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专题03 函数的概念及其性质（十八大题型十大易错题）
【题型1 函数的定义域】
1．集合M =¿，集合N =¿，则M ∩N等于（ ）
A．[−3,2)
B．[0,2)
C．[−3,3]
D．[0,3]
【答案】C
【分析】求出集合M、N，利用交集的定义可求得集合M ∩N.
【详解】因为M =¿，N =¿，
因此，M ∩N =[−3,3].
故选：C.
2．已知函数y = f (x +1)的定义域为[−1,4]，则y = f (2 x +1)
√x−1
的定义域为（ ）
A．(1,2]
B．[−1,9]
C．(1,9]
D．[−1,2]
【答案】A
【分析】求出函数f (x)的定义域，对于y = f (2 x +1)
√x−1 ，可得出关于实数x的不等式组，
即可解得函数y = f (2 x +1)
√x−1 的定义域.
【详解】对于函数y = f (x +1)，有−1≤x ≤4，则0≤x +1≤5，
所以，函数f (x)的定义域为[0,5]，
对于函数y = f (2 x +1)
√x−1 ，则有¿，解得1< x ≤2，
因此，函数y = f (2 x +1)
√x−1 的定义域为(1,2].
故选：A.
3．已知函数f (x)=√2−x，则函数g(x)= f (2 x)+ f (x
2)的定义域为（ ）
A．[−√2√2]
B．(−∞,√2]
C．[1,√2]
D．[−√2,1]
1
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【答案】D
【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可.
【详解】由题可知f (x)=√2−x的定义域为(−∞,2]，
则为使g( x)= f (2 x)+ f ( x
2)有意义必须且只需¿，
解得−√2≤x ≤1，
所以g(x)的定义域为[−√2,1].
故选：D
4．已知函数y = f(
1
2 x +1)的定义域是[2,4]，则函数g(x)=
f (x)
ln(x−2) 的定义域为 ．
【答案】(2,3).
【分析】由条件求出函数y = f(
1
2 x +1)解析式中1
2 x +1的范围，列出使得
g(x)=
f (x)
ln(x−2) 有意义的不等式，解不等式可得结论.
【详解】因为函数y = f(
1
2 x +1)的定义域是[2,4]，
所以2≤x ≤4，故2≤1
2 x +1≤3，
因为g(x)=
f (x)
ln(x−2) 有意义，
所以¿，所以2< x<3，
所以函数g(x)=
f (x)
ln(x−2) 的定义域为(2,3).
故答案为：(2,3).
5．函数f ( x)= √4−x
2
lg( x +1)
的定义域为 ．
【答案】(−1, 0)∪(0, 2]；
2
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【分析】根据函数的解析式，列出使得函数的解析式有意义的不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数f ( x)= √4−x
2
lg( x +1)有意义，则满足¿，解得−1< x ≤2且x≠0，
所以函数f (x)的定义域为(−1, 0)∪(0, 2].
故答案为：(−1, 0)∪(0, 2].
【点睛】方法点睛：常见的具体函数求定义域：
(1)偶次根号下的被开方数大于等于0；(2)分式中的分母不为0；(3)对数函数中真数大
于0.
【题型2 函数的解析式】
1．已知f (√x +1)= x +2，则函数f (x)的解析式为（ ）
A．f (x)= x
2
B．f (x)= x
2+1（x ≥1）
C．f (x)= x
2−2 x +2（x ≥1）
D．f (x)= x
2−2 x +3（x ≥1）
【答案】D
【分析】令√x +1=t (t ≥1)，采用换元法求函数的解析式.
【详解】令√x +1=t (t ≥1)，则x =(t −1)
2，
∴f (t )=(t −1)
2+2=t
2−2t +3，
所以f (x)= x
2−2 x +3(x ≥1).
故选：D.
2．已知函数f ( x)的定义域为R，且满足f ( x)+ f ( y)= f ( x + y)−2 xy +2，f (1)=2，若
x∈N
∗，则函数f ( x)的解析式为 .
【答案】f ( x)= x
2−x +2
【分析】根据f ( x)+ f ( y)= f ( x + y)−2 xy +2，令y =1，得f ( x +1)−f ( x)=2 x，依
次可得f ( x)−f ( x−1)=2( x−1)，⋯，f (2) −f (1) =2，累加可得函数解析式.
【详解】函数f ( x)的定义域为R，且满足f ( x)+ f ( y)= f ( x + y)−2 xy +2，
取y =1，得f ( x +1)−f ( x)=2 x，所以f ( x)−f ( x−1)=2( x−1)，
3
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f ( x−1)−f ( x−2)=2( x−2)，⋯，f (2) −f (1) =2，
以上各式相加得f ( x)= x
2−x +2．
故答案为：f ( x)= x
2−x +2.
3．（1）已知函数f (x)是一次函数，且f (f (x)+2 x)=5，求函数f (x)的解析式；
（2）已知f(√x + 1
√x)= x + 1
x −2，求函数f (x)的解析式；
【答案】（1）f (x)=−2 x−5
（2）f (x)= x
2−4 (x ≥2)
【分析】（1）首先设出函数f (x)的解析式，然后根据f (f (x)+2 x)=5求出参数，进而
得到函数f (x)的解析式.
（2）将函数进行化简，然后利用换元法求出函数的解析式.
【详解】（1）因为函数f (x)是一次函数，则设f (x)=kx +b(k ≠0).
由于f (f (x)+2 x)=5，所以f (kx +b+2 x)=5
所以k (kx +b+2 x)+b=5.化简得：k (k +2) x +b(k +1)=5
这是一个恒等式，所以k (k +2)=0，且b(k +1)=5.
所以k =−2,b=−5.
所以函数f (x)的解析式为f (x)=−2 x−5.
（2）f(√x + 1
√x)= x + 1
x −2=(√x + 1
√x)
2
−4，
令t =√x + 1
√x ，t =√x + 1
√x ≥2.
所以f (t )=t
2−4.
所以函数f (x)的解析式为f (x)= x
2−4 (x ≥2).
4．已知函数f (x)满足f(x−1
x)= x
3+ x
2−3 x +2+ 3
x + 1
x
2 −1
x
3，求函数f (x)的解析式．
4
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【答案】f (x)= x
3+ x
2+ 4
【分析】利用配凑法可求得函数f (x)的解析式.
【详解】因为f(x−1
x)= x
3−3 x + 3
x −1
x
3 +(x−1
x)
2
+ 4 =(x−1
x)
3
+(x−1
x)
2
+ 4．
故f (x)= x
3+ x
2+ 4．
【题型3 分段函数求值】
1．已知函数f (x)=¿且f (16)=2，则f (−1)=（ ）.
A．1
2.
B．1
4 .
C．2.
D．4.
【答案】D
【分析】代入f (16)=2中求出a的值，在利用分段函数代入求出即可.
【详解】由题可知f (16)=16
a=2
4 a=2，
解得a= 1
4 ，则f (−1)=(
1
4)
−1
= 4.
故选：D.
2．已知函数f (x)=¿则f [f (100)]=（ ）
A．10
10
B．100
C．2
D．1
【答案】B
【分析】可根据分段函数的定义，先求出f (100)的值，再将f (100)的值代入函数f ( x)
中，求出f [ f (100)]的值．
【详解】已知函数f ( x)=¿，因为100≥10，所以将x =100代入f ( x)=lg x中，可得
f (100)=lg100=2．
因为2<10，所以将x =2代入f ( x)=10
x中，可得f (2)=10
2=100．故f [ f (100)]=100．
故选：B．
3．已知f (x)=¿，则f [f (5)]=（ ）
5
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A．-1
B．0
C．1
2
D．1
【答案】D
【分析】结合分段函数解析式赋值即可.
【详解】由题意得f (5)= f (5−3)= f (2)= f (2−3)= f (−1)=cos(−π
2 )=0，
所以f [ f (5)]= f (0)=cos0=1，
故选：D.
4．设函数f (x)=¿则f(f(−π
3 ))=（ ）
A．−1
B．1
C．9
4
D．5
【答案】D
【分析】根据特殊角的余弦值和诱导公式，结合代入法进行求解即可.
【详解】
f(f(−π
3 ))= f[2cos(−π
3 )]= f(2cosπ
3 )= f(2× 1
2)= f (1)=1×(1+ 4)=5，
故选：D
5．已知函数f (x)>0，且f (x +1)=¿若f (8)=1，则（ ）
A．f (1)≥3
B．f (2)≤10
C．f (3)≤31
D．f (4)≤16
【答案】D
【分析】根据分段函数式，结合条件f (8)=1，反向逆推，考虑所含的六种不同情况，
逐一检验即得.
【详解】根据题设函数，由f (8)=1逆推，可有以下六种情况：
① f (8)=1→f (7)=2→f (6)= 4→f (5)=8→
f (4)=16→f (3)=32→f (2)=64→f (1)=128；
②f (8)=1→f (7)=2→f (6)= 4→f (5)=8→
f (4)=16→f (3)=32→f (2)=64→f (1)=21；
③f (8)=1→f (7)=2→f (6)= 4→f (5)=8→f (4)=16
→f (3)=5→f (2)=10→f (1)=20；
④f (8)=1→f (7)=2→f (6)= 4→f (5)=8→f (4)=16
6
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→f (3)=5→f (2)=10→f (1)=3；
⑤f (8)=1→f (7)=2→f (6)= 4→f (5)=1→
f (4)=2→f (3)= 4→f (2)=8→f (1)=16；
⑥f (8)=1→f (7)=2→f (6)= 4→f (5)=1→
f (4)=2→f (3)= 4→f (2)=1→f (1)=2.
综上，对于A，由情况⑥可知A 不正确；
对于B，C，由情况①可知B 不正确，C 也不正确；
对于D，由上分析知f (4)≤16，故D 正确.
故选：D.
【点睛】思路点睛：由条件f (8)=1和选项特点，考虑根据分段函数式进行逆推，在求
函数值过程中，要考虑条件的满足，以及可能出现的所有情况，再进行判断即可.
【题型4 分段函数与方程，不等式】
1．已知函数f (x)=¿，则不等式2f (x)+ x−2>0的解集为（ ）
A．¿
B．¿
C．¿
D．¿
【答案】A
【分析】分x ≤0和x>0两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】由题意可得¿或¿，
解得x<−1
2，
所以不等式2f (x)+ x−2>0的解集为¿.
故选：A
2．已知函数f (x)=¿则f (2 x)+ f (x−3)>0的解集是（ ）
A．(−∞,1)
B．(1,+ ∞)
C．(−∞,−3)
D．(−3,+ ∞)
【答案】A
【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可.
