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《985名校攻略》高考数学培优生宝典-上册（131页）高考数学高考数学培优985名校攻略985名校攻略高考数学之培优生宝典(1)

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1
第一章
常规函数篇
第一章
常规函数性质与核心解题方法
第1讲
函数的单调性与奇偶性
典例讲解· 掌握方法
题型1
利用奇偶性求参数值
1
若函数f(x) = ln ax+
x2+1


是奇函数，则a 的值为(
)
A. 1
B. - 1
C. ± 1
D. 0
2
若f x


= ex-e-x


ax2+bx+c


是偶函数，则一定有(
)
A. b = 0
B. ac = 0
C. a = 0 且c = 0
D. a = 0，c = 0 且b ≠0
3
若函数f(x) = x(x-b),
x≥0
ax(x+2), x<0

，(a，b ∈R) 为奇函数，则f(a + b) 的值为(
)
A. - 2
B. - 1
C. 1
D. 4
4
若函数f x


= x+a
2x2+1
,x ∈b,2+b


是奇函数，则a + b =
.
5
若函数f x


=
sinx
x+1


x-a


为奇函数，则a =
．
6
若函数f x


= xln ax+
1+9x2


(其中a < 0) 为偶函数，则a =
.
7
对于函数f(x) = a(x+1)2+sinx
x2+1
，若f(5) + f(-5) = 4，则a =
．
8
已知函数f(x) = x5 3x+a
3x+1


是偶函数，则f(1) =
.
9
已知函数g x


= 4x+n
2x
是奇函数，f x


= log4 4x+1


- mx 是偶函数．
(1) 求m + n 的值；
(2) 设h x


= f x


+ 1
2 x，若g x


> h log4 2a+1




对任意x ≥1 恒成立，求实数a 的取值范围．
题型2
构造奇偶函数的表达式求值
10
已知函数f x


= x5+ ax3+ bx - 8 且f -2


= 10，求f 2


的值.
11
函数f x


= x2-1


ex-e-x


+ x + 1 在区间-2,2


上的最大值与最小值分别为M,N ，则M
名校冲刺
实战教辅
2
+ N 的值为(
)
A. - 2
B. 0
C. 2
D. 4
12
已知函数f x


=
x+1


2+sinx
x2+1
，其导函数记为f' x


，则f 389


+ f' 389


+ f -389


-
f' -389


= (
)
A. 2
B. - 2
C. 3
D. - 3
13
已知f(x) = sin2 x+ π
4


+ ln( x2+1 - x)，a = f(ln2)，b = f ln 1
2


，则(
)
A. a + b = 1
B. a + b = 0
C. a - b = 0
D. a - b = 1
14
已知函数f x


= lg x+1
x-1 ,x ∈-∞,-1


∪1,+∞


,f a


= b，则f -a


= (
)
A. b
B. - b
C. 1
b
D. - 1
b
15
已知函数f(x) = x2+x+1
x2+1
，若f a


= 2
3 ，则f -a


= (
)
A. 2
3
B. - 2
3
C. 4
3
D. - 4
3
16
已知函数f x


=
ax
1+ax + bx + x2(a > 0 且a ≠1)，若f 2


= 10，则f -2


= (
)
A. - 10
B. - 7
C. - 4
D. - 1
17
函数f(x) = sinx+cosx+2x2+x
2x2+cosx
的图象关于点
成中心对称，记函数的最大值为M ，
最小值为N ，则M + N =
．
18
已知函数f x


=
2
1+2x2+
2x


+
2
ex+1 +3
log
，x ∈-6,6


，若f x


的最大值为M ，最小
值为m，则M + m =
.
题型3
单调性奇偶性之抽象函数解决问题
19
已知偶函数f(x) 在(−∞,0) 上单调递减，且f(2) = 0，关于x 的不等式xf(x) < 0 的解集是
(
)
A (−2,2)
B (−2,0) ∪(0,2)
C (−2,0) ∪(2, +∞)
D (−∞, −2) ∪(0,2)
20
(2020• 山东新高考) 若定义在R 的奇函数f(x) 在(-∞,0) 单调递减，且f(2) = 0，则满足
xf(x - 1) ≥0 的x 的取值范围是(
)
A. [-1，1] ∪[3，+∞)
B. [-3，-1] ∪[0，1]
C. [-1，0] ∪[1，+∞)
D. [-1，0] ∪[1，3]
3
第一章
常规函数篇
21
已知定义在R 上的奇函数f(x) 在(0, +∞) 上单调递增，且f(1) = 0，若实数x 满足xf x- 1
2


≤0，则x 的取值范围是(
)
A.
- 1
2 ,0




∪
1
2 , 3
2




B.
- 1
2 , 1
2




∪
3
2 ,+∞



C.
- 1
2 ,0




∪
1
2 ,+∞



D.
- 3
2 ,- 1
2




∪0, 1
2




题型4
单调性之不等式问题
22
已知偶函数f(x) 在区间[0，+∞) 上单调递增，则满足f(2x - 1) - f
1
3


< 0 的x 的取值范围
(
)
A.
1
3 , 2
3


B.
1
3 , 2
3



C.
1
2 , 2
3


D.
1
2 , 2
3



23
已知f(x) 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞) 单调递减，则不等式f(2x - 1) > f(x +
1) 的解集为(
)
A. (0,2)
B. (-∞，0) ∪(2，+∞)
C. (-∞,2)
D. (2, +∞)
24
设奇函数f(x) 的定义域为- π
2 ，π
2


，且f(x) 的图象是连续不间断，∀x ∈- π
2 ，0


，有f′
(x)cosx + f(x)sinx > 0，若1
2 f(m) < f
π
3


cos(-m)，则m 的取值范围是(
)
A.
- π
2 ，- π
3


B.
0, π
3


C.
- π
2 ，π
3


D.
π
3 ，π
2


25
已知定义在R 上的偶函数f(x) 满足在[0，+∞) 上单调递增，f(2) = 0，则关于x 的不等式
f(x+1)+ f(-x-1)
x
> 0 的解集为(
)
A. (-3，-2) ∪(0，+∞)
B. (-∞，-3) ∪(0，1)
C. (-3，0) ∪(3，+∞)
D. (-3，0) ∪(1，+∞)
26
已知函数f (x) 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞) 上单调递增，若实数a 满足
f(log2a) + f log 1
2a


≤2f(1)，则a 的取值范围是(
)
A. [1，2]
B.
0，1
2



C. (0，2]
D.
1
2 ，2




27
函数f(x) 满足f(-x) = f(x), 当x1,x2 ∈(0, +∞) 有f x1


- f x2


x1-x2
< 0, 且对任意的x ∈
[1,3], 不等式f(2ax + 1) ≤f(2) 恒成立. 则实a 的取值范围是(
)
A.
- 3
2 , 1
2




B.
-∞,- 3
2



∪
1
2 ,+∞



C.
-∞,- 3
2



∪
1
6 ,+∞



D.
-∞,- 3
2



名校冲刺
实战教辅
4
28
若函数f(x) = 3x3 + sinx + 2x，不等式f(a2 - a - 4) + f(-2a) ≤0，则实数a 的取值范围为
(
)
A. [1，4]
B. (-∞，-1] ∪[4，+∞)
C. [-1，4]
D. (-∞，-4] ∪[1，+∞)
巩固练习· 融会贯通
1. (山东卷) 若函数f(x) = 2x+1
2x-a 是奇函数，则使f(x) > 3 成立的x 的取值范围为(
)
A. (-∞, -1)
B. (-1,0)
C. (0,1)
D. (1, +∞)
2. 设函数f(x) = ln|2x + 1| -ln|2x - 1|，则f(x) (
)
A. 是偶函数，且在
1
2 ,+∞


单调递增
B. 是奇函数，且在- 1
2 , 1
2


单调递增
C. 是偶函数，且在-∞,- 1
2


单调递增
D. 是奇函数，且在-∞,- 1
2


单调递增
3. (2017• 北京) 已知函数f(x) = 3x-
1
3


x，则f(x) (
)
A. 是偶函数，且在R 上是增函数
B. 是奇函数，且在R 上是增函数
C. 是偶函数，且在R 上是减函数
D. 是奇函数，且在R 上是减函数
4. (2020• 上海) 若函数y = a ∙3x+ 1
3x 为偶函数，则a =
．
5. (2019• 北京) 设函数f(x) = ex + ae-x(a 为常数)．若f(x) 为奇函数，则a =
；若f(x) 是R 上
的增函数，则a 的取值范围是
．
6. (2015• 新课标1) 若函数f(x) = xln(x +
a+x2) 为偶函数，则a =
．
7. (2015• 湖南) 设函数f(x) = ln(1 + x) - ln(1 - x)，则f(x) 是(
)
A. 奇函数，且在(0,1) 上是增函数
B. 奇函数，且在(0,1) 上是减函数
C. 偶函数，且在(0,1) 上是增函数
D. 偶函数，且在(0,1) 上是减函数
8. 设f x


= ax3+ bsinx + cln x+
x2+1


+ 3，最大值为5，则最小值为(
)
A. - 1
B. 1
C. 3
D. 5
9. 已知函数f x


= aln x+
1+x2


+ bsinx + 2，若f -3


= 7，则f 3


(
)
A. 等于-7
B. 等于-5
C. 等于-3
D. 无法确定
10. 设函数f(x) = ex-e-x
ex+e-x + 2019sinx + 1，x ∈- π
2 , π
2




的最大值为M ，最小值为N ，那么M + N =
．
5
第一章
常规函数篇
11. 设函数f(x) =
cos π
2 -πx


-2ex
x2+e2
的最大值为M ，最小值为m，其中e 为自然对数的底数，则(M +
m - 1)2020的值为
．
12. 已知函数f x


=
1-x
1+x
lg
+ 1，若f m


= 4，则f -m


=
.
13. (2018• 新课标Ⅲ) 已知函数f(x) = ln( 1+x2 - x) + 1，f(a) = 4，则f(-a) =
．
14. (2013• 新课标II) 设函数f(x) = (x+2)2+sinx
x2+4
的最大值为M ，最小值为m，则M + m =
．
15. 已知奇函数f(x) 在(0, +∞) 上是增函数，又f(-2021) = 0，则x ⋅f(x) < 0 的解集是(
)
A. {x| -2021 < x < 0 或x > 2021}
B. {x|x <-2021 或0 < x < 2021}
C. {x|x <-2021 或x > 2021}
D. {x| -2021 < x < 0 或0 < x < 2021}
16. (2017• 新课标1) 函数f(x) 在(-∞, +∞) 单调递减，且为奇函数．若f(1) =-1，则满足-1 ≤f(x -
2) ≤1 的x 的取值范围是(
)
A. [-2，2]
B. [-1，1]
C. [0，4]
D. [1，3]
17. (2016• 天津) 已知f(x) 是定义在R 上的偶函数，且在区间(-∞,0) 上单调递增，若实数a 满足
f(2
|a-1|) > f(- 2)，则a 的取值范围是(
)
A.
-∞, 1
2


B.
-∞，1
2


∪
3
2 ，+∞


C.
1
2 ，3
2


D.
3
2 ，+∞


18. (2015• 新课标2) 设函数f(x) = ln(1 + |x|) -
1
1+x2 ，则使得f(x) > f(2x - 1) 成立的x 的取值范围
是(
)
A.
-∞，1
3


∪(1，+∞)
B.
1
3 ，1


C.
- 1
3 , 1
3


D.
-∞，- 1
3


∪
1
3 ,+∞


19. (2014• 新课标2) 已知偶函数f(x) 在[0，+∞) 单调递减，f(2) = 0，若f(x - 1) > 0，则x 的取值范围
是
．
20. 已知奇函数f(x) 的导函数为f(x) = 5 + cosx，x ∈(-1,1)，若f(1 - t) + f(1 - t2) < 0，则实数t 的
取值范围是
．
21. 已知定义在R 上的函数f(x) 满足f(x) = g(x) - g(-x)，且f(x) 在R 单调递增，对任意的x1，x2 ∈
(0, +∞)，恒有f(x1) ⋅f(x2) = f(x1 + x2)，则使不等式f
m+ 1
2






2 + f(2 - m) > 0 成立的m 取值范围
是
．
名校冲刺
实战教辅
6
22. 设f(x) 是定义在x ≠0 上的奇函数，对任意的x1，x2 ∈(0, +∞)，x1 ≠x2，满足：x1f(x1)-x2f(x2)
x1-x2
>
0，若f(2) = 4，则不等式f(x) - 8
x > 0 的解集为
．
23. 设f(x) 为R 上的奇函数，且f(-1) = 0，当x > 0 时，(x2 + 1)f′ (x) - 2xf(x) < 0，则不等式f(x) > 0
的解集为(
)
A. (1, +∞)
B. (-∞, -1)
C. (-∞，-1) ∪(0，1)
D. (-1，0) ∪(1，+∞)
7
第一章
常规函数篇
第2讲
函数的图象与画法分析
典例讲解· 掌握方法
1
分析下列函数图象由基本函数图象如何得到，并画图其图象：
①f(x) = 2
x


-1；②f(x) = 2
x-1


；③f(x) = ln x-1


；④f(x) = ln x


-1


；⑤f(x) = ln(x-1)


.
名校冲刺
实战教辅
8
第3讲
函数的奇偶性、对称性与周期性的综合
典例讲解· 掌握方法
题型1
奇偶性、对称性与周期性综合
1
(2021 新高考2) 已知函数f x


的定义域为R，f x+2


为偶函数，f 2x+1


为奇函数，则
(
)
A. f - 1
2


= 0
B. f -1


= 0
C. f 2


= 0
D. f 4


= 0
2
(2021 甲卷文) 设f x


是定义域为R 的奇函数，且f 1+x


= f -x


. 若f - 1
3


= 1
3 ，则f
5
3


= (
)
A. - 5
3
B. - 1
3
C. 1
3
D. 5
3
3
(2021 甲卷理) 设函数f x


的定义域为R，f x+1


为奇函数，f x+2


为偶函数，当x ∈1,2


时，f(x) = ax2+ b．若f 0


+ f 3


= 6，则f
9
2


= (
)
A. - 9
4
B. - 3
2
C. 7
4
D. 5
2
4
(2022 新高考1) (多选) 已知函数f(x) 及其导函数f(x) 的定义域均为R，记g(x) = f(x)，若
f
3
2 -2x


，g(2 + x) 均为偶函数，则(
)
A. f(0) = 0
B. g - 1
2


= 0
C. f(-1) = f(4)
D. g(-1) = g(2)
5
(2022 新高考2) 若函数f(x) 的定义域为R，且f(x + y) + f(x - y) = f(x)f(y),f(1) = 1，则
22
k=1
f

(k) = (
)
A. - 3
B. - 2
C. 0
D. 1
6
(2022 全国乙卷) 已知函数f(x),g(x) 的定义域均为R，且f(x) + g(2 - x) = 5,g(x) - f(x - 4) =
7．若y = g(x) 的图像关于直线x = 2 对称，g(2) = 4，则∑
22
k=1f(k) = (
)
A. - 21
B. - 22
C. - 23
D. - 24
7
设函数f(x) 的定义域为R，f(x) 为奇函数，f x+1


为偶函数，当x ∈1,2


时，f(x) = ax2 + b.
若f 3


= 3，则f 17
2


= (
)
A. 9
4
B. - 7
4
C. 3
2
D. - 15
4
8
定义在R 上的函数f(x) 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期. 若将方程f(x) = 0
9
第一章
常规函数篇
在闭区间-T,T


上的根的个数记为n，则n 可能为(
)
A. 0
B. 1
C. 3
D. 5
9
已知函数y = f(x)，x ∈R，有下列4 个命题：
①若f(1 + x) = f(1 - x)，则f(x) 的图像关于直线x = 1 对称；
②y = f(x - 1) 与y = f(1 - x) 的图像关于直线x = 1 对称；
③若f(x) 为偶函数，且f(1 + x) =-f(x)，则f(x) 的图像关于直线x = 1 对称；
④若f(x) 为奇函数，且f(x) = f(-x - 2)，则f(x) 的图像关于直线x = 1 对称；
其中正确命题的个数为(
)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10
设函数f(x) 的定义域为R．且f(x + 1) 为偶函数，f(2x - 1) 为奇函数，则(
)
A. f
1
2


= 0
B. f(0) = 0
C. f(1) = 0
D. f(3) = 0
11
函数y = f x


是R 上的奇函数，满足f x


+ f 6-x


= 0，当x ∈0,3


时，有f x


= lnx，求
f 2021


的值(
)
A. 0
B. 1
C. ln2
D. ln4
12
已知函数f x


是定义域为R 的偶函数，f x+1


= f 1-x


，当0 ≤x ≤1 时，f x


= 3 -
1-x2 ，则函数g x


= 3 - x


6 与函数y = f x


交点的个数为(
)
A. 6
B. 7
C. 12
D. 14
13
(2016• 新课标2) 已知函数f(x) (x ∈R) 满足f(-x) = 2 - f(x)，若函数y = x+1
x
与y = f(x)
图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，⋯，(xm，ym)，则
m
i=1
(xi+yi)

= (
)
A. 0
B. m
C. 2m
D. 4m
题型2
复合函数和复杂函数对称轴与对称点的寻找
14
已知函数f x


=
x+1


2+h x


x2+1
+ 3 ，且h x


为R 上的奇函数，f ln log25




= 5 ，则
f ln log52




等于(
)
A. - 1
B. - 5
C. 3
D. 4
15
(2017• 新课标Ⅲ) 已知函数f(x) = x2- 2x + a(ex-1+ e-x+1) 有唯一零点，则a = (
)
A. - 1
2
B. 1
3
C. 1
2
D. 1
名校冲刺
实战教辅
10
16
(2019• 上海) 已知ω ∈R，函数f(x) = (x - 6)2 ⋅sin(ωx)，存在常数a ∈R，使f(x + a) 为偶函
数，则ω 的值可能为(
)
A. π
2
B. π
3
C. π
4
D. π
5
17
函数f(x) =
sinπx
x2+3x+4
的对称轴为
巩固练习· 融会贯通
1. 已知函数f x


满足：f x+2


关于直线x =-2 对称，且f x+2


=
1
f x


，当2 ≤x ≤3 时，f x


=
log2 x+ 11
2


，则f 219
2


的值为(
)
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
2. 已知函数f x


是定义在R 上的奇函数，且f x+1


= f -x+1


，当0 < x ≤1 时，f x


= x2 - 2x +
3，则f 13
2


= (
)
A. - 7
4
B. - 9
4
C. 7
4
D. 9
4
3. 定义在R 上的函数f(x) 满足f(x + 2) = f(x)，当x ∈[3，5] 时，f(x) = 1 - |x - 4|，则下列不等式成
立的是(
)
A. f sin π
3


> f cos π
3


B. f(sin1) > f(cos1)
C. f cos 2π
3


> f sin 2π
3


D. f(sin2) > f(cos2)
4. 定义在R 上的函数f x


满足f x


= f -x


，f x


= f x+4


，且当x ∈-1,0


时，f x


= 2x + 1
5 ，
则f log224


= (
)
A. 17
10
B. - 14
15
C. - 13
15
D. 13
15
5. 已知定义在R 的函数满足f(x) = f(4 - x)，f(x + 2) + f(-x) = 4，则下列结论正确的是(
)
A. f(x) 不是周期函数
B. f(x) 是奇函数
C. 对任意n ∈Z，恒有f(4n + 1) 为定值
D. 对任意n ∈N*，有f(1) + f(3) + f(5) +⋯+f(2n - 1) = n
6. 已知函数y = f x


是定义在R 上的奇函数，且满足f x+2


+ f x


= 0，当x ∈0,1


时，f x


= 2x
- 1，则f 11
2


= (
)
A. 8 2 - 1
B. 2 2 - 1
C.
2 - 1
D. 1 -
2
11
第一章
常规函数篇
7. 已知f(x) 是定义在R 上，周期为π 的奇函数，当x ∈0，π
2


时，f(x) = sinx，则f
π
4


+ f
π
2


+
f 3π
4


= (
)
A. 0
B. 1
C.
2
D. 1 +
2
8. (多选) 已知定义在R 上的函数f(x) 满足f(x) =-f x+ 3
2


，f(-1) = 1，f(0) =-2，且f x- 3
4


为奇
函数，则(
)
A. f(x) 为奇函数
B. f(x) 为偶函数
C. f(x) 是周期为3 的周期函数
D. f(0) + f(1) +⋯+f(2021) = 0
9. (多选) 定义在R 上的奇函数f x


满足f x+2


= f x


，当x ∈0,1


时，f x


=
ex+a+b,0≤x≤1
2
bx-1
x+1 , 1
2 <x≤1

(e 为自然对数的底数)，则下列结论正确的有(
)
A. a + b =-1
B. a - b =-3
C. f x


不是周期函数
D. 函数f x


的图象关于点1,0


对称
10. 已知f x


是定义在R 上且周期为4 的奇函数，当x ∈2,4


时，f x


=-x2 + 7x - 12，则f(2021) 的
值是
．





f 2

11. 已知f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x，恒有f 2-x = f x ，若f 1 = 2，则f 1 +

+ f 3


+⋅⋅⋅+f 2021


=
.
12. 已知定义域为R 的奇函数f(x) 满足f
1
2 +x


= f
3
2 -x


，当0 ≤x ≤1 时f(x) = ex - 1，则2 ≤x
≤3 时f(x) 的解析式为(
)
A. f(x) = 1 - ex-2
B. f(x) = ex-2- 1
C. f(x) = 1 - ex-1
D. f(x) = ex-1- 1
13. 已知函数f x


是定义在区间-∞,0


∪0,+∞


上的偶函数，且当x ∈0,+∞


时，f x


=
2
x-1


,
0<x≤2
f x-2


-1,x>2

，则方程f x


+ 1
8 x2= 2 根的个数为(
)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
14. 下列函数中，既没有对称中心，也没有对称轴的有(
)
①y = x-5
x+1 ，②y = 3sinx - 7cosx，③y = ln
x2+1+1


，④y =
2
ax-1 (a > 0,a ≠1)
A. 3 个
B. 2 个
C. 1 个
D. 0 个
15. 已知函数f(x) = x2(1+cosx)+2x2+3x+1
x
，则下列说法正确的是(
)
A. 函数f(x) 的图象关于原点对称
B. 函数f(x) 在(0, +∞) 上单调递增
名校冲刺
实战教辅
12
C. 函数y = f(x) - 5 在(0, +∞) 上无零点
D. 函数f(x) 的图象关于直x = 3 线对称
16. 已知函数f 3x


的图象仅关于点2,0


对称，若f 3x+m


为奇函数，则m =
A. 0
B. 2
C. 3
D. 6
17. 已知定义在R 上函数f x


，对∀x1,x2 ∈2020,+∞


且x1 ≠x2，都有f x1


- f x2


x1-x2
< 0，若函数y
= f x+2020


为奇函数，a-2020


b-2020


< 0 且a + b > 4040，则(
)









A. f x

A. f a + f b > 0
B. f a + f b < 0
C. f a + f b = 0
D. 以上都不对
18. (多选) 已知定义在R 上的奇函数f x 满足f x + f 2-x = 0，则下列说法正确的是(
)

的图像关于点(1，0) 对称
B. f x+2


= f x


C. f 2-x


= f x-1


D. f x-2


= f x


19. (多选) 已知函数f x


= ax-a+1
x+2
，则下列说法正确的是(
)
A. f x


的定义域为-∞,-2


∪-2,+∞


B. 当函数f x


的图象关于点-2,3


成中心对称时，a = 3
2
C. 当a < 1
3 时，f x


在2,+∞


上单调递减
D. 设定义域为R 的函数g x


满足g x-4


+ g -x


= 4，若a = 2，且f x


与g x


的图象共有2020
个交点，记为Ai xi,yi


(i = 1，2，⋯，2020)，则x1+y1


+ x2+y2


+⋯+ x2020+y2020


的值为0
20. (多选) 已知f x


是定义在R 上的偶函数，f(1 - x) =-f(1 + x)，且当x ∈0,1


时，f(x) = x2 - 1，
则下列说法正确的是(
)
A. f x


是以4 为周期的周期函数
B. 当x ∈9,10


时，f(x) =-x2+ 20x - 99
C. 函数f x


的图象关于点(3,0) 对称
D. 函数y = lg|x| 的图象与函数f x


的图象有且仅有12 个交点
21. (多选) 已知函数y = f(x) 的定义域为R 且具有下列性质：
①y = f(x) 是奇函数；②f(x + 2) + f(4 - x) = f(3)；
③当x ∈(0,3)，f(x) =- 4
9 x2+ 4
3 x，函数g(x) = log12|x|．
下列结论正确的是(
)
A. 3 是函数y = f(x) 的周期
B. 函数y = f(x) 在
9
2 , 15
2


上单调递增
C. 函数y = g(x) 与函数y = f(x) 的图像的交点有8 个
13
第一章
常规函数篇
D. 函数y = f(x) 与函数y = logax(a > 0,a ≠1) 的图像在区间(0，15) 的交点有5 个，则实数a > 27
2
22. (多选) 已知定义在R 上的函数f x


满足f x


- f -x


= 0，f x+2


- f x


= 0，且当x ∈0,1


时，f x


=-2 x-1


2，若函数y = f x


- loga x+1


在0,+∞


上至少有三个不同的零点，则下列结
论正确的是(
)
A. f x


的图象关于直线x =-1 对称
B. 当x ∈4,5


时，f x


=-2 x-5


2
C. 当x ∈2,3


时，f x


单调递减
D. a 的取值范围是0,
3
3


23. (2017• 全国) 函数f(x) 的定义域(-∞, +∞)，若g(x) = f(x + 1) 和h(x) = f(x - 1) 都是偶函数，则
(
)
A. f(x) 是偶函数
B. f(x) 是奇函数
C. f(2) = f(4)
D. f(3) = f(5)
名校冲刺
实战教辅
14
第4讲
分段函数
典例讲解· 掌握方法
题型1
分段函数的单调性问题
1
已知函数f(x) = ax,
x<0
(a-3)x+4a, x≥0

