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小题精练13 有界磁场 磁聚焦 平移圆 放缩圆 旋转
圆问题
一、直线边界
直线边界磁场又分单边直线边界和双边平行直线边界。单边直线边界如图甲、乙、丙所示，粒
子进出磁场具有对称性；双边平行直线边界如图丁、戊所示，粒子进出磁场存在临界条件。
解决这类问题的“三部曲”：画轨迹、找圆心、定半径。
如果粒子从同一直线边界射入和射出，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速
度与边界的夹角相等。
二、矩形边界
矩形边界磁场是指分布在矩形范围内的有界磁场，带电粒子的轨迹只是一部分圆弧。垂直于某
边射入，从某一顶点射出是常见的临界情况。
解决该类问题的关键是把握临界情况，如图所示。常见的有如下几种情况：(设粒子从ad 边中
点e 垂直射入)
(1)两个临界半径
①从d 点射出：r1＝。
②从c 点射出：r＝
2
＋ab2。
(2)三种情况
①r≤r1，粒子从ed 段射出。
②r1<r≤r2，粒子从cd 段射出。
③r>r2，粒子从cf 段射出(不会到达f 点)。
三、圆形边界
圆形边界磁场是指分布在圆形区域内的有界磁场，带电粒子在圆形边界的匀强磁场中的轨迹也
是一段不完整的圆弧。由于此类问题涉及两个圆：粒子运动轨迹的圆与磁场区域的圆，能很好地考
查学生的综合分析能力，所以是近年来高考的热点。
带电粒子在圆形边界磁场中运动的四个结论：
(1)径向进出：当粒子运动方向与磁场方向垂直时，沿圆形磁场半径方向射入的带电粒子，必沿
径向射出圆形磁场区域，即粒子出射速度的反向延长线必过磁场圆的圆心，如图1 所示。
(2)等角进出：入射速度方向与过入射点的磁场圆半径的夹角等于出射速度方向与过出射点的磁
场圆半径的夹角，如图2 所示。径向进出是等角进出的一种特殊情况(θ＝0°)。
(3)点入平出：若带电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电
粒子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，所有带电粒子都以平行于磁场区域圆周上入
射点处的切线方向射出磁场，如图3 所示。
(4)平入点出：若带电粒子以相互平行的速度射入磁场，且带电粒子在磁场中做圆周运动的半径
和圆形磁场区域半径相同，则这些带电粒子将会从磁场区域圆周上同一点射出，且磁场区域圆周上
该点的切线与带电粒子射入磁场时的速度方向平行，如图4 所示。
四、四分之一平面边界
四分之一平面边界磁场是指分布在平面直角坐标系中某一象限范围的有界磁场，带电粒子的轨
迹只是一部分圆弧，粒子轨迹与坐标轴相切或垂直是常见的临界情况。
解决该类问题的关键是明确粒子射入(射出)磁场的位置坐标，及速度方向与坐标轴的夹角关系，
然后分析粒子做圆周运动的轨迹、圆心，寻找几何关系求解问题。
五、三角形边界
三角形边界磁场是指分布在三角形区域内的有界磁场，粒子的轨迹也是一段圆弧，由于三角形
有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型，所以会有不同的临界情景。
解答该类问题主要把握以下两点：
(1)射入磁场的方式
①从某顶点射入。
②从某条边上某点(如中点)垂直(或成某一角度)射入。
(2)射出点的判断
其临界条件是判断轨迹可能与哪条边相切，进而判定出射点的可能位置。
六、平移圆问题
1．适用条件
(1)速度大小一定，方向一定，入射点不同但在同一直线上
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子进入匀强磁场时，它们做
匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则圆周运动半径R＝，如图所示(图中只画出粒子
带负电的情景)。
(2)轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行。
2．界定方法
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆法”。
七、放缩圆问题
1．适用条件
(1)速度方向一定，大小不同
粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆
周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。
