高中数学知识点与公式大全
第一章 集合与函数概念
1.集合
1.1 集合的概念及其表示
⑴.集合中元素的三个特征：
①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合
中就确定了．
②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素
是不重复出现的.
③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“”表示）和
不属于（用符号“”表示）．
⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn 图、描述法．
(4).常见的数集及其表示符号
名称
自然数集 正整数集 整数集
有理数集 实数集
表示符号 N
*
N 或
+
N
Z
Q
R
1.2 集合间的基本关系
性质
符号表示
空集
空集是任何集合的子集
A
空集是任何非空集合的真子集
）
（
A
A
相等
集合A 与集合B 所有元素相同
A=B
子集
集合A 中的任何一个元素均是集合
B
A
B 中的元素
真子
集
集合A 中的任何一个元素均是集合
B 中的元素,且B 中至少有一个元
素在A 中没有
1.3 集合之间的基本运算
符号表示
集合表示
并集
B
A
B
A
x
x
x
|
或
交集
B
A
B
x
A
x
x
且
|
补集
A
CU
A
U
x
x
x
|
且
【重要提醒】
1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2
n,真子集的个
数为2
n－1.
2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B
(
)
(
)
U
U
A
B
A
B
U
=
=
.
3．奇数集：
2
1,
2
1,
4
1.
x x
n
n
x x
n
n
x x
n
n
=
+
=
=
−
=
=
Z
Z
Z .
4. 德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即
(
)=(
)
(
)
U
U
U
A
B
A
B ；
②交集的补集等于补集的并集，即
(
)=(
)
(
)
U
U
U
A
B
A
B ．
2.函数及其表示
2.1 函数的相关概念
函数
两个集
设A、B 是两个非空数集
合A、B
对应关
系
按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个
数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应
名称
称f：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数
记法
y＝f(x)，x∈A
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是
否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定
的函数值”这个核心点．
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函
数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合
{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(3)构成函数的三要素：函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
(4)函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
2.2 函数的三要素
（1）．函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见
基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于
或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x
0 的定义域是
{x|x≠0}.
（2）．函数的解析式
(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形
式，可根据题目的条件转化为该形式.
(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利
用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错
误.
（3）．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等
函数的值域：
(1)一次函数y＝kx＋b(k 为常数且k≠0)的值域为R.
(2)反比例函数
k
y
x
=
(k 为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，
＋∞)．
(3)二次函数y＝ax
2＋bx＋c(a，b，c 为常数且a≠0)，
当a>0 时，二次函数的值域为
2
4
[
,
)
4
ac
b
a
−
+；当a<0 时，二次函数
的值域为
2
4
(
,
]
4
ac
b
a
−
−
.
求二次函数的值域时，应掌握配方法：
2
2
2
4
(
)
2
4
b
ac
b
y
ax
bx
c
a x
a
a
−
=
+
+
=
+
+
.
2.3 分段函数
分段函数的概念
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不
同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分
组成，但它表示的是一个函数．
3.函数基本性质
3.1 函数的单调性
单调函数的定义
增函数
减函数
定
义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义
域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1<x2时，都有
f(x1)<f(x2)，那么就说函
数f(x)在区间D 上是增函
数
当x1<x2时，都有
f(x1)>f(x2)，那么就说函
数f(x)在区间D 上是减函
数
图
象
描
述
自左向右看图象是上
升的
自左向右看图象是下
降的
单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y
＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y＝f(x)的单
调区间．
函数的最值
前提 设函数
( )
y
f x
=
的定义域为I ，如果存在实数M 满足
条件
（1）对于任意的x
I
，都
( )
f x
M
；
（2）存在
0x
I
，使得
(
)
0
f x
M
=
（3）对于任意的x
I
，都
( )
f x
M
；
（4）存在
0x
I
，使得
(
)
0
f x
M
=
结论
M 为最大值
M 为最小值
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域
是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点
值就是函数的最值.
函数单调性的常用结论
（1）若
( )
( )
,
f x
g x 均为区间A 上的增(减)函数，则
( )
( )
f x
g x
+
也是区
间A 上的增(减)函数；
（2）若
0
k ，则
( )
kf x 与
( )
f x 的单调性相同；若
0
k ，则
( )
kf x 与
( )
f x
单调性相反；
（3）函数
( )
( )
(
)
0
y
f x
f x
=
在公共定义域内与
( )
y
f x
= −
，
1
( )
y
f x
=
的单
调性相反；
（4）函数
( )
( )
(
)
0
y
f x
f x
=
在公共定义域内与
( )
y
f x
=
的单调性相同；
（5）一些重要函数的单调性：
①
1
y
x
x
=
+
的单调性：在(
, 1
−−和
)
1,+上单调递增，在(
)
1,0
−
和(
)
0,1
上单调递减；
②
b
y
ax
x
=
+
（
0
a ，
0
b ）的单调性：在
,
b
a
−−
和
,
b
a
+
上单调
递增，在
,0
b
a
−
和0,
b
a
上单调递减．
3.2 函数的奇偶性
（1）．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数
( )
f x 的定义域内任意
一个x ，都有
(
)
( )
f
x
f x
−
=
，那么函数
( )
f x 是偶函数
图象关于y 轴对
称
奇函数
如果对于函数
( )
f x 的定义域内任意
一个x ，都有
(
)
( )
f
x
f x
−
= −
，那么函数
( )
f x 是奇函数
图象关于原点对
称
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：
对于定义域内的任意一个x，x
−也在定义域内（即定义域关于原点对
称）．
（2）．函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于
原点对称的区间上的单调性相反．
（2）
( )
f x ，( )
g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：
( )
f x
( )
g x
( )
( )
f x
g x
+
( )
( )
f x
g x
−
( ) ( )
f x g x
( ( ))
f g x
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
（3）若奇函数的定义域包括0 ，则
( )
0
0
f
= ．
（4）若函数
( )
f x 是偶函数，则
(
)
( )
(
)
f
x
f
x
f
x
−
=
=
．
（5）定义在(
)
,
−+上的任意函数
( )
f x 都可以唯一表示成一个奇函
数与一个偶函数之和．
（6）若函数
( )
y
f x
=
的定义域关于原点对称，则
( )
(
)
f x
f
x
+
−
为偶函数，
( )
(
)
f x
f
x
−
−
为奇函数，
( )
(
)
f x
f
x
−
为偶函数．
重难点 复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函
数=偶函数；
②奇函数×奇函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数，偶函数×偶函
数=偶函数；
第二章 基本初等函数
2.1 指数与指数函数
（1）根式
概念：式子n a叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
性质：(n a)
n＝a(a 使
n
a有意义)；
当n 为奇数时，n a
n＝a，当n 为偶数时，n a
n＝|a|＝
a，a≥0，
－a，a<0.
（2）分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是a
m
n＝n a
m(a>0，m，n∈N
*，且
n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a
－
m
n＝1
n a
m
(a>0，m，n∈N
*，且
n>1)；0 的正分数指数幂等于0；0 的负分数 指数幂没有意义.
有理指数幂的运算性质：a
ra
s＝a
r+s；(a
r)
s＝a
rs；(ab)
r＝a
rb
r，其中
a>0，b>0，r，s∈Q.