满足对任意x1 ≠x2，都有(x1 - x2) [f(x1) - f(x2)] < 0 成
立，则a 的取值范围为(
)
A.
0, 1
4



B. (0，1)
C.
1
4 ,1



D. (0，3)
2
已知函数f(x) = (2-a)x+a, x<0
ex+ax2,
x≥0

在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为(
)
A. (0,1]
B.
- e
2 ,1




C.
- e
2 ,0



D. [1,2]
3
若函数f x


=
1-a
2 x2+x- 5
4
x<1


logax
x≥1



在R 上恒有成立f x2


- f x1


x2-x1
> 0(x1 ≠x2)，则实数a
的取值范围
．
4
已知函数f x


=
3x2+2 a-1


x+15, x≤1
-4a+alnx,
x>1

，若对任意的x 1 、x 2 ∈R ，x 1 ≠x 2 ，都有
f x1


- f x2


x1-x2
< 0 成立，则实数a 的取值范围是
.
5
设函数f(x) =
3sinx-cosx, -1≤x≤0
ax2+2x-3a,
0<x≤2

，若f x


在区间-1,2


上是单调函数，则
A. a ≥- 1
2
B. - 1
2 ≤a ≤1
3
C. a ≥1
3
D. - 1
2 ≤a < 0 或a > 0
6
已知函数f(x) =
ax-5,
(x>6)
4- a
2


x+4, (x≤6)

，数列{an} 满足an = f(n) (n ∈N +)，且数列{an} 是单
调递增数列，则实数a 的取值范围是
．
题型2
分段函数的最值与值域问题
7
已知函数f (x) =
x2-2ax+8, x≤1
x+ 4
x +2a,
x>1

，若f x


的最小值为f 1


，则实数a 的值不可以是
(
)
A. 1
B. 5
4
C. 2
D. 4
8
已知函数f(x) = ax+a,
x≥1
-ax2+2ax-a+3, x<1

，若函数f(x) 的值域为R，则实数a 的取值范围是
15
第一章
常规函数篇
．
9
已知函数f x


=
a-2


x+2a+1, x≤2
2ax-1,
x>2

，(a > 0 且a ≠1)，若f x


有最小值，则实数a 的取
值范围是(
)
A.
3
4 ,1



∪1, 3
2



B.
0, 3
4


∪1, 3
2


C.
0,1


∪1, 3
2


D.
0, 3
4



∪1, 3
2



10
已知n < m，函数f(x) =
log 1
2(1-x), -1≤x≤n
2
2- x-1


-3,
n<x≤m

的值域是[-1,1]，有下列结论：
①当n = 0 时，m ∈
1
2 ,2



；
②当n ∈0, 1
2



时，m ∈(n,2]；
③当n ∈0, 1
2



时，m ∈[1,2]；
④当n = 1
2 时，m ∈
1
2 ,2



；
其中正确结论的序号是(
)．
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ③④
题型3
分段函数的零点问题
11
已知函数f(x) =
x+1


, -7≤x≤0
lnx,
e-2≤x<e

，g(x) = x2 - 2x，设a 为实数，若存在实数m，使f(m) -
2g(a) = 0，则实数a 的取值范围为(
)
A. [-1, +∞)
B. [-1,3]
C. (-∞, -1] ∪[3, +∞)
D. (-∞,3]
12
已知函数f x


=
x2+ 4a-3


x+3a, x<0
loga x+1


+1,
x≥0

(a > 0 且a ≠1) 在R 上单调递减，且关于x 的方
程f x




= 2 - x
3 有2 个不相等的实数解，则a 的取值可以是(
)
A. 1
3
B. 1
2
C. 2
3
D. 3
4
13
已知λ ∈R，函数f x


= 2x-16,
x≥λ
x2-4x+3, x<λ

，当λ = 2 时，不等式f x


< 0 的解集是
；若
函数f x


恰有2 个零点，则λ 的取值范围是
.
14
设函数f(x) = x3-3x,x≤x0
-2x,x>x0

，若f x


有且只有1 个零点，则实数x0的取值范围是
．
15
已知函数f x


满足f x


= 4f
1
x


，当x ∈
1
4 ,1




时，f x


= lnx，若在
1
4 ,4




上，方程f x


=
kx 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是(
)
A.
-4ln4,- 4
e




B.
-4ln4,-ln4


C.
- 4
e ,-ln4



D.
- 4
e ,-ln4



题型4
分段函数的零点范围问题
名校冲刺
实战教辅
16
16
已知函数f(x) =
x,
x>0
x+1, x≤0

，若m < n，f m


= f n


，则n - m 的取值范围是
．
17
已知函数f(x) = loga(x+1)
(-1<x<1)
f(2-x)+a-1, (1<x<3)

(a > 0 且a ≠1)，若x1 ≠x2，且f(x1) = f(x2)，
则x1+ x2的值(
)
A. 恒小于2
B. 恒大于2
C. 恒等于2
D. 与a 相关
18
已知函数f(x) =
|lgx|,
0<x≤10
- 1
2 x+50, x>10

若a，b，c 互不相等，且f(a) = f(b) = f(c)，则lga +
lgb + lgc 的取值范围是
．
19
已知函数f(x) =
x+ 1
2 ,x∈0, 1
2


2x-1,x∈
1
2 ,2



，若存在x1，x2，当0 ≤x1 < x2 < 2 时，f(x1) = f(x2)，则
x1f(x2) 的取值范围是
．
20
已知函数f(x) =
lnx,
x≥1
1- x
2 , x<1

，若F(x) = f[f(x) + 1] + m 有两个零点x1,x2，则x1 ⋅x2 的取值
范围是(
)
A. [4 - 2ln2, +∞)
B. ( e, +∞)
C. (-∞,4 - 2ln2]
D. (-∞, e)
21
已知函数f (x) =
ln(x+1), x>0
1
2 x+1,
x≤0

，若m < n，且f (m) = f (n)，则n - m 的取值范围是
(
)
A. [3 - 2ln2,2)
B. [3 - 2ln2,2]
C. [e - 1,2]
D. [e - 1,2)
题型5
分段函数中的“套套函数”问题
22
设定义域为R 的函数f(x) = 5
|x-1|-1,
x≥0
x2+4x+4, x<0

若关于x 的方程f 2(x) - (2m + 1)f(x) + m2
= 0 有7 个不同的实数根，则实数m =
．
23
已知实数f(x) = ex,x≥0,
lg(-x),x<0,

若关于x 的方程f 2(x) + f(x) + t = 0 有三个不同的实根，则
t 的取值范围为(
)
A. (-∞, -2]
B. [1, +∞)
C. [-2,1]
D. (-∞, -2] ∪[1, +∞)
24
若函数f x


= x3 + ax2 + bx + c 有极值点x1，x2，且f x1


= x1，则关于x 的方程3 f x




2 +
2af x


+ b = 0 的不同实根的个数是(
)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
17
第一章
常规函数篇
25
设函数f x


= 1，x=1
loga x-1


+1，x≠1

，若函数g x


= f x




2 + bf x


+ c 有三个零点x1，x2，
x3，则x1x2+ x2x3+ x1x3等于
.
26
已知函数f(x) = |x| -1，关于x 的方程f 2(x) - | f(x)| +k = 0，下列四个结论中正确的有
(
)
①存在实数k，使得方程恰有2 个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4 个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5 个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8 个不同的实根．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
27
已知m ∈R，函数f(x) = |2x+1|,
x<1
log2(x-1), x>1

，g(x) = x2 - 2x + 2m - 1，若函数y = f(g(x)) -
m 有6 个零点，则实数m 的取值范围是
．
28
已知λ ∈R，函数f(x) = |x+1|, x<0
lgx,
x>0

g(x) = x2 - 4x + 1 + 4λ，若关于x 的方程f(g(x)) = λ
有6 个解，则λ 的取值范围为(
)
A.
0, 2
3


B.
1
2 , 2
3


C.
2
5 , 1
2


D.
0, 2
5


题型6
取整型函数的分段函数问题
29
设[x] 表示不超过x 的最大整数，如[1] = 1，[0.5] = 0，已知函数f(x) = [x]
x
- k(x > 0)，若
方程f(x) = 0 有且仅有3 个实根，则实数k 的取值范围是(
)
A.
1
2 , 2
3



B.
2
3 , 3
4



C.
3
4 , 4
5



D.
4
5 , 5
6


30
已知函数f(x) = x-[x], x≤0
f(x-1), x>0

其中[x] 表示不超过x 的最大整数．若方程f(x) = k(x +
1) (k > 0) 有3 个不同的实数根，则实数k 的取值范围是
．
31
给出定义：若m - 1
2 < x ≤m + 1
2 (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作
(x) = m，在此基础上给出下列关于函数f(x) = log 1
2|x - {x}| 的四个命题：
①函数y = f(x) 的定义域为R，值域为[1，+∞)；
②函数y = f(x) 在- 1
2 ，0


上是增函数；
③函数y = f(x) 是周期函数，最小正周期为1；
④函数y = f(x) 的图象关于直线x = k
2 (k ∈Z) 对称．
其中正确命题的序号是
．
名校冲刺
实战教辅
18
巩固练习· 融会贯通
1. 关于函数f(x) = 2cosπx,
0≤x≤2
-log2x+2, x>2

，下列说法正确的有(
)
A. 函数f(x) 是周期为2 的周期函数
B. f(2) = 2
C. 不等式f(x) > 1 的解集是0, 1
3



∪
5
3 ,2



D. 若存在实数a,b,c(a < b < c) 满足f(a) = f(b) = f(c)，则a + b + c + 16
c 的取值范围是[10,19)
2. 已知函数f(x) = -2-x+1,x≤0
f(x-1),x>0

，则下列命题中：
(1) 函数f(x) 在[-1，+∞) 上为周期函数；
(2) 函数f(x) 在区间(m，m + 1) (m ∈N +) 上单调递增；
(3) 函数f(x) 在x = m - 1(m ∈N) 取到最大值0，且无最小值；
(4) 若方程f(x) = loga(x + 2) (0 < a < 1)，有且只有两个实根，则a ∈
1
3 , 1
2



．
正确的命题的个数是(
)
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
3. 若函数f(x) = 2-x,
x≤0
f(x-1)- f(x-2), x>0

，则f(2020) =
．
4. 已知a ∈R，函数f(x) =
(x+1)2+a,x<0
1
2x-1+2-x+1,x>0

，若函数f(x) 的图象上有且只有两对点关于y 轴对称，则
a 的取值范围是
．
5. 已知定义在[1，+∞) 上的函数f(x) =
8-16 x- 3
2

, (1≤x≤2)
1
2 f
x
2


,
(x>2)

，有下面五个命题：
①函数f(x) 是周期函数；
②函数f(x) 的值域为[0，8]；
③关于x 的方程f(x) =
1
2


n-1(n ∈N *) 有2n + 5 个不同的实根；
④当x ∈[2n-1，2n] (n ∈N *) 时，f(x) 的图象与x 轴围成图形的面积为4；
⑤存在实数x0，使x0f(x0) > 12 成立．
其中正确命题是
．
19
第一章
常规函数篇
第5讲
基本不等式
典例讲解· 掌握方法
题型1
直接法
1
已知x,y ∈R+，且满足x
3 + y
4 = 1，则xy 的最大值为
.
2
已知0 < x < 1，求函数y =
x(1-x) 的最大值.
3
若实数a,b 满足2a+ 2b= 1，则a + b 的最大值是
．
4
若正实数a，b 满足1
a + 2
b =
ab ，则ab 的最小值为
．
题型2
“添项”配凑法
5
已知函数y = x +
3
x-2 (x > 2)，求y 的最小值.
6
已知x < 5
4 ，求函数y = 4x - 2 +
1
4x-5 的最大值.
7
求函数y = 4x2+
16
2+x2 的最小值.
8
已知x > 2,y > 1, x-2


y-1


= 4，则x + y 的最小值是(
)
A. 1
B. 4
C. 7
D. 3 +
17
题型3
“系数”配凑法
9
当0 < x < 4 时，求y = x(8 - 2x) 的最大值.
10
0 < x < 2
3 ，求函数y =
x(2-3x).
11
已知x，y 为正实数，且x 2+ y2
2 = 1，求x 1+y2 的最大值.
12
已知y =
x2-3
2x2+1
，求y 的最大值.(此类问题在圆锥曲线中经常遇到)
13
已知y = x x2+3
2x2+1
，求y 的最大值.(此类问题在圆锥曲线中经常遇到)
题型4
常数代换法
14
若正数a，b 满足a + 2b = 4，求1
a + 3
b 的最小值.
15
若正数a，b 满足1
a + 3
b = 3，求a + 2b 的最小值.
名校冲刺
实战教辅
20
16
若正数a，b 满足2a + b = 3ab，求a + 2b 的最小值.
17
已知0 < x < 1，a > 0，b > 0，求y = a2
x +
b2
1-x 的最小值。
18
已知x > 0,y > 0,x + 2y = 3，则x2+3y
xy
的最小值为(
)
A. 3 −2 2
B. 2 2 + 1
C.
2 −1
D.
2 + 1
19
已知正数a，b 满足a-1


b-1


= 1，则a + 4b 的最小值等于(
)
A. 4
B. 4 2
C. 8
D. 9
题型5
待定系数法
20
若x ≥0，y ≥0，且
1
2x+y +
2
x+y = 2，则4x + 3y 的最小值为
．
21
已知实数x，y 满足2x > y > 0，且
1
2x-y +
1
x+2y = 1，则x + y 的最小值为(
)
A. 3+2 3
5
B. 4+2 3
5
C. 2+4 3
5
D. 3+4 3
5
题型6
涉及a + b、a2+ b2和ab 的问题
技巧：求其中一个的最值时，求谁就保留谁，把另一个用基本不等式放缩掉
22
若正实数x,y 满足x + y + 3 = xy，求x + y 和xy 的最小值.
23
若正实数x,y 满足2x + y + 3 = xy，求2x + y 的最小值.
24
设a > 1，b > 1，且ab - (a + b) = 1，那么(
)
A. a + b 有最小值2( 2 + 1)
B. a + b 有最大值( 2 + 1)2
C. ab 有最大值5 + 2 2
D. ab 有最小值3 + 2 2
25
(2020 新高考1) (多选) 已知a > 0，b > 0，且a + b = 1，则(
)
A. a2+ b2≥1
2
B. 2a-b> 1
2
C. log2a + log2b ≥-2
D.
a +
b ≤
2
26
(2022 新高考2) (多选) 对任意x，y，x2+ y2- xy = 1，则(
)
A. x + y ≤1
B. x + y ≥-2
C. x2+ y2≤2
D. x2+ y2≥1
题型7
一次、二次的问题
27
函数f(x) = x2+x+1
x-1
(x > 1) 的最小值为(
)
21
第一章
常规函数篇
A. 2 3
B. 3 + 2 3
C. 2 + 2 2
D. 5
28
函数f(x) =
x-1
x2+x+1
(x > 1) 的最大值为
.
29
函数f(x) =
x2+2x
x2+x+1
(x > 1) 的最大值为
.
题型8
齐次化法
30
已知正实数a，b 满足
1
(2a+b)b +
2
(2b+a)a = 1，则ab 的最大值为
.
31
已知x > 0，y > 0, 则
6xy
x2+9y2 +
2xy
x2+y2 的最大值是
.
32
若不等式x2 - 2y2 ≤cx(y - x) 对满足x > y > 0 的任意实数x，y 恒成立，则实数c 的最大值
为
33
若4x2−xy + y2= 25，则3x2+ y2的取值范围是
.
34
实数x，y 满足x2−2xy + 2y2= 2，则x2+ 2y2的最小值是
.
题型9
化为单变量法
35
若正数a，b 满足1
a + 1
b = 1，则
1
a−1 +
9
b−1 的最小值为(
)
A. 1
B. 6
C. 9
D. 16
36
已知实数x，y 满足xy - 3 = x + y，且x > 1，则y(x + 8) 的最小值是(
)
A. 33
B. 26
C. 25
D. 21
37
若正数x，y 满足1
x + 1
y = 1，则
4x
x−1 +
9y
y−1 的最小值为
题型10
整体配凑法
38
若正数x，y 满足x2+ 4y2+ x + 2y = 1，则xy 的最大值是
,x + 2y 的最大值为
.
巩固练习· 融会贯通
1. 已知a2+2a+2
x
≤
4
x2-x
+ 1 对于任意的x ∈1,+∞


恒成立，则(
)
A. a 的最小值为-3
B. a 的最小值为-4
C. a 的最大值为2
D. a 的最大值为4
2. 已知a > 0，b > 0，若不等式2
a + 1
b ≥m2-8m
2a+b
恒成立，则m 的取值范围是
.
3. 设正实数a、b 满足a + b = 1，则下列说法错误的是(
)
名校冲刺
实战教辅
22
A.
ab 有最大值1
2
B.
1
a+2b +
1
2a+b 有最小值3
C. a2+ b2有最小值1
2
D.
a +
b 有最大值
2
4. 若正实数a,b 满足a + b = 2，则下列说法正确的是(
)
A. ab 的最大值为1
B.
a +
b 的最大值为2
C. a2+ b2的最小值为1
D. 2a2+ b2的最小值为8
3
5. 若x > 1，y > 2，且满足xy - 2x = y，则
1
x-1 +
8
y-2 的值可以为(
)
A. 7
2
B. 3
C. 4
D. 11
2
6. 已知a，b 为正实数，且ab + 2a + b = 6，则(
)
A. ab 的最大值为2
B. 2a + b 的最小值为4
C. a + b 的最小值为3
D.
1
a+1 +
1
b+2 的最小值为
2
2
7. 设0 < x < 3
2 ，求函数y = 4x(3 −2x) 的最大值
8. 已知a > b > 0，a + b = 1，则
4
a−b + 1
2b 的最小值是
9. 已知a > 0,b > 0，1
a+1 +
1
b+1 = 1，则a + 2b 的最小值是(
)
A. 3 2
B. 2 2
C. 3
D. 2
10. 已知正数a，b 满足2a + 1
b = 1 则2
a + b 的最小值为(
)
A. 4 2
B. 8 2
C. 8
D. 9
11. 已知a，b 为正实数, 且a + b = 2，则a2+2
a
+
b2
b+1 −2 的最小值为
12. 已知实数x，y 满足xy > 0，求
x
x+y +
2y
x+2y 的最大值
13. 已知实数x > y > 0，则xy +
x+2y
y2(x-y)
的最小值为
23
第一章
常规函数篇
第6讲
幂函数和指对数函数核心解题技巧
典例讲解· 掌握方法
题型1
连等式指化对，对化指技巧
1
设
1
2


a= 5b= m，且1
a - 1
b = 2，则m =
.
2
若实数a、b 满足2 + log2a = 3 + log3b = log
a+b


6
，则1
a + 1
b 的值为(
)
A. 6
B. 18
C. 36
D. 108
3
已知a > 0，b > 0，且2 - log2a = 3 - log3b = log6
1
a+b ，则1
a + 1
b =
．
题型2
结构相同构造函数技巧（同构）
4
(2020 全国卷1 理) 若2a+ log2a = 4b+ 2log4b，则(
)
A. a > 2b
B. a < 2b
C. a > b2
D. a < b2
5
已知x > 0，y > 0，a ≥1，若a ⋅
1
8


y + log2x = log8y3+ 2-x，则(
)
A. ln|1 + x - 3y| < 0
B. ln|1 + x - 3y| ≤0
C. ln(1 + 3y - x) > 0
D. ln(1 + 3y - x) ≥0
题型3
熟练记住
ab
log
和
ba
log
是倒数关系
6
已知a > b > 1，若logab + logba = 10
3 ，ab= ba，则ab =
.
题型4
幂指对中的比较大小解题技巧
7
1.5-3.1，23.1，2-3.1的大小关系是(
)
A. 23.1< 2-3.1< 1.5-3.1
B. 1.5-3.1< 23.1< 2-3.1
C. 1.5-3.1< 2-3.1< 23.1
D. 2-3.1< 1.5-3.1< 23.1
8
已知a = log20.2，b = 20.2，c = 0.20.2，则(
)
A. a < b < c
B. a < c < b
C. c < a < b
D. b < c < a
9
(2021 新高考Ⅱ) 已知a = log52，b = log83，c = 1
2 ，则下列判断正确的是(
)
A. c < b < a
B. b < a < c
C. a < c < b
D. a < b < c
名校冲刺
实战教辅
24
10
(2020 卷Ⅲ文) 设a = log32，b = log53，c = 2
3 ，则(
)
A. a < c < b
B. a < b < c
C. b < c < a
D. c < a < b
11
设a = log95，b = log169，c =
16
9


- 1
2，则(
)
A. c < a < b
B. a < c < b
C. b < c < a
D. b < a < c
12
π 为圆周率，e = 2.71828 ⋯为自然对数的底数．
(1) 求函数f(x) = lnx
x
的单调区间；
(2) 求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6 个数中的最大数与最小数．
13
(2020 卷Ⅰ理) 若2a+ log2a = 4b+ 2log4b，则(
)
A. a > 2b
B. a < 2b
C. a > b2
D. a < b2
14
(2022 新高考1) 设a = 0.1e0.1,b = 1
9 ，c =-ln0.9，则(
)
A. a < b < c
B. c < b < a
C. c < a < b
D. a < c < b
15
已知a = e1.3，b = 1.31.3，c = e0.39，则(
)
A. b > c > a
B. b > a > c
C. a > b > c
D. a > c > b
16
(2020 卷Ⅲ理) 已知55< 84，134< 85．设a = log53，b = log85，c = log138，则(
)
A. a < b < c
B. b < a < c
C. b < c < a
D. c < a < b
巩固练习· 融会贯通
1. 已知a = log35，b = log46，c = log57，则(
)
A. c < b < a
B. b < a < c
C. a < b < c
D. b < c < a
2. 若a = 30.5，b = 20.6，c = ln10，则三者大小关系为(
)
A. c > b > a
B. a > c > b
C. b > a > c
D. c > a > b
3. 若a = 30.5，b = 20.6，c = ln7，则三者大小关系为(
)
A. c > b > a
B. a > c > b
C. b > a > c
D. c > a > b
4. 设a = ( 2)3，b =
1
2


-3，c = log23，则a，b，c 的大小关系为(
)
A. a < b < c
B. b < a < c
C. b < c < a
D. c < a < b
5. 设a = log32,b = ln2,c = 5
1
2，则a，b，c 的大小关系为(
)
25
第一章
常规函数篇
A. b > a > c
B. a > b > c
C. c > b > a
D. a > c > b
6. 已知a = 4ln5π，b = 5ln4π，c = 5lnπ4，则a，b，c 的大小关系是(
)
A. a < b < c
B. b < c < a
C. b < a < c
D. c < b < a
7. 若a = 2.1-3，b = 3
1
2，c = log20.5，则(
)
A. b > c > a
B. b > a > c
C. a > c > b
D. a > b > c
8. 设a = 30.4，b = 50.4，c = 0.45，则(
)
A. b > a > c
B. b > c > a
C. c > a > b
D. a > c > b
9. 已知函数f(x) = |x|
e
|x| ，记a = f(log32)，b = f(log53)，c = f ln 1
e


，则(
)
A. a > c > b
B. a > b > c
C. c > a > b
D. c > b > a
10. 已知a = (sin3)3，b = 4sin3，c = ln
4
sin3 ，则a，b，c 的大小关系为(
)
A. b < a < c
B. c < b < a
C. a < c < b
D. a < b < c
11. 若e < a < b < π(e 为自然对数的底数)，则ab，ba，logba 的大小关系为(
)
A. ab< ba< logba
B. ba< ab< logba
C. logba < ab< ba
D. logba < ba< ab
12. 若2a+ ln2
2
= 3b+ ln3
3
= 5c + ln5
5 ，则(
)
A. cln5 > aln2 > bln3
B. aln2 > cln5 > bln3
C. bln3 > cln5 > aln2
D. aln2 > bln3 > cln5
13. 设a = 3 3 ，b = 5 5 ，c = 7 7 ，则(
)
A. a > b > c
B. b > a > c
C. c > a > b
D. c > b > a
14. 已知lnx > lny > 0，则下列结论正确的是(
)
A. 1
x < 1
y
B.
1
3


x>
1
3


y
C. logyx > logxy
D. x2+
4
y(x-y) ≥8
15. 若2021x- 2021
y > 2022-x- 2022
-y x,y∈R


，则(
)
A. x3> y3
B. lnx > lny
C. 1
x < 1
y
D.
1
x2+1
<
1
y2+1
名校冲刺
实战教辅
26
第二章
三角函数核心解题方法
第1讲
三角函数的图象与性质
典例讲解· 掌握方法
题型1
已知正切求齐次分式值
1
已知tanα = 2，求: (1) sinα+cosα
sinα-cosα (2)
sin2α+2
3cos2α-sin2α
(3) sin2α + sinαcosα + 2
2
若3sinα+5cosα
sinα-2cosα =- 1
5 ，则tanα 的值为(
)
A 3
2
B - 3
2
C 23
16
D - 23
16
3
已知sinα =
3cosα，则sin2α + sinαcosα + 1 = (
)
A
4+
3
4
B
7+
3
4
C
1
D
3
4
已知角α 的顶点为坐标原点，始边为
轴的正半轴，终边上有一点P(1,2)，
sin2α
1-3sinαcosα =
(
)
题型2
正余弦的完全平方公式相互转化
5
已知θ ∈(0,π),sinθ + cosθ =
3-1
2
，则tanθ 的值为(
)
A
- 3 或-
3
3
B
-
3
3
C
- 3
D
-
3
2
6
已知sinθ + cosθ = 1
5 (0 < θ < π)，求下列各式的值：
(1) sinθ - cosθ；
(2) sin3θ - cos3θ；
(3) sinθ-4cosθ
5sinθ+2cosθ 。
7
求函数y = sin2x - 3(sinx + cosx) 的值域。
题型3
诱导公式使用方法及整体换元
8
如果sin(π + A) = 1
2 ，那么cos 3π
2 -A