(2)轨迹圆圆心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。带电粒子沿同一方向射
入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上。
2．界定方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩做轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称
为“放缩圆法”。
八、旋转圆问题
1．适用条件
(1)速度大小一定，方向不同
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的
半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝，如图所示。
(2)轨迹圆圆心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点为圆心、半径R＝的圆上。
2．界定方法
将半径为R＝的圆以带电粒子入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为
“旋转圆法”。
【例题1】（2026·江苏·一模）某质谱仪简化结构如图所示，在xOy 平面的y >0区域存在方向垂直
纸面向里、大小为B 的匀强磁场，在x 轴处放置照相底片，大量a、b 两种离子飘入（其初速度几
乎为零）电压为U 的加速电场，经过加速后，从坐标原点且与y 轴成θ角的范围内垂直磁场方向射
入磁场，最后打到照相底片上，测得最大发射角的余弦值cosθ =0.9，已知a、b 两种离子的电荷量
均为−q，质量分别为2m 和m，不考虑离子间相互作用。下面说法正确的是（ ）
A．a 离子在磁场中速度大小为❑√
2qU
m
B．b 离子在照相底片上形成的亮线长度为2
5 B
❑√
2mU
q
C．打在照相底片上的a、b 两种离子间的最近距离为18
5 B
❑√
mU
q + 2
B
❑√
2mU
q
D．若加速电压在(U −ΔU ,U +ΔU )之间波动，要在底片上完全分辨出a、b 两种离子，则
ΔU
U
不超过31
131
【例题2】（2025·贵州·模拟预测）如图，在xOy平面内y 轴右侧有以O 点为圆心、半径为R 的半圆
形匀强磁场区域abc，磁感应强度大小为B，方向垂直于xOy平面向里。大量质量为m、带电荷量
为q（q>0）的粒子以速度v = 2qBR
m
从y 轴上ab间各点平行于x 轴射入磁场。不计粒子间相互作用
及粒子受到的重力，则粒子在磁场中运动的最长时间为（ ）
A．πm
6qB
B．πm
2qB
C．2πm
3qB
D．πm
qB
1.
（2025·河北保定·一模）核聚变又称热核反应，能释放出巨大能量，但难以控制。目前科学家们应
用磁约束成功实现了对核聚变的小规模控制，磁约束的简化原理图如图所示：在半径分别为R₁ 和
R₂ 的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。假设氘核(❑1
2H)
沿内环切线以速度v₁ 向左进入磁场，氚核(❑1
3H)沿内环切线以速度v₂ 向右进入磁场，已知
v1:v2=1:3,二者均恰好不从外环射出。不计粒子重力及粒子之间的相互作用，则R1: R2为
（ ）
A．7:11
B．2:3
C．4:9
D．1:3
2.
（2025·云南·模拟预测）矩形ABCD区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，AB长l，AD长2l。质
量为m、电荷量为q 的带电粒子，从A 点以速度v0沿AD方向射入磁场，最终从BC边离开磁场。不
计粒子重力，则匀强磁场的磁感应强度大小范围为（ ）
A．2m v0
5ql <B< 2m v0
ql
B．2m v0
5ql <B< m v0
2ql
C．2m v0
3ql <B< 2m v0
ql
D．
m v0
2ql <B< 2m v0
3ql
3.
（2025·云南·模拟预测）如图所示，虚线ON 上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，完全相同的带电
粒子a、b 在纸面内以不同的速率从O 点沿垂直于ON 的方向射入磁场，最后分别从M 点、N 点离
开磁场。已知M 点为ON 的中点，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．两粒子均带正电
B．洛伦兹力对b 粒子做的功多
C．b 粒子的速率是a 粒子的两倍
D．b 粒子在磁场中运动的时间是a 粒子的两倍
4.