（3）指数函数及其性质
概念：函数y＝a
x(a>0 且a≠1)叫做指数函数，x 是自变量，函数的
定义域是R，a 是底数.
指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义
域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0 时，y＝1
当x>0 时，y>1；
当x<0 时，0<y<1
当x<0 时，y>1；
当x>0 时，0<y<1
在(－∞，＋∞)上
是增函数
在(－∞，＋∞)上是减
函数
2.2 对数与对数函数
（1）对数的概念
如果a
x＝N(a>0，且a≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作
N
x
a
log
=
，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
（2）对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①a
logaN＝N；②logaa
b＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则；如果a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么
①
N
M
MN
a
a
a
log
log
)
(
log
+
=
； ②
N
M
N
M
a
a
a
log
log
log
−
=
；
③
M
n
M
a
n
a
log
log
=
(nR)； ④
b
n
m
b
a
m
an
log
log
=
.
(3)换底公式：
a
b
b
c
c
a
log
log
log
=
(a，b 均大于零且不等于1).
（3）对数函数及其性质
(1)概念：y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x 是自变
量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1 时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1 时，y>0；
当0<x<1 时，y<0
当x>1 时，y<0；
当0<x<1 时，y>0
在(0，＋∞)上是增
函数
在(0，＋∞)上是减
函数
2.3 幂函数
(1)幂函数的定义：一般地，形如y＝x
α的函数称为幂函数，其中x
是自变量，α 为常数.
(2)常见的5 种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋
∞)上单调递增；
③当α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调
递减.
第三章 函数的应用
1.函数零点的定义
一般地，如果函数
( )
y
f x
=
在实数处的值等于零，即
( )
0
f = ，则
叫做这个函数的零点.
重点强调：零点不是点，是一个实数；
2.零点存在性定理
如果函数
( )
y
f x
=
在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且
有
0
)
(
)
(
b
f
a
f
，那么函数
( )
y
f x
=
在区间（a,b）内有零点，即存在
)
,
(
b
a
c
，使得
0
)
(
=
c
f
，这个c 也就是方程
0
)
(
=
x
f
的根.
3.二分法
二分法求零点：对于在区间a
[ ，]
b 上连续不断，且满足
)
(a
f
·
)
(b
f
0
的函数
)
(x
f
y =
，通过不断地把函数
)
(x
f
的零点所在的区间一分为二，
使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二
分法．
给定精度，用二分法求函数
)
(x
f
的零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间a
[ ，]
b ，验证
)
(a
f
·
)
(b
f
0
，给定精度；
（2）求区间a
( ，)
b 的中点
1x ；
（3）计算
)
( 1x
f
：①若
)
( 1x
f
=0 ，则
1x 就是函数的零点；
②若
)
(a
f
·
)
( 1x
f
<0 ，则令b =
1x （此时零点
)
,
(
1
0
x
a
x
）；
③若
)
( 1x
f
·
)
(b
f
<0 ，则令a =
1x （此时零点
)
,
( 1
0
b
x
x
）；
（4）判断是否达到精度；
即若
−
|
|
b
a
，则得到零点零点值a（或b ）；否则重复步骤2~4.
注意：二分法的条件
·
表明用二分法求函数的近似零点
都是指变号零点.
第四章 三角函数
1. 角的概念
1．角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置
所形成的图形．
2．角的分类
按旋转方向
不同分类
正角：按逆时针方向旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线没有旋转
按终边位置
不同分类
象限角：角的终边在第几象限，这
个角就是第几象限角
轴线角：角的终边落在坐标轴上
3．终边相同的角
)
(a
f
)
(b
f
0
所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合：S＝
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2.弧度制及应用
1．弧度制的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，弧度记作
rad.
2．弧度制下的有关公式
角α 的弧度数公式
|α|＝l
r(弧长用l 表示)
角度与弧度的换算
①1°＝π
180 rad；②1 rad＝
180
π
°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝1
2lr＝1
2|α|r
2
3.任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，
y)，那么
y叫做α 的正
弦，记sin α
x叫做α 的余
弦，记cos α
y
x叫做α 的正
切，记tan α
各
象
限
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
符
号
Ⅳ
－
＋
－
三角函数
线
有向线段MP 为
正弦线
有向线段OM 为余
弦线
有向线段AT 为正
切线
4.同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin
2α＋cos
2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝
sin α
cos α
2．同角三角函数基本关系式的应用技巧
5.三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋
α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
π
2
－α
π
2 ＋
α
正弦
sin
α
－sin_α
－
sin_
α
sin_α
cos
_α
cos_
α
余弦
cos
α
－cos_α
cos_
α
－
cos_α
sin
_α
－
sin_α
正切
tan
α
tan_α
－
tan_
α
－
tan_α
6.正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
错误!
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
错误!
(k∈Z)上是递增函
数
，
错误!
(k∈Z)上是递减函
数
在[2kπ－
π2kπ](k∈
Z)上是递增
函数，在
[2kπ，2kπ
＋π](k∈Z)
上是递减函
数
在
－π
2 ＋kπ，π
2 ＋kπ
(k∈Z)
上是递增函数
周期性
周期是2kπ(k∈Z
且k≠0)，最小正
周期是2π
周
期
是
2kπ(k∈Z 且
k≠0)，最小
正周期是2π
周期是kπ(k ∈Z 且
k≠0)，最小正周期是
π
对称性
对称轴是x＝π
2 ＋对称轴是x＝对称中心是
kπ
2 ，0 (k
kπ(k∈Z)，对称中
心是(kπ，0)(k∈
Z)
kπ(k∈Z)，
对称中心是
kπ＋π
2 ，0
(k∈Z)
∈Z)
6.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五点是：(0,0)，
π
2 ，1 ，
(π，0)，
3π
2 ，－1 ，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五点是：(0,1)，
π
2 ，0 ，
(π，－1)，
3π
2 ，0 ，(2π，1).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝
Asin(ωx＋φ)
振
幅
周
期
频率
相位
初相
(A>0，
ω>0)
A
T＝
2π
ω
f＝1
T＝
ω
2π
错误!
φ
3.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键
点，如下表所示：
x
－
φ
ω
π
2ω
－φ
ω
错误!
3π
2ω
－φ
ω
错误!