的值是
。
9
已知sin π
3 +α


= 1
4 ，则cos π
6 -α


=
。
27
第二章
三角函数篇
10
已知f(α) =
sin(π-α)cos(2π-α)sin 5π
2 -α


cos(-π-α)cos 3π
2 -α


，则f - 25π
3


的值为(
)
A - 1
2
B 1
2
C -
3
2
D
3
2
11
已知cos π
6 -σ



=
3
3 ，则cos σ+ 5π
6



=
.
题型4
三角函数图象与性质
12
已知函数f x


= Asin ωx+φ


A>0,ω>0, φ


<π


的部分图象如图所示，其中M 2,-1


,
N 8,1


分是函数f x


的图象的一个最低点和一个最高点，则ω+φ
A
= (
)
A - 2π
3
B - π
6
C π
6
D 2π
3
13
如图，P，Q 是函数f(x) = Acos(ωx + φ) (A > 0，ω > 0，-π < φ < 0) 的图象与x 轴的两个相
邻交点，M(1,2) 是函数f(x) 的图象的一个最高点，若ΔMPQ 是等腰直角三角形，则函数f(x) 的解
析式是(
)
A f(x) = 2cos π
2 x- π
4


B f(x) = 2cos π
4 x- π
4


C f(x) = 2cos π
2 x- π
2


D f(x) = 2cos π
4 x- π
2


14
已知函数f (x) = Asin(ωx + φ) A>0，ω>0，|φ|< π
2


的部分图象如图所示，则f
π
3


=
(
)
A 1
2
B 1
C
2
D
3
15
(多选) 下图是函数f(x) = sin ωx+ϕ


的部分图像，则f(x) = (
)
名校冲刺
实战教辅
28
A. sin x+ π
3


B. sin π
3 -2x


C. cos 2x+ π
6


D. cos 5π
6 -2x


16
设函数f(x) = Asin ωx+ϕ


A≠0,ω>0,- π
2 <ϕ< π
2


的图象关于直线x = 2π
3 对称，它的
最小正周期为π，则(
)
A f(x) 的图象过点
0, 1
2


B f(x) 在
π
12 , 2π
3




上是减函数
C f(x) 的一个对称中心是
5π
12 ,0


D f(x) 的一个对称中心是
π
6 ,0


17
函数f(x) = Asin(ωx + φ) A>0，ω>0，0<φ< π
2


的部分图象如图所示，则下列说法错误的
是(
)
A 函数f(x) 的最小正周期为π
B 直线x =- 5π
12 为函数f(x) 的一条对称轴
C 点- 2π
3 ,0


为函数f(x) 的一个对称中心
D 函数f(x) 的图象向右平移π
3 个单位后得到y =
2sin2x 的图象
18
要得到函数y = cos π
2 x+ π
3


的图象，只需将函数y = cos π
2 x- π
6


的图象(
)
A 向左平移π
2 个单位长度
B 向右平移π
2 个单位长度
C 向左平移1 个单位长度
D 向右平移1 个单位长度
19
(2021 春• 云南期末) 函数y = sin2ωx(ω > 0) 的图象向左平移π
6 个单位长度，所得图象关于
y 轴对称，则ω 的一个可能取值是(
)
A 2
B 3
2
C 2
3
D 1
2
20
已知函数f(x) = sinx，g(x) = sin 2x+ π
6


，将f(x) 的图象经过下列哪种变换可以与g(x) 的
图象重合(
)
A 向左平移π
6 个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的1
2
29
第二章
三角函数篇
B 向左平移π
12 个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的1
2
C 向左平移π
6 个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2 倍
D 向左平移π
12 个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2 倍
21
将函数f x


= sin2x 的图象向右平移π
4 个单位后得到函数g x


的图象，则函数g x


具有性
质(
)
A 在0, π
4


上单调递增，为偶函数
B 最大值为1，图象关于直线x =- 3π
2 对称
C 在- 3π
8 , π
8


上单调递增，为奇函数
D 周期为π，图象关于点
3π
4 ,0


对称
题型5
三角函数值域（最值）
22
已知函数f x


=
3 sin2x + 2sin π
4 +x


cos π
4 +x


，则f x


在x ∈0，π
2




上的最大值与
最小值之差为
。
23
函数f x


= cos2x + 2sinx 的最小值为
。
24
函数y = 7 - 4sinxcosx + 4cos2x - 4cos4x 的最小值是
。
25
求函数y = 2−sinx
2−cosx 的值域。
26
求y = sinx +
2
sinx (0 < x < π) 的最小值。
27
已知f x


=
3 cos2x-sin2x


- 2cos2 x+ π
4


+ 1 的定义域为[0, π
2 ]，求f x


的最小值.
28
函数f x


= sin2x +
3cosx - 3
4 x∈0, π
2






的最大值是
.
29
求函数y = sinx + cosx + sinxcosx 的值域.
巩固练习· 融会贯通
1. 下列各角中，与2019° 终边相同的角为(
)
A 41°
B 129°
C 219°
D -231°
2. - 19
3 π 是(
)
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
3. 若α 第二象限角，则α
2 在第几象限(
)
A 第一、三象限
B 第一、四象限
C 第二、三象限
D 第二、四象限
名校冲刺
实战教辅
30
4. 已知tanα = 2，则
1
sin2α-cos2α
= (
)
A -5
B 5
3
C 3
5
D - 5
3
5. 已知sin(π + α) = 1
3 ，则sin 3π
2 +2α


= (
)
A - 7
9
B 7
9
C -
3
3
D
3
3
6. 已知角α ∈- π
4 ，π
4


，sinα + cosα = 1
5 ，则tanα = (
)
A - 3
4
B - 3
4 或- 4
3
C 3
4
D 3
4 或- 3
4
7. 下列函数中，最小正周期为π
2 的是(
)
A y = sin|x|
B y = cos|2x|
C y = |tanx|
D y = |sin2x|
8. 已知函数y = sin ωx- π
6


(ω > 0) 的图象相邻两条对称轴之间的距离为π
2 ，则该函数图象是由y
= cos2x 的图象经过怎样的变换得到(
)
A 向左平移π
3 个单位长度
B 向左平移π
6 个单位长度
C 向右平移π
3 个单位长度
D 向右平移π
6 个单位长度
9. 下列化简正确的是(
)
A tan(π + 1) = tan 1
B
sin(-α)
tan(360°-α) = cos α
C sin(π-α)
cos(π+α) = tanα
D cos(π-α)tan(-π-α)
sin(2π-α)
= 1
10. 将函数f x


= sin2x 的图象向右平移π
4 个单位后得到函数g x


的图象，则函数g x


具有性质
(
)
A 在0, π
4


上单调递增，为偶函数
B 最大值为1，图象关于直线x =- 3π
2 对称
C 在- 3π
8 , π
8


上单调递增，为奇函数
D 周期为π，图象关于点
3π
4 ,0


对称
11. 为了得到函数y = cos 2x+ π
4


的图象，可作如下变换(
)
A 将y = cosx 的图象上所有点向左平移π
4 个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来
的1
2 ，纵坐标不变而得到
B 将y = cosx 的图象上所有点向右平移π
4 个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐变为原来
的2 倍，纵坐标不变而得到
C 将y = cosx 的图象上所有点的横坐标变为原来的1
2 ，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左
平移π
4 个单位长度而得到
31
第二章
三角函数篇
D 将y = cosx 的图象上所有点的横坐标变为原来的1
2 ，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左
平移π
8 个单位长度而得到
12. 已知函数f(x) = Acos(ωx + φ) (A > 0，ω > 0，0 < φ < π) 的图象的一个最高点为- π
12 ，3


，与之
相邻的一个对称中心为
π
6 ,0


，将f(x) 的图象向右平移π
6 个单位长度得到函数g(x) 的图象，则
(
)
A g(x) 为偶函数
B g(x) 的一个单调递增区间为- 5π
12 , π
12




C g(x) 为奇函数
D g(x) 在0, π
2




上只有一个零点
13. 已知角θ 的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P(4,3) 是角θ 终边上一点，则sinθ =
.
14. 函数f(x) = 2sinx + 3cosx 的最小值为
.
15. 若函数f(x) = sin(ωx + φ) (ω > 0) 的最小正周期为π，将y = f(x) 的图象向左平移π
6 个单位后，
所得图象关于y 轴对称，则φ 的最小正值为
.
16. 已知函数f(x) = Asin(ωx + φ) A>0,ω>0,|φ|< π
2


的图象如图所示，则f
π
4


=
.
17. 已知一个扇形的周长为8π
9 + 4，圆心角为80°，求这个扇形的面积.
18. 已知角α 的顶点与坐标原点O 重合，始边落在x 轴的正半轴上，终边经过点A(4,y0)，其中y0≠0。
(1) 若cosα = 2 5
5
，求y0的值；
(2) 若y0=-4，求2sinα+3cosα
cosα-4sinα 的值.
19. 已知函数f(x) = sin 2x- π
3


。
(1) 求f
π
3


的值；
(2) 求f(x) 的最小正周期；
(3) 求函数f(x) 的单调递增区间。
20. 在①f(0) = 1
2 ，②f(x) ≤f(0) 恒成立，③f(x) 的图象关于点
π
3ω ，0


中心对称这三个条件中任选
一个，补充在下面问题中。若问题中的ω 存在，求出ω 的范围；若ω 不存在，说明理由。
名校冲刺
实战教辅
32
设函数f(x) = sin(ωx + φ) ω>0，- π
2 ≤φ≤π
2


，
是否存在ω，使得函数f(x) 在0，π
2




上是单
调的？
21. 已知函数f(x) = cos 2x+ π
3


。
(1) 求函数y = f(x) 的对称轴方程；
(2) 求函数f(x) 在区间- π
12 , π
2




上的最大值和最小值。
22. 已知函数f(x) = Asin(ωx + φ) A>0,ω>0,|φ|< π
2


的最小正周期为4π.
(1) 从①f - π
3


= 0; ②f - 2π
3


=-1; ③∀x ∈R，都有f(x) ≤f 2π
3


这三个条件中，选择合适的两个
条件，求函数f(x) 的解析式；
(2) 求(1) 中所求得的函数f(x) 在区间- 2π
3 , π
3




上的最大值和最小值.
23. 将函数y = sinx 的图象向右平移π
6 个单位长度，再将横坐标缩短为原来的1
ω (ω > 0) 得到函数y
= f(x) 的图象，若y = f(x) 在0，π
6




上的最大值为ω
5 ，则ω 的取值个数为(
)
A 1
B 2
C 3
D 4
24. 函数f (x) = sin 2x+ π
12


在区间t- π
4 ,t




,t ∈R 上的最大值与最小值之差的取值范围是
(
)
A
1-
2
2 ,1




B .[1，2]
C .
2
2 ，1




D . 1-
2
2 ，2




25. 已知函数f(x) =
3 sin(2ωx + φ) + 1 ω>0,- π
2 <φ< π
2


，函数f(x) 的图象经过点- π
12 ,1


且
f(x) 的最小正周期为π
2 。
(1) 求函数f(x) 的解析式；
(2) 将函数y = f(x) 图象上所有的点向下平移1 个单位长度，再桦函数图象上所有点的横坐标变为原
来的2 倍，纵坐标不变，再将图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2 3
3
倍，得到函数y
= h(x) 图象，令函数g(x) = h(x) + 1，区间[a，b] (a，b ∈R 且a < b) 满足：y = g(x) 在[a，b] 上至少有
30 个零点，在所有满足上述条件的[a，b] 中，求b - a 的最小值。
(3) 若m 1+
3 f x
8 - π
12


-1






+ 1
2 + 3
2 cosx ≤0 对任意x ∈[0，2π] 恒成立，求实数m 的取值范
围。
33
第二章
三角函数篇
第2讲
三角函数恒等变换
典例讲解· 掌握方法
题型1
配角技巧
30
(1) 若α，β 为锐角，且满足cosα = 4
5 ，cos(α + β) = 3
5 ，则sinβ 的值是
(2) 若cosα =- 4
5 ，α 是第三象限角，则sin α+ π
4


=
31
若0 < α < π
2 ，- π
2 < β < 0，cos α+ π
4


= 1
3 ，cos
π
4 - β
2


=
3
3 ，则cos
α+ β
2


=
(
)
A.
3
3
B. -
3
3
C. 5 3
9
D. -
6
9
题型2
平方相加得和差公式
32
(1) 设cosα + cosβ = 1
2 ，sinα + sinβ = 1
3 ，求cos(α - β) 的值；
(2) 若α、β 是锐角, 且sinα - sinβ =- 1
2 ,cosα - cosβ = 1
2 , 则tan(α - β) =
题型3
两种辅助角公式
33
若方程2 3sinxcosx - 2cos2x = k + 1 有解，则k ∈
34
已知函数f(x) =
3sin2x + sinxcosx -
3
2 (x ∈R).
(1) 若x ∈0, π
2




，求f(x) 的最大值；
(2) 在△ABC 中，若A < B，f(A) = f(B) = 1
2 ，求A、B、C 的值．
35
(2021·湖南师大附中高三阶段练习) 骑行是目前很流行的一种绿色健身和环保出行方式，骑
行属于全身性有氧活动､能有效地锻炼大脑､心脏等人体器官机能，它带给人们的不仅是简单的身
体上的运动锻炼，更是心灵上的释放. 如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前
轮)，圆D(后轮) 的半径均为
3 ，△ABE，△BEC ，△ECD 均是边长为4 的等边三角形. 设点P 为
后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，AC


⋅BP

的最小值为(
)
A．4 3
B．12
C．12 3
D．24
名校冲刺
实战教辅
34
36
函数y = sin πx+φ


, φ>0


的部分图像如图所示，设P 是图像的最高点，A,B 是图像与x
轴的交点，记∠APB = θ，则sin2θ =
．
37
(2021·湖南·长沙一中高二期中) 数列an


的通项an = n2 cos2 nπ
3 -sin2 nπ
3


，其前n 项和为
Sn，则S30为(
)
A．470
B．490
C．495
D．510
38
已知a，b，c 分别为锐角△ABC 的三个内角A，B，C 的对边，且bsinC + asinA = bsinB +
csinC，则b
c 的取值范围为
.
39
2021·湖南师大附中高一期中) 已知△ABC 的外心为O，内心为Ⅰ.
(1) 如图1，若|AB

| = |AC


∣= 1,AB

⋅AC


= 0.
①试用AB

,AC


表示AO


；②求(BA

+ BC

) ⋅OI

的值.
(2) 如图2，若存在实数λ，使OI

= λBC

，试求cosB + cosC 的值.
题型4
恒等变换和函数、不等式的结合
40
(2022·全国·高考真题) 已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB = 120°,AD = 2,CD = 2BD．
当AC
AB 取得最小值时，BD =
．
41
(2022·湖南·长沙市雅礼实验中学高二阶段练习) 在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，
b，c，若sin2B - sin2C = sinAsinC，则2tan B
2 +
1
tanC 的最小值为
．
42
(2018·江苏·高考真题) 在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，∠ABC = 120°，∠ABC
的平分线交AC 于点D，且BD = 1，则4a + c 的最小值为
．
43
(2022·湖南·长郡中学模拟预测) 若△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
2bcosBcosA + acos2B = 2a，则当tanA 取最大值时，tan2B = (
)
35
第二章
三角函数篇
A. 2 5
B.
3
C. -
3
D. 4
44
在锐角三角形ABC 中，sinA = 3cosBcosC，则tanAtanBtanC 的最小值是
．
45
(2021 麓山国际实验学校高一开学考试) 如图所示，已知点A 1,0


，D -1,0


，点B，C 在单位
圆O 上，且∠BOC = π
3 .
(1) 若点B 3
5 , 4
5


，求cos∠AOC 的值；
(2) 设∠AOB = x 0<x< 2π
3


，四边形ABCD 的周长为y，将y 表示成x 的函数，并求出y 的最大
值.
46
如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π
4 的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内
接矩形，记∠POC = α，
(1) 用角α 表示AB，BC 的长度；
(2) 当角α 取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.
47
(2019·湖南师大附中高一期中) 锐角ΔABC 的三个内角是A、B、C，若ΔABC 的外接圆的圆
心为O，半径是1，且OB

⋅OC


= 1
2 ．
(1) 求角A 的大小及角B 的取值范围；
(2) 求OA


⋅OB

+OC


-2OA




的取值范围．
48
(2022·雅礼中学高三月考) 长沙市雅礼中学为“雅礼杯”足球赛制作了冠军奖杯，奖杯的剖面
图形如图所示，其中扇形OAB 的半径为10，∠PBA = ∠QAB = 60°，AQ = QP = PB，若按此方案
设计：
名校冲刺
实战教辅
36
(1) 当∠AOB = π
2 时，在△AOB 中，G 为AB 边上任意一点，求OG


⋅BA

-BO



的最大值；
(2) 制作商发现，当OP 最长时，该奖杯比较美观，求此时∠AOB 的大小.
49
(2022·湖南师大附中高一开学考试) 如图，正方形材料ABCD 的边长为3，点P 为材料
ABCD 内部一点，PE ⊥AB 于E，PF ⊥AD 于F，且PE = 1，PF = 2，现要在长方形材料ABCD
中裁剪出四边形材料AMPN ，满足∠MPN = 135∘，点M,N 分别在边AB,AD 上.
(1) 设∠FPN = θ，试将四边形材料AMPN 的面积表示为θ 的函数，并指明θ 的取值范围；
(2) 试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值.
巩固练习· 融会贯通
1. 已知函数f(x) = 2sin2 x+ π
4


-
3cos 2x.
(1) 求f(x) 的周期和单调递增区间；
(2) 若关于x 的方程f(x) - m = 2 在x ∈
π
4 , π
2




上有解，求实数m 的取值范围。
2. 设a ∈R，f (x) = cos x(asin x - cos x) + cos2 π
2 -x


满足f - π
3


= f (0)，求函数f (x) 在
π
4 , 11π
24




上的最大值和最小值．
3. 已知f(x) = sin2x + sinxcosx，x ∈0，π
2




(1) 求f(x) 的值域；
(2) 若f(α) = 5
6 ，求sin2α 的值．
4. 已知函数f(x) = sin 2x- π
3


+ cos 2x- π
6


+ 2cos2x - 1．
(1) 求函数f(x) 的最小正周期；
(2) 若α ∈
π
4 , π
2




，且f(α) = 3 2
5
，求cos2α．
37
第二章
三角函数篇
5. 已知cos x- π
6


= 1
3 ，则cosx + cos x- π
3


= (
)
A.
3
2
B.
3
C. 1
2
D.
3
3
6. 已知sin(π - α) = 4 3
7
，cos(α - β) = 13
14 ，0 < β < α < π
2 ．
(1) 求sin α+ π
3


的值；
(2) 求角β 的大小．
7. tanα = 1
2 ,tan(α + β) = 1
3 , 则tanβ = (
)
A. 1
6
B. - 1
7
C. 1
7
D. 5
6
8. 已知角α,β ∈0, π
4


，3sinβ = sin(2α + β)，4tan α
2 = 1 - tan2 α
2 ，则α + β =
．
9. 若cos78° = m，则sin(-51°) = (
)
A. -
m+1
2
B. -
1-m
2
C.
m+1
2
D.
1-m
2
10. 若θ 为第四象限角，则
1-cosθ
1+cosθ -
1+cosθ
1-cosθ 可化简为(
)
A. 2tanθ
B. -
2
tanθ
C. - 2tanθ
D.
2
tanθ
11. sin53°-sin23°cos30°
cos23°
= (
)
A. 1
B. 1
2
C.
3
D.
3
2
12. 若cosx + siny = 1
4 ，则sin2x - siny 的取值范围是(
)
A. [-1，2]
B.
- 5
4 ,1




C.
- 7
16 ,1




D.
- 9
16 ,1




13. 若tan α+ π
4


=-3，则sin2α - cos2α = (
)
A. 3
5
B. - 2
5
C. - 1
D. 3
14. 已知α ∈0, π
2


，且3sin2α - 5cos2α + sin2α = 0，则sin2α + cos2α = (
)
A. 1
B. - 23
17
C. - 23
17 或1
D. - 1
15. 已知sinα+2cosα
sinα-2cosα = 5，则cos2α + 1
2 sin2α = (
)
A. - 2
5
B. 3
C. - 3
D. 2
5
16. (2021• 沈阳三模) 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618 优选法”在
名校冲刺
实战教辅
38
生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618 就是黄金分割比m =
5-1
2
的近似值，黄金分割比
还可以表示成2sin18°，则m 4-m2
2cos227°-1
= (
)
A. 4
B.
5 + 1
C. 2
D.
5 - 1
17. 已知α，β 是锐角，cosα =
5
5 ，cos α-β


= 3 10
10
，则cosβ = (
)
A.
2
2
B. 7 2
10
C.
2
10
D. -
2
2
18. (2022·全国高三专题练习) 已知α，β，γ ∈0, π
2


，sinα + sinγ = sinβ，cosβ + cosγ = cosα，则下列
说法正确的是(
)
A. cos(β - α) = 1
2
B. cos(β - α) = 1
3
C. β - α =- π
3
D. β - α = π
3
19. 下列三角式中，值为1 的是(
)
A. 4sin15°cos15°
B. 2 cos2 π
6 -sin2 π
6


C.
2tan22.5°
1-tan222.5°
D.
1
2 + 1
2 cos π
6
20. 已知sin π
6 +x


=- 3
5 ，则sin2 π
3 -x


- sin 5
6 π-x


的值
．
21. 设a=
1
2 ,sinx


，b= cos2x-sin2x,cosx


，且f x


= a⋅b．
(1) 求f x


的单调递减区间；
(2) 若函数f x


的图像关于点x0,y0


对称，求正数x0的最小值；
(3) 若函数g x


=
2 f x- 5π
24


+ m 在x ∈
π
12 , π
2




上有两个不同的零点x1，x2，求m 的取值范围，并
求tan x1+x2


的值．
22. (1) 已知cosα = 1
7 ，sin α+β


= 5 3
14 ，0 < α < π
2 ，0 < β < π
2 ，求角β 的值.
(2) 已知cos α+ π
6


= 4
5 ，0 < α < π
2 ，求sin 2α+ π
12


的值.
23. 已知a= sinωx,cosωx


，b= cosωx, 3cosωx


，f x


= a⋅b-
3
2 a


ω>0


. 函数y = f x


的
最小正周期为π. (1) 求函数f x


在0,π


内的单调递增区间；
(2) 若关于x 的不等式f x- π
6


>
2msin x+ π
4


-
2cos x- π
4


在0, π
2




内恒成立，求实数m
的取值范围.
39
第二章
三角函数篇
第3讲
w 取值范围与最值问题之卡点法（卡极限）
典例讲解· 掌握方法
题型1
根据对称轴、对称中心和单调区间求w
1
已知ω > 0，函数f(x) = sin ωx+ π
4


在
π
2 ,π


上单调递减，则ω 的取值范围是(
)
A.
1
2 , 5
4




B.
1
2 , 3
4




C.
0, 1
2



D. (0,2]
2
(2023 届师大附中高三第二次月考) 函数f(x) = sin(ωx + φ) ω>0,|φ|≤π
2


，已知- π
6 ,0


为
f(x) 图象的一个对称中心，直线x = 13π
12 为f(x) 图象的一条对称轴，且f(x) 在
13π
12 , 19π
12




上单调
递减．记满足条件的所有ω 的值的和为S，则S 的值为(
)
A．12
5
B．8
5
C．16
5
D．18
5
3
(2022·湖南·长沙一中模拟预测) 已知函数f (x) = Atan ωx+ π
3


(ω > 0)，若f (x) 在区间
π
2 ，π


内单调递减，则ω 的取值范围是(
)
A．0，1
6


B．
1
3 , 7
6


C．





0, 6
1
∪3
1 , 7
6
D．0, 6
1
∪3
1 , 7
6

4
已知函数f x


= sin ωx+φ


(ω > 0,0 < φ < π)，f 0


= f
2
9 π


=-f
π
3


，且f x


在
π
6 ，4π
9


上单调，则ω 的值为
A. 2
B. 3
C. 3
2
D. 7
2
5
已知函数f(x) = 2sin(ωx + φ) (ω > 0) 满足f
π
3


= 2，f(π) = 0，且f x


在区间
π
3 , 5π
12


单调，
则ω 的取值个数为(
)
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
6
(2021·全国) 若函数f x


= sin ωx+ π
6


(ω > 0) 的图象向左平移π
6 个单位后得到一个偶函数
的图象；若f x


向右平移π
12 个单位后得到一个奇函数的图象，则ω 的值可以是(
)
A. 6
B. 8
C. 12
D. 14
7
(2021·全国高一课时练习) 设函数f(x) = sin(ωx + φ) (ω > 0,|φ| < π). 若f(x) ≤f 5π
8


对任意
的实数x 都成立，且f 11π
8


= 0，f(x) 在- 3π
4 , π
4


单调，则(
)
A. ω = 2
3 ，φ = π
12
B. ω = 2
3 ，φ =- 11π
12
名校冲刺
实战教辅
40
C. ω = 1
3 ，φ =- 11π
24
D. ω = 1
3 ，φ = 7π
24
8
已知函数f(x) = sinωx + cosωx(ω > 0)，x ∈R，若函数f(x) 在区间(-ω,ω) 内单调递增，且函
数y = f(x) 的图象关于直线x = ω 对称，则ω 的值为
．
9
已知函数f(x) = sin(ωx + φ) + cos ωx+φ+ π
6


ω>0,- π
3 <φ<0


，若点
11π
12 ，0


为函数
f(x) 的对称中心，直线x = π
6 为函数f(x) 的对称轴，并且函数f(x) 在区间
4π
3 ，3π
2


上单调，则
f(2ωφ) = (
)
A. - 1
B.
3
2
C. 1
2
D. - 1
2
10
(多选) (2021·全国高三专题练习) 已知函数f(x) = sin ωx+ 5π
12


- cos ωx+ 5π
12


0<ω<6


的图象关于直线x = 1 对称，则满足条件的ω 的值为(
)
A. π
6
B. π
3
C. 4π
3
D. 7π
3
11
已知函数f x


= cos ωx+φ


ω>0


,x = 3π
8 为y = f x


图象的一条对称轴，- π
8 ,0


为y =
f x


图象的一个对称中心，且f x


在
π
12 , 5π
24


上单调，则ω 的最大值为(
)
A. 9
B. 7
C. 5
D. 3
12
已知ω > 0，函数f(x) = sin ωx+ π
4


在
π
2 ,π


上单调递减，则ω 的取值范围是(
)
A.
1
2 , 5
4




B.
1
2 , 3
4




C.
0, 1
2



D. (0,2]
13
已知函数f(x) = sinx，函数g(x) 的图象可以由函数f(x) 的图象先向右平移π
6 个单位长度，
再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1
ω (ω > 0) 得到. 若方程g(x) = 1
2 在(0,π)
上恰有6 个根，则ω 的取值范围是(
)
A.
5, 19
3