（25-26 高三上·重庆·期中）如图，在竖直平面内的xOy 直角坐标系中，x 轴上方存在垂直纸面向里
的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在x 轴上方有一个开口向下的长方体敞口粒子收集箱 abcd，x
轴在 dc 面上且与 dc 边平行， bc 长为L，a、b 距y 轴的距离均为L。位于原点O 的粒子源，沿xOy
平面向x 轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度
大小均为 qBL
m 。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为2L
B．bc 面 （不含b 端）能收集到粒子
C．有一半的粒子能被 ab 面收集
D．收集箱收集到的粒子在磁场中运动的最短时间为 πm
6qB
5.
（25-26 高二上·浙江·期中）太阳耀斑爆发期间，大量宇宙射线持续射向地球。地球磁层作为天然
防护屏障，可使带电粒子的运动轨迹发生偏转。一群质量为m、电荷量为q、速度大小介于某一范
围的粒子沿垂直于直径AC 的方向射向赤道平面，已知从A 点射入磁场的粒子恰好全部到达赤道线
下半圆弧上的各点。设赤道平面内匀强磁场半径OA =3 R，磁感应强度大小为B，地球半径为R，
不计粒子重力、粒子间的相互作用力以及一切阻力。下列说法正确的是（ ）
A．能到达赤道的粒子在磁场中运动的最短时间为t =πm
3qB
B．赤道上存在一段区域粒子无法到达，该盲区所对圆心角为60°
C．粒子的速度大小范围为qBR
m ≤v ≤3qBR
m
D．从A 点射入的粒子，速度越大，在磁场中运动的时间越长
6.
（2025·云南昆明·模拟预测）科研人员在实验室开展带电粒子在复合场中运动规律的研究。实验装
置如图所示，水平放置的绝缘实验台上方，存在范围足够大、方向水平的匀强磁场。一质量为m、
带电量为q(q>0)的带电粒子从台面上方高h处由静止释放，该带电粒子的运动轨迹始终在台面上方，
且刚好不会撞到台面。已知重力加速度为g，关于带电粒子第一次运动到最低点的过程，下列说法
正确的是（ ）
A．粒子做变速圆周运动
B．该过程粒子机械能先增加后减少
C．匀强磁场的磁感应强度大小为m
q
❑√
2g
h
D．粒子的最大速度大小为
❑√2
2 gh
7.
（2025·湖南怀化·模拟预测）如图所示，在△ABC区域内存在垂直于三角形平面向里的匀强磁场，
∠A =90
∘，AC =d，BC=2d。在顶点A处有一粒子源，可以在垂直磁场的平面内，向∠CAB区域
内各个方向均匀射入比荷为k、速率为v的带负电的粒子，有2
3
的粒子能从AB边射出，忽略粒子的
重力及相互间的作用力。下列说法中正确的是（ ）
A．匀强磁场的磁感应强度大小为
❑√3 v
3kd
B．从BC 边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
❑√3πd
3 v
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
❑√3πd
2v
D．AB边有粒子射出的区域长度为3
2 d
8.
（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，在xOy直角坐标系的x轴的上方空间中存在垂直纸面向里的
匀强磁场，在O 点有一粒子源沿纸面向磁场中各个方向发射大量相同带负电粒子，若所有带电粒子
都能从P点离开磁场，不计带电粒子重力及粒子间的相互作用力，则带电粒子在O点发射时的
v y−v x图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9.