【详解】当x>0时，f (x)=1−e
x，−x<0，f (−x)=e−(−x)−1=e
x−1=−f (x)；
当x<0时，f (x)=e
−x−1，−x>0，f (−x)=1−e
−x=−f (x)；
且当x =0时，f (x)=0，
7
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所以f (x)为奇函数，
易知f (x)为R上的递减函数，
则f (2 x)+ f (x−3)>0⇔f (2 x)>−f (x−3)= f (3−x)⇒2 x<3−x⇒x<1，
所以原不等式的解集为(−∞,1).
故选：A
3．已知函数f (x)=¿，若f (a)<0，则实数a的取值范围为（ ）
A．(−∞,1)
B．(−∞,0)∪(0,1)
C．(1,+∞)
D．(−2,0)∪(2,+∞)
【答案】B
【分析】分a<0和a≥0两种情况解不等式.
【详解】若a<0，则f (a)=2a<0，恒成立，
若a≥0，则f (a)=a
2−a<0，解得0<a<1，
所以实数a的取值范围为(−∞,0)∪(0,1).
故选：B
4．已知函数f (x)=¿，则不等式f (f ( x))<4 f ( x)+1的解集是（ ）
A．(−1
3 ,0)
B．(−1
3 ,1)
C．(0,2)
D．(−1
3 ,log32)
【答案】D
【分析】利用换元法，令t = f ( x)，将问题进行转化，利用分段函数的性质进行分段分
析，结合函数图像分析即可解决问题.
【详解】令t = f ( x)，则f (f ( x))<4 f ( x)+1即为f (t )<4 t +1，
当t <0时，f (t )=3t +1>4 t +1，故f (t )<4t +1 无解，
当t ≥0时，f (t )=3
t ,f (t )<4 t +1即为3
t<4 t +1，
在同一平面直角坐标系下画出y =3
t和y = 4 t +1的大致图像如图，
8
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由图可得当且仅当0<t <2时，3
t<4t +1，
综上所述，f (t )<4 t +1的解为0<t <2，又t = f ( x)，
所以0<f ( x)<2，
当x<0时，f ( x)=3 x +1，
故0<3 x +1<2，解得：−1
3 < x< 1
3，所以−1
3 < x<0，
当x ≥0时，f ( x)=3
x，
故0<3
x<2，解得：x<log32，所以0≤x<log32，
综上所述，不等式f (f ( x))<4 f ( x)+1的解集是(−1
3 ,log32).
故选：D.
【题型5 函数单调性的判断与证明】
1．设f ( x), g( x)都是单调函数，有如下四个命题：
（1）若f ( x)单调递增，g( x)单调递增，则f ( x)−g( x)单调递增；
（2）若f ( x)单调递增，g( x)单调递减，则f ( x)−g( x)单调递增；
（3）若f ( x)单调递减，g( x)单调递增，则f ( x)−g( x)单调递减；
（4）若f ( x)单调递减，g( x)单调递减，则f ( x)−g( x)单调递减．
其中为真命题的是 （填序号）．
【答案】（2）（3）
【详解】由单调函数的性质知（2）（3）正确．
2．已知函数f (x)在R上是增函数，则下列说法错误的是（ ）
A．y =−f ( x)在R上是减函数
B．y =
1
f ( x)在R上是减函数
9
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C．y =[ f ( x)]
2在R上是增函数
D．y =af ( x)（a 为实数）在R上是增函数
【答案】BCD
【详解】设x1< x2，则必有f (x1)<f (x2)，所以−f (x1)>−f (x2)，所以选项A 一定成
立；其余三项不一定成立，如当f ( x)= x时，B，C 不成立；当a<0时，D 不成立．
【题型6 求函数的单调性】
1．函数f (x)=(
1
3)
2 x
2−3 x +11
的单调递减区间为（ ）
A．(−∞, 3
2]
B．[
3
2 ,+ ∞)
C．(−∞, 3
4]
D．[
3
4 ,+ ∞)
【答案】D
【分析】利用复合函数单调性来确定单调减区间即可.
【详解】因为函数y =2 x
2−3 x +11在(−∞, 3
4)上单调递减，在[
3
4 ,+∞)上单调递增，
y =(
1
3)
x
是减函数，根据复合函数的单调性，可得f (x)的单调递减区间为[
3
4 ,+ ∞)．
故选：D.
2．函数f (x)= x
2−4|x|+3的单调递增区间是（ ）
A．(−∞,−2)
B．(−∞,−2)和(0,2)
C．(−2,2)
D．(−2,0)和(2,+∞)
【答案】D
【分析】作出f (x)的图象，结合图象可得单调区间.
【详解】因为f (x)= x
2−4|x|+3=¿，
作出f (x)的图象，如图所示，
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由图象可知：函数f (x)的单调递增区间是(−2,0)和(2,+∞).
故选：D.
3．函数f ( x)= log2(x
2−2 x−3)的单调增区间是（ ）
A．(1,3)
B．(1,+ ∞)
C．(−∞,1)
D．(3,+∞)
【答案】D
【分析】复合函数单调性遵循“同增异减”，外层是增函数，内层函数的增区间是整
个函数的增区间，注意定义域.
【详解】f ( x)= log2(x
2−2 x−3)要满足x
2−2 x−3>0，解得：x>3或x<−1，又
y = log2u是增函数，所以只需求出g(x)= x
2−2 x−3的单调递增区间，
g(x)= x
2−2 x−3的对称轴为x =1，且开口向上，结合函数的定义域可得：
f ( x)= log2(x
2−2 x−3)的单调递增区间为(3,+∞)
故选：D
4．已知函数f ( x)=¿，则f ( x)的单调递增区间是 ．
【答案】(−∞,+ ∞)
【解析】分段分析函数的单调性，即可求出函数的递增区间.
【详解】当x ≥0时，f ( x)= x
2+1在[0,+∞)上单调递增，且f (0)=1
当x<0时，f ( x)=−x
2+1在(−∞,0)上单调递增，且x→0时，f (0)→1，
所以函数f ( x)在(−∞,+ ∞)上单调递增，
故答案为：(−∞,+ ∞)
【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，二次函数的单调性，属于中档题.
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【题型7 由单调性求参数的取值范围】
1．已知函数f (x)=¿在区间(−1,+∞)单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．(0,+∞)
B．[0,+ ∞)
C．(0,1]
D．[1,+∞)
【答案】D
【分析】根据二次函数和对数函数性质即可得到不等式组，解出即可.
【详解】当x<0时，f (x)= x
2+2 x =(x +1)
2−1，其在(−1,0)上单调递增，
若f ( x)在(−1,+∞)单调递增，∴¿，所以∴a≥1.
故选：D．
2．若函数f (x)=2
x
2+ax−3在(1,+ ∞)上单调，则a的取值范围是（ ）
A．[−2,+∞)
B．[−1,+ ∞)
C．(−∞,−2]
D．(−∞,−1]
【答案】A
【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可.
【详解】因为函数y =2
x在R上为增函数，y = x
2+ax−3在(−∞,−a
2)上为减函数，在
(−a
2 ,+ ∞)上为增函数，
且函数f (x)=2
x
2+ax−3在(1,+∞)上单调，
根据复合函数的单调性，可得−a
2 ≤1，即a≥−2，
所以a的取值范围是[−2,+∞).
故选：A.
3．已知函数f (x)= ln(x
2−ax)在(1,2)内单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥2
B．a≥1
C．a≤2
D．a≤1
【答案】D
【分析】根据同增异减可得t = x
2−ax的增减性，故可求实数a的取值范围.
【详解】设t = x
2−ax，因为y = ln t为(0,+∞)上的增函数，
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而f (x)= ln(x
2−ax)在(1,2)内单调递增，
故t = x
2−ax为(1,2)内的增函数，且t >0在(1,2)内恒成立，
故¿，故a≤1，
故选：D.
4．已知函数f (x)=¿在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．[−3,−2)
B．(−3,−2]
C．[−3,−2]
D．(−3,−2)
【答案】C
【分析】x ≤0的部分利用导数转换成不等式恒成立问题；x>0的部分利用二次函数的
性质即可判定；分段点处也要满足递减的性质，然后取交集即可得出答案.
【详解】因为函数f (x)=¿在R上单调递减，
所以当x ≤0时，f
′ (x)=a−2sin x ≤0恒成立，则a≤(2sin x)min=−2；
当x>0时，由f (x)=a x
2−x−2a−4在(0,+∞)上递减，
若a=0，f (x)=−x−4，合题意，
若a≠0，则¿，故a≤0;
又分段点处也要满足递减的性质，所以−2a−4≤2，解得a≥−3.
综上所述，a∈[−3,−2]，
故选：C．
5．已知函数f ( x)=¿是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是 .
【答案】−3≤a≤−2
【分析】根据题意，由函数的单调性列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为函数f (x)=¿是R上的增函数，
则¿，解得−3≤a≤−2.
故答案为：−3≤a≤−2.
6．已知函数f (x)=¿是R上的函数，且满足对于任意的x1≠x2，都有f ( x2)−f ( x1)
x1−x2
>0成立，
则a可能是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】BC
【分析】根据题目条件得到函数在R上单调递减，由分段函数的单调性得到不等式组，
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进而求得结论.
【详解】因为
f ( x2)−f ( x1)
x1−x2
>0，所以f ( x)在R上单调递减，
则要满足¿，解得¿，故a∈[2,3]．
故选：BC．
【题型8 利用函数单调性解决问题-比较大小】
1．设幂函数的图象经过点(4,2)．若0<a<b<1，则下列关系正确的是（ ）
A．f (a)<f (b)<f(
1
a)<f(
1
b)
B．f(
1
a)<f(
1
b)<f (b)<f (a)
C．f (a)<f (b)<f(
1
b)<f(
1
a)
D．f(
1
a)<f (a)<f(
1
b)<f (b)
【答案】C
【详解】解法1 设幂函数为f ( x)= x
α，将(4,2)代入得α = 1
2，所以f ( x)= x
1
2在
(0,+∞)上为增函数，又0<a<b<1，所以1
a > 1
b >1，即a<b< 1
b < 1
a，故
f (a)<f (b)<f(
1
b)<f(
1
a)．
解法2（特殊值法） 同解法1 知幂函数为f ( x)= x
1
2，不妨设a= 1
4 ，b= 1
2，则有
f (a)= f(
1
4)= 1
2，f (b)= f(
1
2)= √2
2 ，f(
1
a)= f (4)=2，f(
1
b)= f (2)=√2，从而可
得C 正确．
2．已知定义在R上的函数f (x)满足：f (x +2)−f (x)≤2 x ,f (x + 4)−f (x−2)≥6 x，且
f (1)= f (2)=1，则（ ）
A．f (20)>181
B．f (20)<181
C．f (21)>200
D．f (21)<200
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【答案】C
【分析】由已知可得f (x + 4)−f (x−2)≤6 x，进而可得f (x +2)−f (x)=2 x，求得
f (20)可判断AB；求得f (21)可判断CD.