B.
5, 19
3



C.
29
6 , 13
2



D.
29
6 , 13
2



14
(2021·全国高三专题练习) 已知f(x) = 2sin2 ωx+ π
3


- 1(ω > 0)，给出下列结论：
①若f(x1) = 1，f(x2) =-1，且|x1- x2|min = π，则ω = 1；
②存在ω ∈(0，2)，使得f(x) 的图象向左平移π
6 个单位长度后得到的图象关于y 轴对称；
③若f(x) 在[0，2π] 上恰有7 个零点，则ω 的取值范围为
41
24 , 47
24




；
④若f(x) 在- π
6 , π
4




上单调递增，则ω 的取值范围为0, 2
3



.
其中，所有正确结论的编号是(
)
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ②④
41
第二章
三角函数篇
15
已知函数f(x) = 2sin ωx+ π
4


(ω > 0)，若f(x) 在区间0, π
8


上单调递增，则ω 的最大值是
(
)
A. 1
2
B. 1
C. 2
D. 4
16
将函数f x


= cosx 的图象先向右平移5
6 π 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原
来的1
ω (ω > 0) 倍，纵坐标不变，得到函数g x


的图象，若函数g x


在
π
2 , 3π
2


上没有零点，则ω
的取值范围是(
)
A.
0, 2
9



∪
2
3 , 8
9




B.
0, 8
9



C.
0, 2
9


∪
8
9 ,1




D.
0,1


17
函数f(x) = cos ωx- π
3


(ω > 0) 在[0,π] 上的值域为
1
2 ,1




，则ω 的取值范围是(
)
A.
1
3 , 2
3




B.
0，2
3




C.
2
3 ,1




D.
1
3 ,1




18
已知函数f(x) = asinωx + acosωx 的最大值为2 2 ，当f(x) 的定义域为[1，2] 时，f(x) 的值
域为[-2 2 ，2 2]，则正整数ω 的最小值为(
)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
19
已知函数f(x) =
3 sinωx + cosωx(ω > 0) 在区间- π
4 , π
3




上恰有一个最大值点和最小值
点，则实数ω 的取值范围为(
)
A.
8
3 ,7



B.
8
3 ,4



C.
4, 20
3



D.
20
3 ,7


20
将函数f x


= cos2x 图象向左平移ϕ 0<φ< π
2


个单位后得到函数g x


的图象，若函数
g x


在区间- π
6 , π
6




上单调递减，且函数g x


的最大负零点在区间- π
6 ,0


上，则ϕ 的取值范
围是(
)
A.
π
4 , π
3




B.
π
4 , π
3


C.
π
6 , π
4



D.
π
4 , π
3



21
已知函数f(x) = cos ωx- π
3


- 1
2 (ω > 0) 在区间[0,π] 上恰有三个零点，则ω 的取值范围是
．
22
已知函数f x


= sinx，函数g x


的图象可以由函数f x


的图象先向右平移π
6 个单位长度，
再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1
ω ω>0


得到. 若函数2g x


= 1 在0,π


上恰有3 个零点，则ω 的取值范围是(
)
A.
7
3 ,3



B.
7
3 ,3



C.
25
6 , 31
6



D.
25
6 , 31
6



名校冲刺
实战教辅
42
23
已知f x


=
3
2 sinωx - cos2 ωx
2 + 1
2 ω>0


，则下列说法错误的是(
)
A. 若f x


在0,π


内单调，则0 < ω ≤2
3
B. 若f x


在0,π


内无零点，则0 < ω ≤1
6
C. 若y = f x




的最小正周期为π，则ω = 2
D. 若ω = 2 时，直线x =- 2π
3 是函数f x


图象的一条对称轴
24
已知函数f x


= sin ωx+φ


(ω > 0)，φ


≤π
2 ，下述五个结论：
①若φ = π
5 ，且f x


在0,2π


有且仅有5 个零点，则f x


在0,2π


有且仅有3 个极大值点；
②若φ = π
4 ，且f x


在0,2π


有且仅有4 个零点，则f x


在0,2π


有且仅有3 个极小值点；
③若φ = π
5 ，且f x


在0,2π


有且仅有5 个零点，则f x


在0, π
10


上单调递增；
④若φ = π
4 ，且f x


在0,2π


有且仅有4 个零点，则ω 的范围是
15
8 , 19
8



；
⑤若f x


的图象关于x = π
4 对称，x =- π
4 为它的一个零点，且在
π
18 , 5π
36


上单调，则ω 的最大
值为11.
其中所有正确结论的编号是(
)
A. ②③④
B. ①③⑤
C. ②④⑤
D. ①③④
25
已知函数f(x) = cos ωx- π
3


(ω > 0) 且f 2π
3


= f 5π
6


，若f(x) 在区间
2π
3 , 5π
6


上有最大
值，无最小
值，则ω 的最大值为(
)
A. 4
9
B. 28
9
C. 52
9
D. 100
9
26
(多选) 已知定义在R 上的函数f x


= cos ωx


ω>0


在区间- π
3 ,0


上是单调增函数，则
(
)
A. f(|x|) 的最小正周期为π
ω
B. f(x) 在区间0, π
3


上是单调减函数
C. ω 的最大值为3
D. f 5π
12


≤f
π
4


题型2
极值点与w 的取值范围
27
若函数y = 2sinωx ω>0


的图象在区间- π
3 , π
6


上只有一个极值点，则ω 的取值范围为
(
)
A. 1 < ω ≤3
2
B. 3
2 < ω ≤3
C. 3 ≤ω < 4
D. 3
2 ≤ω < 9
2
43
第二章
三角函数篇
28
(2021·江苏) 若函数f x


= sin ωx+ π
6


ω>0


在0, 5π
18


存在唯一极值点，且在
π
2 ,π


上
单调，则ω 的取值范围为
.
29
设函数f(x) = cos ωx+φ- π
2


其中ω > 0, ω


< π
2 ，若- π
4 和π
4 分别是函数f(x) 的零点和
极值点，且f(x) 在区间
π
18 , 5π
3


上单调，则ω 的所有可能的取值构成的集合为
.
30
(2022·全国·高考真题) 设函数f(x) = sin ωx+ π
3


在区间(0,π) 恰有三个极值点、两个零点，
则ω 的取值范围是(
)
A．5
3 , 13
6



B．
5
3 , 19
6



C．
13
6 , 8
3



D．
13
6 , 19
6



31
已知函数f(x) = sin(ωx + φ) ω>0,|φ|≤π
2


，x =- π
4 为f(x) 的零点，x = π
4 为y = f(x) 图象
的对称轴，且f(x) 在区间
π
4 , π
3


上单调，则ω 的最大值是(
)
A. 12
B. 11
C. 10
D. 9
32
(2016• 新课标1) 已知函数f(x) = sin(ωx + φ) ω>0，|φ|≤π
2


，x =- π
4 为f(x) 的零点，x =
π
4 为y = f(x) 图象的对称轴，且f(x) 在
π
18 ，5π
36


上单调，则ω 的最大值为(
)
A. 11
B. 9
C. 7
D. 5
33
已知函数f(x) = 2sin(ωx + φ) (ω > 0) 满足f
π
3


= 2，f(π) = 0，且f(x) 在区间
π
3 ，5π
12


单
调，则关于ω 以下说法正确的是(
)
A. ω 有8 种取值
B. ω 的取值有无限个
C. ω 不能等于3
4
D. ω 可以等于39
4
34
(2020·全国) 已知函数y = sin(ωx + φ) (ω > 0,φ ∈(0,2π)) 的一条对称轴为x =- π
6 ，且f(x)
在π, 4π
3


上单调，则ω 的最大值为(
)
A. 5
2
B. 3
C. 7
2
D. 8
3
35
(2022·全国高三专题练习) 已如函数f(x) = sin(ωx + φ) ω>0,|φ|< π
2


区间
π
6 , π
2


上单
调，且f
π
2


= f 2π
3


=-f
π
6


，将函数y = f x


的图象上各点的横坐标伸长为原来的3 倍，纵坐
标不变，得到函数y = g x


的图象，若函数y = g x


在区间-t,t


上单调递增，则t 的最大值为
A. π
6
B. π
4
C. π
3
D.
π
12
36
(多选) 知函数f x


= sin ωx+ π
4


ω>0


，则下述结论中正确的是(
)
名校冲刺
实战教辅
44
A. 若f x


在0,2π


有且仅有4 个零点，则f x


在0,2π


有且仅有2 个极小值点
B. 若f x


在0,2π


有且仅有4 个零点，则f x


在0, 2π
15


上单调递增
C. 若f x


在0,2π


有且仅有4 个零点，则ω 的范是
15
8 , 19
8



D. 若f x


的图象关于x = π
4 对称，且在
π
18 , 5π
36


单调，则ω 的最大值为9
巩固练习· 融会贯通
1. 已知函数f(x) = asinωx + cos ωx+ π
6


(其中a > 0，ω > 0) 在区间[0，π] 上不是单调函数，且其值
域为
3
2 ，3




，则aω 的取值范围是(
)
A.
2
3 ，4
3


B.
2
3 ，4
3



C.
2
3 ，4
3



D.
2
3 ，4
3




2. (2020• 全国1 卷模拟) 已知函数f(x) = sin ωx+ π
6


(ω > 0) 的图象在(0,π) 上有且仅有两条对称
轴，则ω 的取值范围为(
)
A.
1，3
2



B.
4
3 ，3
2


C.
4
3 ，7
3



D.
1，7
3




3. 将函数f(x) = sin 2x+ π
3


的图象向右平移φ 0<φ< π
2


个单位长度后得到函数g(x) 的图象，若
对于满足|f(x1) - g(x2)| = 2 的x1，x2，有|x1- x2|min = π
3 ，则φ = (
)
A.
π
12
B. π
6
C. π
4
D. π
3
4. 已知函数f(x) = 2cos(ωx + φ) - 1(ω > 0，|φ| < π) 的一个零点是x = π
4 ，当x = π
3 时函数f(x) 取最
大值，则当ω 取最小值时，函数f(x) 在- π
12 , π
12




上的最大值为(
)
A. - 2
B.
3
2
C. - 3
2
D. 0
5. 已知函数f(x) = sin(ωx + φ) ω>0，φ∈0，π
2






的图象经过点0, 1
2


，若关于x 的方程f(x) =-1
在
π
6 ，π




上恰有一个实数解，则ω 的取值范围是(
)
A.
4
3 ，10
3



B.
4
3 ，8




C.
10
3 ，20




D.
4
3 ，20




6. (2021 长郡中学高三月考) 将函数f(x) = cosx 的图象先向右平移5
6 π 个单位长度，再把所得函数图
象的横坐标变为原来的1
ω (ω > 0) 倍纵坐标不变得到函数g(x) 的图象．若函数g(x) 在
π
2 , 3π
2


上没
有零点，则ω 的取值范围是(
)
A.
0, 2
9



∪
2
3 , 8
9




B.
0, 2
9



C.
0, 2
9



∪
8
9 ,1




D. (0，1]
45
第二章
三角函数篇
7. 已知函数f x


= 2sinωx(其中ω > 0)，若对任意x1 ∈- 3π
4 ,0



，存在x2 ∈0, π
3



，使得f x1


=
f x2


，则ω 的取值范围为(
)
A. ω ≥3
B. 0 < ω ≤3
C. 0 < ω ≤9
2
D. ω ≥9
2
8. 已知函数f(x) = sin ωx+ π
3


，(ω > 0) 在区间- 2π
3 , 5π
6




上是增函数，且在区间[0，π] 上恰好取
得一次最大值1，则ω 的取值范围是(
)
A.
0, 1
5



B.
1
2 , 3
5




C.
1
6 , 1
5




D.
1
2 , 5
2



9. 已知函数f(x) = Asin(ωx + φ) A>0，ω>0，|φ|< π
2


，x =- π
4 是函数的一个零点，且x = π
4 是其
图象的一条对称轴．若
π
9 , π
6


是f(x) 的一个单调区间，则ω 的最大值为(
)
A. 18
B. 17
C. 15
D. 13
10. 已知函数f(x) = sin(ωx + φ) ω>0，|φ|≤π
2


，x =- π
8 为f(x) 的零点，x = π
8 为y = f(x) 图象的对
称轴，且f(x) 在
π
8 ，5π
24


单调，则ω 的最大值为(
)
A. 6
B. 9
C. 10
D. 12
11. 已知定义在0，π
4




上的函数f(x) = sin ωx- π
6


(ω > 0) 的最大值为ω
3 ，则正实数ω 的取值个数
最多为(
)
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
12. 将函数y = sin x
2 的图象向右平移φ π
2 ≤φ≤π


个单位长度得到f(x) 的图象，若函数f(x) 在区间
0, 2π
3




上单调递增，且f(x) 的最大负零点在区间- 4π
3 ,- 5π
4


上，则φ 的取值范围是(
)
A.
2π
3 ,π



B.
2π
3 , 3π
4


C.
3π
4 ,π



D.
π
2 ,π



13. (2020·全国高三专题练习) 将函数f(x) = sinωx(ω > 0) 的图象向右平移π
12 个单位长度得到函数
y = g(x) 的图象，若函数g(x) 在区间0, π
2




上是单调增函数，则实数ω 可能的取值为(
)
A. 2
3
B. 1
C. 6
5
D. 2
14. 已知函数f(x) = 2sin(ωx + φ) (ω > 0，0 < φ < π)，f
π
8


=
2,f
π
2


= 0，且f(x) 在(0,π) 上单调．
下列说法不正确的是(
)
A. ω = 1
2
B. f - π
8


=
6-
2
2
C. 函数f(x) 在-π,- π
2




上单调递增
D. 函数y = f(x) 的图象关于点
3π
4 ,0


对称
名校冲刺
实战教辅
46
15. 已知函数f x


= sin ωx+φ


,ω > 0, φ


< π
2 ,f - π
8


= 0,f x


≤f 3π
8


恒成立，且函数y = f x


在区间- π
12 , π
24


上单调，那么下列说法中正确的是(
)
A. 存在ϕ，使得f x


是偶函数
B. f 0


= f 3π
4


C. ω 是奇数
D. ω 的最大值为3
16. 已知函数f x


= sin ωx+ϕ


ω>0, ϕ


≤π
2


,x =- π
4 为函数f x


零点，直线x = π
4 为函数f x


的对称轴，且f x


在
π
18 , 5π
36


上单调，则ω 不可能等于(
)
A. 11
B. 9
C. 8
D. 6
17. 已知函数f(x) = sin ωx+φ


(其中，ω > 0，|φ| < π
2 )，f - π
8


= 0，f(x) ≤f 3π
8




恒成立，且f(x)
在区间- π
12 , π
24


上单调，则下列说法正确的是(
)
A. 存在ϕ，使得f(x) 是偶函数
B. f(0) = f 3π
4


C. ω 是奇数
D. ω 的最大值为3
当ω = 3 时，f(0) = sinφ = sin 3π
8 +kπ


，f 3π
4


= sin 9π
4 + π
8 +kπ


= sin 3π
8 +kπ


，
故f(0) = f 3π
4


，综上所述：f(0) = f 3π
4


，B 正确.
18. 已知函数f(x) = sin(ωx + φ) (ω > 0) 的图象经过点
π
3 , 1
2


，且在区间
π
12 , π
6


上单调，则ω , φ
可能的取值为(
)
A. ω = 2, φ = - π
6
B. ω = 2, φ =- π
2
C. ω = 6, φ = π
6
D. ω = 6, φ = 5π
6
19. 函数f(x) = Asin(ωx + φ) (ω > 0,0 < φ < π)，f(x) 图像一个最高点是A π
3 ,2


，距离点A 最近的对
称中心坐标为
π
4 ,0


，则下列说法正确的有(
)
A. ω 的值是6
B. x ∈- π
12 , π
12


时，函数f(x) 单调递增
C. x = 13π
12 时函数f(x) 图像的一条对称轴
D. f(x) 的图像向左平移ϕ(ϕ > 0) 个单位后得到g(x) 图像，若g(x) 是偶函数，则ϕ 的最小值是π
6
20. 已知函数f(x) = sinωx(ω > 0) 在- π
6 , π
4




上是单调函数，其图像的一条对称轴方程为x = 3π
2 ，
则ω 的值可以是(
)
A. 1
3
B. 2
3
C. 1
D. 5
3
21. (2022·全国模拟) 设ω > 0，函数f(x) =- 3sinωx + cosωx 在区间0, π
2



上有零点，则ω 的值可以
47
第二章
三角函数篇
是(
)
A. 1
6
B. 5
6
C. 1
3
D. 2
3
22. 已知函数了f x


= sin ωx+ π
3


(ω > 0) 在0,2π


上有且仅有6 个零点，则实数ω 的值可能为
(
)
A. 8
3
B. 17
6
C. 3
D. 10
3
23. 已知函数f(x) = 3sin(ωx + φ) (其中ω > 0，-π < φ < π)，若函数f(x) 在区间- π
3 , π
6


上有最小
值而无最大值，且满足f - π
3


=-f
π
6


，则实数φ 的取值范围是
．
24. 设函数f(x) = sin ωx- π
6


(ω > 0) 的图象经过点A(x0，-1) 和点B x0+ π
2 ，1


，且点A 与点B 位
于函数y = f(x) 图象的同一周期内，则ω 的值为
．
25. 已知函数f(x) = sin(ωx + φ) (ω > 0) 满足f(1) = f(3) = f(9) = m，且f(x) 在(3,9) 上无最小值，则
ω =
，函数f(x) 的单调减区间为
．
26. 已知将函数f(x) = sin(ωx + φ) 0<ω<6,- π
2 <φ< π
2


的图象向右平移π
3 个单位长度得到函数
g(x) 的图象，若f(x) 和g(x) 的图象都关于x = π
4 对称，则ω ∙φ =
．
27. 函数f(x) = sin(ωx + φ) (ω > 0，x ∈R) 满足：f
π
6


= 1,f
π
3


= 0，且f x


在
π
6 , π
4


上具有单调
性，则满足条件的ω 取值个数为
．
28. 已知函数f(x) = sin ωx+ π
6


+ 1
2 (ω > 0)，点P，Q，R 是直线y = m(m > 0) 与函数f(x) 的图象
自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ| = |QR| = 2π
3 ，则ω + m =
．
29. 将函数f(x) = cos2x 图象向左平移φ 0<φ< π
2


个单位后得到函数g(x) 的图象，若函数g(x) 在区
间- π
6 ，π
6




上单调递减，且函数g(x) 的最大负零点在区间- π
6 ，0


上，则φ 的取值范围是
．
30. 已知ω ∈N *，将f(x) = asinωx + bcosωx 的图象向右平移π
2 个单位，得到的图象与y = f(x) 的图
象关于x = 0 对称，且函数y = f(x) 在
5π
6 ，π


上不单调，则ω 的最小值为
．
名校冲刺
实战教辅
48
第三章
解三角形核心解题方法
第1讲
解三角形中边角互化的条件
典例讲解· 掌握方法
1
(2020 - 2021 湖南师大附中高三月考) ①sinB - sinC = sin(A - C)；②
3c
acosB = tanA +
tanB；③2acosA = bcosC + ccosB，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角
形存在，求出b + c 的最大值；若问题中的三角形不存在，请说明理由．
问题：已知锐角ΔABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，若a = 2，
，求b + c 取值范围．
2
在①asinC = csin A+ π
3


，②b = acosC +
3
3 csinA，③acosB + bcosA = 2ccosA．
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，△ABC 外接圆面积为4
3 π，sinB = 2sinC，
且
，求△ABC 的面积．
3
在①2acosC + c = 2b ，②cos 2 B-C
2
- cosBcosC = 3
4 ，③(sinB + sinC ) 2 = sin 2A +
3sinBsinC 这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．
在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1) 求角A 的大小；
(2) 若a = 2，求△ABC 面积的最大值．
49
第三章
解三角形篇
第2讲
射影定理
典例讲解· 掌握方法
1
(2017• 新课标2)△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若2bcosB = acosC + ccosA
则B =
．
2
(2020• 新高考)△ABC 的内角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，向量m= ( 3 , -1)，n=
(cosA,sinA)，若m⊥n，且acosB + bcosA = csinC，则角A、B 的大小分别为
(
)
A. π
6 ，π
3
B. 2π
3 ，π
6
C. π
3 ，π
6
D. π
3 ，π
3
3
在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c．已知a ∈
6
2 ，2


，b = 1，且abcosC +
ccosA = abc，则cosB 的取值范围为(
)
A.
7
12 ，3
4


B.
7
12 ，2
3


C.
0, 3
4


D.
0, 2
3


4
在△ABC，内角A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，asinBcosC + csinBcosA = 1
2 b，且a >
b，则∠B = (
)
A. π
6
B. π
3
C. 2π
3
D. 5π
6
巩固练习· 融会贯通
1. 设△ABC，bcosC + CcosB = asinA，则△ABC 的形状为(
)
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定
2. 在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，则acosB + bcosA 等于(
)
A. a+b
2
B. b
C. c
D. a
3. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别是a ，b ，c ，若3bsinA = ccosA + acosC ，则sinA =
；cos2A =
．
4. 在三角形ABC 中，角A、B、C 所对应的边分别为a、b、c，已知acosB + bcosA = 3a，则c
a =
．
5. 已知a，b，c 分别是△ABC 三个内角A，B，C 的对边，且2acosC = bcosC + ccosB．
(1) 求角C 的大小；
(2) 若c = 2，ΔABC 的周长为6，求该三角形的面积．
名校冲刺
实战教辅
50
6. 在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且4sinA-
7cosC
c
=
7cosB
b
．
(1) 求sinB 的值；
(2) 若a，b，c 成等差数列，且公差大于0，求cosA - cosC 的值．
7. 已知a，b，c 分别为△ABC 三个内角A，B，C 的对边，acosC +
3asinC - b - c = 0．
(1) 求A；
(2) 若边b，c 是方程x2- 2 3x + 2 = 0 的两根，求边a 的长及ΔABC 的面积．
51
第三章
解三角形篇
第3讲
解三角形中的最值和范围问题
典例讲解· 掌握方法
1
(2022·新高考Ⅰ卷) 记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
cosA
1+sinA =
sin2B
1+cos2B ．
(1) 若C = 2π
3 ，求B；
(2) 求a2+b2
c2
的最小值．
2
(2021 秋• 雅礼集团新高二开学考) 在锐角ΔABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
cosB +
3sinB = 2，cosB
b
+ cosc
c
= 2sinA
3sinc ．
(1) 求角B 的大小和边长b 的值；
(2) 求ΔABC 面积最大值．
3
(2021·江苏) 已知f(x) = sin2 x
4 - 2cos2 x
4 +
3sin x
4 cos x
4 ，x ∈R.
(1) 求函数y = f(x) 的单调减区间；
(2)△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知f B


=- 1
2 ,b =
3 ，求△ABC 周长的取值
范围.
4
在①(sinB + sinC)2 = sin2A + 3sinBsinC，②2c = 2acosB + b，③bcosC + ccosB - 2acosA
= 0 这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题. 在△ABC 中，内角A，B，C 的对边
长分别为a，b，c，且
.
(1) 求角A 的大小；
(2) 若△ABC 是锐角三角形，且b = 2，求边长c 的取值范围.
(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)
5
在锐角ΔABC 中，c = 2, 3a = 2csinA.
(1) 若ΔABC 的面积等于
3 ，求a,b；
(2) 求ΔABC 的面积的取值范围.
6
ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c，已知asin A+C
2
= bsinA．
(1) 求B；
(2) 若ΔABC 为锐角三角形，且c = 1，求ΔABC 面积的取值范围．
巩固练习· 融会贯通
名校冲刺
实战教辅
52
1. 已知在△ABC 中，内角A，B，C 的对边长分别为a，b，c，b =
3.
(1) 若C = 5π
6 ，△ABC 的面积为
3
2 ，求c；
(2) 若B = π
3 ，求2a - c 的取值范围.
2. 在①b = 4，②cosB =-
5
5 ，③(b2 + c2 - a2)sinA =
3bccosA(A 为锐角)．这三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sin(A + B) 的值；若问题中的三角形不存在，说明
理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a =
2 ，c =
10 ，
？(注：
如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．)
3. △ABC 内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若a = 2，且
2sinA =
3cosA.
(1) 求A 的值，并求△ABC 面积的最大值；
(2) 求b + c 的取值范围.
4. 已知函数f(x) = 2 3sinxcosx + 2cos2x - 1.
(1) 求函数y = f(x) 的单调减区间；
(2) 在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c. 已知(3a - c)cosB = bcosC，f C
2


= 2，求cosA
的值.
5. 函数f(x) = Asin(ωx + φ) (A > 0,ω > 0,0 < φ < π) 的部分图象如图所示, 又函数g x


= f x+ π
8


.
(1) 求函数g x


的单调减区间；
(2) 设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 又c =
3, 且锐角C 满足g C


=-1, 若sinB =
2sinA, 求a + b 的值.
6. 已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且c
b < cosA．
(1) 求证：B 是钝角；
(2) 请从下列四个条件中选择三个；
①sinA =
2
2 ；②a = 2；③c =
2 ；④sinC =
3
2 ．
是否存在△ABC 满足您选择的这三个条件，若存在，求边长b 的值；若不存在，请说明理由．
53
第三章
解三角形篇
7. (2019·江苏高考真题) 在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．
(1) 若a = 3c，b =
2 ，cosB = 2
3 ，求c 的值；
(2) 若sinA
a
= cosB
2b
，求sin B+ π
2