（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，有一内半径为2r、长为L 的圆筒形区域，左右端面的圆心O
′、
O 处各开有一小孔。以O 为坐标原点，取O
′O方向为x 轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x ≤0区域
有一匀强磁场，磁感应强度大小为B0，方向沿x 轴负方向。一电子枪在O 处向圆筒内多个方向发射
电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x 轴负方向的分速度大小相同。已知电子的质量为
m、电量为e，设电子始终被约束在圆筒区域内运动（包括筒壁），不计电子之间的相互作用及电
子的重力。要求所有的电子都能从O
′点射出圆筒，则有（ ）
A．电子从筒中射出时动能增加了
B．电子在筒中运动的时间最长时间为2πm
e B0
C．电子从O 点射入时沿x 负方向的速度可能为v0= B0eL
3 πm
D．从O 点射入磁场的电子的最大速度e B0
m
❑√
r
2+ L
2
4 π
2
10. （2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，C、D、E 为以O 为圆心、半径为R 的圆周上的点，
∠COD =π
2
，A 为CD 的中点，在OCEDO 内充满垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出，O 点
处也有磁场），磁感应强度大小为B。一群质量为m、电荷量为q 的带正电粒子以速率v0= qBR
2m
从
AC 部分垂直于AC 射向磁场区域，忽略粒子间的相互作用以及粒子的重力，只考虑粒子在一次进出
磁场中的运动。下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的轨道半径为R
B．从CO 射出磁场的粒子运动时间不同
C．粒子在磁场中运动的最长时间为3πm
2qB
D．粒子可能从圆弧边界射出
11. （2025·甘肃白银·模拟预测）如图所示，竖直平面abcd与zOy平面垂直，在abcd平面左侧存在方向
沿x轴负方向的匀强磁场，右侧存在沿z轴正方向的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B且范
围均足够大，现有一带正电的粒子从abcd平面上的A点沿y轴负方向射入左侧的匀强磁场后在两磁
场中来回运动，忽略磁场边界效应，不计粒子重力，下列关于粒子运动轨迹在xOz平面上的投影图
可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12. （2025·吉林长春·模拟预测）如图所示，有一个弹性绝缘材料制成的圆筒，沿一条直径开有正对的
两孔C 和D，筒内有匀强磁场，有一不计重力的带正电的粒子从D 孔以大小为v 的速度正对圆心入
射，与筒壁发生一次弹性碰撞后从C 孔飞出圆筒，粒子与筒壁碰撞时垂直于筒壁方向的速度等大反
向，沿筒壁方向的速度不变。现改变粒子从D 孔入射的方向，使入射的方向与CD 成30°角，为使
粒子与筒壁发生两次弹性碰撞后仍能从C 孔飞出，则粒子的速度的大小为（ ）
A．
❑√3
3 v
B．
❑√3
2 v
C．
❑√6
6 v
D．v
13. （2025·四川·三模）如图所示，空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，水平直线MN 下方、上方的
磁感应强度大小分别为B1、B2，且B1=2B2=2B0，一带正电的粒子P 静止在直线MN 下方与MN 距离
为d 的位置。某时刻，粒子P 爆炸分裂为带正电的粒子A 和不带电的粒子B，已知粒子A 的质量为
m，电荷量为+q，以大小为v0= 2q B0d
m
的速度开始水平向右运动，一段时间后与粒子B 相遇。不
计粒子重力，磁场区域足够大。则（ ）
A．粒子B 的质量为3
2 m
B．粒子B 的速度大小为4 q B0d
3 πm
C．两粒子相遇前，粒子A 运动的时间为3 πm
4 q B0
D．两粒子相遇前，粒子B 通过的距离为d
14. （2025·安徽芜湖·二模）如图所示，在xOy 坐标系第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应