【详解】由f (x +2)−f (x)≤2 x得，
f (x + 4)−f (x +2)≤2(x +2),f (x)−f (x−2)≤2(x−2)，三式相加得，
f (x + 4)−f (x +2)+ f (x +2)−f (x)+ f (x)−f (x−2)≤2(x +2)+2 x +2(x−2)=6 x，
即f (x + 4)−f (x−2)≤6 x，又f (x + 4)−f (x−2)≥6 x，所以f (x + 4)−f (x−2)=6 x，
则f (x +2)−f (x)=2 x，
所以f (20)= f (20)−f (18)+ f (18)−f (16)+⋯+ f (4)−f (2)+ f (2)
=2×(18+16+14 +⋯+2)+1=2× 9×(18+2)
2
+1=181,故A，B 错误；
f (21)= f (21)−f (19)+ f (19)−f (17)+⋯+ f (3)−f (1)+ f (1)=2×(19+17+15+⋯+1)+1
=2× 10×(19+1)
2
+1=201，故C 正确，D 错误.
故选：C．
3．已知a=ln1.2,b=0.2,c =√1.2−1，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<c<b
B．c<a<b
C．c<b<a
D．a<b<c
【答案】B
【分析】构造函数f (x)= x−ln(1+ x)(x>0)，由导数得出单调性即可得出b>a，构造
g(x)=ln(1+ x)−(√1+ x−1)，由导数得出单调性，即可得出a>c．
【详解】构造函数f (x)= x−ln(1+ x)(x>0),f
′ (x)=1−
1
1+ x =
x
1+ x ，
当x>0时，f
′ (x)>0，故f (x)在(0,+∞)上单调递增，
所以f (0.2)=0.2−ln1.2>f (0)=0⇒b>a，
构造函数g(x)=ln(1+ x)−(√1+ x−1)，
则g
′ (x)=
1
1+ x −
1
2√1+ x = 2−√1+ x
2(1+ x) ，
当x∈(0,2), g
' (x)>0, g(x)在(0,2)单调递增，
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所以g(0.2)=ln1.2−(√1.2−1)>g(0)=ln1−(1−1)=0，即a>c，
所以c<a<b.
故选：B．
4．已知函数f (x)= x
2−2cos x，则f (2√2)，f(log 1
3
2)，f (log23)的大小关系是（ ）
A．f(log 1
3
2)<f (log23)<f (2√2)
B．f(log 1
3
2)<f (2√2)<f (log23)
C．f (log23)<f(log 1
3
2)<f (2√2)
D．f (2√2)<f (log23)<f(log 1
3
2)
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性，然后利用导数判断单调性，根据单调性比较大小即可.
【详解】当x∈R时，f (−x)=(−x)
2−2cos(−x)= x
2−2cos x = f (x)，
所以f (x)是为偶函数．
又f
′ (x)=2 x +2sin x，
当x>0时，令g(x)=2 x +2sin x，
则g
′ (x)=2(1+cos x)≥0，
所以f
′ (x)在(0,+ ∞)上单调递增，所以f
′ (x)>f
′ (0)=0，
所以f (x)在(0,+ ∞)上单调递增，
f(log 1
3
2)= f (−log32)= f (log32)，
又0<log32<1,log23>1， log23<log24 =2<2√2，
所以f(log 1
3
2)<f (log23)<f (2√2)，
故选：A
5．设a=e
2
4−ln 4 ，b= 2
ln2 ，c =e，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a<c<b
B．a<b<c
C．c<a<b
D．b<c<a
【答案】C
【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而利用单调性比较大小.
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【详解】设f (x)=
x
ln x
(x ≥e)，
则a=
e
2
2
lne
2
2
= f(
e
2
2)，b= 2
ln2 =
4
ln 4 = f (4)，c =e=e
lne = f (e)，
因为f
′ (x)=ln x−1
(ln x)
2 ，当x>e时，f
′ (x)>0，所以f (x)在(e,+ ∞)上单调递增．
又e<e
2
2 <4，所以c<a<b．
故选：C
【题型9 利用函数单调性解决问题- 解不等式】
1．若定义在R上的偶函数f (x)在(−∞,0]上单调递减，且f (2)=0，则满足
(x +1)f (x−1)≥0的x的取值范围是（ ）
A．[−1,1]∪[3,+ ∞)B．{−1}∪[1,+∞)
C．[−1,0]∪[1,+∞)
D．{−1}∪[3,+ ∞)
【答案】D
【分析】根据函数是偶函数及函数单调性，分类讨论计算求解不等式即可.
【详解】因为定义在R上的偶函数f (x)在(−∞,0]上单调递减，且f (2)=0，则
f (−2)=0，
则x∈(−2,2),f (x)<0；x∈(−∞,−2)∪(2,+ ∞),f (x)>0；
当x−1≥2即x ≥3时，f (x−1)≥0，x +1≥4，(x +1)f (x−1)≥0成立；
当−2< x−1<2时，0< x +1<4，f (x−1)<0，(x +1)f (x−1)<0；
当x−1<−2时，x +1<0，f (x−1)>0，(x +1)f (x−1)<0；
当x−1=−2即x =−1时，(x +1)f (x−1)=0，
所以x的取值范围是{−1}∪[3,+∞)．
故选：D．
2．已知f (x)为R上的减函数，则满足f (x
2−2 x)<f (3)的实数x的取值范围是（ ）
A．[−1,3]
B．(−∞,−1)∪(3,+ ∞)
C．(−3,3)
D．
(−∞,−3)∪(1,+ ∞)
【答案】B
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【详解】因为f ( x)为R上的减函数，且f (x
2−2 x)<f (3)，所以x
2−2 x>3，即
x
2−2 x−3>0，解得x<−1或x>3．
3．已知奇函数f (x)在R上单调递减，若f (m)+ f (m−2)<f (0)，则m的取值范围为（ ）
A．(−∞, 1
2)
B．(−∞,1)
C．(
1
2 ,+ ∞)
D．(1,+∞)
【答案】D
【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于m的不等式，
求出m的取值范围.
【详解】因为奇函数f (x)在R上有定义，所以f (0)=0，
所以f (m−2)<−f (m)= f (−m)
所以m−2>−m，解得m>1.
所以m的取值范围为(1,+∞).
故选：D.
4．已知函数f ( x)=¿则不等式f (x−1)<0的解集为（ ）
A．(−2,0)
B．(−∞,−2)∪(0,+∞)
C．(0,2) D．
(−∞,0)∪(2,+∞)
【答案】D
【分析】分x−1<0，x−1≥0两种情况，结合函数性质求解即可.
【详解】当x−1<0时，即x<1有，f (x−1)=2
x−1+ x−1
2，
因为y =2
x−1，y = x−1
2在区间(−∞,1)上均为单调递增函数，
所以f (x−1)=2
x−1+ x−1
2在区间(−∞,1)上也为单调递增函数，
因为x =0时，f (0−1)= f (−1)=2
−1−1+ 1
2 =0，
所以f (x−1)<0的解为x<0，
当x−1≥0时，即x ≥1有，f (x−1)=1−2
x−1+ 2
x ，
因为y =−2
x−1，y =1+ 2
x 在区间[1,+ ∞)上均为单调递减函数，
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所以f (x−1)=1−2
x−1+ 2
x 在区间[1,+∞)上也为单调递减函数，
因为x =2时，f (2−1)= f (1)=1−2+ 2
2 =0，
所以f (x−1)<0的解为x>2，
综上，不等式f (x−1)<0的解集为(−∞,0)∪(2,+∞).
故选：D
5．已知定义域为R的函数f ( x)满足f (1)= 1
e ，且f ( x)+ f
′( x)<0，则不等式
f ( x +1)> 1
e
x +1 的解集是（ ）
A．(2,+ ∞)
B．(−∞,2)
C．(0,+∞)
D．(−∞,0)
【答案】D
【分析】构造函数g( x)=e
x f ( x)，利用导数研究g( x)的单调性，进而利用g( x)的单
调性解不等式即可.
【详解】令g( x)=e
x f ( x)，则g
′( x)=e
x[f ( x)+ f
′( x)]<0，
所以g( x)在R上单调递减，
因为g(1)= e
1f (1)=1，
所以不等式f ( x +1)> 1
e
x +1 可变为e
x +1f ( x +1)>1，即g( x +1)> g(1)，
所以x +1<1，即x<0，
所以不等式f ( x +1)> 1
e
x +1 的解集为(−∞,0).
故选：D.
6．已知函数f (x)=ln(e
2 x+1)−x，若f (logm2)≤ln(e+ 1
e)，则m 的取值范围为（ ）
A．[
1
2 ,1)∪(1,2]
B．[
1
2 ,1)∪(1,+ ∞)
C．(0, 1
2]∪[2,+∞)
D．(0,1)∪[2,+∞)
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【答案】C
【分析】先判断函数奇偶性和单调性性质，再利用性质求解不等式.将ln(e+ 1
e)化为
f (1)，由奇偶性把f (logm2)≤ln(e+ 1
e)化为f (|logm2|)≤f (1)，再根据单调性得
|logm2|≤1，解此不等式取交集得m范围.
【详解】显然f (x)的定义域为R，
因为f (−x)= ln(e
−2 x+1)−(−x)= ln(
1+e
2 x
e
2 x )+ x =ln(e
2 x+1)−2 x + x
=ln(e
2 x+1)−x = f (x)，所以f (x)为偶函数．
又f (x)=ln(e
2 x+1)−x = ln(e
2 x+1)−lne
x =lne
2 x+1
e
x
=ln(e
x+ 1
e
x)，
令t =e
x+ 1
e
x ，令u=e
x，u∈(0,+∞)，则t =u+ 1
u，且u=e
x在R上单调递增，
当x>0时，u>1，又t =u+ 1
u在(1,+∞)单调递增，所以t =e
x+ 1
e
x 在(0,+ ∞)单调递增；
当x<0时，0<u<1，又t =u+ 1
u 在(0,1)单调递减，所以t =e
x+ 1
e
t 在(−∞,0)上单调递
减，
（也可利用定义求证单调性）
又y = lnt在(0,+ ∞)上单调递增，
所以f (x)= ln(e
x+ 1
e
x)在(0,+ ∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减．
又ln(e+ 1
e)=lne
2+1
e
=ln(e
2+1)−1= f (1)，f (x)为偶函数，
所以f (logm2)≤ln(e+ 1
e)等价于f (|logm2|)≤f (1)，
所以|logm2|≤1，故|
1
log2m|≤1，则|log2m|≥1，即log2m≤−1或log2m≥1，
得0<m≤1
2或m≥2.
