②过点E⊥OA于M，
由①知，tan ∠OAB = 3
4 ，
设EM =3m，则AM = 4 m，
∴OM = 4 - 4 m，AE =5m，
∴E(4 - 4 m,3m)，AC =5m，∴
OC = 4 -5m，
由①知，△COE∽△EOA，
∴OC
OE = OE
OA ，
∴O E
2=OA ⋅OC = 4(4 -5m)=16-20m，
∵E(4 - 4 m,3m)，
∴(4 - 4 m)
2+9m
2=25m
2-32m+16，
∴25m
2-32m+16=16-20m，
∴m=0(舍)或m= 12
25，
∴4 - 4 m= 48
25 ，3m= 36
25，
∴( 48
25 , 36
25 )，
(3)如图，设⊙O的半径为r，过点O 作OG⊥AB于G，
∵A(4,0)，B(0,3)，
∴OA = 4，OB =3，
∴AB =5，
∴1
2 AB×OG = 1
2 OA ×OB，
∴OG = 12
5 ，
∴AG =
OG
tan ∠AOB = 12
5 × 4
3 = 16
5 ，
∴EG = AG - AE = 16
5 -r，
连接FH，
∵EH是⊙O直径，
∴EH =2r，∠EFH =90
∘=∠EGO，
∵∠OEG =∠HEF，
∴△OEG∽△HEF，
∴OE
HE = EG
EF ，
∴OE⋅EF = HE⋅EG =2r( 16
5 -r )=-2(r - 8
5 )
2+ 128
25 ，
∴r = 8
5 时，OE⋅EF最大值为128
25 ．
【解析】(1)利用待定系数法求出b 即可得出直线l 表达式，即可求出OA，OB，即可
得出结论；
(2)①先判断出∠CDF =2∠CDE，进而得出∠OAE =∠ODF，即可得出结论；
②设出EM =3m，AM = 4 m，进而得出点E 坐标，即可得出OE 的平方，再根据①
的相似得出比例式得出OE 的平方，建立方程即可得出结论；
(3)利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函
数，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