的值．
8. (2021·湖南长沙一中高三月考) 已知a，b，c 分别是△ABC 内角A，B，C 的对边，满足sinA
sinC =
a2+4
4c
.
(1) 求a 的值；
(2) 若△ABC 的外接圆的圆心O 在△ABC 的内部，S△OBC =
3
3 ，b + c = 4，求角A，B，C.
名校冲刺
实战教辅
54
第4讲
解三角形中建立方程的思路
典例讲解· 掌握方法
题型1
向量思想
1
已知a，b，c 分别为ΔABC 三个内角A，B，C 的对边，2b =
3asinB + bcosA,c = 4．
(1) 求A；
(2) 若D 是BC 的中点，AD =
7 ，求ΔABC 的面积．
2
(2021 新高考) 记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知b2 = ac，点D 在边AC
上，BDsin∠ABC = asinC.
(1) 证明：BD = b；
(2) 若AD = 2DC，求cos∠ABC．
3
(2023• 长郡中学高三第一次月考) 如图，在梯形ABCD 中，AB ⎳CD，AB = 2，CD = 5，
∠ABC = 2π
3 ．
(1) 若AC = 2 7 ，求梯形ABCD 的面积；
(2) 若AC ⊥BD，求tan∠ABD．
题型2
互补角思想
4
已知a，b，c 分别为ΔABC 三个内角A，B，C 的对边，2b =
3asinB + bcosA,c = 4．
(1) 求A；
(2) 若D 是BC 的中点，AD =
7 ，求ΔABC 的面积．
5
(2021 新高考) 记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知b2 = ac，点D 在边AC
上，BDsin∠ABC = asinC.
(1) 证明：BD = b；
(2) 若AD = 2DC，求cos∠ABC．
题型3
大小三角形中共角（边）思想
6
(2021 新高考) 记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知b2 = ac，点D 在边AC
上，BDsin∠ABC = asinC.
55
第三章
解三角形篇
(1) 证明：BD = b；
(2) 若AD = 2DC，求cos∠ABC．
7
在ΔABC 中，D 为BC 中点，cos∠BAD = 2 5
5
,cos∠CAD = 3 10
10
．求：
(1)∠BAC 的大小；
(2)∠ABC 的大小和AC
AD 的值．
8
(2023 届长郡中学高三第一次月考) 如图，在梯形ABCD 中，AB ⎳CD，AB = 2，CD = 5，
∠ABC = 2π
3 ．
(1) 若AC = 2 7 ，求梯形ABCD 的面积；
(2) 若AC ⊥BD，求tan∠ABD．
9
(2021·湖南长郡中学高三开学考) 在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，D 在BC
边上，且BD = 2DC，若sin2A + sin2C - sin2B = 2
3 sinAsinC，c = 2.
(1) 求sinB 的值；
(2) 设∠BAD = α，∠DAC = β，若△ADC 的面积为2 2
3
，求sinα
sinβ 的值.
题型4
共边模式处理思想在四边形中的应用
10 “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，
附近没有一个大人，我是说，除了我．”
《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄
托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块平面四边形ABCD 的麦田里成为守望者．如图所
示，为了分割麦田，他将B，D 连接，经测量知AB = BC = CD =
6 ，AD = 3 2．
(1) 霍尔顿发现无论BD 多长，3cosA - cosC 都为一个定值，请你证明霍尔顿的结论，并求出这
个定值；
(2) 霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系，记△ABD 与△CBD 的
面积分别为S1和S2，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出S2
1 + S2
2 的最大值．
名校冲刺
实战教辅
56
11
如图，A、B、C、D 为平面四边形ABCD 的四个内角．
(1) 证明：tan A
2 = 1-cosA
sinA
；
(2) 若A + C = 180°，AB = 6，BC = 3，CD = 4，AD = 5，求tan A
2 + tan B
2 + tan C
2 + tan D
2 的
值．
12
(2021·江苏·高二月考) 如图，四边形ABCD 的四个顶点共圆，cos∠ABD = 5
13 ，AB = 14，
AD = 15.
(1) 求BD 和sinA 的值；
(2) 求四边形ABCD 的周长的最大值.
题型5
三角形中的中线问题
13
△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知4acos2 A+C
2
= a2+ c2- b2．
(1) 求B；(2) 若c = 3，且AC 边的中线BM =
13
2
，求a 的值．
14
在△ABC 中，内角A,B,C 的对边长分别为a,b,c，若b2+ c2- a2= bc.
(1) 求角A 的大小；
(2) 若a =
3 ，求BC 边上的中线AM 的最大值.
题型6
角平分线定理
15
(2021• 江苏) 在ΔABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，∠ABC = 120°，∠ABC 的平
分线交AC 于点D，且BD = 1，则4a + c 的最小值为
．
16
在中△ABC ，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，∠ABC = 120°，BD ⊥BC 交AC 于点D，
且BD = 1，则2a + c 的最小值为
．
17
(2015• 新课标2)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积
的2 倍．
57
第三章
解三角形篇
(1) sin∠B
sin∠C ；
(2) 若AD = 1，DC =
2
2 ，求BD 和AC 的长．
18
如图，在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，bcosC = a，点M 在线段AB 上，且
∠ACM = ∠BCM．若b = 6CM = 6，则cos∠BCM = (
)
A.
10
4
B. 3
4
C.
7
4
D.
6
4
19
(2021• 江苏模拟) 在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，∠ABC = 2π
3 ，∠ABC 的
平分线交AC 于点D，BD = 1，则a + c 的最小值为
．
20
在△ABC 中，内角A，B，C 对的边分别为a，b，c，∠ABC = 2π
3 ，BD 平分∠ABC 交AC 于
点D，BD = 2，则△ABC 的面积的最小值为(
)
A. 3 3
B. 4 3
C. 5 3
D. 6 3
题型7
解三角形的思想在圆锥曲线中应用
解三角形思想在圆锥曲线中只要用到正余弦定理建立方程，从而得到对应线段的关系.
21
(2019• 新课标1) 已知椭圆C 的焦点为F1(-1,0)，F2(1,0)，过点F2 的直线与椭圆C 交于A，B
两点．若|AF2| = 2|F2B|，|AB| = |BF1|，则C 的方程为(
)
A. x2
2 + y2= 1
B. x2
3 + y2
2 = 1
C. x2
4 + y2
3 = 1
D. x2
5 + y2
4 = 1
22
已知双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点分别为F1,F2，过原点的直线与双曲线
C 交于A，B 两点，若∠AF2B = 60°，△ABF2的面积为
3a2，则双曲线的离心率为(
)
A.
5
2
B. 2 3
3
C. 2
D.
5
23
已知双曲线C：x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左､右焦点分别为F1，F2，曲线C 上一点P 到x 轴
的距离为
3a，且∠PF2F1= 120°，则双曲线C 的离心率为(
)
A.
13 + 1
B.
13 - 1
C.
13+1
2
D.
13-1
2
24
已知F1，F2 分别为椭圆x2
100 + y2
b2 = 1 0<b<10


的左、右焦点，P 是椭圆上一点，当PF1 ⊥x
轴时，PF1


= 32
5 ．
名校冲刺
实战教辅
58
(1) 求椭圆的方程；
(2) 当∠F1PF2= 60°，求△F1PF2的面积．
巩固练习· 融会贯通
1. 在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，∠ABC = 120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D，
且BD = 2，则9a + c 的最小值为(
)
A. 12
B. 32
C. 24
D. 18
2. 在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知∠ABC = 120∘，∠ABC 的平分线交AC 于点
D，且BD = 1．有以下四个结论：
①1
a + 1
c = 1；②ac 的最小值为2；③ac + 1
ac 的最小值为2；④a + 2c + ac 的最小值为5 + 2 6．
其中所有正确结论的编号为(
)
A. ①③④
B. ②④
C. ①③
D. ①④
3. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120° 的扇形AOB，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一
条平行于AO 的小路CD．已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min，从D 沿着DC 走到C 用了3
min．若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为
m．
A. 50 3
B. 50 5
C. 50 7
D. 50 11
4. (2021·江苏) 在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，B = 2π
3 ，b = 2 3 ，b2 + c2 - a2 =
3bc．若∠BAC 的平分线与BC 交于点E，则AE = (
)
A.
6
B.
7
C. 2 2
D. 3
5. 已知△ABC 中，D 是BC 边上的点，AD 平分∠BAC，且△ABD 面积是△ADC 面积的2 倍. 若AD
= 1,DC =
2
2 ，则AC 的长为(
)
A. 1
B. 2
C.
2
D.
3
6. 已知F1，F2 分别为椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0


的左､右焦点，其离心率为圆4x2 + 4y2 - 8x + 1 =
0 的半径，A 为C 上一点，∠F1AF2 = 60∘，△F1AF2 的面积为8 3
3
，则以C 的四个顶点为顶点的四边形
的面积为(
)
A. 16
B. 18
C. 32
D. 48
59
第三章
解三角形篇
7. 如图，F1，F2 是双曲线l: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点，过F1 的直线与双曲线左、右两支分
别交于点P，Q．若F1Q


= 5F1P


，M 为PQ 的中点，且F1Q


⊥F2M


，则双曲线的离心率为(
)．
A.
14
2
B.
7
2
C.
2
D. 2
8. 已知F1,F2 是双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左､右焦点，过F1 的直线l 与双曲线的左､右两支分
别交于点A,B，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为(
)
A.
2
B.
3
C.
6
D.
7
9. 已知F1、F2 是双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0


的左、右焦点，过F1 的直线l 与双曲线的左、右两支分
别交于点A、B，若AB


= AF2


= 4a，则双曲线的离心率为(
)
A.
3
B. 4
C. 2 3
3
D.
7
11．（多选）已知F1、F2是双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0，b > 0) 的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线
的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且AF2= 1
3 F2B，则该双曲线的离心率为(
)
A.
6
2
B.
3
C. 3 6
2
D. 3 3
10. 设F1，F2 是双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点，O 是坐标原点，过F2 作C 的一条渐
近线的垂线，垂足为P. 若PF1


=
6|OP|，则下列说法正确的是(
)
A. F2P


= b
B. 双曲线的离心率为
3
C. 点P 在直线x =
3
3 a 上
D. 双曲线的渐近线方程为y =± 3x
11. 在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，∠ABC = 120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D，
且BD = 2，则a + 9c 的最小值为
．
12. (2022·全国) 在ΔABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，∠ABC = 90°，∠ABC 的平分线交
AC 于点D．若a + 4c 的最小值为9，则BD =
．
13. (2021·全国) 已知双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 与双曲线号y2
b2 - x2
a2 = 1(其中a > 0，b > 0)，设连接它们的
名校冲刺
实战教辅
60
顶点构成的四边形的面积为S1，连接它们的焦点构成的四边形的面积为S2，则S1
S2
的最大值为
．
14. 已知F1,F2 是双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a,b > 0) 的左、右焦点，过F1 的直线l 与双曲线的左、右两支分别
交于点A,B. 若△ABF2 是以AF2 为底边的等腰三角形，且cos∠ABF2 = 1
9 ，则双曲线的离心率为
.
15. 双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0


的左、右焦点分别为F1 -c,0


、F2 c,0


，过F1 且斜率为
3 的直
线与双曲线的左、右两支分别交于点A、B(B 在右侧)，AF2 的中点为D，若BD ⊥AF2，则该双曲线的
离心率是
.
16. (2021·浙江) 已知双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点分别为F1,F2，直线l 过左焦点F1
且与双曲线的左支交于A,B 两点，且满足AF1


= 3 BF1


,|AB| = BF2


，则双曲线C 的离心率为
．
17. 已知双曲线E: x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0


的左、右焦点分别为F1、F2，过原点的直线与E 的左、右两
支分别交于B、A 两点，直线AF2 交双曲线E 于另一点C(A、C 在F2 的两侧). 若F2C


= 3 AF2


，且
∠BF2C = 60∘，则双曲线E 的离心率为
.
18. 已知双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左，右焦点分别为F1、F2，过点F2 作倾斜角为θ 的直线l
交双曲线C 的右支于A，B 两点，其中点A 在第一象限，若AB


= AF1


，且双曲线C 的离心率为2，则
cosθ =
．
19. 在四边形ABCD 中，AB ⎳CD，AB = 2 6,CD =
6,cosA =
6
3 ,cos∠ADB = 1
3 .
(1) 求cos∠BDC，
(2) 求BC 的长及△BCD 的面积
20. 如图平面四边形ABCD 中，∠BAD = 60∘，BD =
7 ，sin∠ABD =
21
7
.
(1) 求△ABD 的面积；
(2) 若∠BAD + ∠BCD = 180∘，求BC + CD 的取值范围.
61
第三章
解三角形篇
21. (2022·全国高三专题练习) 如图，在四边形ABCD 中，已知AB = 13，AC = 10，AD = 5，CD =
65 ，AB

·AC


= 50.
(1) 求cos∠BAC 的值；
(2) 求sin∠CAD 的值；
(3) 求△BAD 的面积．
22. 从①△ABC 的面积S = 2；②AD ⊥CD 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解.
如图，在平面四边形ABCD 中，AB = CD = 2，B = 3π
4 ，对角线AC 平分∠BAD，且
，求线段
AD 的长.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
23. 如图，在四边形ABCD 中，∠D = 2∠B，且AD = 1，CD = 3，cosB =
3
3 .
(1) 求AC 的长；
(2) 求四边形ABCD 面积的最大值.
24. (2021·浙江·高三二模) 已知△ABC 中，AB = 2，AC = 1，D 为BC 边上的点．
(1) 若D 为BC 的中点，且∠BAC = 120°，求线段AD 的长；
(2) 若AD 平分∠BAC，求线段AD 长的取值范围．
名校冲刺
实战教辅
62
第5讲
解三角形和基本不等式、函数的综合
典例讲解· 掌握方法
1
(2021·长沙市·湖南师大附中高一月考) 目前，中国已经建成全球最大的5G 网络，无论是大山
深处还是广袤平原，处处都能见到5G 基站的身影. 如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项
上的一座5G 基站AB，已知基站高AB = 50m，该同学眼高1.5m(眼睛到地面的距离)，该同学在初
始位置C 处(眼睛所在位置) 测得基站底部B 的仰角为37°，测得基站顶端A 的仰角为45°.
(1) 求出山高BE(结果保留整数)；
(2) 如图，当该同学面向基站AB 前行时(保持在同一铅垂面内)，记该同学所在位置M 处(眼睛所
在位置) 到基站AB 所在直线的距离MD = xm，且记在M 处观测基站底部B 的仰角为α，观测基
站顶端A 的仰角为β. 试问当x 多大时，观测基站的视角∠AMB 最大?
参考数据：sin8° ≈0.14，sin37° ≈0.6，sin45° ≈0.7，sin127° ≈0.8.
2
(2022 长沙一中高三月考10)ΔABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知asin A+C
2
=
bsinA．
(1) 求B；(2) 若点D 在边AC 上(不与A，C 重合)
，BD =
3 ，求ΔABC 面积的最值．
请在①AD = DC；②∠ABD = ∠DBC；③BD ⊥AC 这三个条件中选择一个，补充在上面的横线
上，并完成解答．
3
(2022 长沙一中高三月考7) 已知函数f(x) =
3
2 sin(ωx + φ) + sin2 ωx+φ
2


- 1
2 (ω > 0,0 <
φ < π) 为奇函数，且f(x) 图象的相邻两对称轴间的距离为π．
(1) 求f(x) 的解析式；(2)ΔABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
f
π
2 +C


c
+
f
π
2 -B


b
= 1
a ，求角A 的取值范围．
4
(2022·湖南·高一期末) 在△ABC 中，∠C = π
2 ，BC = 4,AC = 4 3 ，若点D、E、F 分别为CB,
BA,AC 上的点，且△DEF 为等边三角形.(1) 若点D 为线段CB 中点，求△DEF 的边长；
(2) 若点D 为线段CB 上一动点，求△DEF 面积的取值范围.(提示：tan2θ + 1 =
1
cos2θ
)
63
第三章
解三角形篇
5
(2020 - 2021 学年湖南省长沙一中高一) 从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱(简
称“孔方兄”) 是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边
框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内
部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如
图2 所示，小圆直径1 厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形(边长比孔的边长
小)，每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．
设∠OAB = θ，五个正方形的面积和为S．
(1) 求面积S 关于θ 的函数表达式，并求tanθ 的范围；
(2) 求面积S 最小值，并求出此时tanθ 的值．
6
如图1 所示，一条直角走廊宽为a(m)，a>0


(1) 若位于水平地面上的一根铁棒在此直角走廊内，且∠PEF = θ，试求铁棒的长l；
(2) 若一根铁棒能水平地通过此直角走廊，求此铁棒的最大长度；
(3) 现有一辆转动灵活的平板车，其平板面是矩形，它的宽AD 为b(m) (0 < b < a) 如图2. 平板车
若想顺利通过直角走廊，其长度l 不能超过多少米？
7
(2022 长郡高三月考8) 法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：
“以任意三
角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角
形的顶点”．如图，在ΔABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知acos(B - C) = cosA
(2 3 bsinC - a)．以AB，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1，O2，
名校冲刺
实战教辅
64
O3．
(1) 求A；
(2) 若a =
3 ，△O1O2O3的面积为7 3
12 ，求ΔABC 的周长．
巩固练习· 融会贯通
1. 一幢高楼上安放了一块高约10 米的LED 广告屏，一测量爱好者在与高楼底部同一水平线上的C
处测得广告屏顶端A 处的仰角为31.80°，再向大楼前进20 米到D 处，测得广告屏顶端A 处的仰角
为37.38° (人的高度忽略不计)．
(1) 求大楼的高度(从地面到广告屏顶端) (精确到1 米)；
(2) 若大楼的前方是一片公园空地，空地上可以安放一些长椅，为使坐在其中一个长椅上观看广告屏
最清晰(长椅的高度忽略不计)，长椅需安置在距大楼底部E 处多远？已知视角∠AMB(M 为观测者
的位置，B 为广告屏底部) 越大，观看得越清晰．
2. (2019 年全国统一高考数学试卷(新课标Ⅲ))ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c，已知
asin A+C
2
= bsinA．(1) 求B；(2) 若ΔABC 为锐角三角形，且c = 1，求ΔABC 面积的取值范围．
3. (2022 一中高三月考5) 如图，在平面四边形ABCD 中，BC ⊥CD，AC =
3 ，AD = 1，∠CAD =
30°．
(1) 求∠ACD；
(2) 若ΔABC 为锐角三角形，求BC 的取值范围．
65
第三章
解三角形篇
4. (2022 一中高三月考7) 已知函数f(x) =
3
2 sin(ωx + φ) + sin2 ωx+φ
2


- 1
2 (ω > 0,0 < φ < π) 为
奇函数，且f(x) 图象的相邻两对称轴间的距离为π．
(1) 求f(x) 的解析式；(2)ΔABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
f
π
2 +C


c
+
f
π
2 -B


b
= 1
a ，求角A 的取值范围．
5. (2022 一中高三月考9) 在ΔABC 中、内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，且
3 sinC + cosC =
sinB+sinC
sinA
．
(1) 求角A；
(2) 若ΔABC 是锐角三角形，且c = 4，求b 的取值范围．
6. (2022 学年湖南省长沙市雅礼中学高三第五次月考数学试卷) 如图所示，扇形AOB，圆心角∠AOB
的大小等于π
3 ，半径为2，在半径OA 上有一动点C，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB

于点P．
(1) 若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；
(2) 设∠COP = θ，求ΔCOP 面积的最大值及此时θ 的值．
7. (师大附中2021 届三模) 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造
一个观景台P，已知射线AB，AC 为两边夹角为120° 的公路(长度均超过
3 千米)，在两条公路AB，
AC 上分别设立游客上下点M ，N ，从观景台P 到M ，N 建造两条观光线路PM ，PN ，测得AM =
3
千米，AN =
3 千米．(1) 求线段MN 的长度；(2) 若∠MPN = 60°，求两条观光线路PM 与PN 之和
的最大值．
8. (长郡中学2021 届高三第四次月考联考) 某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造
一个浅水滩，并在A、B、C、D 四个位置建四座观景台，在凸四边形ABCD 中，AB =
3 千米．AD
= BC = CD = 1 千米．(1) 用cosA 表示cosC ；(2) 现要在A、C 两处连接一根水下直管道，已知
cosA =
3
6 ，问最少应准备多少千米管道(结果可用根式表示)．
名校冲刺
实战教辅
66
67
第三章
解三角形篇
第6讲
托勒密定理（选讲）
典例讲解· 掌握方法
1
如图，在凸四边形ABCD 中，AB = 1，BC =
3 ，AC ⊥CD，AC = CD，当∠ABC 变化时，对
角线BD 的最大值为
．
2
如图，半圆O 的半径为1，A 为直径延长线上一点，OA = 2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一
边作等边△ABC，设∠AOB = θ．线段OC 长度的最大值为
，此时θ 的值为
．
3
△ABC 中，AB =
2 ，AC = 1，以B 为直角顶点作等腰直角△BCD(A，D 在BC 两侧)，当
∠BAC 变化时，线段AD 的长度最大值为
．
4
在平面四边形ABCD 中，AB = 1，AC =
5 ，BD ⊥BC ，BD = 2BC ，则AD 的最小值为
．
5
如图，为了检测某工业区的空气质量，在点A 处设立一个空气监测中心(大小忽略不计)，在其
正东方向点B 处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点C 和点D 处，再分别安装一
套监测设备，且满足AD = 2km,AB = 4km,BD = BC，∠DBC = 90°，设∠DAB = θ．
(1) 当θ = 2π
3 ，求四边形ABCD 的面积；
(2) 当θ 为何值时，线段AC 最长．
6
如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA = 2，B 为半圆上任意一点，以AB 为
一边作等边三角形ABC. 设∠AOB = θ.
名校冲刺
实战教辅
68
(1) 当θ = 5π
6 ，求四边形OACB 的面积；
(2) 当θ 为何值时，线段OC 最长并求最长值.
69
第四章
圆锥曲线篇
第四章
圆锥曲线的核心解题方法
第1讲
轨迹方程与椭圆相关性质的应用
典例讲解· 掌握方法
题型1
轨迹方程的求法
1
已知△ABC 的周长是18，A(−4,0),B(4,0)，求点C 的轨迹方程.
2
方程
(x-2)2+y2 +
(x+2)2+y2 = 8，化简的结果是(
)
A. x2
16 + y2
12 = 1
B. x2
16 + y2
4 = 1
C. x2
12 + y2
16 = 1
D. y2
25 + x2
16 = 1
3
(2021·全国) 一动圆过定点A(1,0)，且与定圆C:(x + 1)2 + y2 = 16 相切，求动圆圆心的轨迹方
程.
4 （2016 卷I 理）设圆x2 + y2 + 2x - 15 = 0 的圆心为A，直线l 过点B 1,0


且与x 轴不重合，l 交
圆A 于C,D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E，证明EA


+ EB


为定值，并写出点E 的轨
迹方程.
5
已知F1(-1,0),F2(1,0)，在圆(x + 1)2 + y2 = 16 上任取一点P 连接PF2，作线段PF2 的垂直平分
线L 交PF1于点M ，求点M 的轨迹C 的方程.
6
已知点A,B 的坐标分别是(0, -1)，(0,1)，直线AM ,BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为
- 1
2 . 求点M 轨迹C 的方程。
7
在圆x2 + y2 = 4 上任取一点P，过点P 作x 轴的垂线段PD，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，
线段PD 的中点M 的轨迹方程为(
)
A. x2+ y2= 1
B. x2
4 + y2= 1
C. x2+ y2
4 = 1
D. x2+ y2= 2
8
点B 是椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1 上的动点，A(2a，0) 为定点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
9 （2017 卷II 文）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x2
2 + y2 = 1 上，过M 作x 轴的垂线，垂足
为N ，点P 满足NP

=
2NM


，求点P 的轨迹方程.
名校冲刺
实战教辅
70
10
垂直于x 轴的直线交双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1 于M 、N 两点，A1,A2 为双曲线的左、右顶点，求直
线A1M 与A2N 的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
11
过P(3,1) 作圆C:(x - 1)2+ y2= 1 的两条切线PA、PB, 切点分别为A、B.
(1) 求直线AB 的方程；
(2) 若点Q 为圆C 上的任意一点, 求PQ 的中点M 的轨迹方程.
12
直线l 过A(1,1) 与两坐标轴交于M,N 两点，当l 绕A 旋转时，MN 的中点轨迹方程.
13
两条直线x −my −1 = 0 与mx + y −1 = 0 的交点的轨迹方程是.
题型2
椭圆的离心率和简单的几何性质
14
已知直线x - 2y + 2 = 0 经过椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的一个顶点和一个焦点, 那么这个
椭圆的方程为
离心率为
.
15
椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0


的四个顶点为A、B、C、D, 若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦
点, 则椭圆的离心率是(
)
A.
B.
C.
D.
16
设椭圆的两个焦点分别为F1,F2, 过F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P, 若△F1PF2 为等腰直
角三角形, 则椭圆的离心率为
.
17
椭圆x2
12 + y2
3 = 1 的两个焦点为F1,F2，点P 在椭圆上，若线段PF1 的中点在y 轴上，则PF1


是PF2


的
倍。
巩固练习· 融会贯通
1. F1，F2是距离为6 的两定点，动点M 满足|MF1| +|MF2| = 6，则M 点的轨迹是(
)
A. 椭圆
B. 直线
C. 线段
D. 圆
2. 在平面直角坐标系中，A1,A2 两点的坐标分别为(0,1),(0, -1)，直线A1M,A2M 相交于点M 且它们
的斜率之积是- 1
2 ，记动点M 的轨迹为曲线E，求曲线E 的方程.
71
第四章
圆锥曲线篇
3. (2021·全国) 动圆C 与内切于定圆C1:(x + 3)2 + y2 = 32，与定圆C2:(x - 3)2 + y2 = 8 外切，求动圆C
的圆心C 的轨迹方程E.
4. (湖南·雅礼中学) 已知圆M ：x+2 3