ωx＋φ
0
π
2
π
3π
2
2π
y＝Asin(ωx
＋φ)
0
A
0
－A
0
第五章 平面向量
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；
向量的大小叫做向量的长
度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0 的向量
记作0，其方向是任意的
单位向量 长度等于1 个单位的向量
非零向量a 的单位向量为
± a
|a|
平行向量 方向相同或相反的非零向
量(又叫做共线向量)
0 与任一向量平行或共线
相等向量 长度相等且方向相同的向
量
两向量只有相等或不相等，
不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向
量
0 的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运
算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量
和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)
＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a 与b 的
相反向量－
b 的和的运
算叫做a 与
b 的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ
与向量a 的
积的运算
|λa|＝|λ||a|，当
λ＞0 时，λa 的方向
与a 的方向相同；当
λ＜0 时，λa 的方向
与a 的方向相反；当
λ＝0 时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋
μa；λ(a＋b)＝λa
＋λb
3.平面向量的坐标运算
运算
坐标表示
和(差)
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－
b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘
已知a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)，其中λ 是实
数
任一向量的
坐标
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB
―→＝(x2－x1，y2－y1)
4.向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量
a 和b，作OA
―→＝
a，OB
―→＝b，则
∠AOB 就是a 与b
的夹角
设θ 是a 与b
的夹角，则θ
的取值范围是
0°≤θ
≤180°
θ＝0°或θ＝
180°⇔a∥b，
θ＝
90°⇔a⊥b
5.平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b 的夹角为θ，则数量|a||b|cos
θ 叫做a 与b 的数量积，记作a·b
投影
|a|cos θ 叫做向量a 在b 方向上的投影，
|b|cos θ 叫做向量b 在a 方向上的投影
几何意义
数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的
投影|b|cos θ 的乘积
6.向量数量积的运算律
交换律
a·b＝b·a
分配律
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
数乘结合
律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
第六章 三角恒等变换
1、同角三角函数的基本关系式 ：①
2
2
sin
cos
1
+
= ，②tan=
cos
sin
，
2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
3、和角与差角公式
sin(
)
sin
cos
cos
sin
=
cos(
)
cos
cos
sin
sin
=
tan
tan
tan(
)
1
tan
tan
=
.
cos
sin
2
1
)
cos
(sin
2
=
4、二倍角公式及降幂公式
sin2
sin
cos
=
.
2
2
2
2
cos2
cos
sin
2cos
1 1 2sin
=
−
=
−= −
2
2tan
tan2
1 tan
= −
2
2
1 cos2
1 cos2
sin
,cos
2
2
−
+
=
=
第七章 解三角形
【正弦定理】
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
=
=
=
（R 为ABC
外接圆的半径）.
【正弦定理的变形】①
2 sin ,
2 sin ,
2 sin
a
R
A b
R
B c
R
C
=
=
=
②
2
sin
sin
sin
sin
sin
sin
a
b
c
a
b
c
R
A
B
C
A
B
C
+ +
=
=
=
=
+
+
【三角形常用结论 】
（1）
B
A
B
A
B
A
b
a
cos
cos
sin
sin
（2）在△ABC 中，有
(
)
A
B
C
C
A
B
+
+
=
=
−
+
2
2
2
C
A
B
+
=
−
2
2
2(
)
C
A
B
=
−
+
.
（3)面积公式：
①
1
1
1
2
2
2
a
b
c
S
ah
bh
ch
=
=
=
，
②
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
S
ab
C
bc
A
ca
B
=
=
=
.
第八章 数列
2.1 等差数列
（1）.等差数列的定义--------（证明或判断等差数列）
①
1
(
n
n
a
a
d d
+ −
=
为常数）或②
1
1(
2)
n
n
n
n
a
a
a
a
n
+
−
−
=
−
（2）．等差数列的通项公式：
1
(
1)
na
a
n
d
=
+
−
或
(
)
n
m
a
a
n
m d
=
+
−
①当
0
d 时，等差数列的通项公式
1
1
(
1)
na
a
n
d
dn
a
d
=
+
−
=
+
−是关于n 的
一次函数，且斜率为公差d ；
（3）．等差数列的前n 和：
1
(
)
2
n
n
n a
a
S
+
=
，
1
(
1)
2
n
n n
S
na
d
−
=
+
①前n 和
2
1
1
(
1)
(
)
2
2
2
n
n n
d
d
S
na
d
n
a
n
−
=
+
=
+
−
是关于n 的二次函数且常数
项为0.
（4）、等差中项：
⑴若, ,
a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且
2
a
b
A
+
=
。
⑵当m
n
p
q
+
=
+ 时,则有
q
p
n
m
a
a
a
a
+
=
+
5、若{
}
na 是等差数列 ，
2
3
2
,
,
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S
−
−
，…也成等差数列.
2.2 等比数列
（1）等比数列的定义--------（证明或判断等比数列）
1
(
n
n
a
q q
a
+ =
为常数），
（2）等比数列的通项公式：
1
1
n
na
a q −
=
或
n m
n
m
a
a q −
=
。
（3）等比数列的前n 和：①当
1
q = 时，
1
n
S
na
=
；
②当
1
q 时，
1(1
)
1
n
n
a
q
S
q
−
=
−
1
1
n
a
a q
q
−
=
−
。
（4）等比中项：
⑴若, ,
a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项，
⑵当m
n
p
q
+
=
+ 时，则有
。
第九章 不等式
1.一元二次不等式的概念及形式
(1).概念：把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2 的不等式，
称为一元二次不等式．
(2).形式：①ax
2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax
2＋bx＋c≥0(a≠0)；
③ax
2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax
2＋bx＋c≤0(a≠0)．
2.一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”之间的关系
(1)一元二次不等式的解集的概念：
一般地，使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个不等式的解，
一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解
集.
(2)关于x 的一元二次不等式ax
2＋bx＋c>0(a≠0)或ax
2＋bx＋
c<0(a≠0)的解集；
若二次函数为f(x)＝ax
2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0
或f(x)<0 的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值
时自变量x 的取值的集合．
(3)三个“二次”之间的关系：
设f(x)＝ax
2＋bx＋c(a>0)，方程ax
2＋bx＋c＝0 的判别式Δ＝b
2－
4ac
判别式Δ
＝b
2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
解不等式
f(x)>0
或f(x)<
0 的步骤
求方程f(x)＝
0 的解
有两个不等的
实数解x1，x2
有两个相等的
实数解x1＝x2
没有实
数解
画函数y＝
f(x)的示意图
得不
等式
f(x)>0
{x|x<x1
或x>x2}
{x|x≠－b
2a}
R
的解
集
f(x)<0
{x|x1<x<x2}
∅
∅
3.分式不等式的解法
定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等
式称为分式不等式.
解法：等价转化法解分式不等式
fx
gx>0⇔f(x)g(x)>0，fx
gx<0⇔f(x)·g(x)<0.
4.简单的高次不等式的解法
解法：穿根法
①将f(x)最高次项系数化为正数；
②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过
每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；
④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集．
5.二元一次不等式(组)
(1)定义：我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1 的不等式
称为二元一次不等式；把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为
二元一次不等式组．
(2)解集：满足二元一次不等式(组)的x 和y 的取值构成有序数对(x，
y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)
的解集．有序数对可以看成是直角坐标平面内点的坐标.于是，二元
一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标内的点构成的集合．
9.基本不等式(或)均值不等式：
ab
b
a
+
2
10.基本不等式的变形与拓展
1．(1)若
R
b
a
,
,则
ab
b
a
2
2
2
+
；
(2)若
R
b
a
,
,则
2
2
2
b
a
ab
+
（当且仅当
b
a = 时取“=”）．
2．(1)若
0
0
a
,b
,则
ab
b
a
+
2
；(2)若
0
0
a
,b
,则
ab
b
a
2
+
（当且
仅当
b
a = 时取“=”）；
(3)若
0
0
a
,b
,则
2
2
+
b
a
ab
（当且仅当
b
a = 时取“=”）．
3．若
0
x ,则
1
2
x
x
+
（当且仅当
1
x = 时取“=”）；若
0
x ,则
1
2
x
x
+
−
（当且仅当
1
x = −时取“=”）；若
0
x
,则
1
2
x
x
+
,即
1
2
x
x
+
或
1
2
x
x
+
−（当且仅当
b
a = 时取“=”）．
4．若
0
ab
,则
2
+ a
b
b
a
（当且仅当
b
a =
时取“=”）；若
0
ab
,则
2
a
b
b
a
+
,即
2
a
b
b
a
+
或
2
a
b
b
a
+
−（当且仅当
b
a = 时取“=”）．
5．一个重要的不等式链：
2
2
2
1
1
2
2
a
b
a
b
ab
a
b
+
+
+
．
第十章 空间几何体
1．多面体的结构特征
2．旋转体的形成
几何
体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
任一边所在的直线
圆锥
直角三角
形
任一直角边所在的直线
圆台
直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆
直径所在的直线
3．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′
轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；
平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的
线段在直观图中长度变为原来的一半.