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综上，m 的取值范围为(0, 1
2]∪[2,+∞).
故选：C．
【题型10 函数奇偶性的判断】
1．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）
A．y =e
x−1
B．y = x sin x
C．y = 2
x
D．y = x−1
x
【答案】D
【分析】根据奇偶性的定义，判断各函数的奇偶性，再判断值域即可.
【详解】对于函数y =e
x−1，定义域为R，而f (−x)≠−f (x)，∴该函数不是奇函数.
故A 错误.
对于函数y = x sin x，定义域为R，
f (−x)=(−x)sin (−x)=(−x)×(−sin x)= x sin x = f (x)，∴该函数是偶函数，不是奇
函数.故B 错误.
对于函数y = 2
x ，定义域为¿，f (−x)= 2
−x =−2
x =−f (x)，∴该函数是奇函数.对于值
域，其值域为(−∞,0)∪(0,+∞)，不是R.故C 错误.
对于函数y = x−1
x ，定义域为¿，f (−x)=−x−1
−x =−(x−1
x)=−f (x)，∴该函数是
奇函数.当x趋于正无穷时，y = x−1
x 趋于正无穷；当x趋于负无穷时，y = x−1
x 趋于
负无穷；并且函数在定义域内是连续的，∴值域为R.故D 正确.
故选:D.
2．下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ）
A．f (x)=sin x−x
2
B．f (x)= ln 2−x
2+ x
C．f (x)=e
x+e
−x
2
D．f (x)= 2
x−1
2
x+1
【答案】D
【分析】利用函数奇偶性的定义、复合函数的单调性逐项判断即可.
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【详解】对于A 选项，函数f (x)=sin x−x
2的定义域为R，
因为f(
π
2 )=1−π
4 ，f(−π
2 )=−1−π
4 ，故f(−π
2 )≠−f(
π
2 )，
所以，函数f (x)=sin x−x
2不是奇函数，A 不满足；
对于B 选项，对于函数f (x)= ln 2−x
2+ x ，由2−x
2+ x >0可得x−2
x +2 <0，解得−2< x<2，
所以，函数f (x)的定义域为(−2,2)，
因为f (−x)= ln 2+ x
2−x =−ln 2−x
2+ x =−f (x)，故函数f (x)为奇函数，
因为内层函数u= 2−x
2+ x = 4−(2+ x)
2+ x
=
4
2+ x −1在(−2,2)上单调递减，
外层函数y = lnu为增函数，故函数f (x)在定义域(−2,2)上单调递减，B 不满足；
对于C 选项，函数f (x)=e
x+e
−x
2
的定义域为R，f (−x)=e
−x+e
x
2
= f (x)，
故函数f (x)为偶函数，C 不满足；
对于D 选项，对任意的x∈R，2
x+1>0，即函数f (x)= 2
x−1
2
x+1
的定义域为R，
f (−x)= 2
−x−1
2
−x+1
= 2
x(2
−x−1)
2
x(2
−x+1)
= 1−2
x
1+2
x =−f (x)，即函数f (x)为奇函数，
因为f (x)= 2
x−1
2
x+1
= (2
x+1)−2
2
x+1
=1−
2
2
x+1
，
内层函数u=2
x+1为增函数，外层函数y =1−2
u在(0,+ ∞)上为增函数，
所以，f (x)在定义域R上为增函数，D 满足.
故选：D.
3．已知f (x)=¿下列选项中能使f (x)既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．g(x)= x
B．g(x)= x
2
C．g(x)=e
x
D．g(x)=ln|x|
【答案】B
【分析】作出函数图象判断即可.
【详解】
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对于A 选项：如图，不符，
对于B 选项：如图，符合，
对于C 选项：如图，不符，
对于D 选项：如图，不符，
故选：B.
4．下列函数是偶函数的是（ ）
A．f ( x)=lg|x
2−1|B．f ( x)= lne
√e
x
2+ 4 C．f ( x)=lg 1+ x
1−x D．
f ( x)= log3(√x
2+1−x)
【答案】AB
【详解】在A 中，f (x)的定义域关于原点对称，且
f (−x)=lg|(−x)
2−1|=lg|x
2−1|= f ( x)，则f ( x)是偶函数；在B 中，f ( x)的定义域
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关于原点对称，且f (−x)= lne
√e
(−x)
2+ 4 = lne
√e
x
2+ 4 = f ( x)，则f ( x)是偶函数；在C 中，
f ( x)的定义域关于原点对称，且f (−x)=lg 1−x
1+ x =lg(
1+ x
1−x)
−1
=−lg 1+ x
1−x =−f ( x)，
则f ( x)是奇函数；在D 中，f ( x)的定义域关于原点对称，
f (−x)= log3(√(−x)
2+1+ x),f (−x)+ f ( x)= log31=0，则f (−x)=−f ( x)，则
f ( x)是奇函数．
5．下列函数中，既是偶函数，又在(0,+ ∞)上单调递增的是（ ）
A．y = x
2+2
B．y =|e
x−1|
C．y =lg|x|+1
D．y = x + 4
x
【答案】AC
【分析】求出各个函数的定义域，代入−x判断函数奇偶性，进而结合二次函数以及对
数函数的性质，即可得出单调性.
【详解】设f (x)= x
2+2，g(x)=|e
x−1|，h(x)=lg|x|+1，k (x)= x + 4
x
对于A 项，易知f (x)= x
2+2定义域为R，
且f (−x)=(−x)
2+2= f (x)，所以f (x)= x
2+2为偶函数.
根据二次函数的性质可知，f (x)= x
2+2在(0,+∞)上单调递增.故A 正确；
对于B 项，g(x)=|e
x−1|定义域为R，
且g(−x)=|e
−x−1|≠g(x)，所以g(x)=|e
x−1|不是偶函数.故B 错误；
对于C 项，h(x)=lg|x|+1定义域为{x| x≠0}，
且h(−x)=lg|−x|+1=lg|x|+1=h(x).
当x>0时，h(x)=lg x +1在(0,+∞)上单调递增.故C 正确；
对于D 项，k (x)= x + 4
x 定义域为{x| x≠0}，
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且k (−x)=−x + 4
−x =−(x + 4
x)=−k (x)，所以k (x)= x + 4
x 为奇函数.故D 错误.
故选：AC.
【题型11 函数奇偶性的应用-求解析式（参数或值）】
1．若函数y = f (x−1)是偶函数，则f (x)=（ ）
A．f (−2+ x)
B．f (2+ x)
C．f (−2−x)
D．f (2−x)
【答案】C
【详解】因为函数y = f (x−1)是偶函数，所以f (−x−1)= f (x−1)，故
f (x)= f (−2−x)．
2．奇函数f (x)在(0,+ ∞)上的解析式是f (x)= x (1−x)，则函数f (x)在(−∞,0)上的解析式
是（ ）
A．f (x)=−x (x−1)
B．f (x)= x (1+ x)
C．f (x)=−x (1+ x)
D．f (x)= x (x−1)
【答案】B
【分析】令x∈(−∞,0)，则−x∈(0,+∞)，求出f (−x)，再根据函数为奇函数即可
得解.
【详解】令x∈(−∞,0)，则−x∈(0,+∞)，由已知可得f (−x)=−x (1+ x)，
因为f (x)为奇函数，所以f (−x)=−f (x)，
所以当x∈(−∞,0)时，f (x)=−f (−x)= x (1+ x)．
故选：B．
3．已知函数f (x)=¿是奇函数，则x>0时，g(x)的解析式为（ ）
A．−(
1
2)
x
B．(
1
2)
x
C．−2
x
D．2
x
【答案】C
【分析】设x>0，利用x<0时，f (x)=(
1
2)
x
和f (−x)=−f (x)可求得g(x)的解析式.
【详解】设x>0，则−x<0，
所以f (−x)=(
1
2)
−x
=2
x，
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又函数f (x)是奇函数，所以f (−x)=−f (x)，即−f (x)=2
x ⇒ f (x)=−2
x，x>0.
即g(x)=−2
x.
故选：C
4．已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且当x ≥0时，f (x)= x
2−3 x，则当x<0时，f (x)
的解析式为（ ）
A．x
2−3 x
B．−x
2−3 x
C．−x
2+3 x
D．x
2+3 x
【答案】D
【分析】利用偶函数的定义，直接求函数解析式.
【详解】由函数f (x)为偶函数，
得当x<0时，−x>0，f (−x)=(−x)
2−3(−x)= x
2+3 x = f (x)，
故选：D.
【题型12 函数奇偶性的应用-奇偶性与单调性】
5．已知f (x)是定义在R上的偶函数，函数g(x)满足g(x)+ g(−x)=0，且f (x)、g(x)在
(−∞,0]单调递减，则（ ）
A．f (g(x))在[0,+ ∞)单调递减
B．g(g(x))在(−∞,0]单调递减
C．g(f (x))在[0,+ ∞)单调递淢
D．f (f (x))在(−∞,0]单调递减
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性与单调性一一判定选项即可.
【详解】由题意知f (x)在[0,+∞)单调递增，g(x)为奇函数，在R上单调递减.
设0≤x1< x2，则g(x2)<g(x1)≤0，f (g(x2))>f (g(x1))，
所以f (g(x))在[0,+ ∞)单调递增，故A 错误，
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设x1< x2≤0，则g(x1)>g(x2)，g(g(x1))< g(g(x2))，
所以g(g(x))在(−∞,0]单调递增，故B 错误；
设0≤x1< x2，则f (x1)<f (x2)，g(f (x1))> g(f (x2))，
所以g(f (x))在[0,+ ∞)单调递减，故C 正确；
取f (x)= x
2−1，则f (f (x))=(x
2−1)
2−1，f (f (0))=0，f (f (−1))=−1，
此时f (f (x))在(−∞,0]不单调递减，故D 错误.
故选：C.
6．已知幂函数f (x)=(m
2−3m+1) x
m−1是R上的偶函数，且函数g(x)= f (x)+(4−2n) x在
区间[1,5]上单调，则实数n的取值范围为（ ）
A．(−∞,3]
B．[7 ,+ ∞)
C．[3,7]
D．¿
【答案】D
【分析】根据吗函数的定义和图象与性质可得f ( x)= x
2，进而求出g( x)，结合二次函
数在区间上单调性求出参数n即可.