强度大小为B。在P 点有一粒子源，P 点坐标为（d，d）。打开粒子源发射装置，能够沿纸面以相
同的速率向各个方向均匀发射带负电的粒子，粒子质量为m，电荷量为−q，速率v = qBd
m
。不计粒
子重力及粒子间的相互作用力，M 点坐标为（0，d），则下列说法正确的是（ ）
A．从x 轴射出磁场的粒子数占总粒子数的5
12
B．从OM 之间射出磁场的粒子数占总粒子数的1
12
C．到达x 轴的粒子在磁场中运动的最短时间为πm
6qB
D．粒子在磁场中运动的最长路径与最短路径之比为9∶2
15. （2025·安徽·模拟预测）边长为L 的等边三角形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，带电粒子从
A 点沿AB 边以v ≤v0的速度射入磁场时，粒子在磁场中的运动时间相等，v >v0时，粒子在磁场中
的运动时间变短。已知粒子质量为m，电荷量大小为q，不计粒子的重力，则（ ）
A．粒子带负电
B．当粒子速度小于v0时，粒子可能从BC 边射出
C．磁场的磁感应强度大小为❑√3m v0
qL
D．当粒子速度小于v0
时，粒子在磁场中的运动时间为❑√3π L
9 v0
16. （2025·福建宁德·三模）如图所示，MN表示一块非常薄的金属板，带电粒子（不计重力）在匀强
磁场中运动并穿过薄金属板，虚线表示其运动轨迹，粒子电量不变，由图可知粒子（ ）
A．带正电荷
B．沿a→b→c→d →e方向运动
C．穿过金属板后，轨迹半径变小
D．穿过金属板后，所受洛伦兹力变大
17. （2026·海南·一模）如图所示，O 点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，
磁感应强度为B，ON 为圆的半径，长度为R，现有比荷相等的两个带电粒子a、b，以不同的速度
先后从A 点沿AO 方向和从B 点沿BO 方向射入磁场，并均从N 点射出磁场，若a 粒子的速率为v，
不计粒子的重力。已知∠AON =60°，下列说法正确的是（ ）
A．a 粒子做圆周运动的半径为R
B．b 粒子的速率为1
3 v
C．粒子的比荷为
❑√3 v
BR
D．a、b 两粒子在磁场中的运动时间之比为2∶1
18. （25-26 高二上·重庆·期中）如图所示，平面直角坐标系xOy 中，x 轴上方充满磁感应强度大小为
B、垂直纸面向外的匀强磁场。在O 点有一可视为质点的粒子源，沿纸面不断放出同种带负电粒子，
且粒子的速率均为v，粒子射入磁场时的速度方向与x 轴正方向的夹角θ 的范围为60°~120°。不计
粒子重力及粒子间的相互作用，已知粒子在y 轴上能到达的最远距离为a，则下列说法正确的是（
）
A．粒子在磁场中运动的半径为a
B．粒子射出磁场时到O 点的最远距离为2a
C．粒子射出磁场时到O 点的最近距离为a
D．从距O 点最近的位置射出磁场的粒子在磁场中运动的时间可能为2πa
3 v
19. （2025·浙江·一模）如图所示，在xOy坐标平面的第一、第四象限内存在足够宽的垂直纸面向里的
匀强磁场，磁感应强度大小为B0，同时放置有两个关于x轴对称且板间距离为d的平行金属板A、B，
两金属板间存在沿y轴负方向的匀强电场（图中未画出）。现有一质量为m、电荷量为q的可视为
质点的带正电金属小球，以速度v0从坐标原点沿x轴正方向做匀速直线运动后从两极板右端离开极
板区域。不考虑电场在两极板之外的效应，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球离开两极板区域后可以运动到x轴的下方
B．两极板间的电场强度大小等于B0v0−mg
q
C．小球在运动过程中的最大速度等于2mg
q B0
−v0
D．小球在运动过程中偏离x轴的最大距离等于2m v0
q B0
−2m
2 g
q
2B0
2
20. （2025·陕西西安·一模）如图，长方体区域abcd −a1b1c1d1中ab=2ad =2aa1=2 L。a 处的粒子
源可在∠bad范围内朝各个方向发射速率均为v 的同种粒子，粒子比荷为k。该区域仅存在由a 指
向a1
的匀强电场E 时，粒子均落在a1b1c1d1
矩形范围内；该区域仅存在由a 指向a1
的匀强磁场B 时，
粒子均通过ab边。不计重力及粒子间的相互作用，则其中某个粒子在该区区域运动过程中（ ）
A．E 的量大值为2v
2
kL
B．E 的大小可能为3 v
2
kL
C．B 的大小可能为v
2kL
D．B 的大小可能为2v
kL