“三变”
坐标轴的夹角改变
与y轴平行的线段的长度变为原来的一半
图形改变
“三不变”
平行性不改变
与x，z轴平行的线段的长度不改变
相对位置不改变
(3)平面图形的直观图与原图形面积的关系：S 直观图＝2
4 S 原图．
4．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧
面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面
展
开图
侧面
积
公式
S 圆柱侧＝2πrl
S 圆锥侧＝πrl
S 圆台侧＝π(r1＋
r2)l
6．柱、锥、台和球的表面积和体积
名称
几何体
表面积
体积
柱体
(棱柱和圆柱)
S 表面积＝S 侧＋2S 底
V＝Sh
锥体
(棱锥和圆锥)
S 表面积＝S 侧＋S 底
V＝1
3Sh
台体
(棱台和圆台)
S 表面积＝S 侧＋S 上
＋S 下
V＝1
3(S 上＋S 下＋
S上S下)h
球
S＝4πR
2
V＝4
3πR
3
第十一章 点线面之间的位置关系
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判
定
定
理
平面外一条直线与此平面内
的一条直线平行，则该直线
与此平面平行(线线平行⇒
线面平行)
l∥a，a⊂α，
l ⊄α⇒l ∥
α
性
质
定
理
一条直线与一个平面平行，
则过这条直线的任一平面与
此平面的交线与该直线平行
(线面平行⇒线线平行)
l∥α，
l⊂β，
α∩β＝
b⇒l∥b
2．判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
3.平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
一个平面内的两条
相交直线与另一个
平面平行，则这两
个平面平行(线面平
行⇒面面平行)
a∥β，b∥β，a∩b
＝P，a⊂α，
b⊂α⇒α∥β
性质
定理
如果两个平行平面
同时和第三个平面
相交，那么它们的
交线平行
α∥β，α∩γ＝
a，β∩γ＝b⇒a∥b
4.重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则
α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则
a∥b.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，
则α∥γ.
5．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α 内的任意一条直线
都垂直，就说直线l 与平面α 互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
一条直线与一个
平面内的两条相
交直线都垂直，
则该直线与此平
面垂直
a，b⊂α
a∩b＝O
l⊥a
l⊥b
⇒l⊥α
性质
定理
垂直于同一个平
面的两条直线平
行
a⊥α
b⊥α ⇒a∥b
6．证明线面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理．
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平
面垂直”．
(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个
也垂直”．
(4)利用面面垂直的性质定理．
7．证明线线垂直的常用方法
(1)利用特殊图形中的垂直关系．(2)利用等腰三角形底边中线的
性质．
(3)利用勾股定理的逆定理．(4)利用直线与平面垂直的性质．
8．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交， 如果它们所成的二
面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
一个平面过另一
个平面的垂线，
则这两个平面垂
直
l⊂β
l⊥α ⇒α
⊥β
性质
定理
两个平面垂直，
则一个平面内垂
直于交线的直线
与另一个平面垂
直
错误!⇒l⊥α
9.面面垂直的两种证明方法
(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角
为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．
(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经
过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．
第十二章 直线与方程
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直
线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．
(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l 的倾斜角为α
α≠π
2 ，则斜率k＝tan α.
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l 上，且x1≠x2，则l 的
斜率k＝y2－y1
x2－x1.
3．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜
式
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x 轴的直线
斜截
式
y＝kx＋b
不含垂直于x 轴的直线
两点
式
y－y1
y2－y1＝x－x1
x2－x1
不含直线x＝x1(x1≠x2)
和直线y＝y1(y1≠y2)
截距
式
x
a＋y
b＝1
不含垂直于坐标轴
和过原点的直线
一般
式
Ax＋By＋C＝0，
A
2＋B
2≠0
平面内所有直线都适用
4. 求直线方程的两种方法
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写
出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要
分类讨论．
(2)待定系数法，即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程
(组)，再求出参数，最后将其代入直线方程．
5．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有
l1∥l2⇔k1＝k2．
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2．
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2
＝－1．
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0 时，
l1⊥l2．
6．两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0 平行的充要条
件是A1B2－A2B1＝0，A1C2≠A2C1.重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0，A1C2
＝A2C．
7．两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0 垂直的充要条
件是A1A2＋B1B2＝0．
8．三种距离
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距
离|P1P2|
d＝x2－x1
2＋y2－y1
2
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C
＝0 的距离
d＝|Ax0＋By0＋C|
A
2＋B
2
平行线Ax＋By＋C1＝0 与Ax＋By＋C2
＝0 间的距离
d＝|C1－C2|
A
2＋B
2
9．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R
且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈
R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直
线系方程为
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．
第十三章 圆的方程
1．圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准
方程
(x－a)
2＋(y－b)
2＝r
2(r
＞0)
圆心(a，b)，半径r
一般
方程
x
2＋y
2＋Dx＋Ey＋F＝0，
(D
2＋E
2－4F＞0)
圆心
－D
2，－E
2 ，
半径1
2 D
2＋E
2－4F
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)
2＋(y－b)
2＝r
2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)
2＋(y0－b)
2＞r
2．
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)
2＋(y0－b)
2＝r
2．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)
2＋(y0－b)
2＜r
2．
3. 确定圆心的方法
求圆的标准方程，其关键是确定圆心，确定圆心的主要方法有：
(1)当题目条件中出现直线与圆相切时，可利用圆心在过切点且与切
线垂直的直线上来确定圆心位置；
(2)当题目条件中出现直线与圆相交，可考虑圆心在弦的垂直平分线
上；
(3)当题目条件出现两圆相切时，可考虑切点与两圆的圆心共线．
4. 求圆的方程的两种方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法：
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出
a，b，r 的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F 的方程组，进
而求出D，E，F 的值．
5. 与圆有关的最值问题的常见解法
(1)形如μ＝y－b
x－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问
题．
(3)形如(x－a)
2＋(y－b)
2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距
离的平方的最值问题．
第十四章 算法初步
1、算法
(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步
骤.
(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问
题.
2、程序框图
定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说
明来表示算法的图形.
3、三种基本逻辑结构
名
称
内容
顺序结构
条件结构
循环结构
定
义
由若干个按先
后顺序执行的步骤
组成，这是任何一
个算法都离不开的
基本结构
算法的流程
根据条件是否成
立而选择执行不
同的流向的结构
形式
从某处开始，
按照一定的条件反
复执行某些步骤的
情况，反复执行的
步骤称为循环体
程
序
框
图
第十五章 统计
1.简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个
体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机
会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.