【详解】由幂函数的定义知，m
2−3m+1=1，解得m=0或m=3，
当m=0时，f ( x)= x
−1，为奇函数，不符合题意；
当m=3时，f ( x)= x
2，为偶函数，符合题意，故f ( x)= x
2.
所以g( x)= x
2+(4−2n)x，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线x =n−2，
又g( x)在[1,5]上单调，则n−2≤1或5≤n−2，
解得n≤3或n≥7，即实数n的取值范围为(−∞,3]∪[7,+∞).
故选：D
7．函数f (x)=ln(e
x+1)−x
2（ ）
A．是偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增
B．是偶函数，且在区间(0,+∞)上单调
递㺂
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C．是奇函数，且在区间(0,+∞)上单调递增
D．既不是奇函数，也不是偶函数
【答案】A
【分析】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性.
【详解】∵f (x)的定义域为R，
f (−x)=ln(e
−x+1)+ x
2 =ln(e
x+1)−x + x
2 =ln(e
x+1)−x
2 = f (x)，
∴f (x)为偶函数；
当x>0时，f
′ (x)=e
x
e
x+1
−1
2 =e
x−1
2(e
x+1)
>0,∴f (x)在区间(0,+ ∞)上单调递增.
故选：A.
【题型13 函数的奇偶性与最值】
1．已知f (x)=ln(2+ x)+ln(1+ax)是偶函数，则f (x)的最大值为 .
【答案】ln2
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可得a=−1
2，再由利用导数求得函数单调
性可得其最大值.
【详解】因为函数f (x)为偶函数，所以其定义域关于原点对称，
易知定义域为¿，即¿，因此ax>−1的解集为{x| x<2}；
即可得−1
a =2，所以a=−1
2；
此时f (x)=ln(2+ x)+ln(
2−x
2 )=ln(2+ x)+ln(2−x)−ln 2，
经检验满足f (x)= f (−x)，符合题意；
此时f (x)的定义域为(−2,2)，且f
' (x)=
1
2+ x −
1
2−x = −2 x
4−x
2，
易知当x∈(−2,0)时，f
′ (x)>0，即f (x)在(−2,0)上单调递增，
当x∈(0,2)时，f
′ (x)<0，即f (x)在(0,2)上单调递减，
可知f (x)在x =0处取得极大值，也是最大值，即f (0)= ln 2；
所以f (x)的最大值为ln2.
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故答案为：ln2
2．已f (x)=3sin x +cos(x +φ)（0<φ<π）是奇函数，则f (x)的最大值为 ．
【答案】2
【分析】首先由奇偶性求得φ=π
2 ，则f (x)=2sin x，由正弦函数的性质可得最大值.
【详解】因为f (x)=3sin x +cos(x +φ)为奇函数，所以f (0)=3sin 0+cos(0+φ)=0，
所以cosφ =0，由于0<φ<π，所以φ =π
2 ，
所以f (x)=3sin x +cos(x +π
2 )=2sin x∈[−2,2]，
所以f (x)=2sin x的最大值为2，
故答案为：2.
3．若函数y = f (x)是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f (x)= x + 4
x ，则函数y = f (x)在
(−∞,0)上的最大值为 .
【答案】−4
【分析】由对勾函数性质以及奇函数性质即可得解.
【详解】由题意知，当x>0时，在x =2时取到最小值f (2)= 4，
则由奇偶性可知函数y = f (x)在(−∞,0)上的最大值为f (−2)=−4.
故答案为：−4.
4．函数f (x)=e|x|+cos x +1在区间[−π,π]上的最大值为
【答案】e
π
【分析】根据函数的奇偶性可得f ( x)为偶函数，利用导数求解x ≥0上的单调性，即可
求解最值.
【详解】因为f (−x)=e|−x|+cos(−x)+1=e|x|+cos x +1= f (x)，所以f ( x)为偶函数，
当x ≥0时，f (x)=e
x+cos x +1，f
′ (x)=e
x−sin x.
易知当x ≥0时，e
x≥1，sin x ≤1，则f
' (x)=e
x−sin x ≥0，
所以f ( x)在[0,π]上单调递增，所以f ( x)在[0,π]上的最大值为f (π)=e
π，
根据偶函数的性质可知，函数f (x)=e|x|+cos x +1在区间[−π,π]上的最大值为e
π.
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故答案为：e
π
5．偶函数y =(x −m)
2在区间[a,1]上的最大值为4，则实数a= ．
【答案】−2
【分析】根据条件得到y = x
2，再利用二次函数的性质，结合条件，即可求解.
【详解】因为y =(x −m)
2是偶函数，则m=0，则y = x
2，
又y = x
2在区间[a,1]上的最大值为4，且当x =1时，y =1，
所以¿，解得a=−2，
故答案为：−2.
6．如果奇函数f ( x)在区间[−7 ,−3]上单调递减且最大值为5，那么函数f ( x)在区间
[3,7]上最小值 .
【答案】−5
【分析】直接利用奇函数的对称性与单调性即可得出所求的答案.
【详解】因为奇函数f ( x)在区间[−7,−3]上单调递减且最大值为5，
根据奇函数关于原点对称，
所以f ( x)在区间[3,7]上单调递减且最小值为−5.
故答案为：−5.
【题型14 函数图像的对称性】
1．已知定义在R 上的函数f ( x)满足f (2 x +1)为奇函数，且f ( x)的图象关于直线x =2对称，
则∑
i=1
2025
❑f (i)=（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【分析】通过已知条件推导出函数的对称中心、对称轴，进而得出函数的周期，再利
用周期的性质计算给定求和式的值.
【详解】由f (2 x +1)为奇函数，得f (−2 x +1)+ f (2 x +1)=0，
所以f ( x)图象的对称中心为(1,0)，令x =0⇒f (1)=0
由f ( x)的图象关于直线x =2对称，得f (2+ x)= f (2−x)，
由¿得f ( x +2)=−f ( x)，所以f ( x + 4)=−f ( x +2)= f ( x)，
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则f ( x)的一个周期为4，则f (1)+ f (3)=0,f (2)+ f (4)=0,
则
∑
i=1
2025
❑f (i)=506×[ f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)]+ f (2025)=506×[ f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)]+ f (1)=0
．
故选：B.
2．函数y =2
x与y =−2
−x的图象关于（ ）
A．x轴对称
B．y轴对称
C．直线y = x对称
D．原点中心对称
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对称性逐项判断即得.
【详解】令函数f ( x)=2
x，g( x)=−2
−x，
对于A，f (1)=2，g(1)=−1
2，f (1)≠−g(1)，A 错误；
对于B，f (1)=2，g(−1)=−2，f (1)≠g(−1)，B 错误；
对于C，点(1,2)在y =2
x的图象上，而g(2)=−1
4 ，即点(2,1)不在y =−2
−x的图象上，
C 错误；
对于D，∀x0∈R，f ( x0)=2
x0=−[−2
−(−x0)]=−g(−x0)，两个函数图象关于原点
中心对称，D 正确.
故选：D
3．已知y = f (x)是定义在R上的函数，则“其图象关于点P(a,b)成中心对称图形”是“函
数y = f (x +a)−b为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用函数对称性的定义、奇偶性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断
可得出结论.
【详解】若函数y = f (x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形，且函数f (x)的定义域
为R，
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则f (a−x)+ f (a+ x)=2b，即f (a+ x)−b=−f (a−x)+b，
设g(x)= f (a+ x)−b，则函数g(x)的定义域为R，
则g(x)=−g(−x)，即函数g(x)= f (a+ x)−b为奇函数，
因此，“y = f (x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形”是“函数y = f (x +a)−b为
奇函数”的充要条件.
故选：C.
4．已知y = f ( x)满足f ( x +1)= f (1−x),f ( x +2)= f ( x)+2，且当x∈[0,1]时，
f (x)=e
x，则f(
2023
2 )的值为（ ）
A．e
1
2 +1011
B．e
1
2 +1010
C．e
−1
2 +1011
D．e
−1
2 +1010
【答案】B
【分析】根据函数的对称性结合累加法可求函数值.
【详解】由f ( x +1)= f (1−x)，可知函数图像关于x =1对称，
又f ( x +2)= f ( x)+2，由累加法可得：
f(
2023
2 )= f(
3
2 +505×2)= f(
3
2)+505×2，
又f(
3
2)= f(
1
2)=e
1
2，
所以f(
2023
2 )=e
1
2 +1010，
故选：B
5．函数y =|3 x +2|的图象的对称轴是直线（ ）
A．x =2
B．x =−2
C．x = 2
3
D．x =−2
3
【答案】D
【分析】根据函数的对称性判断即可.
【详解】记y = f (x)=|3 x +2|，
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因为f(−4
3 −x)=|3×(−4
3 −x)+2|=|−3 x−2|=|3 x +2|= f (x)，
所以函数y =|3 x +2|的图象的对称轴是直线x =−2
3.
故选：D
【题型15 函数的周期性】
1．若f (n)= tan nπ
3 ，（n∈N
*），则f (1)+ f (2)+ f (3)+⋅⋅⋅+ f (2026)=（ ）
A．−√3
B．√3
C．0
D．−2√3
【答案】B
【分析】由函数f (n)= tan nπ
3 是周期为3 的周期函数，计算f (1),f (2),f (3)的值，
结合周期性，即可求解.
【详解】因为函数f (n)= tan nπ
3 (n∈N
∗)是周期为3 的周期函数，
且f (1)= tanπ
3 =√3，f (2)= tan 2π
3 =−√3，f (3) =tanπ =0，
所以f (1)+ f (2)+ f (3)+⋅⋅⋅+ f (2026)=675[f (1)+ f (2)+ f (3)]+ f (1)=√3．
故选：B.
2．已知f (x)是定义域为R的奇函数，且f (2+ x)= f (−x)，若f (1)=2，则f (7)+ f (10)=
（ ）
A．2
B．1
C．−1
D．−2
【答案】D
【分析】推导出函数f (x)是周期为4的周期函数，结合奇函数的性质和周期性可求得
f (7)+ f (10)的值.
【详解】因为f (x)是定义域为R的奇函数，且f (2+ x)= f (−x)，
则f (x +2)=−f (x)，故f (x + 4)=−f (x +2)= f (x)，
所以，函数f (x)是周期为4的周期函数，由奇函数的性质可得f (0)=0，
所以，f (7)= f (−1)=−f (1)=−2，f (10)= f (2)=−f (0)=0，
因此，f (7)+ f (10)=−2.
故选：D.