2 + y2 = 64 及定点N 2 3,0


，点A 是圆M 上的动点，点B 在
NA 上，点G 在MA 上，且满足NA

= 2NB

，GB

⋅NA

= 0，点G 的轨迹为曲线C，求曲线C 的方程。
5. 如图所示，A 是圆O 内一定点(不与O 重合)，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于
E，则点E 的轨迹是(
)
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
6. 已知点A(6,0),B 是x2+ y2= 4 上任意一点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
7. 方程
(x-2)2+y2 +
(x+2)2+y2 = 10，化简的结果是(
)
A. y2
25 + y2
16 = 1
B. y2
25 + x2
21 = 1
C. x2
25 + y2
4 = 1
D. x2
25 + y2
21 = 1
8. (2017 新课标全国卷Ⅰ文科) 设A、B 是椭圆C：x2
3 + y2
m = 1 长轴的两个端点，若C 上存在点M 满
足∠AMB = 120∘，则m 的取值范围是(
)
A. (0,1] ∪[9, +∞)
B. (0, 3] ∪[9, +∞)
C. (0,1] ∪[4, +∞)
D. (0, 3] ∪[4, +∞)
9. (2017• 新课标Ⅲ) 已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2
为直径的圆与直线bx - ay + 2ab = 0 相切，则C 的离心率为(
)
A.
6
3
B.
3
3
C.
2
3
D. 1
3
10. (2020 江苏) 在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的标准方程为x2
a2 + y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)，右焦点为
F，右准线为l，短轴的一个端点B. 设原点到直线BF 的距离为d1，F 点到l 的距离为d2，若d2 =
6d1，
则椭圆C 的离心率为
.
11. (2014• 四川) 设m ∈R，过定点A 的动直线x + my = 0 和过定点B 的动直线mx - y - m + 3 = 0
交于点P(x,y)．则|PA| ∙|PB| 的最大值是
．
12. (2020• 茂名一模) 在圆x2 + y2 = 4 上任取一点P，过点P 作x 轴的垂线段PD，D 为垂足，当点P 在
名校冲刺
实战教辅
72
圆上运动时，点M 在线段PD 上，且DM


= 1
2 DP

，点M 的轨迹为曲线C1，求曲线C1的方程；
13. (2012• 安徽) 如图，F1、F2 分别是椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶
点，B 是直线AF2与椭圆C 的另一个交点，∠F1AF2= 60°．
(1) 求椭圆C 的离心率；
(2) 已知△AF1B 的面积为40 3 ，求a，b 的值．
14. (2014• 江苏) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F1，F2 分别为椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左、右
焦点，顶点B 的坐标为(0,b)，连接BF2 并延长交椭圆于点A，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C，
连接F1C．
(1) 若点C 的坐标为
4
3 ，1
3


，且BF2=
2 ，求椭圆的方程；
(2) 若F1C ⊥AB，求椭圆离心率e 的值．
73
第四章
圆锥曲线篇
第2讲
双曲线的轨迹形成方案与几何性质
典例讲解· 掌握方法
题型1
跟双曲线有关的轨迹方程问题
1
已知ΔABC 的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，使sinB −sinC = 1
2 sinA，求点A
的轨迹.
2
求满足下列条件的动圆圆心M 的轨迹．
(1) 与⊙C:(x + 2)2+ y2= 2 内切，且过点A(2,0)；
(2) 与⊙C1:x2+ (y - 1)2= 1 和⊙C2:x2+ (y + 1)2= 4 都外切；
(3) 与⊙C1:(x + 3)2+ y2= 9 外切，且与⊙C2:(x - 3)2+ y2= 1 内切．
3
已知点A,B 的坐标分别是(0, -1),(0,1), 直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积为1
2 .
求点M 轨迹C 的方程;
题型2
双曲线渐近线的几何性质
4
已知双曲线的渐近线方程是y =± x
2 , 焦点在坐标轴上且焦距是10 , 则此双曲线的方程为
(
)
5
(2021 - 浙江开学) 已知双曲线C: x2
a2 - y2
b2 1(a > 0,b > 0) 的离心率为
3, 则双曲线C 的渐近
线方程为(
)
A y ±
2x = 0
B
2y ± x = 0
C x ± 2y = 0
D 2y ± x = 0
6
(2021• 甲卷) 点(3,0) 到双曲线x2
16 - y2
9 = 1 的一条渐近线的距离为(
)
A. 9
5
B. 8
5
C. 6
5
D. 4
5
7
过双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF
(O 为原点) 的垂直平分线上，求双曲线的离心率。
8
(2018• 新课标Ⅰ) 已知双曲线C: x2
3 - y2 = 1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与
C 的两条渐近线的交点分别为M ，N．若ΔOMN 为直角三角形，则|MN| = (
)
A．3
2
B．3
C．2 3
D．4
9
已知双曲线C: x2
4 - y2 = 1,P 是C 上的任意点。求证: 点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离
名校冲刺
实战教辅
74
的乘积是一个常数。
10
(2019• 新课标Ⅰ) 已知双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1 的
直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点．若F1A


= AB

，F1B


∙F2B


= 0，则C 的离心率为
．
巩固练习· 融会贯通
1. (2019• 新课标Ⅰ) 双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心
率为(
)
A. 2sin40°
B. 2cos40°
C.
1
sin50°
D.
1
cos50°
2. (2019• 新课标Ⅱ) 设F 为双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直
径的圆与圆x2+ y2= a2交于P，Q 两点．若|PQ| = |OF|，则C 的离心率为(
)
A.
2
B.
3
C. 2
D.
5
3. (2018• 天津) 已知双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与
双曲线交于A，B 两点．设A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1 和d2，且d1 + d2 = 6，则双
曲线的方程为(
)
A. x2
3 - y2
9 = 1
B. x2
9 - y2
3 = 1
C. x2
4 - y2
12 = 1
D. x2
12 - y2
4 = 1
4. (2018• 新课标Ⅲ) 已知双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的离心率为
2 ，则点(4,0) 到C 的渐近
线的距离为(
)
A.
2
B. 2
C. 3 2
2
D. 2 2
5. (2018• 新课标Ⅲ) 设F1，F2 是双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0．b > 0) 的左，右焦点，O 是坐标原点．
过F2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1| =
6|OP|，则C 的离心率为(
)
A.
5
B. 2
C.
3
D.
2
6. (2014• 广东) 若实数k 满足0 < k < 9，则曲线x2
25 -
y2
9-k = 1 与曲线
x2
25-k - y2
9 = 1 的(
)
A. 焦距相等
B. 实半轴长相等
C. 虚半轴长相等
D. 离心率相等
7. (2019• 新课标Ⅰ) 已知双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1 的直线
与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点．若F1A


= AB

，F1B


∙F2B


= 0，则C 的离心率为
．
75
第四章
圆锥曲线篇
8. (2021• 乙卷) 已知双曲线C: x2
m - y2 = 1(m > 0) 的一条渐近线为
3 x + my = 0，则C 的焦距为
．
9. (2021• 新高考Ⅱ) 已知双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的离心率e = 2，则该双曲线的渐近线方程
为
．
10. (2020• 北京) 已知双曲线C: x2
6 - y2
3 = 1，则C 的右焦点的坐标为
；C 的焦点到其渐近线的
距离是
．
11. (2017• 新课标Ⅰ) 已知双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的右顶点为A，以A 为圆心，b 为半径作
圆A，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M、N 两点．若∠MAN = 60°，则C 的离心率为
．
12. 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：
(1) 与圆C:(x + 2)2+ y2= 2 内切，且过点A(2,0)；
(2) 与圆C1:x2+ (y - 1)2= 1 和圆C2:x2+ (y + 12) = 4 都外切．
名校冲刺
实战教辅
76
第3讲
椭圆与双曲线中常见的二级结论
典例讲解· 掌握方法
题型1
椭圆中斜率乘积为定值的三大结论
1
(2013• 新课标Ⅰ) 已知椭圆E: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭
圆E 于A、B 两点．若AB 的中点坐标为(1, -1)，则E 的方程为(
)
A. x2
45 + y2
36 = 1
B. x2
36 + y2
27 = 1
C. x2
27 + y2
18 = 1
D. x2
18 + y2
9 = 1
2
已知椭圆E: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交E 于A，B 两点．若
AB 的中点坐标为(1, -1)，则椭圆E 的离心率为(
)
A.
2
2
B.
3
3
C. 1
2
D. 1
3
题型2
双曲线中斜率乘积为定值的三大结论
3
椭圆x2
2 + y2 = 1 的左、右顶点分别为A1,A2，点P 在椭圆上且直线PA2 斜率的取值范围是
-2,-1


，那么直线PA1斜率的取值范围是(
)
A.
1
4 , 1
2




B.
1
2 , 3
4




C.
1
4 ,1




D.
1
2 ,1




4
(2020·全国·(理)) 已知双曲线C ：x2
4 - y2
3 = 1 的左、右顶点分别为A1、A2，点P 在双曲线C
上，若直线PA2斜率的取值范围是[-2，-1]，则直线PA1斜率的取值范围是(
)
A.
- 4
3 ，- 2
3




B.
- 3
4 ，- 3
8




C.
k2-4
k2+4
, -8k
k2+4


D.
2
3 ，4
3




5
已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0


短轴的端点P 0,b


,Q 0,-b


，长轴的一个端点为M ,AB 为
经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA,PB 的斜率之积等于- 1
4 ，则P 到直线QM 的距离
为
.
6
(2020·全国) 设双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)，M ，N 是双曲线C 上关于坐标原点对称的
两点，P 为双曲线C 上的一动点，若kPM·kPN = 4，则双曲线C 的离心率为
.
7
(2019• 新课标Ⅱ) 已知点A(-2,0)，B(2,0)，动点M(x,y) 满足直线AM 与BM 的斜率之积为
- 1
2 ．记M 的轨迹为曲线C．
(1) 求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
77
第四章
圆锥曲线篇
(2) 过坐标原点的直线交C 于P，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E，连结QE 并延长
交C 于点G．证明：ΔPQG 是直角三角形.
题型3
解椭圆和双曲线中的焦点三角形
8
在平面直角坐标系xOy 中, 已知ΔABC 顶点A(-4,0) 和C(4,0)，顶点B 在椭圆x2
25 + y2
9 = 1
上, 则sinA+sinC
sinB
=
.
9
双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点分别是F1,F2，过F1 作倾斜角为30° 的直线交双
曲线右支于M 点，若MF2垂直于x 轴, 则双曲线的离心率为(
)
A.
6
B.
3
C.
2
D.
3
3
题型4
焦点三角形面积与离心率范围问题
10
已知椭圆x2
25 + y2
16 = 1，F1、F2为焦点，点P 为椭圆上一点，∠F1PF2= 30°，求SΔF1PF2.
11
已知P 是椭圆x2
4 + y2
3 = 1 上的一点，F1、F2 是该椭圆的两个焦点, 若△PF1F2 的内切圆半径
为1
2 , 则PF1

⋅PF2


的值为(
)
A. 3
2
B. 9
4
C. - 9
4
D. 0
12
若椭圆x2
4 + y2
3 = 1 的两个焦点F1、F2，试问: 椭圆上是否存在点P，使∠F1PF2 = 90° ? 存
在, 求出点P 的纵坐标；否则说明理由.
13
已知F1、F2 是椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的两个焦点, 椭圆上一点P 使∠F1PF2 = 90°, 求
椭圆离心率e 的取值范围.
14
已知M(x0,y0) 是双曲线C：x2
2 - y2 = 1 上的一点，F1，F2 是C 的两个焦点，若MF1


⋅MF2


< 0，
则y0的取值范围是(
)
A.
-
3
3 ,
3
3


B.
-
3
6 ,
3
6


C.
3
6 ,
3
6


D.
- 2 3
3
, 2 3
3


名校冲刺
实战教辅
78
题型5
等面积法思想的应用
15
(2022 秋•2023 届长沙市一中高三第一次月考) 定义离心率是
5-1
2
的椭圆为“黄金椭圆”．
已知椭圆：x2
10 + y2
m = 1(10 > m > 0) 是“黄金椭圆”，则m =
. 若“黄金椭圆”C: x2
a2 + y2
b2 =
1(a > b > 0) 两个焦点分别为F1(-c,0)，F2(c，0) (c > 0)，P 为椭圆C 上的异于顶点的任意一点，
点M 是△PF1F2的内心，连接PM 并延长交F1F2于点N ，则|PM|
|MN| =
．
巩固练习· 融会贯通
1. (2020·湖南·长沙一中) 点P 是椭圆x2
25 + y2
16 = 1 上一点，F1,F2 是椭圆的两个焦点，且ΔPF1F2 的内切
圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为(
)
A. 8
3
B. 3
C. 2
D. 5
2
2. (2020·全国) 已知双曲线的两个焦点为F1(- 10 ,0)，F2( 10 ,0)，M 是此双曲线上的一点，且满足
MF


1⋅MF


2= 0，MF


1


⋅MF


2


= 2，则该双曲线的方程是(
)
A x2
9 - y2= 1
B x2- y2
9 = 1
C x2
3 - y2
7 = 1
D x2
7 - y2
3 = 1
3. 已知F1,F2 分别是双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1 的左、右两个焦点．若C 上存在一点P，使得PF1

⋅

PF2




=
2a2，则C 的离心率e 的取值范围是(
)
A
1, 2


B
2,+∞


C
1, 3


D
3,+∞


4. (2020 全国) 已知点P 位于第一象限，双曲线C: x2
4 - y2 = 1 的左、右顶点分别为A1，A2，记直线
PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，若点P 在双曲线C 上，则1
k1
+ 1
k2
的取值范围为(
)
A. [1, +∞)
B. [1,4]
C. [4, +∞)
D. (4, +∞)
5. (2021• 遵义一模) 双曲线x2
9 - y2
27 = 1 上一点P 到右焦点F2 距离为6，F1 为左焦点，则∠F1PF2 的角
平分线与x 轴交点坐标为(
)
A. (-1,0)
B. (0,0)
C. (1,0)
D. (2,0)
6. (多选) (2021• 长郡中学高考一模) 数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂
79
第四章
圆锥曲线篇
亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似
∞的曲线称为“∞曲线”．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点F1(-a,0)，F2(a,0) 距离之积等于a2(a
> 0) 的点的轨迹称为“∞曲线”C．已知点P(x0，y0) 是“∞曲线”C 上一点，下列说法中正确的有
(
)
A.“∞曲线”C 关于原点O 中心对称
B. - a
2 ≤y0≤a
2
C.“∞曲线”C 上满足|PF1| = |PF2| 的点P 有两个
D. |PO| 的最大值为
2a
7. (2021• 长郡中学月考) 已知点A(- 5,0),B( 5,0)，C(-1,0)，D(1,0)，P(x,y)，如果直线PA，PB 的
斜率之积为- 4
5 ，记∠PCD = α，∠PDC = β，则sinα+sinβ
sin(α+β) =
．
8. (2021• 长沙市一中高考一模) 设椭圆C1: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 与双曲线C2: x2
m2 - y2
n2 = 1(m > 0,
n > 0) 的公共焦点为F1，F2，将C1，C2 的离心率记为e1，e2，点A 是C1，C2 在第一象限的公共点，若点
A 关于C2的一条渐近线的对称点为F1，则1
e2
1
+ 1
e2
2
=
．
9. (2017• 全国) 设椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的中心为O，左焦点为F，左顶点为A，短轴的一个
端点为B，短轴长为4，ΔABF 的面积为
5 - 1.
(1) 求a，b；
(2) 设直线l 与C 交于P，Q 两点，M(2,2)，四边形OPMQ 为平行四边形，求l 的方程．
10. (2019• 新课标Ⅱ) 已知F1，F2 是椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的两个焦点，P 为C 上的点，O 为
坐标原点．
(1) 若ΔPOF2为等边三角形，求C 的离心率；
(2) 如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．
11. (2011• 江苏) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，M、N 分别是椭圆x2
4 + y2
2 = 1 的顶点，过坐标原点
的直线交椭圆于P，A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交
椭圆于点B，设直线PA 的斜率为k
(1) 若直线PA 平分线段MN ，求k 的值；
(2) 当k = 2 时，求点P 到直线AB 的距离d；
(3) 对任意k > 0，求证：PA ⊥PB．(提示：利用椭圆直径及斜率关系求解参考例5)
名校冲刺
实战教辅
80
12. (2020• 新课标Ⅰ改编) 已知A，B 分别为椭圆E: x2
a2 + y2 = 1(a > 1) 的左、右顶点，G 为E 的上顶
点，AG


⋅GB

= 8．P 为直线x = 6 上的动点，PA 与E 的另一交点为C，PB 与E 的另一交点为D．
(1) 求E 的方程；
(2) 设AC，AD 斜率分别为k1,k2，求证k1⋅k2为定值．
81
第四章
圆锥曲线篇
第4讲
弦长问题之两点距离的及拓展
典例讲解· 掌握方法
题型1
直线与椭圆双曲线的交点问题
1
已知椭圆4x2+ y2= 1 及直线y = x + m，当直线与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围．
2
设点M 是椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 上一动点，椭圆的长轴长为4 3 ，离心率为
6
3 ．
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 求点M 到直线l1：x + y - 5 = 0 距离的最大值．
3
过P(0,2) 且与双曲线2x2- y2= 1 有且只有一个公共点的直线有(
)
A. 1 条
B. 2 条
C. 3 条
D. 4 条
4
(2022• 甲卷) 记双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的离心率为e，写出满足条件“直线y = 2x
与C 无公共点”的e 的一个值
．
题型2
弦长公式与两点间距离问题
5
已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率e =
6
3 ，焦距是2 2．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 若直线y = kx + 2(k ≠0) 与椭圆交于C、D 两点，|CD| = 6 2
5
，求k 的值．
6
已知椭圆4x2+ y2= 1 及直线y = x + m．
(1) 当直线与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围．
(2) 求被椭圆截得的最长弦所在直线方程．
题型3
弦长公式与两点间距离拓展
7
(2021• 新高考1) 在平面直角坐标系xOy 中，已知点F1(- 17 ，0)，F2( 17 ，0)，点M 满足
|MF1| -|MF2| = 2．记M 的轨迹为C．
(1) 求C 的方程；
(2) 设点T 在直线x = 1
2 上，过T 的两条直线分别交C 于A，B 两点和P，Q 两点，且|TA| ⋅|TB|
= |TP| ⋅|TQ|，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．
8
(2016• 四川) 已知椭圆E: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的
名校冲刺
实战教辅
82
三个顶点，点P
3，1
2


在椭圆E 上．
(1) 求椭圆E 的方程；
(2) 设不过原点O 且斜率为1
2 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A，B，线段AB 的中点为M ，直
线OM 与椭圆E 交于C，D，证明：|MA| ⋅|MB| = |MC| ⋅|MD|.
题型4
圆锥曲线过焦点的弦长公式
9
(2022• 新高考Ⅰ) 已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0)，C 的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离
心率为1
2 ．过F1 且垂直于AF2 的直线与C 交于D ，E 两点，|DE| = 6 ，则ΔADE 的周长是
．
10
(2017• 新课标Ⅰ) 已知F 为抛物线C:y2 = 4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l1，l2，直线
l1与C 交于A、B 两点，直线l2与C 交于D、E 两点，则|AB| +|DE| 的最小值为(
)
A. 16
B. 14
C. 12
D. 10
题型5
两点间距离的综合性问题及方法的选择
11
(2022• 新高考Ⅰ) 已知O 为坐标原点，点A(1,1) 在抛物线C:x2 = 2py(p > 0) 上，过点B(0,
-1) 的直线交C 于P，Q 两点，则(
)
A. C 的准线为y =-1
B. 直线AB 与C 相切
C. |OP| ⋅|OQ| > |OA|2
D. |BP| ⋅|BQ| > |BA|2
题型6
向量数量积凑韦达形式的表达式
12
已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的短轴长等于2，离心率为
3
2 ．
(1) 求椭圆C 的标准方程
(2) 若过点(-3,0) 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，O 为坐标原点，求OM


∙ON


的取值范
围．
13
已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的焦点为F1，F2，离心率为1
2 ，点P 为椭圆C 上一动点，
且△PF1F2的面积最大值为
3 ，O 为坐标原点．
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 设点M(x1，y1)，N(x2，y2) 为椭圆C 上的两个动点，当x1x2 + y1y2 为多少时，点O 到直线MN 的
距离为定值．
巩固练习· 融会贯通
83
第四章
圆锥曲线篇
1. (2022• 新高考Ⅱ) 已知O 为坐标原点，过抛物线C:y2 = 2px(p > 0) 焦点F 的直线与C 交于A，B 两
点，其中A 在第一象限，点M(p,0)．若|AF| = |AM|，则(
)
A. 直线AB 的斜率为2 6
B. |OB| = |OF|
C. |AB| > 4|OF|
D. ∠OAM + ∠OBM < 180°
2. 已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 离心率e =
2
2 ，过左焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于点P，
且|PF| = 2．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 点Q(x,y) 在椭圆上，求x +
2y 的最大值．
3. 已知椭圆C: y2
a2 + x2
b2 = 1(a > b > 0) 的短轴长为2，且椭圆C 的离心率为
2
2 ．
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 过椭圆C 的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求证：1
|AB| +
1
|CD| 为定值．
4. (2016• 新课标Ⅰ文) 在直角坐标系xOy 中，直线l:y = t(t ≠0) 交y 轴于点M ，交抛物线C:y2 =
2px(p > 0) 于点P，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H．
(1) 求|OH|
|ON| ；
(2) 除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．
5. (2010• 新课标) 设F1，F2 分别是椭圆E:x2 + y2
b2 = 1(0 < b < 1) 的左、右焦点，过F1 的直线l 与E 相交
于A、B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2| 成等差数列．
(1) 求|AB|；
(2) 若直线l 的斜率为1，求b 的值．
6. (2021• 新高考2) 已知椭圆C 的方程为x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0)，右焦点为F( 2 ，0)，且离心率为
6
3 ．
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x2 + y2 = b2(x > 0) 相切．证明：M ，N ，F 三点共线
的充要条件是|MN| =
3．
7. (湖南师大附中2021 届高三月考) 已知点P 是圆Q: x+2


2 + y2 = 32 上任意一点，定点R 2，0


，线
段PR 的垂直平分线l 与半径PQ 相交于M 点，当P 在圆周上运动时，设点M 的运动轨迹为Γ.
(1) 求点M 的轨迹Γ 的方程；
(2) 若点N 在双曲线x2
4 - y2
2 = 1(顶点除外) 上运动，过点N ，R 的直线与曲线Γ 相交于A，B，过点
名校冲刺
实战教辅
84
N ，Q 的直线与曲线Γ 相交于C，D，试探究AB


+ CD


是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不
为定值，请说明理由.
8. (2017• 浙江) 如图，已知抛物线x 2 = y ，点A - 1
2 ，1
4


，B
3
2 ，9
4


，抛物线上的点P(x ，y)
- 1
2 <x< 3
2


，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q．
(1) 求直线AP 斜率的取值范围；
(2) 求|PA| ⋅|PQ| 的最大值．
9. 设O 为坐标原点，椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的焦距为4 5 ，离心率为2 5
5
，直线l:y = kx +
m(m > 0) 与C 交于A，B 两点．
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 设点P(0,1)，PA

⋅PB

=-4，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．
10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为F(c,0)，下顶点
为P，过点M 0, b
2


的动直线l 交椭圆C 于A，B 两点．
(1) 当直线l 平行于x 轴时，P，F，A 三点共线，且PA = 3 3
2
，求椭圆C 的方程；
(2) 当椭圆C 的离心率为何值时，对任意的动直线l，总有PA ⊥PB？
O
x
y
A
B
M
l
P
85
第四章
圆锥曲线篇
第5讲
面积问题（基础版）
典例讲解· 掌握方法
题型1
常规面积的计算
1
(2014• 新课标1) 已知点A(0, -2)，椭圆E: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率为
3
2 ，F 是椭圆
的右焦点，直线AF 的斜率为2 3
3
，O 为坐标原点．
(1) 求E 的方程；
(2) 设过点A 的直线l 与E 相交于P，Q 两点，当ΔOPQ 的面积最大时，求l 的方程．
2
(2018 长郡中学月考) 设椭圆M: y2
a2 + x2
b2 = 1(a > b > 0) 经过点P(1, 2)，其离心率e =
2
2 ．
(1) 求椭圆M 的方程；
(2) 直线l:y =
2x + m 交椭圆于A、B 两点，且ΔPAB 的面积为
2 ，求m 的值．
3
(2015 浙江) 已知椭圆x2
2 + y2= 1 上两个不同的点A，B 关于直线y = mx + 1
2 对称．
(1) 求实数m 的取值范围；
(2) 求ΔAOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．
题型2
椭圆与圆综合面积计算
4
(2018• 江苏) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点
3, 1
2


，焦点F1(- 3 ，0)，F2
( 3 ，0)，圆O 的直径为F1F2．
(1) 求椭圆C 及圆O 的方程；
(2) 设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P．
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；
②直线l 与椭圆C 交于A，B 两点．若ΔOAB 的面积为2 6
7
，求直线l 的方程．
名校冲刺
实战教辅
86
5
(2020• 长郡中学模拟) 已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率为
3
2 ，点M(0, 2) 在椭
圆C 上，焦点为F1，F2，圆O 的直径为F1F2．
(1) 求椭圆C 及圆O 的标准方程；
(2) 设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P，且直线l 与椭圆C 交于A，B 两点．记ΔOAB 的面
积为S，证明：S <
3．
题型3
面积问题的向量（坐标）表达
6
(2021 秋• 高二上雅礼中学期中) 已知椭圆C: y2
a2 + x2
b2 = 1(a > b > 0) 的短轴长为2，过下焦点
且与x 轴平行的弦长为2 3
3
．
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 若A，B 分别为椭圆C 的右顶点与上顶点，直线y = kx(k > 0) 与椭圆C 相交于M ，N 两点，求
四边形AMBN 的面积的最大值及此时k 的值．
7
(2022• 新高考Ⅰ) 已知点A(2,1) 在双曲线C: x2
a2 -
y2
a2-1
= 1(a > 1) 上，直线l 交C 于P，Q 两
点，直线AP，AQ 的斜率之和为0．
(1) 求l 的斜率；
(2) 若tan∠PAQ = 2 2 ，求ΔPAQ 的面积．
巩固练习· 融会贯通
1. 已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率为2
3 ，且左顶点到右焦点的距离为5．
(1) 求椭圆方程；
(2) 椭圆上有两点A，B，O 为坐标原点，且AO ⊥BO，证明存在定点M ，使得M 到直线AB 的距离为
定值，并求出定值．
2. 如图，已知椭圆C1: x2
4 + y2= 1 的左、右顶点为A1，A2，上、下顶点为B1，B2，记四边形A1B1A2B2的内
切圆为C2．
(1) 求圆C2的标准方程；
(2) 已知圆C2的一条不与坐标轴平行的切线l 交椭圆C1于P，M 两点．
(i) 求证：OP ⊥OM ；
87
第四章
圆锥曲线篇
(ii) 试探究
1
OP2 +
1
OM 2 是否为定值．
3. (2021• 雅礼中学高三月考) 设椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率e = 1
2 ，椭圆上的点到左焦
点F1的距离的最大值为3．
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 求椭圆C 的外切矩形ABCD 的面积S 的取值范围．
4. (2022 届雅礼中学高三第二次月考) 已知斜率为
3 的直线l 过椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的焦
点以及点(0, -2 3)．椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在直线x = a2
c 上．
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 过点E(-2,0) 的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，且满足OM