2.分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比
例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一
起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.
(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分
层抽样.
3.系统抽样
(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部
分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需
要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样.
(2)系统抽样的操作步骤：假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n
的样本.
①先将总体的N 个个体编号；
②确定分段间隔k，对编号进行分段，当N
n(n 是样本容量)是整
数时，取k＝N
n；
③在第1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
④按照一定的规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k 得到第2
个个体编号(l＋k)，再加k 得到第3 个个体编号(l＋2k)，依次进行
下去，直到获取整个样本.
4. 用样本的频率估计总体的频率
(1)频率分布表的画法：
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差
组数；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一
组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)
横轴表示样本数据，纵轴表示频率
组距，每个小矩形的面积表示样本落
在该组内的频率.
1.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中
每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
5.用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众
数.
(2)中位数：把n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数
据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数：把a1＋a2＋…＋an
n
称为a1，a2，…，an这n
个数的平均
数.
(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x
－
，则
这组数据的标准差和方差分别是
s＝
1
n[（x1－x
－）
2＋（x2－x
－）
2＋…＋（xn－x
－）
2]，s
2＝1
n[(x1－x
－)
2
＋(x2－x
－)
2＋…＋(xn－x
－)
2].
6. 线性回归分析
1、 相关关系与回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方
法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相
关指数.
(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量
的这种相关关系，我们将它称为正相关.
(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这
种相关关系称为负相关.
(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个
变量具有线性相关关系.
2、线性回归方程
（1）最小二乘法：使样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小
的方法叫做最小二乘法．
（2）回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：
，其回归方程为
，则
注意：线性回归直线经过定点
．
（3）相关系数：
．
3、回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方
法.
(2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，
(x2，y2)，…，(xn，yn)，
(
) (
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
,
,
,
n
n
x
y
x
y
x
y
a
bx
y
+
=
1
2
2
1
,
.
n
i
i
i
n
i
i
x y
nxy
b
x
nx
a
y
bx
=
=
−
=
−
=
−
(
)
,
x y
(
)(
)
(
)
(
)
1
2
2
1
1
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y
=
=
=
−
−
=
−
−
1
2
2
2
2
1
1
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x y
nxy
x
nx
y
ny
=
=
=
−
=
−
−
其中(x
－
，y
－
)称为样本点的中心.
(3)相关系数
当r>0 时，表明两个变量正相关；当r<0 时，表明两个变量负相关.
r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.
r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关
系.通常|r|大于0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关性.
(4)相关指数：R
2＝1－
∑
n
i＝1 （yi－y
^
i）
2
∑
n
i＝1 （yi－y
－
）
2.其中∑
n
i＝1 (yi－y
^
i)
2是残差平方
和，其值越小，则R
2越大(接近1)，模型的拟合效果越好.
第十六章 概率
1.有关随机事件的概率
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2.有关古典概型的概率
1.古典概型-具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简
称古典概型.
(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个
结果.
(2)每一个试验结果出现的可能性相同.
2.如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可
能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1
n；如果某个事件A 包
括的结果有m 个，那么事件A 的概率P(A)＝m
n.
3. 古典概型的概率公式-P(A)＝事件A包含的可能结果数
试验的所有可能结果数.
3. 有关长度的几何概率
1.几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体
积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概
型.
2. 几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.
3.几何概型的概率公式：P(A)＝
构成事件A的区域长度（面积或体积）
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.
第十七章 常用逻辑用语
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命
题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命
题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p 是q 的充分条件，q 是p
的必要条件
p 是q 的充分不必要条
件
p⇒q 且q⇏
p
p 是q 的必要不充分条
件
p⇏q 且
q⇒p
p 是q 的充要条件
p⇔q
p 是q 的既不充分也不
必要条件
p⇏q 且q⇏p
【特别提醒】
若条件p，q 以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝
{x|q(x)}，则由A⊆B 可得，p 是q 的充分条件，请写出集合A，B 的
其他关系对应的条件p，q 的关系．
①若A
B，则p 是q 的充分不必要条件；②若A⊇B，则p 是q 的
必要条件；
③若A
B，则p 是q 的必要不充分条件；
④若A＝B，则p 是q 的充要条件；
⑤若A⊈B 且A⊉B，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
4．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存
在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M 中任意一个x，
有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M 中元素x0，使
p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．
第十八章 圆锥曲线与方程
1. 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|
|
F1F2 )的点的
轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做
椭圆的焦距．
集合P＝{M||
|
MF1 ＋|
|
MF2 ＝2a}，|
|
F1F2 ＝2c，其中a>0，c>0，
且a，c 为常数．
(1)若a＞c，则集合P 为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P 为线段；
(3)若a＜c，则集合P 为空集．
2. 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x
2
a
2＋y
2
b
2＝1(a＞b＞0)
x
2
b
2＋y
2
a
2＝1(a＞
b＞0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称
性
对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，
A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，
b)
A1(0，－a)，
A2(0，a)，
B1(－b,0)，
B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
焦距
|
|
F1F2 ＝2c
离心
率
e＝c
a， e∈(0,1)
a，
b，c
的关
系
c
2＝a
2－b
2
3.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小
于|
|
F1F2 )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M
|
|
|
MF1
－|
|
MF2
＝2a}，|
|
F1F2 ＝2c，其中a，c 为常
数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c 时，点P 的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c 时，点P 的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c 时，点P 不存在．
4. 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x
2
a
2－y
2
b
2＝1(a＞0，b＞0) y
2
a
2－x
2
b
2＝1(a＞0，b＞0)
图形
性
质
范围
x≥a 或x≤－a，y∈R y≤－a 或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±b
ax
y＝±a
bx
离心率
e＝ c
a ，e∈(1，＋∞)
a，b，c 的
关系
c
2＝a
2＋b
2
实虚轴
线段A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|
|
A1A2 ＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|
|
B1B2 ＝2b；a
叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长
5. 抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y
2＝2px
(p＞0)
y
2＝－2px
(p＞0)
x
2＝2py
(p＞0)
x
2＝－2py
(p＞0)
p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
x 轴
y 轴
焦点
F
p
2，0
F
－p
2，0
F
0，p
2
F
0，－p
2
离心率
e＝1
准线
x＝－p
2
x＝p
2
y＝－p
2
y＝p
2
范围
x≥0，
y∈R
x≤0，y
∈R
y≥0，
x∈R
y≤0，x
∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半径( 其| |
PF ＝
| |
PF ＝
| |
PF ＝
| |
PF ＝
中P(x0，y0)) x0＋p
2
－x0＋p
2
y0＋p
2
－y0＋p
2
6.与焦点弦有关的常用结论
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p
2，x1x2＝p
2
4；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝
2p
sin
2θ(θ 为AB 的
倾斜角)．
(3) 1
|AF|＋1
|BF|为定值2
p；(4)以AB 为直径的圆与准线相切．
(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．
第十九章空间向量与立体几何
1．空间向量
(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．
(2)模(或长度)：向量的大小．
(3)表示方法：①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，
如始点为A 终点为B 的向量，记为AB
→，模为|AB
→|．
②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…．
【几类特殊的向量】
(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0．
(2)单位向量：模等于1 的向量称为单位向量．
(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．
(4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．
(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表
示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定
零向量与任意向量平行．
(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线
段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面．
2．空间向量的线性运算
类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．
图1 图2
(1)如图1，OB
→＝OA
→＋AB
→＝a＋b，CA
→＝OA
→－OC
→＝a－b．
(2)如图2，DA
→＋DC
→＋DD1
→＝DB1
→．
即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，
与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．
(3)给定一个实数λ 与任意一个空间向量a，则实数λ 与空间向
量a 相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中：
①当λ≠0 且a≠0 时，λa 的模为|λ||a|，而且λa 的方向：
(ⅰ)当λ＞0 时，与a 的方向相同；(ⅱ)当λ＜0 时，与a 的
方向相反．
②当λ＝0 或a＝0 时，λa＝0．
(4)空间向量的线性运算满足如下运算律：
对于实数λ 与μ，向量a 与b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a
＋b)＝λa＋λb．
3．空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角
如果〈a，b〉＝π
2 ，那么向量a，b 互相垂直，记作a⊥b．
(2)空间向量数量积的定义：
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b 的数量积(或
内积)，记作a·b．
(3)数量积的几何意义
①向量的投影
如图所示， 过向量a 的始点和终点分别向b 所在的直线作垂线，
即可得到向量a 在向量b 上的投影a′.