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3．已知偶函数f (x)满足：f
2(x)+ f
2(x +2)= 4，且f (x)f(x + 1
2)>0，若f (2)<0，则
f (2025)=（ ）
A．1
B．√2
C．−√2
D．−1
【答案】C
【分析】用x代换x +2，可得f
2(x +2)+ f
2(x + 4)= 4，联立方程组，求得
f (x + 4)=± f (x)，结合函数f (x)为偶函数，且f (x)f(x + 1
2)>0，得到f (x + 4)= f (x)，
可则f (x)是周期为4的函数，令x =−1，求得f (1)=−√2，结合
f (2025)= f (506×4 +1)= f (1)，即可求解.
【详解】由f
2(x)+ f
2(x +2)= 4，用x代换x +2，可得f
2(x +2)+ f
2(x + 4)= 4，
联立方程组¿，可得f
2(x + 4)= f
2(x)，即f (x + 4)=± f (x)，
又由函数f (x)为偶函数，且f (x)f(x + 1
2)>0，可得f (x)与f ( x + 1
2 )同号，
所以f (x + 4)= f (x)，可得函数f (x)是周期为4的函数，
因为f (2)<0，f (1)与f (2)同号，则f (1)<0，
令x =−1，可得f
2(−1)+ f
2(1)=2f
2(1)= 4，所以f (1)=−√2，
则f (2025)= f (506×4 +1)= f (1)=−√2.
故选：C.
4．已知函数f (x)是定义在R上且周期为2的奇函数，则f (−5)=（ ）
A．−5
B．0
C．2
D．5
【答案】B
【分析】由函数周期性的定义可得出f (1)= f (−1)，再结合奇函数的定义可得出f (1)的
值，由此可得出f (−5)的值.
【详解】因为函数f (x)是定义在R上且周期为2的奇函数，则
f (−5)= f (−5+ 4)= f (−1)，
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又因为f (−5)= f (−5+6)= f (1)，所以，f (1)= f (−1)=−f (1)，故f (1)=0，
即f (−5)= f (1)=0.
故选：B.
【题型16 函数的奇偶性，对称性与周期性】
1．已知定义域为R 的奇函数f ( x)满足f ( x)+ f (2−x)=2，则（ ）
A．f (2)=0
B．f (10)=10
C．f ( x)的最小正周期为2
D．x =1是曲线y = f ( x)的一条对称轴
【答案】B
【分析】根据奇函数的性质以及所给等式变形，结合对称性和周期性定义，赋值计算，
对各选项逐一进行分析判断.
【详解】对于A 选项，已知f ( x)是定义域为R的奇函数，则f (0)=0.
令x =0，代入f ( x)+ f (2−x)=2可得：f (0)+ f (2)=2，将f (0)=0代入得
0+ f (2)=2，即f (2)=2，所以A 选项错误.
对于B 选项，因为f ( x)是奇函数，则f (−x)=−f ( x).
由f ( x)+ f (2−x)=2可得f ( x)=2−f (2−x).
用−x代替x可得f (−x)+ f (2+ x)=2，又因为f (−x)=−f ( x)，所以
−f ( x)+ f (2+ x)=2，即f ( x +2)=2+ f ( x).
那么f ( x + 4)=2+ f ( x +2)=2+2+ f ( x)= 4+ f ( x).
同理f ( x +6)=2+ f ( x + 4)=2+ 4 + f ( x)=6+ f ( x).
f ( x +8)=2+ f ( x +6)=2+6+ f ( x)=8+ f ( x).
f ( x +10)=2+ f ( x +8)=2+8+ f ( x)=10+ f ( x).
令x =0，则f (10)=10+ f (0)=10+0=10，所以B 选项正确.
对于C 选项，由f ( x +2)=2+ f ( x)可知f ( x +2)≠f ( x)，所以f ( x)的最小正周期不是
2，C 选项错误.
对于D 选项，由f (0)=0≠2= f (2)，得x =1不是曲线y = f ( x)的对称轴，D 选项错误.
故选：B.
2．定义在R上的函数f (x)满足f (2−x)= f (x)，f (1)=2，f (3 x +2)为奇函数，函数
g(x)(x∈R)满足g(x)=−g(4−x)，若y = f (x)与y = g(x)恰有2023 个交点
(x1，y1)，(x2，y2)，⋯，(x2023，y2023)，则下列说法正确的是（ ）
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A．f (2023)=2
B．f (2)=0
C．2 为y = f (x)的一个周期
D．∑
i=1
2023
❑(xi+ yi)= 4046
【答案】BD
【分析】由f (2−x)= f (x)得函数f (x)的图象关于直线x =1对称，由f (3 x +2)为奇函数
得函数f (x)的图象关于点(2,0)对称，从而函数f (x)是周期函数，周期为4，由
g(x)=−g(4−x)得g( x)的图象关于点(2,0)对称，从而函数f (x)与g( x)的交点也关
于点(2,0)对称，由此可判断各项.
【详解】因为f (2−x)= f (x)，
所以函数f (x)的图象关于直线x =1对称，
又f (3 x +2)为奇函数，
所以f (−3 x +2)=−f (3 x +2)，
即f (−t +2)=−f (t +2)，则函数f (x)的图象关于点(2,0)对称，
则f (2)=0，故B 正确；
所以f ( x +2)=−f (2−x)=−f ( x)，
f ( x +2+2)=−f ( x +2)= f ( x)，
即f ( x)= f ( x + 4)，所以函数f (x)是周期函数，周期为4，故C 错误；
f (2023)= f (3)=−f (1)=−2，故A 错误；
又g(x)=−g(4−x)，所以函数
g( x)的图象关于点(2,0)对称，
因此函数f (x)与g( x)的交点也关于点(2,0)对称，
则∑
i=1
2023
❑(xi+ yi)=∑
i=1
2023
xi+∑
i=1
2023
yi=2×2023+0= 4046，
故D 正确，
故选：BD.
3．已知函数f (x)的定义域为R，且f (1+ x)+ f (1−x)=2，曲线y = f (x)的图象关于直线
x + y =0对称．若0≤x<1时，f (x)=2
x−1，则（ ）
A．f (x)> x + 1
ln2 −2
B．f (x)< x−1
ln2 +2
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C．f(−7
2)=log23−5
D．f(
5
2)=log23+1
【答案】ABD
【分析】由题可知函数关于点(1,1)对称，又函数关于直线x + y =0对称可得函数也关
于(−1,−1)对称，即f (−2+ x)+ f (−x)=−2，进而可得f (x + 4)= f (x)+ 4呈周期递增，
再根据已知部分解析式得到x∈[−2,2]的图像，根据图像求切线可确定AB 选项，然
后根据周期变化可求函数值判断CD 选项.
【详解】∵f (1+ x)+ f (1−x)=2，即f (2+ x)+ f (−x)=2 ∴f (x)关于点(1,1)对称，
f (1)=1，又曲线y = f (x)的图象关于直线x + y =0对称，所以f (x)也关于点(−1,−1)
对称，即f (−2+ x)+ f (−x)=−2结合f (2+ x)+ f (−x)=2可得f (2+ x)−f (−2+ x)= 4，
即f (x + 4)= f (x)+ 4，所以函数f (x)呈周期性变化，
又曲线y = f (x)的图象关于直线x + y =0对称，0≤x ≤1时，f (x)=2
x−1，则
−1≤x ≤0时，f (x)=−log2(1−x)，又f (1+ x)+ f (1−x)=2，
1≤x ≤2时，则0≤2−x ≤1，f (x)=2−f (2−x)=2−(2
2−x−1)=3−2
2−x，
又关于直线x + y =0对称，−2≤x ≤−1时，f (x)= log2(3+ x)−2，
根据题意可作出函数图像如下：
根据图像可知函数f (x)在两条斜率为1 的直线之间，设下面一条直线方程为：y = x +c
与y =2
x−1相切，y
′ =2
x ln 2=1⇒x =−log2ln 2，切点为(−log2ln 2, 1
ln 2 −1)，
此时切线方程为：y = x + log2ln2+ 1
ln2 −1，又因为∵log2ln 2>−1，所以
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f (x)≥x + log2ln 2+ 1
ln 2 −1> x + 1
ln2 −2，故A 正确；
通过对称可得f (x)< x−1
ln2 +2，故B 正确；
由f (x + 4)= f (x)+ 4，所以f(−7
2)= f(
1
2)−4 =√2−5，故C 错误；
∵f(
5
2)+ f(−1
2)=2，∴f(
5
2)=2−f(−1
2)=2+ log2
3
2 =1+ log23，故D 正确；
故选：ABD.
4．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x)=−f(x + 3
2),f (−1)=1,f (0)=−2，且f(x−3
4)
为奇函数，则（ ）
A．f (x)为奇函数
B．f (x)为偶函数
C．f (x)是周期为3 的周期函数
D．f (0)+ f (1)+…+ f (30)=−2
【答案】BCD
【分析】由f (0)=−2可判断A，由f (x)=−f(x + 3
2)，得到f (x +3)= f (x)，可判断
C，由f(x−3
4)=−f(−x−3
4)和f(x−3
4)=−f(x + 3
4)可判断B，由周期性，奇偶性
可判断D.
【详解】对于A，f (0)=−2，所以f (x)不是奇函数，错误；
对于B：因为f(x−3
4)为奇函数，
所以f(x−3
4)=−f(−x−3
4)，
由f (x)=−f(x + 3
2)，可得：f(x−3
4)=−f(x−3
4 + 3
2)=−f(x + 3
4)，
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所以−f(−x−3
4)=−f(x + 3
4)，即f(−x−3
4)= f(x + 3
4)，
所以f (−x)= f (x)，偶函数，正确；
对于C：由f (x)=−f(x + 3
2)，
可得f (x +3)=−f(x + 3
2)= f (x)，所以f (x)是周期为3 的周期函数，正确；
对于D，f (2)= f (−2)= f (1)= f (−1)=1，
所以f (0)+ f (1)+ f (2)=0，
由周期性可得：f (0)+ f (1)+…+ f (30)=10[f (0)+ f (1)+ f (2)]+ f (0)=−2
故选：BCD
5．已知函数f (x)满足f (π)≠0，且对任意的x，y ∈R，f (x + y)+ f (x−y)=2f ( y)cos x
都成立，则（ ）
A．f (x)是偶函数
B．函数f (x)的图象关于点(
π
2 ,0)中心对称
C．2π是函数f (x)的一个周期
D．∑
k =0
2025
f ( (2k +1)π
2
)=1
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合函数的奇偶性，周期性及对称性的意义逐
项判断即可.