⋅ON


= 4 6
3
∙
1
tan∠MON (O 为坐标原
点)，求直线m 的方程．
名校冲刺
实战教辅
88
第6讲
直线参数方程简化弦长计算
典例讲解· 掌握方法
1
(2021 新高考1) 在平面直角坐标系xOy 中，已知点F1 - 17,0


、F2
17,0


，MF1


- MF2


=
2，点M 的轨迹为C.
(1) 求C 的方程；
(2) 设点T 在直线x = 1
2 上，过T 的两条直线分别交C 于A、B 两点和P，Q 两点，且TA


⋅TB


=
TP


⋅TQ


，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.
2
(2016 四川) 已知椭圆E: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形
的3 个顶点，直线l:y =-x + 3 与椭圆E 有且只有一个公共点T．
(1) 求椭圆E 的方程及点T 的坐标；
(2) 设O 是坐标原点，直线l′ 平行于OT，与椭圆E 交于不同的两点A、B，且与直线l 交于点P．
证明：存在常数λ，使得|PT|2= λ|PA| ⋅|PB|，并求λ 的值．
3
(长郡中学月考) 已知动点P 到定直线l:x =-4 的距离比到定点F(2,0) 的距离大2．
(1) 求动点P 的轨迹C 的方程；
(2) 在x 轴正半轴上，是否存在某个确定的点M ，过该点的动直线l 与曲线C 交于A，B 两点，使得
1
|AM|2 +
1
|BM|2 为定值．如果存在，求出点M 坐标；如果不存在，请说明理由．
89
第四章
圆锥曲线篇
第7讲
定点问题之对称性定点问题
典例讲解· 掌握方法
题型1
由坐标轴上的点引出的垂线的定值定点问题
1
已知点A，B 分别在x 轴，y 轴上，|AB| = 3，BM


= 2MA


．
(1) 求点M 的轨迹C 的方程；
(2) 过点N(0,1) 作两条互相垂直的直线l1，l2，与曲线C 分别交于P，Q(不同于点N) 两点，求证：
直线PQ 过定点．
2
(2021• 山东模拟) 已知抛物线C：y2= 4x．
(1) 若C 与圆G：(x - 4)2+ y2= 13 在第一象限内交于M ，N 两点，求直线MN 的方程；
(2) 直线l 过点D(-1，0) 交C 于A，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为E，直线AE 交x 轴于点P，
求证：P 为定点．
3
(2021• 长郡中学高考第一次模拟) 已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的上顶点到右顶点的距离
为
7 ，离心率为1
2 ，过椭圆C 的左焦点F1 作不与x 轴重合的直线MN 与椭圆C 相交于M ，N 两
点，过点M 作直线m:x =-2a 的垂线ME，E 为垂足．
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) ①已知直线EN 过定点P，求定点P 的坐标．
②点O 为坐标原点，求ΔOEN 面积的最大值．
4
(2016 明德中学期末) 已知椭圆M ：x2
a2 + y2
b2 = 1 的离心率为
3 ，且椭圆上一点P 与椭圆的两
个焦点F1，F2满足PF1


+ PF2


= 4．
(1) 求椭圆M 的方程；
(2) 设直线l 与椭圆M 交于A，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC 面
积最大值．
巩固练习· 融会贯通
1. (衡水中学期末) 已知圆C 的圆心为原点O，且与直线x + y + 4 3 = 0 相切．
(1) 求圆C 的方程；
(2) 点P 在直线x = 8 上，过P 点引圆C 的两条切线PA、PB，切点为A、B，试问，直线AB 是否过定
点，若过定点，请求出；若不过定点，请说明理由．
名校冲刺
实战教辅
90
2. (2020• 新课标1) 已知A，B 分别为椭圆E：x2
a2 + y2 = 1(a > 1) 的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG


⋅GB

= 8，
P 为直线x = 6 上的动点，PA 与E 的另一交点为C，PB 与E 的另一交点为D．
(1) 求E 的方程；
(2) 证明：直线CD 过定点．
3. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O，其右焦点为F(1，0)，且点
1, 3
2


在椭圆
C 上．
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M 是椭圆上异于A，B 的任意一点，直线MF 交椭圆C 于另一
点N ，直线MB 交直线x = 4 于Q 点，求证：A，N ，Q 三点在同一条直线上．
4. (2021• 江苏模拟) 已知双曲线C：x2
a2 - y2
b2 = 1，a > b > 0，的两个焦点为F1，F2，一条渐近线方程为
y = bx，
且双曲线C 经过点D( 2,1)．
(1) 求双曲线C 的方程；
(2) 设点P 在直线x = m(y ≠±m，0 < m < 1，且m 为常数) 上，过点P 作双曲线C 的两条切线PA，
PB，切点为A，B，求证：直线AB 过某一个定点．
5. (2021• 四川模拟) 如图，已知椭圆C：x2
a2 + y2 = 1(a > 1) 的左焦点为F，直线y = kx(k > 0) 与椭圆
C 交于A，B 两点，且FA

⋅FB

= 0 时，k =
3
3 ．
(1) 求a 的值；
(2) 设线段AF，BF 的延长线分别交椭圆C 于D，E 两点，当k 变化时，直线DE 是否过定点？若过定
点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
91
第四章
圆锥曲线篇
6. (2022• 乙卷) 已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A(0, -2)，B 3
2 ，-1


两点．
(1) 求E 的方程；
(2) 设过点P(1, -2) 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T，点H
满足MT


= TH


．证明：直线HN 过定点．
7. (2023 届长沙市一中高三第一次月考) 已知抛物线C：y2 = 2px(p > 0)，直线x =
2y + 1 交抛物线
C 于A，B 两点，且三角形OAB 的面积为2 3(O 为坐标原点).
(1) 求实数p 的值；
(2) 过点D(2，0) 作直线L 交抛物线C 于P，Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为P'. 证明：直线P'Q 经
过定点，并求出定点坐标.
8. 设A，B 为双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右
支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，ΔAMN 为等腰直角三角形．
(1) 求双曲线C 的离心率；
(2) 已知AB = 4，若直线AM ，AN 分别交直线x = a
2 于P，Q 两点，当直线l 的倾斜角变化时，以PQ
为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标．若不过定点，请说明理由．
9. (22 届长沙市一中第6 次月考) 已知F1(- 6 ，0)，F2( 6 ，0) 为双曲线C 的两个焦点，点P(2, -1)
在双曲线C 上．
(1) 求双曲线C 的方程；
(2) 已知点A，B 是双曲线C 上异于P 的两点，直线PA，PB 与y 轴分别相交于M ，N 两点，若OM


+
ON


= 0，证明：直线AB 过定点．
名校冲刺
实战教辅
92
第8讲
定点问题之斜率和积则直线过定点问题及齐次化
典例讲解· 掌握方法
题型1
齐次化在抛物线中应用
1
(2017• 新课标1) 设A，B 为曲线C:y = x2
4 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．
(1) 求直线AB 的斜率；
(2) 设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．
2
过抛物线E：y2= 2px(p > 0) 上一点M(1，-2) 作直线交抛物线E 于另一点N．
(1) 若直线MN 的斜率为1，求线段|MN| 的长；
(2) 不过点M 的动直线l 交抛物线E 于A，B 两点，且以AB 为直径的圆经过点M ，问动直线l 是否
恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．
3
已知抛物线C1：y2= 2px(p > 0) 的焦点F 是椭圆C2：x2+ 2y2= 1 的一个顶点．
(1) 求抛物线C1的方程；
(2) 若点P(1，2)，M ，N 为抛物线C1上的不同两点，且PM ⊥PN．求证：直线MN 过定点．
题型2
斜率和积为定值则直线过定点问题
4
(2017• 新课标1) 已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3 -1，3
2


，
P4 1，3
2


中恰有三点在椭圆C 上．
(1) 求C 的方程；
(2) 设直线l 不经过P2 点且与C 相交于A，B 两点．若直线P2A 与直线P2B 的斜率的和为-1，证
明：l 过定点．
5 （2023 届长沙一中第2 次月考）已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 过点M 1,
6
2


，点A 为
其左顶点，且AM 的斜率为
6
6 .
(1) 求C 的方程；
(2)P,Q 为椭圆C 上两个动点，且直线AP 与AQ 的斜率之积为- 1
6 ，MD ⊥PQ，D 为垂足，求
|AD| 的最大值.
题型3
直线过定点，反推斜率和积为定值
6
(2020• 新课标1) 已知A，B 分别为椭圆E：x2
a2 + y2 = 1(a > 1) 的左、右顶点，G 为E 的上顶
93
第四章
圆锥曲线篇
点，AG


⋅GB

= 8，
P 为直线x = 6 上的动点，PA 与E 的另一交点为C，PB 与E 的另一交点为D．
(1) 求E 的方程；
(2) 证明：直线CD 过定点．
7
(2015 陕西) 如图，椭圆E：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 经过点A(0，-1)，且离心率为
2
2 ．
(1) 求椭圆E 的方程；
(2) 经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP
与AQ 斜率之和为2．
8
2023届雅礼中学第1次月考


已知双曲线C:x2- y2= 1 和点B 0,1


.
(1) 斜率为k 且过原点的直线与双曲线C 交于E,F 两点，求∠EBF 最小时k 的值.
(2) 过点B 的动直线与双曲线C 交于P,Q 两点，若曲线C 上存在定点A，使kAP + kAQ 为定值λ，求
点A 的坐标及实数λ 的值.
9
(2023 届炎德英才名校联合体11 月联考) 设椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别
为F，F2.A，B 是该椭圆C 的下顶点和右顶点，且AB


=
5 ，若该椭圆的离心率为
3
2
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 经过点(2, -1) 的直线l:y = kx + m 交椭圆G 于P，Q 两点(点P 在点Q 下方)，过点P 作x 轴
的垂线交直线AB 于点D，交直线BQ 于点E，求证：DE


PD


为定值.
巩固练习· 融会贯通
1. 已知点P(0,1) 为椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 上一点，且直线x + 2y - 2 = 0 过椭圆C 的一个焦
点．
(1) 求椭圆C 的方程．
(2) 直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，记直线AP，BP 的斜率分别为k1，k2，若k1 + k2 =-2，直线l 是
否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．
2. (2020• 山东) 已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率为
2
2 ，且过点A(2，1)．
名校冲刺
实战教辅
94
(1) 求C 的方程；
(2) 点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ| 为定值．
3. 已知点M(1,0)，N(1,3)，圆C:x2+ y2= 1，直线l 过点N．
(1) 若直线l 与圆C 相切，求l 的方程；
(2) 若直线l 与圆C 交于不同的两点A，B，设直线MA，MB 的斜率分别为k1，k2，证明：k1 + k2 为定
值．
4. 已知椭圆C: x2
a2 + y2 = 1(a > 1) 的焦点与双曲线D: x2
2 - y2
t = 1(t > 0) 的焦点相同，且D 的离心率
为
6
2 ．
(1) 求C 与D 的方程；
(2) 若P(0,1)，直线l:y =-x + m 与C 交于A，B 两点，且直线PA，PB 的斜率都存在．
①求m 的取值范围；
②试问两直线PA，PB 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
5. 已知双曲线C 与椭圆x2
9 + y2
3 = 1 有相同的焦点，P(3, 6) 是C 上一点．
(1) 求双曲线C 的方程；
(2) 记C 的右顶点为M ，与x 轴平行的直线l 与C 交于A，B 两点，求证：以AB 为直径的圆过点M．
6. (2023 届雅礼中学第一次月考) 已知双曲线C:x2- y2= 1 和点B(0,1)．
(1) 斜率为k 且过原点的直线与双曲线C 交于E，F 两点，求∠EBF 最小时k 的值；
(2) 过点B 的动直线与双曲线C 交于P，Q 两点，若曲线C 上存在定点A，使kAP + kAQ 为定值λ，求点
A 的坐标及实数λ 的值．
95
第四章
圆锥曲线篇
第9讲
定点问题之“手电筒”模型（角平分线模型）
典例讲解· 掌握方法
1
(2018• 新课标1) 设椭圆C: x2
2 + y2 = 1 的右焦点为F，过F 的直线l 与C 交于A，B 两点，点M
的坐标为(2,0)．
(1) 当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；
(2) 设O 为坐标原点，证明：∠OMA = ∠OMB．
2
(2021• 江苏一模) 设F 为椭圆C: x2
2 + y2 = 1 的右焦点，过点(2,0) 的直线与椭圆C 交于A，B
两点．
(1) 若点B 为椭圆C 的上顶点，求直线AF 的方程；
(2) 设直线AF，BF 的斜率分别为k1，k2(k2≠0)，求证：k1
k2
为定值．
O
x
y
B
A
F
3
(2018 长郡中学月考) 已知O 为坐标原点，圆M :x2 + y2 - 2x - 15 = 0，定点F(-1,0)，点N 是
圆M 上一动点，线段NF 的垂直平分线交圆M 的半径MN 与点Q，点Q 的轨迹为C．
(1) 求曲线C 的方程；
(2) 不垂直于x 轴且不过F 点的直线l 与曲线C 相交于A、B 两点，若直线FA、FB 的斜率之和为
0，则动直线l 是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
4
(2015• 新课标1) 在直角坐标系xOy 中，曲线C:y = x2
4 与直线l:y = kx + a(a > 0) 交于M ，N
两点．
(1) 当k = 0 时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程．
(2)y 轴上是否存在点P，使得当k 变动时，总有∠OPM = ∠OPN？(说明理由)
5
已知双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的虚轴长为4，直线2x - y = 0 为双曲线C 的一条渐
近线．
(1) 求双曲线C 的标准方程；
(2) 记双曲线C 的左、右顶点分别为A，B，过点T(2,0) 的直线l 交双曲线C 于点M ，N(点M 在第
一象限)，记直线MA 斜率为k1，直线NB 斜率为k2，求证：k1
k2
为定值．
名校冲刺
实战教辅
96
6
(雅礼中学2021 届高三月考) 已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0


过点P 2,1


，F1、F2 分别为椭
圆C 的左、右焦点，且PF

1⋅PF

2=-1.
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 过P 点的直线l1 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线l2 平行于OP(O 为原点)，且与椭圆C 交
于A、B 两点，与直线x = 2 交于点M(M 介于A、B 两点之间)．
(i) 当△PAB 面积最大时，求l2的方程；
(ii) 求证：PA


⋅MB


= PB


⋅MA


.
7
(2015• 四川) 如图，椭圆E: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率是
2
2 ，过点P(0,1) 的动直线l 与
椭圆相交于A、B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2．
(1) 求椭圆E 的方程；
(2) 在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q，使得|QA|
|QB| = |PA|
|PB| 恒成立？若存
在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
97
第四章
圆锥曲线篇
第10讲
定比点差之定比分点的算法与探究
典例讲解· 掌握方法
题型1
定比分点位于坐标轴上采取化斜为直策略
1
椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 作直线l 交椭圆于P，Q 两点．M 为线段PQ 的中点，O 为坐
标原点，设直线1 的斜率为k1，直线OM 的斜率为k2，k1k2=- 2
3 ．
(1) 求椭圆C 的离心率；
(2) 设直线l 与x 轴交于点D(-5，0)，且满足DP

= 2QD


，当△0PQ 的面积最大时，求椭圆C 的方
程．
2
(2018• 浙江) 已知点P(0,1)，椭圆x2
4 + y2 = m(m > 1) 上两点A，B 满足AP

= 2PB

，则当m
=
时，点B 横坐标的绝对值最大．
3
(2019• 新课标1) 已知抛物线C：y2 = 3x 的焦点为F，斜率为3
2 的直线l 与C 的交点为A，B，
与x 轴的交点为P．
(1) 若|AF| +|BF| = 4，求l 的方程；
(2) 若AP

= 3PB

，求|AB|．
题型2
常规定比分点的算法原理与计算
4
已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 过点( 3 ，0)，其焦距的平方是长轴长的平方与短轴长的平
方的等差中项．
(1) 求椭圆的标准方程：
(2) 直线l 过点M (1,0)，与椭圆分别交于点A，B，与y 轴交于点N ，各点均不重合且满足NA

=
λAM


，NB

= μBM


，求λ + μ．
5
(2018• 北京) 已知抛物线C:y2 = 2px 经过点P(1,2)，过点Q(0,1) 的直线l 与抛物线C 有两个
不同的交点A，B，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N．
(1) 求直线l 的斜率的取值范围；
(2) 设O 为原点，QM


= λQO


，QN


= μQO


，求证：1
λ + 1
μ 为定值．
题型3
定比点差（定比、定点、定线互相牵连）
6
(2008• 安徽) 设椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 过点M( 2,1)，且左焦点为F1(- 2,0).
名校冲刺
实战教辅
98
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 当过点P(4,1) 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A，B 时，在线段AB 上取点Q，满足|AP

| ⋅
|QB


| = |AQ

| ⋅|PB

|，证明：点Q 总在某定直线上．
7
已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的焦点是F1，F2，且|F1F2| = 2，离心率为
2
2 ．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 过椭圆右焦点F2 的直线l 交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2) (x1 > x2) 两点，点Q 是直线l 上异于F2
的一点，且满足AQ

= λBQ

，F2A


= λBF2


．求证：点Q 的横坐标是定值．
巩固练习· 融会贯通
1. (2014• 安徽) 设F1，F2 分别是椭圆E:x2 + y2
b2 = 1(0 < b < 1) 的左、右焦点，过点F1 的直线交椭圆E
于A、B 两点，若|AF1| = 3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为
．
2. (2016• 全国) 过椭圆C：x2
25 + y2
9 = 1 右焦点F 的直线l 交C 于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且A 不在
x 轴上．
(1) 求|y1y2| 的最大值；
(2) 若AF
FB


= 1
4 ，求直线l 的方程．
3. 已知直线l:y = kx + 1(k ≠0) 与椭圆3x2 + y2 = a 相交于A、B 两个不同的点，记l 与y 轴的交点为
C．
(1) 若k = 1，且|AB| =
10
2
，求实数a 的值；
(2) 若AC


= 2CB

，求△AOB 面积的最大值，及此时椭圆的方程．
4. 已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1 的直线l 交椭圆于A，B 两
点，交y 轴于点M ，若|F1F2| = 2，ΔABF2的周长为8．
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2)MA


= λF1A


，MB


= μF1B


，试分析λ + μ 是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由．
5. (2021 长郡中学高三第一次月考) 设椭圆C: x2
9 + y2
5 = 1 长轴的左，右顶点分别为A，B．
(1) 若P、Q 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AP，BQ 的斜率分别为k1，k2(k1k2 ≠0)，求|k1| +|k2|
的最小值；
(2) 已知过点D(0, -3) 的直线l 交椭圆C 于M 、N 两个不同的点，直线AM ，AN 分别交y 轴于点S、
T，记DS

= λDO


,DT


= μDO

(O 为坐标原点)，当直线1 的倾斜角θ 为锐角时，求λ + μ 的取值范围．
6. (2020• 深圳二模) 在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线l0:x =-4 上的动点，动点Q 满足PQ ⊥l0，
99
第四章
圆锥曲线篇
且原点O 在以PQ 为直径的圆上．记动点Q 的轨迹为曲线C．
(1) 求曲线C 的方程；
(2) 过点E(2,0) 的直线l1 与曲线C 交于A，B 两点，点D(异于A，B) 在C 上，直线AD，BD 分别与x
轴交于点M ，N ，且AD


= 3AM


，求ΔBMN 面积的最小值．
7. 已知抛物线C:y2 = 2px(p > 0) 的焦点为F，原点O 关于点F 的对称点为Q，点P(0,1) 关于点Q 的
对称点P1也在抛物线C 上．
(1) 求p 的值；
(2) 设直线l 交抛物线C 于不同两点A、B，直线PA、PB 与抛物线C 的另一个交点分别为M、N ，PM


= λPA

，PN


= μPB

，且1
λ + 1
μ = 2，求直线l 的横截距的最大值．
8. 设抛物线C:y2 = 2px(p > 0) 的焦点为F，过点P(0,4) 的动直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，当F
在l 上时，直线l 的斜率为-2．
(1) 求抛物线的方程；
(2) 在线段AB 上取点D，满足PA

= λPB

，AD


= λDB

，证明：点D 总在定直线上．
9. 已知抛物线C:x2= 4y，过点A(1,2) 的动直线l 与抛物线C 相交于不同两点P，Q．
(1) 若A 恰为PQ 的中点，求|PQ| 的值；
(2) 若存在点B，满足AP

= λPB

，AQ

=-λQB


(λ ≠1)．当|AB| 最小时，求λ 的值．
名校冲刺
实战教辅
100
第11讲
抛物线之“改斜归正”思想与焦半径公式
典例讲解· 掌握方法
题型1
抛物线定义及焦长公式的使用
1
已知F 为抛物线y2 = 2px(p > 0) 的焦点，点A(4,2) 为抛物线内一定点，点P 为抛物线上一动
点，|PA| +|PF| 最小值为8．
(1) 求该抛物线的方程；
(2) 若直线x - y - 3 = 0 与抛物线交于B、C 两点，求ΔBFC 的面积．
2
已知抛物线C:y2 = 4x 的焦点为F，直线y =
3 (x - 1) 与C 交于A、B(A 在x 轴上方) 两点，
若AF

= mFB

，则实数m 的值为(
)
A.
3
B. 3
2
C. 2
D. 3
3
已知抛物线C:x2= 8y 的焦点为F，准线为l，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若
PF

= 2FQ

，则|QF| = (
)
A. 6
B. 3
C. 8
3
D. 4
3
题型2
不过焦点的三角形面积计算
4
已知F 为抛物线y2 = x 的焦点，点A，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA


⋅OB

= 2(其中
点O 为坐标原点)，则ΔABF 面积的最小值是
．
5
已知抛物线y2 = x，过(1,0) 的直线与抛物线交于A，B 两点，则ΔABO(其中O 为坐标原点) 面
积的最小值是(
)
A. 1
2
B. 1
C. 2
D. 4
巩固练习· 融会贯通
1. 如图，过抛物线y2 = 2px(p > 0) 的焦点F 且倾斜角为60° 的直线l 交抛物线于A、B 两点，若|AF|
= 3，则此抛物线方程为(
)
101
第四章
圆锥曲线篇
A. y2= 3x
B. y2= 6x
C. y2= 3
2 x
D. y2= 2x
2. (2017• 宿州一模) 直线l 过抛物线C:y2 = 2px(p > 0) 的焦点F，与抛物线C 交于A、B 两点，与其准
线交于点D，若|AF| = 6，DB

= 2BF

，则p =
．
3. (2017• 新课标Ⅰ) 已知F 为抛物线C:y2 = 4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1 与C
交于A、B 两点，直线l2与C 交于D、E 两点，则|AB| +|DE| 的最小值为(
)
A. 16
B. 14
C. 12
D. 10
4. (2017• 长沙期末) 已知抛物线C:y2 = 2px(p > 0) 的焦点为F(1,0)，过F 且斜率为1 的直线l 交抛物
线C 于A(x1，y1)，B(x2，y2) 两点．
(1) 求抛物线C 的标准方程；
(2) 求ΔOAB 的面积．
5. (2018 秋• 宣城期末) 设抛物线C:y2 = 2px(p > 0) 的焦点为F，过F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C
于
A(x1，y1)，B(x2，y2) 两点，且y1y2=-4．
(1) 求抛物线C 的标准方程；
(2) 已知点P(-1,k)，且ΔPAB 的面积为6 3 ，求k 的值．
6. (2016• 四川) 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y2 = 2px(p > 0) 上任意一点，M 是线段
PF 上的点，且|PM| = 2|MF|，则直线OM 的斜率的最大值为(
)
A.
3
3
B. 2
3
C.
2
2
D. 1
名校冲刺
实战教辅
102
7. (2016• 新课标Ⅰ) 在直角坐标系xOy 中，直线l:y = t(t ≠0) 交y 轴于点M ，交抛物线C:y2 = 2px(p
> 0) 于点P，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H．
(1) 求|OH|
|ON| ；
(2) 除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．
103
第四章
圆锥曲线篇
第12讲
抛物线之常见性质
典例讲解· 掌握方法
题型1
以焦点弦为直径的圆与准线相切
1
(2018• 新课标Ⅲ) 已知点M(-1,1) 和抛物线C:y2 = 4x，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交
于A，B 两点．若∠AMB = 90°，则k =
．
2
(2018• 新课标Ⅱ) 设抛物线C：y2 = 4x 的焦点为F，过F 且斜率为k(k > 0) 的直线l 与C 交于
A，B 两点，|AB| = 8．
(1) 求l 的方程；
(2) 求过点A，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
3
已知抛物线C:y2 = 4x, 点M(m,0) 在x 轴的正半轴上, 过M 的直线l 与C 相交于A、B 两点,O
为坐标原点.
(1) 若m = 1, 且直线l 的斜率为1，求证以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切;
(2) 问是否存在定点M ，不论直线l 绕点M 如何转动，使得
1
|AM|2 +
1
|BM|2 恒为定值.
题型2
抛物线经典联立算法探究
4
(2017• 新课标Ⅲ) 已知抛物线C:y2 = 2x，过点(2,0) 的直线l 交C 于A，B 两点，圆M 是以线
段AB 为直径的圆．
(1) 证明：坐标原点O 在圆M 上；
(2) 设圆M 过点P(4, -2)，求直线l 与圆M 的方程．
5
(2017• 北京) 已知抛物线C:y2 = 2px 过点P(1,1)．过点0, 1
2