②数量积的几何意义： a 与b 的数量积等于a 在b 上的投影a′的
数量与b 的长度的乘积，特别地，a 与单位向量e 的数量积等于a 在
e 上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0.
(4)空间向量数量积的性质：
①a⊥b⇔a·b ＝0；②a·a＝|a|
2＝a
2；③|a·b|≤|a||b|；
④(λa)·b＝λ(a·b)；⑤a·b＝b·a(交换律)；
5．共面向量定理
如果两个向量a，b 不共线，则向量a，b，c 共面的充要条件是存
在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb．
6．空间向量基本定理
如果空间中的三个向量a，b，c 不共面，那么对空间中的任意一个
向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
特别地，当a，b，c 不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0 时，x＝y＝z
＝0．
7．空间中向量的坐标
一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位
向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在
单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p
＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p 的坐标，记作p
＝(x，y，z)．其中x，y，z 都称为p 的坐标分量．
思考1：若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a 的坐标一定是(x，y，z)吗？
8．空间向量的运算与坐标的关系
假设空间中两个向量a，b 满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
有以下结论：
(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；
(2)若u，v 是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；
(3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；(4)|a|＝a·a＝x
2
1＋y
2
1＋z
2
1；
(5) 当
a≠0
且
b≠0
时，cos 〈a ，b 〉＝
a·b
|a|·|b| ＝
x1x2＋y1y2＋z1z2
x
2
1＋y
2
1＋z
2
1 x
2
2＋y
2
2＋z
2
2
．
9．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
(1) 当a≠0 时，a∥b⇔b ＝λa⇔(x2 ，y2 ，z2) ＝λ(x1 ，y1 ，
z1)⇔
x2＝λx1
y2＝λy1
z2＝λz1
，当a 的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔x2
x1
＝y2
y1＝z2
z1．
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
10．空间直角坐标系
(1)在空间中任意选定一点O 作为坐标原点，选择合适的平面先
建立平面直角坐标系xOy，然后过O 作一条与xOy 平面垂直的数轴z
轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz．
(2)在空间直角坐标系Oxyz 中，x 轴、y 轴、z 轴是两两垂直的，
它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面．
(3)z 轴正方向的确定：在z 轴的正半轴看xOy 平面，x 轴的正半
轴绕O 点沿逆时针方向旋转90°能与y 轴的正半轴重合．
(4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz 时，
一般把x 轴、y 轴画成水平放置，x 轴正方向与y 轴正方向夹角为
135°(或45°)，z 轴与y 轴(或x 轴)垂直．
(5)空间中一点的坐标：空间一点M 的坐标可用有序实数组(x，
y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中
的坐标，其中x 叫做点M 的横坐标(或x 坐标)，y 叫做点M 的纵坐标
(或y 坐标)，z 叫做点M 的竖坐标(或z 坐标)．
(6)三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一
部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy 的上方，分别
是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy 的下方，
分别是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根据点的坐标的
特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{(x，y，z)|x＞0，y＞0，z＞
0}．
11．空间向量坐标的应用
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝x
2＋y
2＋z
2．
(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝
x2－x1
2＋y2－y1
2＋z2－z1
2．
第二十章 导数及其应用
一、平均变化率
1.变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀
率是半径的增量与体积增量的比值；
2.平均变化率
一般地，函数f(x)在区间
2
1, x
x
上的平均变化率为：
2
1
2
1
(
)
( )
f x
f x
x
x
−
−
3.如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出
2
1
(
)
( )
y
f x
f x
=
−
和
2
1
x
x
x
=
−
②作商：对所求得的差作商，即
2
1
2
1
(
)
( )
f x
f x
y
x
x
x
−
=
−
。
二、导数的概念
定义：函数
( )
f x 在
0x
x =
处瞬时变化率是
(
)
(
)
x
x
f
x
x
f
x
y
x
x
−
+
=
→
→
0
0
0
0
lim
lim
，我们称它为函数
( )x
f
y =
在
0x
x =
处的导
数,记作
( ) 或
0x
f
即
0
x
x
y
=
(
)
(
)
(
)
x
x
f
x
x
f
x
y
x
f
x
x
−
+
=
→
→
0
0
0
0
0
lim
lim
＝
三、求导数的方法：
求导数值的一般步骤：
① 求函数的增量：
0
0
(
)
(
)
y
f x
x
f x
=
+
−
；
② 求平均变化率：
0
0
(
)
(
)
f x
x
f x
y
x
x
+
−
=
；
③ 求极限，得导数：
0
0
0
0
0
(
)
(
)
'(
)
lim
lim
x
x
f x
x
f x
y
f
x
x
x
→
→
+
−
=
=
。
也可称为三步法求导数。
第二十一章 复数
1．复数的有关概念及分类
(1)代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中实部为a，虚部为b；
(2)共轭复数为z＝a－bi(a，b∈R)．
(3)复数的分类
复数a＋bi
a，b∈R
实数b＝0
有理数
,
整数
分数
无理数无限不循环小数
虚数b≠0
纯虚数a＝0
非纯虚数a≠0
①若 z＝a＋bi(a，b∈R)是实数，则z 与z 的关系为z＝z .
②若z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数，则z 与z 的关系为z＋z ＝
0(z≠0)．
2．与复数运算有关的问题
(1)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di⇔
a＝c，
b＝d
(a，b，c，d∈R)．
(2)复数的模
复数z＝a＋bi 的模|z|＝a
2＋b
2，且z· z ＝|z|
2＝a
2＋b
2.
(3)复数的四则运算，若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，
b1，a2，b2∈R)
①加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；
②减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；
③乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；
④除法：z1
z2＝a1a2＋b1b2＋a2b1－a1b2i
a
2
2＋b
2
2
＝a1a2＋b1b2
a
2
2＋b
2
2
＋a2b1－a1b2
a
2
2＋b
2
2
i(z2≠0)；
3．复数的几何意义
(1)任何一个复数z＝a＋bi 一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，
也一一对应着一个从原点出发的向量OZ
→.