【详解】令x =0，则f ( y)+ f (−y)=2f ( y)，解出f (−y)= f ( y)，故A 正确；
令x =π
2 ，则f(
π
2 + y)+ f(
π
2 −y)=0，
故函数f (x)的图象关于点(
π
2 ,0)中心对称，故B 正确；
因为f(
π
2 + y)+ f(
π
2 −y)=0所以令y =π
2 + x可得f (π+ x)+ f (−x)=0，
即f (−x)=−f (π+ x)，
又因为f (x)是偶函数所以f (−x)= f (x)，即¿，
整理可得：f (x)=−f (π+ x)，
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令x =π+ x，可得f (x +π)=−f (2π+ x)，即¿，
整理得f (x)= f (2π+ x)，所以2π是函数f (x)的一个周期，故C 正确；
因为f(
π
2 + y)+ f(
π
2 −y)=0所以令y =0可得f(
π
2 )=0，
又因为f (x)是偶函数且周期为2π，所以
f(
3π
2 )= f(
3π
2 −2π)= f(−π
2 )= f(
π
2 )=0，
因为f(
(2k +1)π
2
)= f(k π+π
2 )，
当k为奇数，根据周期性可知f(k π+π
2 )= f(
3π
2 )=0，
当k为偶数，根据周期性可知f(k π+π
2 )= f(
π
2 )=0，故f(
(2k +1)π
2
)=0，故D
错误.
故选:ABC
【题型17 函数的对称性，周期性与的单调性】
1．设函数f (x)，g(x)及其导函数f
′ (x)，g
′ (x)的定义域均为R，已知f (2−x)+ g(x)= 4，
f
′ (x +2)+ g
′ (x−2)=2，且g(3 x)=−g(−3 x)，则（ ）
A．g(x)是奇函数
B．f (2)=2
C．点(−1,1)为曲线y = g
′ (x)的对称中心D．f
′ (2025)=1
【答案】ACD
【分析】根据函数奇偶性的概念可判断A；由g(x)为奇函数，知g(0)=0，从而结合
f (2−x)+ g(x)= 4，可得f (2)的值，即可判断B；根据复合函数求导结合函数的对称
性即可得判断C；根据函数的奇偶性、对称性可得g
′ (x)的周期性，由周期性可得
f
′ (2025)的值，即可判断D.
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【详解】A.在g(3 x)=−g(−3 x)中，令t =3 x，得g(t )=−g(−t )，所以g(−t )=−g(t )，
故g(x)是奇函数，A 正确；
B.由g(x)定义域为R，且g(x)为奇函数，知g(0)=0，
在f (2−x)+ g(x)= 4中，令x =0，得f (2)= 4，B 错误；
C.因为f (2−x)+ g(x)= 4，所以g
' (x)−f
' (2−x)=0，故g
' (−x)−f
' (2+ x)=0，
又因为f
′ (x +2)+ g
′ (x−2)=2，所以g
′ (−x)+ g
′ (x−2)=2，即
g
′ (−1−x)+ g
′ (−1+ x)=2，
所以点(−1,1)为曲线y = g
′ (x)的对称中心，C 正确；
D. 因为g(x)是奇函数，所以g(−x)=−g(x)，故g
′ (−x)= g
′ (x)，即g
′ (x)是偶函数，
由g
′ (−x)+ g
′ (x−2)=2得g
′ (x)+ g
′ (x−2)=2，g
′ (x−2)+ g
′ (x−4)=2，故
g
′ (x)= g
′ (x−4)，即g
′ (x)的周期为4，
因为g
' (−x)−f
' (2+ x)=0，所以g
' (x)= g
' (−x)= f
' (2+ x)，即f
′ (x)= g
′ (x−2)，
在g
' (−1−x)+ g
' (−1+ x)=2中，令x =0，得g
' (−1)=1，
所以f
' (2025)= g
' (2023)= g
' (506×4−1)= g
' (−1)=1，D 正确.
故选：ACD.
2．已知函数f (x)= x
2(x−a)，则（ ）
A．曲线y = f (x)的图象与x轴有交点
B．当a>0时，f (x)在x =0处有极大值
C．存在a>0，使得(1,−1)是曲线y = f (x)的对称中心
D．当a=3时，若曲线y = f (x)与曲线y =−x
2+ 4 x +m在[0,+ ∞)上有两个交点，则
m∈(−8,0]
【答案】ABD
【分析】利用函数零点的定义可判断A 选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断
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B 选项；利用函数对称性的定义可判断C 选项；由x
2(x−3)=−x
2+ 4 x +m，得
m= x
3−2 x
2−4 x，设g(x)= x
3−2 x
2−4 x (x ≥0)，利用导数分析该函数的单调性与
极值，数形结合可判断D 选项.
【详解】对于选项A，因为f (0)=0，所以曲线y = f (x)的图象与x轴有交点，A 正确；
对于选项B，当a>0时，f (x)= x
2(x−a)= x
3−a x
2，f
′ (x)=3 x
2−2ax = x (3 x−2a)，
当x<0时，f
′ (x)>0，f (x)在(−∞,0)上单调递增；
当0< x< 2a
3 时，f
′ (x)<0，f (x)在(0, 2a
3 )上单调递减；
当x> 2a
3 时，f
′ (x)>0，f (x)在(
2a
3 ,+∞)上单调递增，
所以f (x)在x =0处有极大值，B 正确；
对于选项C，若(1,−1)是曲线y = f (x)的对称中心，则f (1+ x)+ f (1−x)=−2，
等式两边求导得f
′ (1+ x)−f
′ (1−x)=0，即f
′ (1−x)= f
′ (1+ x)，
所以函数f
′ (x)的图象关于直线x =1对称，即a
3 =1，可得a=3，
此时f (x)= x
2(x−3)= x
3−3 x
2，
因为f (2−x)=(2−x)
3−3(2−x)
2=(8−12 x +6 x
2−x
3)−(3 x
2−12 x +12)
=−x
3+3 x
2−4，
所以f (x)+ f (2−x)=−4，此时函数f (x)的图象关于点(1,−2)对称，不合乎题意，所
以C 错误；
对于选项D，当a=3时，f (x)= x
2(x−3)，
由x
2(x−3)=−x
2+ 4 x +m，得m= x
3−2 x
2−4 x，
设g(x)= x
3−2 x
2−4 x (x ≥0)，则g
′ (x)=3 x
2−4 x−4 =(3 x +2)(x−2)，
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当0≤x<2时，g
′ (x)<0，g(x)在[0,2)上单调递减，
当x>2时，g
′ (x)>0，g(x)在(2,+∞)上单调递增．
所以当x =2时，g(x)取得最小值，即g(x)min= g(2)=8−8−8=−8，且g(0)=0，
如下图所示：
由图可知，当m∈(−8,0]时，直线y =m与函数g(x)的图像有两个不同的交点，
此时曲线y = f (x)与曲线y =−x
2+ 4 x +m在[0,+∞)上有两个交点，D 正确．
故选：ABD.
一、单选题
1．已知函数f (x)=¿，满足对任意实数x1≠x2，都有(x2−x1)[f (x2)−f (x1)]<0成立，则实
数a 的取值范围是（ ）
A．(0,3]
B．[2,+ ∞)
C．(0,+ ∞)
D．[2,3]
【答案】D
【详解】由题意知，函数f (x)在R上为减函数，所以¿，即¿，解得2≤a≤3，所以实数
a 的取值范围是[2,3]．
故选：D.
2．若函数f (x)=¿的值域为(−∞,0]，则实数a的取值范围是（ ）
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A．[
1
3 , 1
2)
B．(
1
3 , 1
2)
C．(
1
2 ,1]
D．[
1
3 ,1]
【答案】A
【分析】根据分段函数的单调性，分x<1和x ≥1时，结合对数函数的性质讨论即可.
【详解】因为函数f (x)=¿的值域为(−∞,0]，
可知f ( x)= log2a x在[1,+∞)内单调递减，则0<2a<1，解得0<a< 1
2，
可得当x ≥1时，f ( x)≤f (1)=0，即f ( x)在[1,+ ∞)内值域为(−∞,0]，符合题意；
且f ( x)=(3a−1)x−2在(−∞,1)内不单调递减，
若f ( x)=(3a−1)x−2在(−∞,1)内单调递增，则3a−1>0，解得1
3 <a< 1
2，
此时f ( x)<f (1)=3a−3<0，符合题意；
若f ( x)=(3a−1)x−2在(−∞,1)内为常函数，则3a−1=0，解得a= 1
3，
此时f ( x)=−2<0，符合题意；
综上所述：实数a的取值范围是[
1
3 , 1
2)．
故选：A．
3．已知函数g( x)=2 x +3,f ( x)= g(2 x−1)，则f ( x +1)=（ ）
A．2 x +1
B．4 x +5
C．4 x−5
D．4 x +1
【答案】B
【详解】由f ( x)= g(2 x−1)= 4 x +1得f ( x +1)= 4 x +5．
4．已知f (x)为R上的减函数，则满足f (x
2−2 x)<f (3)的实数x的取值范围是（ ）
A．[−1,3]
B．(−∞,−1)∪(3,+ ∞)
C．(−3,3)
D．
(−∞,−3)∪(1,+∞)
【答案】B
【详解】因为f ( x)为R上的减函数，且f (x
2−2 x)<f (3)，所以x
2−2 x>3，即
x
2−2 x−3>0，解得x<−1或x>3．
5．已知a=ln2
2
2 ，b=ln3
3
2 ，c =ln 4
4
2 ，则（ ）
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A．a<b<c
B．c<b<a
C．c<a<b
D．b<a<c
【答案】B
【分析】构造函数f (x)= ln x
x
2 ，利用导数求解单调性即可得解.
【详解】设f (x)= ln x
x
2 ，则f
′ (x)= 1−2ln x
x
3
，
当x ≥2时，f
′ (x)<0，故f (x)在[2,+∞)单调递减，
因此ln2
2
2 >ln3
3
2 >ln4
4
2 ，故c<b<a，
故选：B.
6．函数f ( x)=
4
x−2 ( x∈[3,6])的最小值和最大值分别是（ ）
A．3，6
B．1，3
C．1，4
D．1，6
【答案】C
【详解】函数f ( x)=
4
x−2在区间[3,6]上单调递减，把6，3
f ( x)min= f (6)=1,f ( x)max= f (3)= 4分别代入得f ( x)min= f (6)=1,f ( x)max = f (3)= 4．
7．若∃x∈[−1,4]，使x
2−4 x +1−m≥0成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−∞,6]
B．(−∞,1]
C．(−∞,−3]
D．[1,6]
【答案】A
【分析】将存在性问题转化为最值问题，利用二次函数的单调性求最值，列不等式，求
解即可.
