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专题04 导数及其应用大题综合
百强名校-核心考点突破
例题1．已知函数
.
(1)若
，求函数
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性.
【来源】2025 届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷
例题2．已知函数
．
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围．
【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026 学年高三上学期第三次摸底考试数学试题
例题3．已知函数
.
(1)若
为
的极值点，求
；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围.
【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025 学年高三下学期5 月适应性检测数学试题
例题4．已知函数
(1)当
时，求函数
在点
处的切线方程；
(2)若函数
在区间
内有且仅有一个极值点，求实数
的取值范围.
【来源】重庆市第一中学校2025 届高三下学期5 月高考适应性考试最后一卷数学试题
1
例题5．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有两个不同的极值点
，
，且
，求实数
的取值范围.
【来源】2025 届山东省聊城市高三一模数学试题
例题6．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)求证：
.
【来源】2025 届湖北省武昌实验中学高考适应性考试数学试卷
例题7．已知函数
（
），
．
(1)求函数
的极值；
(2)若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)求证：
时，
．
【来源】天津市五区县重点校2024-2025 学年高三上学期1 月期末联考数学试题
例题8．已知函数
为
的导函数．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
的两个极值点分别为
和
，且
.
（i）求实数
的取值范围；
（ii）证明：
．
【来源】辽宁省协作体2024-2025 学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷
2
例题9．已知函数
，其中为自然对数的底数
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若当
时，关于
的方程：
有两个不同的根：
且
，
（i）求
的范围；
（ii）当
最小时，求
的值．
【来源】2025 届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题
例题10．已知函数
.
(1)当
时.
（i）判断
在
上极值点的个数，并说明理由；
（ii）设
在
内的全部极值点按从小到大的顺序排列
，求证：
(2)当
时，直线
为曲线y
的“双重切线”，记直线
的斜率所有可能的取值为
，若
，证明：
.
已知：若函数
图象上恰好存在相异的两点P、Q，满足曲线
在P 和Q 处的切线重合，则称
P、Q 为曲线y
的“双重切线”，直线PQ 为曲线
的“双重切线”.
【来源】湖北省华中师范大学附属中学2025 届高三综合测试数学试题
百强名校-必刷真题精练
3
1．已知
是函数
的极小值点．
(1)求
的单调性；
(2)讨论
在区间
的最大值．
【来源】重庆市第一中学2025 届高三下学期最后一卷数学试题
2．已知函数
．
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)当
时，求函数
的极值．
【来源】广东省江门市2025 届高三下学期高考模拟考试数学试题
3．已知函数
.
(1)设
是
的极值点，求
在点
处的切线方程；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【来源】安徽省合肥市第一中学2025 届高三最后一卷数学试题
4．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围．
【来源】湖南省九校联盟2025-2026 学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题
5．设函数
，
．
(1)若
在
处切线为
，求实数
的值；
4
(2)是否存在实数a，使得当
时，函数
的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明
理由．
【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025 届高三下学期第二次模拟考试数学试题
6．设函数
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数
存在极值，对于任意的
，存在正实数
，使得
，
试判断
与
的大小关系，并给出证明.
【来源】江西师范大学附属中学2025 届高三下学期第三次模拟考试数学试卷
7．已知函数
(1)若
，讨论函数
在
的单调性；
(2)若
，求证：
．
(3)若
在
上有唯一的零点，求实数
的最小值．
【来源】黑龙江省齐齐哈尔市2024-2025 学年高三下学期第三次模拟考试数学试题
8．已知函数
，
．
(1)当
时，求函数
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
有极大值，且极大值小于0，求a 的取值范围．
【来源】陕西省西安中学2025-2026 学年高三上学期质量检测考试（一）数学试题
5
9．已知函数
，
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
的单调区间；
(3)若
在
上存在零点，求实数
的取值范围.
【来源】湖北省武汉市第二中学2025 届高三高考模拟数学试题
10．已知函数
（
）.
(1)若
，求
的图象在
处的切线方程；
(2)若
有两个极值点
，
（
）.
①求
的取值范围；
②求证：
.
【来源】河南省新高中创新联盟TOP 二十名校计划2024 届高三上学期11 月调研考试数学试题
11．已知
，函数
，记
为
的从小到大的第
个极值点．
(1)当
时，求
；
(2)证明：
（i）数列
是等比数列；
（ii）若
，则对一切
恒成立．
【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026 学年高三上学期第三次摸底考试数学试题
12．已知函数
.
6
(1)若函数
的最大值为0，求
的取值范围；
(2)证明：当
时，有
；
(3)若对任意
，都有
成立，求实数
的取值范围.
【来源】浙江省强基联盟2025-2026 学年高三上学期返校联考数学试卷
13．已知函数
.
(1)讨论函数
的极值点个数；
(2)当
时，证明：
；
(3)函数
有两个零点
，求证：
.
【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026 届高三上学期第四次诊断考试数学试题
14．已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)设
是
的两个极值点，
①求证：
；
②求证：
.
【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025 学年高三第一次模拟考试数学试卷
15．已知函数
(1)若函数
在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围；
(2)设
是
的两个极值点，证明：
7
(i)
；
(ii)
【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025 学年高三下学期数学模拟试卷（一）
16．已知函数
定义域为
，
，若
，
，当
时，都有
．则称为
在
上的“Ω 点”．
(1)设函数
．
（i）当
时，求
在
上的最大“Ω 点”；
（ii）若
在
上不存在“Ω 点”，求a 的取值范围；
(2)设
，且
，
．证明：
在D 上的“Ω 点”个数不小
于
．
【来源】山东省青岛市2024-2025 学年高三上学期期初调研检测数学试题
17．对于任意两个正数
，记区间
上曲线
下的曲边梯形面积为
，并规定
，
，记
，其中
．
(1)若
时，求证：
；
(2)若
时，求证：
；
8
(3)若
，直线
与曲线
交于
，
两点，求证：
（其中
为自然常数）．
【来源】2025 届甘肃省高三4 月二模考试数学试题
18．已知函数
．
(1)若
在
处的切线为
，求
的值；
(2)当
时，求
在
上的零点个数；
(3)当
时，设
，是否存在
，使得曲线
在点
处的切线
与
有3 个交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由
．
【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025 届高三下学期模拟（一）数学试卷
19．若二元代数式
满足
，则称代数式
为二元轮换式，记
；若三
元代数式
满足
，则称代数式
为三元轮换式，记
，
.
(1)若正实数
，
满足
，且
，求
的最大值；
(2)若代数式
为二元轮换式，比较
与
的大小；
(3)若对任意的正实数x，y，z 均有
，求整数
的最大值.
【来源】2025 届福建省厦门第一中学高三5 月模拟数学试题
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20．已知k、
，函数
的定义域为
，直线l 的方程为
，记集合
．
(1)若
，求集合
；
(2)若
，且存在实数k、m 使得集合
中有且只有两个元素，求实数b 的取值范围；
(3)若函数
的图象是一条连续曲线，且其导函数是定义域为
的严格减函数，求证：“集合
是
单元素集合
”是“直线l 是曲线
在点
处的切线”的充要条件．
【来源】上海市上海交通大学附属中学2024-2025 学年高三下学期摸底考试（3 月）数学试题
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