(2)复数加法的几何意义
若复数z1、z2 对应的向量OZ
→
1、OZ
→
2 不共线，则复数z1＋z2 是以OZ
→
1、OZ
→
2为两邻边的平行四边形的对角线OZ
→所对应的复数．
(3)复数减法的几何意义
复数z1－z2是连接向量OZ
→
1、OZ
→
2的终点，并指向Z1的向量所对应
的复数．
第二十二章 计数原理
1 分类加法计数原理：
做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有
种不
同的方法，在第二类办法中有
种不同的方法，……，在第n 类办法
中有
种不同的方法那么完成这件事共有
种不
同的方法
2. 分步乘法计数原理：
做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有
种不同的
方法，做第二步有
种不同的方法，……，做第n 步有
种不同的
方法，那么完成这件事有
种不同的方法
【排列】
1．排列的概念：
从个不同元素中，任取
（
）个元素（这里的被取元素各
不相同）按照一定的顺序
．．．．．排成一列，叫做从个不同元素中取出
个
元素的一个排列
．．．．
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序
排列；
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺
序也相同
2．排列数的定义：
从个不同元素中，任取
（
）个元素的所有排列的个数叫
奎屯
王新敞
新疆
1
m
2
m
n
m
奎屯
王新敞
新疆
1
2
n
N
m
m
m
=
+
+
+
1
m
2
m
n
m
1
2
n
N
m
m
m
=
奎屯
王新敞
新疆
n
m
m
n
n
m
奎屯
王新敞
新疆
m
nA
奎屯
王新敞
新疆
n
m
m
n
做从个元素中取出
元素的排列数，用符号
表示注意区别排列和
排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取
个元
素按照一定的顺序
．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元
素中，任取
（
）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符
号
只表示排列数，而不表示具体的排列
3．排列数公式及其推导：
由
的意义：假定有排好顺序的2 个空位，从个元素
中任取2 个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一
个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，
所有不同的填法的种数就是排列数
．由分步计数原理完成上述填
空共有
种填法，∴
=
由此，求
可以按依次填3 个空位来考虑，∴
=
，
求
以按依次填
个空位来考虑
，
排列数公式：
（
）
说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一
个少1，最后一个因数是
，共有
个因数；
（2）全排列：当
时即个不同元素全部取出的一个排列
全排列数：
（叫做n 的阶乘） 另外，我们规
n
m
m
nA
奎屯
王新敞
新疆
n
m
n
m
m
n
奎屯
王新敞
新疆
m
nA
奎屯
王新敞
新疆
2
n
A
n
1
2,
,
n
a a
a
2
n
A
(
1)
n n −
2
n
A
(
1)
n n −
奎屯
王新敞
新疆
3
nA
3
nA
(
1)(
2)
n n
n
−
−
m
nA
m
(
1)(
2)
(
1)
m
n
A
n n
n
n
m
=
−
−
−
+
(
1)(
2)
(
1)
m
n
A
n n
n
n
m
=
−
−
−
+
,
,
m n
N
m
n
n
1
n
m
−
+
m
n
m
=
n
奎屯
王新敞
新疆
(
1)(
2)
2 1
!
n
n
A
n n
n
n
=
−
−
=
奎屯
王新敞
新疆
定 0! =1 .
1 组合的概念：一般地，从个不同元素中取出
个元素并成一
组，叫做从个不同元素中取出
个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：
元素相同
1．两个重要公式
(1)排列数公式
A
m
n＝
n！
n－m
！＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N
*，且m≤n)．
(2)组合数公式
C
m
n＝
n！
m！
n－m
！＝n
n－1
n－2
…
n－m＋1
m！
(n，m∈N
*，且
m≤n)．
2．三个重要性质和定理
(1)组合数性质
①C
m
n＝C
n－m
n (n，m∈N
*，且m≤n)；
②C
m
n＋1＝C
m
n＋C
m－1
n (n，m∈N
*，且m≤n)；
③C
0
n＝1.
(2)二项式定理
(a＋b)
n＝C
0
na
n＋C
1
na
n－1b
1＋C
2
na
n－2b
2＋…＋C
k
na
n－k·b
k＋…＋C
n
nb
n，其中通
项Tr＋1＝C
r
na
n－rb
r.
(3)二项式系数的性质
①C
0
n＝C
n
n，C
1
n＝C
n－1
n ，…，C
r
n＝C
n－r
n ；
奎屯
王新敞
新疆
n
m (
)
m
n
n
m
奎屯
王新敞
新疆
奎屯
王新敞
新疆
②C
0
n＋C
1
n＋C
2
n＋…＋C
n
n＝2
n；
③C
1
n＋C
3
n＋C
5
n＋…＝C
0
n＋C
2
n＋C
4
n＋…＝2
n－1.
第二十三章 随机变量及其分布
1．随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这
样的变量叫做随机变量.常用希腊字母ξ、η 等表示．
2．离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一
一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3．连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内
的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量．
4．分布列：设离散型随机变量ξ 可能取得值为 x1，x2，…，x3，…，
ξ 取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为
(
)
i
i
P
x
p
=
=
，则称表
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
为随机变量ξ 的概率分布，简称ξ 的分布列．
5．分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足：
1
)
(
0
A
P
，
并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出
离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴
0,
1,2,
;
iP
i
=
⑵
1
1
1,
1,2,
i
P
P
P
i
+
+
=
=
．
6．独立重复试验：在同样的条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重
复试验，每一次试验只有发生与不发
生的结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发
生的概率都是一样的.如果在一次试验
中某事件发生的概率是P，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好
发生k 次的概率计算公式：
( )
(
)
(
)
1
0,1,2
n k
k
k
n
n
P k
C P
P
k
n
−
=
−
=
．
7．常见离散型随机变量的分布列
⑴两点分布：
X
0
1
P
1-P
P
⑵二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n 次
独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是
k
n
k
k
n
n
q
p
C
k
P
−
=
= )
(
，
（k＝0,1,2,…，n，
p
q
−
=1
）．称随机变量ξ 服从二项分布．
记作ξ～B(n，p)，其中n，p 为参数，并记
k
n
k
k
n
q
p
C
−＝b(k；n，p)．
⑶超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中
恰有X 件次品，则
其
中，
．
称分布列
为超几何分布列， 称X 服从超几何分布．
离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一
一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ 是一个随机变
},
,
min{
,
,1,0
,
)
(
n
M
m
m
k
C
C
C
k
X
P
n
N
k
n
M
N
k
M
=
=
=
=
−
−
N
M
N
n
,
量，a，b 是常数.则
也是一个随机变量.一般地，若ξ 是随机
变量，
是连续函数或单调函数，则
也是随机变量.也就是说，
随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量ξ 可能取的值为：
ξ 取每一个值
的概率
，则表称为随机变量ξ 的概
率分布，简称ξ 的分布列.
…
…
P
…
…
有性质①
； ②
.
注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续
型随机变量.例如：
即可以取0～5 之间的一切数，包括整数、
小数、无理数.