【详解】设函数f (x)= x
2−4 x +1−m，
因为∃x∈[−1,4]，使x
2−4 x +1−m≥0成立，
所以f (x)在区间[−1,4]上的最大值f (x)max≥0，
因为二次函数f (x)= x
2−4 x +1−m的开口向上，对称轴方程为x =2，
所以函数f (x)在区间[−1,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增，
因为|−1−2|>|4−2|，结合二次函数的对称性可知，
当x =−1时，函数f (x)取最大值，最大值f (x)max =6−m≥0，解得m≤6；
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故选：A.
8．已知函数f (x)是定义在R上的严格增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a1012>0，
则f (a1)+ f (a2)+ f (a3)+⋯+ f (a2022)+ f (a2023)的值（ ）
A．恒为正数
B．恒为负数
C．恒为0
D．可正可负
【答案】A
【分析】由题及奇函数性质可得f (a1)+ f (a2023)>0，进而可得f (a2)+ f (a2022)>0，
f (a3)+ f (a2021)>0，…，据此可得答案.
【详解】因为函数f (x)是R上的奇函数且是严格增函数，
所以f (0)=0，且当x>0时，f (x)>0；
当x<0时，f (x)<0．
因为数列{an}是等差数列，a1012>0，故f (a1012)>0．
再根据a1+a2023=2a1012>0，所以a1>−a2023，
则f (a1)>f (−a2023)=−f (a2023)，所以f (a1)+ f (a2023)>0．
同理可得f (a2)+ f (a2022)>0，f (a3)+ f (a2021)>0，…，
所以f (a1)+ f (a2)+ f (a3)+⋯+ f (a2022)+ f (a2023)
=[f (a1)+ f (a2023)]+[f (a2)+ f (a2022)]+⋯+[f (a1011)+ f (a1013)]+ f (a1012)>0.
故选：A
9．已知函数f (x)=¿ (a∈R)为奇函数，则f (a)=（ ）
A．1
2
B．√2
2
C．√2
D．2
【答案】C
【分析】由奇函数定义可得答案.
【详解】当x<0时，−x>0，则f (−x)=2
−x =(
1
2)
x
=−f (x)=a
x，所以a= 1
2
，
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f(
1
2)=√2.
故选：C．
10．设函数f (x)=2cos(
π
3 x)+2ax，g(x)=a(x−2)
2+8a，曲线y = f (x)与y = g(x)恰有
一个交点，则a=（ ）
A．0
B．−1
C．−2
3
D．−√3
4
【答案】C
【分析】构造函数h(x)= f (x)−g(x)，再求证h(x)=h(6−x)，即可结合对称性得出
h(3)=0求出a值.
【详解】令函数h(x)= f (x)−g(x)=2cos(
π
3 x)−a(x−3)
2−3a，
可得h(6−x)=2cos[
π
3
(6−x)]−a[(6−x)−3]
2−3a
=2cos(2π−π
3 x)−a(3−x)
2−3a=2cos(
π
3 x)−a(x−3)
2−3a，
即h(x)=h(6−x)，所以函数h(x)的图象关于直线x =3对称，
因为函数y = f (x)与y = g(x)恰有一个交点，所以h(3)=0，
可得2cosπ−a(3−3)
2−3a=−2−3a=0，解得a=−2
3.
故选：C.
二、多选题
11．已知f (x)是R上的连续函数，满足∀x , y ∈R有f (x + y)+ f (x−y)= f (x)f ( y)，且
f (1)=1．则下列说法中正确的是（ ）
A．f (0)=0
B．f (x)为偶函数
C．f (x)的一个周期为6
D．(
3
2 ,0)是f (x)的一个对称中心
【答案】BCD
【分析】令x = y =0，解得f (0)=2判断A，再令x =0结合偶函数定义分析判断B；计
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算得出对称中心判断D，再分析可知f (x)是以6 为周期的周期函数判断C.
【详解】因为f (x + y)+ f (x−y)= f (x)f ( y)，且f (x)的定义域为R，关于原点对称，
对于选项A：令x = y =0，则2f (0)= f
2(0)，解得f (0)=0或f (0)=2，
若f (0)=0，令y =0时，f (x)+ f (x)=2f (x)= f (x)f (0)=0，
这与f (1)=1矛盾，故f (0)=2，故A 错误；
对于选项B：令x =0，则f ( y)+ f (−y)= f (0)f ( y)=2f ( y)，
即f (−y)= f ( y)，可知f (x)是偶函数，故B 正确；
对于选项D：因为f (0)=2，f (1)=1，当x =1，y =1时，f (2)+ f (0)= f (1)f (1)，故
f (2)=−1，
当x =2，y =1时，f (3)+ f (1)= f (2)f (1)，故f (3)=−2，
当x = y = 3
2时，f (3)+ f (0)= f
2(
3
2)，又f (0)=2，故f(
3
2)=0，
当x = 3
2时，f(
3
2 + y)+ f(
3
2 −y)= f(
3
2)f ( y)=0，
所以f(
3
2 + y)+ f(
3
2 −y)=0，(
3
2 ,0)是f (x)的一个对称中心，故D 正确；
对于选项C：因为f(
3
2 + y)+ f(
3
2 −y)=0，即f(
3
2 + y)=−f(
3
2 −y)，即
f(
3
2 + x)=−f(
3
2 −x)，则f (x +3)=−f (x)，
所以f (x +6)=−f (x +3)= f (x)，故f (x)是以6 为周期的周期函数，故C 正确；
故选：BCD.
三、填空题
12．函数f (x)=ln(x +1)−
1
x−2的定义域为 ．
【答案】(−1,2)∪(2,+ ∞)
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【分析】根据对数以及分式的性质列不等式，即可求解.
【详解】f (x)=ln(x +1)−
1
x−2的定义域满足¿，解得x>−1且x≠2，
故定义域为(−1,2)∪(2,+ ∞)，
故答案为：(−1,2)∪(2,+ ∞)
13．函数f (x)=
1
x−1 +ln(2 x +2)的定义域为 .
【答案】(−1, 1)∪(1, + ∞)；
【分析】由解析式可得函数的定义域应满足¿，求解即可.
【详解】函数f (x)=
1
x−1 + ln (2 x +2)的定义域应满足：
¿，解得x>−1且x≠1，
所以函数f (x)=
1
x−1 + ln (2 x +2)的定义域为(−1, 1)∪(1, + ∞).
故答案为：(−1, 1)∪(1, + ∞).
14．设函数f (x)=¿若f (a)= 3
4 ，则实数a= ．
【答案】−3
4
【详解】由题意，函数f ( x)=¿即f ( x)=¿当|a|≤1，即−1≤a≤1时，令−a= 3
4 ，解
得a=−3
4 ；当|a|>1，即a<−1或a>1时，令
1
1+a
2 = 3
4 ，解得a=± √3
3 （舍去），故
a=−3
4 ．
15．已知函数f (x)=¿在定义域上单调递增，则a的取值范围为 ．
【答案】(
1
3 , 11
12]
【分析】由单调递增得出a所满足的不等式组，求解即可.
【详解】分段函数要是单调递增函数，必须每一段都是单调递增函数，
且左边一段的最大值小于等于右边一段的最小值.
所以¿，解得1
3 <a≤11
12.
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所以a的取值范围为(
1
3 , 11
12].
故答案为：(
1
3 , 11
12].
16．设函数f (x)=¿，则f (f (−1))= .
【答案】6
【分析】分析函数的定义域和其在不同定义域区间上的表达式，首先计算f (−1)的值，
可得f (f (−1))= f (2) ，将x =2代入即可求解.
【详解】将x =−1代入，得到f (−1)=|(−1)+1|+2=0+2=2，
所以f (f (−1))= f (2)，
将x =2代入，得到f (2)=2
2+2= 4 +2=6.
因此，f (f (−1))= f (2)=6.
故答案为：6.
17．若函数f (√x +1)= x−1，则f ( x)= ．
【答案】x
2−2( x ≥0)
【分析】由换元法，即可求解.
【详解】利用换元法即可得到答案．
令t =√x +1≥0，则x =t
2−1，
∴f (t )=t
2−1−1=t
2−2，
∴函数f ( x)的解析式为f ( x)= x
2−2( x ≥0)．
故答案为：x
2−2( x ≥0)．
18．若函数f (x)满足f (x)−2f(
1
x)= x +2，则f (x)= ．
【答案】−1
3(x + 2
x)−2
【分析】根据给定条件，利用方程组的方法求出函数解析式即得.
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【详解】由f (x)−2f(
1
x)= x +2，可得f(
1
x)−2f (x)= 1
x +2，
联立两式消去f(
1
x)，可得f (x)=−1
3(x + 2
x)−2．
故答案为：−1
3(x + 2
x)−2.
19．函数y = f (x)是定义在(0,+ ∞)上的严格减函数，对任意x､y ∈(0,+∞)，满足
f (xy)= f (x)+ f ( y)，且f(
1
2)=2，则不等式f (x)+ f (x−1)+2>0的解集为 ．
【答案】(1,2)
【分析】由定义代入x = y =1，可求出f (1)的值，代入x = 1
2可求出−2对应的x的值，
根据题意对不等式变形可得f (x
2−x)>f (2)，根据单调性可列出关于x的不等关系，结
合定义域可求出结果.
【详解】解：令x = y =1，则有f (1)= f (1)+ f (1)=2f (1)，所以f (1)=0，
因为f(
1
2)=2，所以f (1)= f(
1
2)+ f (2)=0，所以f (2)=−2，
不等式f (x)+ f (x−1)+2>0等价于f (x
2−x)>−2= f (2)，
函数y = f (x)是定义在(0,+ ∞)上的严格减函数，则x
2−x<2，
即−1< x<2，又x>0，且x−1>0，所以1< x<2.
故答案为：(1,2)
20．设函数f ( x)= x
3−sin x + x +3，则满足f ( x)+ f (2−3 x)<6的x 取值范围是 .
【答案】(1,+ ∞)
【分析】设g( x)= f ( x)−3，研究函数g( x)的奇偶性和单调性，利用函数性质，将函
数不等式转化为代数不等式，即可求解.
【详解】令函数g( x)= f ( x)−3= x
3−sin x + x，函数定义域为R，
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g(−x)=(−x)
3−sin(−x)−x =−x
3+sin x −x =−g( x)，函数g( x)是奇函数，
因为g
′( x)=3 x
2−cos x +1≥0，当x =0时取等号，因此函数g( x)在R 上单调递增，
不等式f ( x)+ f (2−3 x)<6可转化为f ( x)−3<−[ f (2−3 x)−3]，
即g( x)<−g(2−3 x)= g(3 x−2)，
则x<3 x−2，解得x>1.
故答案为：(1,+ ∞)
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