1.⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n
次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：
[其中
]
于是得到随机变量ξ 的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ 服
从二项分布，记作～B（n·p），其中n，p 为参数，并记
.
⑵二项分布的判断与应用.
① 二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是
进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，
随机变量就不服从二项分布.
b
a +
=
)
(x
f
)
(
f
,
,
,
,
2
1
ix
x
x
)
,2,1
(
1
=
i
x
i
i
p
x
P
=
=
)
(
1x
2
x
ix
1
p
2
p
ip
,2,1
,0
1
=
i
p
1
2
1
=
+
+
+
+
ip
p
p
]
5,0
[
k
n
k
k
n
q
p
C
k)
P(ξ
−
=
=
p
q
n
k
−
=
=
1
,
,
,1,0
p)
n
b(k;
q
p
C
k
n
k
k
n
=
−
② 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较
小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复
试验，利用二项分布求其分布列.
③ 判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次
独立重复试验，在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p；②随
机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且
(
)
C
(1
)
k
k
n k
n
P X
k
p
p
−
=
=
−
表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次
的概率．
2.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ
落在任一区间
内的概率等于它与x 轴.直线
与直线
所围成
的曲边梯形的面积（如图阴影部分）的曲线叫ξ 的密度曲线，以其
作为图像的函数
叫做ξ 的密度函数，由于“
”是必然事
件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.
1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ 的概率分布为
…
…
P
…
…
则称
为ξ 的数学期望或平均数、均值.数学期
望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2. ⑴随机变量
的数学期望：
①当
时，
，即常数的数学期望就是这个常数本身.
)
,
[
b
a
a
x =
b
x =
)
(x
f
)
,
(
+
−
x
▲y
x
a
b
y=f(x)
1x
2
x
ix
1
p
2
p
ip
+
+
+
+
=
n
np
x
p
x
p
x
E
2
2
1
1
b
a +
=
b
aE
b
a
E
E
+
=
+
=
)
(
0
=
a
b
b
E
=
)
(
②当
时，
，即随机变量ξ 与常数之和的期望等于ξ
的期望与这个常数的和.
③当
时，
，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数
与随机变量期望的乘积.
⑵单点分布：
其分布列为：
.
⑶两点分布：
，其分布列为：
（p + q = 1）
⑷二项分布：
其分布列为～
.（P 为发
生的概率）
⑸几何分布：
其分布列为～
.（P 为发生的概率）
3. 方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ 的分布列为
时，则称
为
ξ 的方差. 显然
，故
为ξ 的根方差或标准差.随机变量ξ 的方差与标准差都
反映了随机变量ξ 取值的稳定与波动，集中与离散的程度.
越小，
．．．
稳定性越高，波动越小
．．．．．．．．．．.．
4.方差的性质.
⑴随机变量
的方差
.（a、b 均为常数）
⑵单点分布：
其分布列为
⑶两点分布：
其分布列为：
（p
+ q = 1）
1
=
a
b
E
b
E
+
=
+
)
(
0
=
b
aE
a
E
=
)
(
c
c
E
=
=
1
c
P
=
= )1
(
p
p
q
E
=
+
=
1
0
=
−
=
−
np
q
p
k
n
k
n
k
E
k
n
k
)!
(!
!
)
,
(
p
n
B
p
E
1
=
)
,
(
p
k
q
)
,2,1
(
)
(
=
=
=
k
p
x
P
k
k
+
−
+
+
−
+
−
=
n
n
p
E
x
p
E
x
p
E
x
D
2
2
2
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
0
D
.
D
=
D
b
a +
=
D
a
b
a
D
D
2
)
(
)
(
=
+
=
0
=
D
p
P
=
= )1
(
pq
D =
ξ
0
1
P
q
p
ξ
0
1
P
q
p
⑷二项分布：
⑸几何分布：
5. 期望与方差的关系.
⑴如果
和
都存在，则
⑵设ξ 和是互相独立的两个随机变量，则
⑶期望与方差的转化：
⑷
（因为
为一
常数）
.
【温馨提示】离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一
是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两
点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特
殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的
随机变量，应先求其概率分布然后代入相应公式计算，注意离散型随
机变量的取值与概率间的对应．
求离散型随机变量概率分布列及数学期望是理科高考数学的必考题
型．求离散型随机变量概率分布列问题时，首先要清楚离散型随机变
量的所有可能取值，及随机变量取这些值时所对应的事件的概率，计
算出概率值后即可列出离散型随机变量的概率分布列，最后按照数学
期望的公式计算出数学期望．
1. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ 的概率密度为：
. （
为常数，且
0
），称ξ 服从参数为
的正态分布，用～
表示.
的表达式可简记为
，它的密
度曲线简称为正态曲线.
npq
D =
2
p
q
D
=
E
E
E
E
E
=
)
(
D
D
D
E
E
E
+
=
+
=
)
(
,
)
(
2
2
)
(
E
E
D
−
=
)
(
)
(
)
(
E
E
E
E
E
−
=
−
E
0
=
−
=
E
E
2
2
2
)
(
2
1
)
(
−
−
=
x
e
x
f
,
,
R
x
,
)
,
(
2
N
)
(x
f
)
,
(
2
N
⑵正态分布的期望与方差：若～
，则ξ 的期望与方差分别为：
.
⑶正态曲线的性质.
① 曲线在x 轴上方，与x 轴不相交.
② 曲线关于直线
对称.
③ 当
时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地
降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.
④当＜时，曲线上升；当＞时，曲线下降，并且当曲线向左、
向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近.
⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示
总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集
中.
2. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ 的概率函数为
( )
(
)
(
)
2
2
1
,
2
x
x
e
x
−
=
−+
，则称ξ 服从标准正态分布. 即～
有
，
求出，而P（a＜
≤b）的计算则是
.
注意：当标准正态分布的
的X 取0 时，有
当
的X 取大
于0 的数时，有
.比如
则
必然小于0，
如图.
)
,
(
2
N
2
,
=
=
D
E
=
x
=
x
x
x
)1,0
(
N
)
(
)
(
x
P
x
=
)
(
1
)
(
x
x
−
−
=
ξ
)
(
)
(
)
(
a
b
b
a
P
−
=
)
(x
5.0
)
(
=
x
)
(x
5.0
)
(
x
5.0
0793
.0
)
5.0
(
=
−
−
5.0
⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～
则ξ 的分布函数
通常用
表示，且有
.
3.⑴“3 ”原则.
假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①
提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布
.②确定一次试
验中的取值
是否落入范围
. ③做出判断：如果
，接受统计假设. 如果
，由于这是小概率
事件，就拒绝统计假设.
⑵“3 ”原则的应用：若随机变量ξ 服从正态分布
则 ξ 落
在
内的概率为99.7％ 亦即落在
之外的概率为
0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合
格（即ξ 不服从正态分布）.
▲
x
y
a
标准正态分布曲线
S阴=0.5
Sa=0.5+S
S
)
,
(
2
N
)
(x
F
)
σ
μ
x
(
F(x)
x)
P(ξ
−
=
=
)
,
(
2
N
a
)
3
,
3
(
+
−
)
3
,
3
(
+
−
a
)
3
,
3
(
+
−
a
)
,
(
2
N
)
3
,
3
(
+
−
)
3
,
3
(
+
−