作直线l 与抛物线C 交于不同
的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP、ON 交于点A，B，其中O 为原点．
(1) 求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2) 求证：A 为线段BM 的中点．
名校冲刺
实战教辅
104
第13讲
圆锥曲线的切线与切点弦问题
典例讲解· 掌握方法
题型1
切线问题的算法逻辑
1
已知抛物线C:x2 = 2py(p > 0) 上的点P(m,2) 到其焦点距离为3，过抛物线外一动点T 作抛物
线的两条切线TA，TB，切点分别为A，B，且切点弦AB 恒过点M(2,4)．
(1) 求p 和m；
(2) 求证：动点T 在一条定直线上运动．
O
x
y
T
B
A
2
已知圆C:x2 + y2 = 4，直线l:x - y + 6 = 0，在直线l 上任取一点P 向圆C 作切线，切点为A，
B，连接AB，则直线AB 一定过定点(
)
A.
- 2
3 ，2
3


B. (1,2)
C. (-2,3)
D.
- 4
3 ，4
3


3
已知椭圆C 的方程为x2
2 + y2= 1．
(1) 设M(xM，yM) 是椭圆C 上的点，证明：直线xMx
2
+ yMy = 1 与椭圆C 有且只有一个公共点；
(2) 过点N(1, 2 ) 作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为A、B，点N 在直线AB
上的射影为点Q，求点Q 的坐标；
(3) 互相垂直的两条直线l1 与l2 相交于点P，且l1、l2 都与椭圆C 只有一个公共点，求点P 的轨迹方
程．
O
x
y
M
O
x
y
A
B
N
Q
O
x
y
M
P
题型2
阿基米德三角形的性质
105
第四章
圆锥曲线篇
4
已知抛物线C1：y = (x - 1)2- 4 和C2：y = x2
(1) 如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？
(2) 如图2，△MNE 的顶点M 、N 在抛物线C2 上，点M 在点N 右边，两条直线ME、NE 与抛物线
C2 均有唯一公共点，ME、NE 均与y 轴不平行．若△MNE 的面积为2，设M 、N 两点的横坐标分
别为m、n，求m 与n 的数量关系．
图1
图2
5
(2019• 新课标Ⅲ) 已知曲线C:y = x2
2 ，D 为直线y =- 1
2 上的动点，过D 作C 的两条切线，切
点分别为A，B．
(1) 证明：直线AB 过定点；
(2) 若以E 0, 5
2


为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面
积．
巩固练习· 融会贯通
1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C:(x - 2)2 + (y - 2)2 = 20 与x 轴交于A、B(点A 在点B 的左
侧)，圆C 的弦MN 过点T(3,4)，分别过M 、N 作圆C 的切线，交点为P，则线段AP 的最小值为
．
2. 已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率为
3
2 ，且过点
3, 1
2


．
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 过椭圆C 外一点P(x0，y0) 作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，记PA，PB 的斜率分别为k1，k2，
且k1⋅k2=- 1
4 ．
①求P 点轨迹方程；②求证：ΔPAB 的面积为定值．
(参考公式：过椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1 上一点(x1，y1) 的切线方程为x1x
a2 + y1y
b2 = 1)
名校冲刺
实战教辅
106
O
x
y
A
B
P
3. (2014• 广东) 已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为( 5 ，0)，离心率为
5
3 ．
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 若动点P(x0，y0) 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．
4. (2021• 雅礼中学第七次月考) 设椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率e = 1
2 ，椭圆上的点到左
焦点F1的距离的最大值为3．
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 求椭圆C 的外切矩形ABCD 的面积S 的取值范围．
5. (2019• 深圳二模) 已知抛物线C:x2 = 4y，过点(2,3) 的直线l 交C 于A、B 两点，抛物线C 在点A、B
处的切线交于点P．
(1) 当点A 的横坐标为4 时，求点P 的坐标；
(2) 若Q 是抛物线C 上的动点，当|PQ| 取最小值时，求点Q 的坐标及直线l 的方程．
6. (2021• 乙卷) 已知抛物线C:x2 = 2py(p > 0) 的焦点为F，且F 与圆M:x2 + (y + 4)2 = 1 上点的距离
的最小值为4．
(1) 求p；
(2) 若点P 在M 上，PA，PB 为C 的两条切线，A，B 是切点，求ΔPAB 面积的最大值．
107
第四章
圆锥曲线篇
第14讲
圆锥曲线中优化计算的常见方法之初中几何法
典例讲解· 掌握方法
题型1
线段垂直平分线定理及其逆定理
1
．(2022• 新高考Ⅰ) 已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0)，C 的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，
离心率为1
2 ．过F1 且垂直于AF2 的直线与C 交于D，E 两点，|DE| = 6，则ΔADE 的周长是
．
2
(2019• 新课标Ⅰ) 已知双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1 的
直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点．若F1A


= AB

，F1B


⋅F2B


= 0，则C 的离心率为
．
题型2
通过构造直角三角形建立方程进行求解
3
(2022• 乙卷) 双曲线C 的两个焦点为F1，F2，以C 的实轴为直径的圆记为D，过F1 作D 的切线
与C 交于M ，N 两点，且cos∠F1NF2= 3
5 ，则C 的离心率为(
)
A.
5
2
B. 3
2
C.
13
2
D.
17
2
4
(2018• 新课标Ⅰ) 已知双曲线C: x2
3 - y2 = 1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与
C 的两条渐近线的交点分别为M ，N．若ΔOMN 为直角三角形，则|MN| = (
)
A. 3
2
B. 3
C. 2 3
D. 4
5
(2019• 新课标Ⅰ) 已知椭圆C 的焦点为F1(-1,0)，F2(1,0)，过点F2 的直线与椭圆C 交于A，B
两点．若|AF2| = 2|F2B|，|AB| = |BF1|，则C 的方程为(
)
A. x2
2 + y2= 1
B. x2
3 + y2
2 = 1
C. x2
4 + y2
3 = 1
D. x2
5 + y2
4 = 1
题型3
直角三角形的判定与应用
名校冲刺
实战教辅
108
6
(2020• 新课标Ⅰ) 设F1，F2是双曲线C:x2- y2
3 = 1 的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且
|OP| = 2，则△PF1F2的面积为(
)
A. 7
2
B. 3
C. 5
2
D. 2
7
(2019• 新课标Ⅱ) 已知F1，F2 是椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的两个焦点，P 为C 上的点，O
为坐标原点．
(1) 若ΔPOF2为等边三角形，求C 的离心率；
(2) 如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．
题型4
“八字形”相似三角形的应用
8
(2014• 安徽) 设F1，F2 分别是椭圆E:x2 + y2
b2 = 1(0 < b < 1) 的左、右焦点，过点F1 的直线交椭
圆E 于A、B 两点，若|AF1| = 3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为
．
9
(2019• 新课标Ⅰ) 已知抛物线C:y2 = 3x 的焦点为F，斜率为3
2 的直线l 与C 的交点为A，B，
与x 轴的交点为P．
(1) 若|AF| +|BF| = 4，求l 的方程；
(2) 若AP

= 3PB

，求|AB|．
10
点，且|MF| = 2．
(1) 求抛物线的方程：
(2) 设过点F 的直线交抛物线于A，B 两点，若斜率为2 的直线l 与直线MA，MB，AB，x 轴依次
交于点P，Q，R，N ，且满足|RN|2= |PN| ⋅|QN|，求直线l 在x
(2021• 浙江) 如图，已知F 是抛物线y2 = 2px(p > 0) 的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交
轴上截距的取值范围．
题型5
中位线原理的应用
11
(2018• 天津) 已知双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的
直线与双曲线交于A，B 两点．设A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1 和d2，且d1 +
d2= 6，则双曲线的方程为(
)
109
第四章
圆锥曲线篇
A. x2
4 - y2
12 = 1
B. x2
12 - y2
4 = 1
C. x2
3 - y2
9 = 1
D. x2
9 - y2
3 = 1
12
(2018• 新课标Ⅲ) 已知点M(-1,1) 和抛物线C:y2 = 4x，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C
交于A，B 两点．若∠AMB = 90°，则k = 　　．
巩固练习· 融会贯通
1. 已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0


，点P 是C 的左顶点，若圆O：x2 + y2 = b2 上存在点M 、N ，使得
∠MPN = 120°，则C 的离心率的取值范围是(
)
A. (0，3
2 ]
B. [
3
2 ,1)
C. (0，1
2 ]
D. [ 1
2 ，1)
2. 已知F1，F2 是椭圆y2
9 + x2
5 = 1 的两个焦点，P 为椭圆上一点，且|PF1| = |F1F2|，则点P 到y 轴的距
离为(
)
A. 1
B.
5
C.
15
2
D. 2
3. (2022 秋• 长沙市一中高二联考) 已知点F1，F2 分别为椭圆C: x2
a2 + y2
3 = 1(a >
3) 的左、右焦点，点
M 在直线l:x =-a 上运动，若∠F1MF2的最大值为60°，则椭圆C 的标准方程是(
)
A. x2
6 + y2
3 = 1
B. x2
12 + y2
3 = 1
C. x2
27 + y2
3 = 1
D. x2
30 + y2
3 = 1
4. (2022 秋• 雅礼中学高三第二次月考) 已知F1，F2 分别是双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左、右
焦点，过F2 的直线与双曲线C 的右支相交于P、Q 两点，且PQ ⊥PF1. 若|PQ| = |PF1|，则双曲线C 的
离心率为(
)
A.
6 -
3
B.
5-2 2
C.
5+2 2
D. 1 + 2 2
5. 设M 是椭圆C: x2
64 + y2
36 = 1 上位于第一象限内的一个动点，MN ⊥y 轴，N 为垂足．当ΔOMN 的
面积最大时(O 为坐标原点)，其内切圆的半径r 等于(
)
A.
2
B.
3
C. 2
D.
5
6. 已知F(c,0) 为双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的右焦点，过原点O 的直线与双曲线交于A，B 两
点，若AF ⊥BF 且ΔABF 的周长为4a + 2c，则该双曲线的离心率为(
)
A. 3
2
B. 5
2
C.
10
3
D.
10
2
7. (2022 秋• 江苏月考) 在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线x2 = 4y 的焦点为F，准线为l，P 为抛物
线上一点，过点P 作PA ⊥l，交准线l 于点A，若直线AF 的倾斜角为30°，则点P 的纵坐标为(
)
名校冲刺
实战教辅
110
A. 3
B. 2
C. 1
D. 1
2
8. 如图，椭圆C 的右焦点为F，过F 作x 轴的垂线与C 在第一象限的交点为A，点A 关于坐标原点的
对称点为B，且∠AFB = 2π
3 ,SΔABF = 2 3
3
，则C 的方程为(
)
O
x
y
A
B
F
A. x2
6 + y2
2 = 1
B. x2
4 + y2
2 = 1
C. x2
3 + y2
2 = 1
D. x2
5 + y2
3 = 1
9. (2022• 天津) 已知抛物线y2 = 4 5x，F1，F2 分别是双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点，
抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，与双曲线的渐近线交于点A，若∠F1F2A = π
4 ，则双曲线的标准方
程为(
)
A. x2
10 - y2= 1
B. x2- y2
16 = 1
C. x2- y2
4 = 1
D. x2
4 - y2= 1
10. 已知双曲线x2
a2 - y2
2 = 1(a > 0) 的两条渐近线的夹角为π
3 ，则a 的值为(
)
A.
6
3
B.
6
C.
6
3 或
6
D.
6
2
11. (2021• 天津) 已知双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的右焦点与抛物线y2 = 2px(p > 0) 的焦点重
合，抛物线的准线交双曲线于A，B 两点，交双曲线的渐近线于C，D 两点，若|CD| =
2|AB|，则双曲
线的离心率为(
)
A.
2
B.
3
C. 2
D. 3
12. (2022• 浙江) 已知双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左焦点为F，过F 且斜率为b
4a 的直线交双
曲线于点A(x1，y1)，交双曲线的渐近线于点B(x2，y2) 且x1 < 0 < x2．若|FB| = 3|FA|，则双曲线的离
心率是　　．
111
第四章
圆锥曲线篇
13. (2018• 新课标Ⅱ) 设抛物线C:y2 = 4x 的焦点为F，过F 且斜率为k(k > 0) 的直线l 与C 交于A，B
两点，|AB| = 8．
(1) 求l 的方程；
(2) 求过点A，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
名校冲刺
实战教辅
112
第15讲
圆锥曲线中优化计算的常见方法之替代与同解
典例讲解· 掌握方法
题型1
利用函数替代法则处理相同计算原理
1
(2017• 新课标Ⅰ) 已知F 为抛物线C:y2 = 4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1
与C 交于A、B 两点，直线l2与C 交于D、E 两点，则|AB| +|DE| 的最小值为(
)
A. 16
B. 14
C. 12
D. 10
2
(2022• 辽宁开学) 已知椭圆C 的两个焦点为(-1,0)，(1,0)，点A 1, 3
2


在C 上，直线l 交C 于
P，Q 两点，直线AP，AQ 的斜率之和为0．
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 求直线l 的斜率．
3
(2022• 浙江) 如图，已知椭圆x2
12 + y2 = 1．设A，B 是椭圆上异于P(0,1) 的两点，且点
Q 0, 1
2


在线段AB 上，直线PA，PB 分别交直线y =- 1
2 x + 3 于C，D 两点．
(1) 求点P 到椭圆上点的距离的最大值；
(2) 求|CD| 的最小值．
4 （2020 卷Ⅰ理节选）已知A，B 分别为椭圆E: x2
9 + y2 = 1 的左、右顶点，P 为直线x = 6 上的动
点，PA 与E 的另一交点为C，PB 与E 的另一交点为D．证明：直线CD 过定点．
题型2
同解方程思想优化计算
5
(2014• 广东) 已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为( 5 ，0)，离心率为
5
3 ．
(1) 求椭圆C 的标准方程；
113
第四章
圆锥曲线篇
(2) 若动点P(x0，y0) 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．
6
(2021• 甲卷) 抛物线C 的顶点为坐标原点O，焦点在x 轴上，直线l:x = 1 交C 于P，Q 两点，
且OP ⊥OQ．已知点M(2,0)，且⊙M 与l 相切．
(1) 求C，⊙M 的方程；
(2) 设A1，A2，A3 是C 上的三个点，直线A1A2，A1A3 均与⊙M 相切．判断直线A2A3 与⊙M 的位
置关系，并说明理由．
巩固练习· 融会贯通
1. (2022• 新高考Ⅰ) 若曲线y = (x + a)ex有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
．
2. (2022• 新高考Ⅰ) 已知点A(2,1) 在双曲线C: x2
a2 -
y2
a2-1
= 1(a > 1) 上，直线l 交C 于P，Q 两点，
直线AP，AQ 的斜率之和为0．
(1) 求l 的斜率；
(2) 若tan∠PAQ = 2 2 ，求ΔPAQ 的面积．
3. (2021• 新高考Ⅰ) 在平面直角坐标系xOy 中，已知点F1(- 17 ，0)，F2( 17 ，0)，点M 满足|MF1|
-|MF2| = 2．记M 的轨迹为C．
(1) 求C 的方程；
(2) 设点T 在直线x = 1
2 上，过T 的两条直线分别交C 于A，B 两点和P，Q 两点，且|TA| ⋅|TB| =
|TP| ⋅|TQ|，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．
4. (2012• 湖南) 在直角坐标系xoy 中，曲线C1 上的点均在C2:(x - 5)2 + y2 = 9 外，且对C1 上任意一点
M ，M 到直线x =-2 的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．
(1) 求曲线C1的方程
(2) 设P(x0，y0) (y0 ≠±3) 为圆C2 外一点，过P 作圆C2 的两条切线，分别与曲线C1 相交于点A，B 和
C，D．证明：当P 在直线x =-4 上运动时，四点A，B，C，D 的纵坐标之积为定值．
5. (2021• 乙卷) 已知抛物线C:x2 = 2py(p > 0) 的焦点为F，且F 与圆M:x2 + (y + 4)2 = 1 上点的距离
的最小值为4．
(1) 求p；
(2) 若点P 在M 上，PA，PB 为C 的两条切线，A，B 是切点，求ΔPAB 面积的最大值．
6. (2022• 南昌三模) 已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率为
3
2 ，且点T(2,1) 在椭圆C 上，
设与OT 平行的直线l 与椭圆C 相交于P，Q 两点，直线TP，TQ 分别与x 轴正半轴交于M ，N 两点．
(1) 求椭圆C 的标准方程；
名校冲刺
实战教辅
114
(2) 判断|OM| +|ON| 的值是否为定值，并证明你的结论．
7. (2021 秋• 尖山区校级期中) 在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆C: x2
4 + y2 = 1 的上、下顶点
分别为A、B，点P 在椭圆C 上且异于点A、B，直线AP、PB 与直线l:y =-2 分别交于点M、N．
(1) 设直线PA、PB 的斜率分别为k1、k2，判断k1⋅k2是否为定值？请证明你的结论；
(2) 求线段MN 长的最小值；
(3) 当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过y 轴上的定点？请证明你的结论．
8. (2022• 济南二模) 已知椭圆C 的焦点坐标为F1(-1,0) 和F2(1,0)，且椭圆经过点G 1, 3
2


．
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 若T(1,1)，椭圆C 上四点M ，N ，P，Q 满足MT


= 3TQ

，NT

= 3TP

，求直线MN 的斜率．
115
第五章
导数篇
第五章
导数的核心解题方法
第1讲
六类基础函数图象即拓展
典例讲解· 掌握方法
题型1
基本函数图形的应用
1
(2017• 广州一模) 已知函数f(x) = lnx + a
x (a > 0)，若函数f(x) 有零点，求实数a 的取值范围；
2
(多选) (2020 秋• 惠州期末) 对于函数f(x) = lnx
x ，下列说法正确的有(
)
A. f(x) 在x = e 处取得极大值1
e
B. f(x) 有两个不同的零点
C. f(2) < f(π) < f(3)
D. 若f(x) < k - 1
x 在(0, +∞) 上恒成立，则k > 1
3
(2015• 北京) 设函数f(x) = x2
2 - klnx，k > 0．
(1) 求f(x) 的单调区间和极值；
(2) 证明：若f(x) 存在零点，则f(x) 在区间(1，e] 上仅有一个零点．
题型2
基本函数图形与换元法的应用（指对互化）
4
(2021• 福州一模) 已知f(x) = x2ex- 1．
(1) 判断f(x) 的零点个数，并说明理由；
(2) 若f(x) ≥a(2lnx + x)，求实数a 的取值范围．
5
.(2021 甲卷) 已知函数f(x) = ex
x - lnx + x - a．若f(x) ≥0，求a 的取值范围；
巩固练习· 融会贯通
1. (多选) 已知函数f(x) = lnx - mx 有两个零点x1，x2，且x1< x2，则(
)
A. 0 < x1< 1
B. x2> e
C. 0 < m < 1
e
D. x2- x1的值随m 的增大而减小
名校冲刺
实战教辅
116
2. 对于函数f(x) = lnx
x2 ，下列说法正确的是(
)
A. f(x) 在(0, e) 上单调递减
B. f(x) 在x =
e 处取得极大值
C. f(2) > f( π) > f( 3)
D. 若f(x) < k - 1
x2 对任意x ∈(0, +∞) 恒成立，则k > e
2
3. 设n ∈N *，函数f(x) = lnx
xn ，函数g(x) = ex
xn (x > 0)．若函数y = f(x) 与函数y = g(x) 的图象分别
位于直线y = 1 的两侧，则n 的取值可以是(
)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. (2021• 湖南模拟) 已知函数f(x) = ex- 1+lnx
x
，g(x) = (a + 1)ex- 1，证明：ex- f(x) ≤1；
5. (2018• 新课标2) 已知函数f(x) = ex- ax2．
(1) 若a = 1，证明：当x ≥0 时，f(x) ≥1；
(2) 若f(x) 在(0, +∞) 只有一个零点，求a．
6. (2021• 衡水中学模拟) 已知函数f(x) = x + alnx，g(x) = x2ex，a ∈R．
(1) 求函数f(x) 的单调区间；
(2) 当a = 2 时，方程g(x) = mf(x) 有两个实根，求实数m 的取值范围．
117
第五章
导数篇
第2讲
六类基本函数图形在比较大小中的应用
典例讲解· 掌握方法
题型1
构造基本函数比较大小和证明不等式
1
(2014• 湖北)π 为圆周率，e = 2.71828 ⋯为自然对数的底数．
(1) 求函数f(x) = lnx
x
的单调区间；
(2) 求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6 个数中的最大数与最小数．
2
(2021 长中学郡15 校联考) 已知函数f(x) = ex- 1+lnx
x
，g(x) = (a + 1)ex- 1．
证明：ex- f(x) ≤1.
3
(2021 长郡中学一模) 已知实数a，b，c ∈R，满足lna
ea = b
eb =- c
ec ,b > 1，则a，b，c 大小关系
为(
) 　
A. a > b > c
B. a > c > b
C. b > c > a
D. b > a > c
题型2
通过分离函数思想分离出基本函数
4
(2021• 长郡中学15 校联考) 当x ∈R 时，不等式x-1
ex
≤ax - 1 恒成立，则实数a 的取值范围
为
5
(2016• 新课标1) 已知函数f(x) = (x - 2)ex+ a(x - 1)2有两个零点．求a 的取值范围；
巩固练习· 融会贯通
1. 函数f(x) = lnx
x
在[3，+∞) 上是减函数，a = 4ln65，b = 6ln45，c = 6ln54，则a，b，c 的大小关系为
(
)
A. c < a < b
B. a < c < b
C. b < c < a
D. a < b < c
2. 已知函数f(x) = lnx+1
x
与函数g(x) = mx 的图象相交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若存在
唯一的整数x0∈(x1，x2)，则实数m 的最小值是(
)
A. 0
B. ln2e
4
C. ln3e
9
D. 1
3. (多选题) 已知函数f(x) = xlnx，若0 < x1< x2，则下列选项正确的是(
)
A. f(x1)- f(x2)
x1-x2
< 0
B. x1+ f(x1) < x2+ f(x2)
名校冲刺
实战教辅
118
C. x2f(x1) < x1f(x2)
D. 当x2> x1> 1
e 时，x1f(x1) + x2f(x2) > x2f(x1) + x1f(x2)
4. (2021• 江苏模拟) 已知函数f(x) = x-a
ex
，且ea= lnb = c，则(
)
A. f(a) < f(b) < f(c)
B. f(b) < f(c) < f(a)
C. f(a) < f(c) < f(b)
D. f(c) < f(b) < f(a)
5. (2021• 成都开学) 已知函数f(x) = a(x - 1)ex，其中a ∈R，且a ≠0．求函数f(x) 的单调区间.
6. (2021 春• 湖北期中) 已知函数f(x) = (x - 2)ex+ 1
2 ax2- ax(a < 0)．讨论函数f(x) 的单调性.
7. (2021 八省联考) 已知函数f(x) = ex- sinx - cosx，g(x) = ex+ sinx + cosx,若g(x) ≥2 + ax，求a．
8. (2017• 新课标2) 已知函数f(x) = ax2- ax - xlnx，且f(x) ≥0．求a.
119
第五章
导数篇
第3讲
复杂函数处理方法之分类求导，极值统一
典例讲解· 掌握方法
1
(2014• 山东) 设函数f(x) = ex
x2 - k 2
x +lnx


(k 为常数，e = 2.71828 ⋯是自然对数的底数)．
当k ≤0 时，求函数f(x) 的单调区间；
2
(2020• 新课标1) 已知函数f(x) = ex+ ax2- x．
(1) 当a = 1 时，讨论f(x) 的单调性；
(2) 当x ≥0 时，f(x) ≥1
2 x3+ 1，求a 的取值范围．
3
(2021 长沙市一中高二期末) 已知函数f(x) = lnx + ax + 1
x (a ∈R)．
(1) 求函数f(x) 的单调区间；
(2) 当a =-1 时，g(x) = f(x) + (x - 2)ex - 1
x ，记函数y = g(x) 在
1
4 ,1




上的最大值为m，证明：
-4 < m <-3．
4
(2020 长郡中学模拟) 已知函数f(x) = ex-1-ax+a
x2
,g(x) = (2a - 1)lnx - ax - 2
x , 其中a ≥0
(1) 当a = 1 时，求曲线y = f(x) 在点P(1，f(1)) 处的切线方程。
(2) 设函数F(x) = f(x) + g(x)，x = 2 是F(x) 的唯一极值点，求a 的取值集合.
巩固练习· 融会贯通
1. (2021 衡水中学一模) 设函数f(x) = lnx + 2
x ,g(x) = ex
x ．若h(x) = mf(x) - g(x)，m ∈R，试判断函
数h(x) 的极值点个数.
2. (湖南师大附中2021 届高三月考) 已知函数f x


= lnx + a
2 x2- a+1


x，讨论函数f x


的单调性。
3. 已知函数f(x) = x - alnx,g(x) =- 1+a
x
(a ∈R).
(1) 若a = 1，求函数f(x) 的极值；
(2) 设函数h(x) = f(x) - g(x)，求函数h(x) 的单调区间；
4. (2019• 江西一模) 已知函数f(x) = alnx + bex-1 - (a + 2)x + a(e 为自然对数的底，a，b 为常数且
a，b ∈R)
(1) 当a = 0 时，讨论函数f(x) 在区间(1, +∞) 上的单调性；
(2) 当b = 2 时，若对任意的x ∈[1，+∞)，f(x) ≥0 恒成立，求实数a 的取值范围．
名校冲刺
实战教辅
120
第4讲
复杂函数处理方法之指数为核心的求导技巧
典例讲解· 掌握方法
1
证明ex≥x + 1
2
(2021• 八省联考) 已知函数f(x) = ex- sinx - cosx．证明：当x >- 5π
4 时，f(x) ≥0；
3
(2016·新课标2) 当x > 0 时，求证：2-x


ex≤x + 2．
4
(2018·新课标2) 求证：(1)ex≥x2+ 1 x≥0


；(2)ex≥ex；(3)ex≥ex + x-1


2 x≥0


.
5
已知f(x) 是定义在(0, +∞) 上的函数，且f(1) = 1，导函数f(x) 满足f(x) < f(x) 恒成立，则不
等式f(x)
ex
< 1
e 的解集为(
)
A. (1, +∞)
B.
0, 1
2




C.
1
2 ,1




D. (0,1)
6
(2018• 新课标Ⅲ文科) 已知函数f(x) = ax2+x-1
ex
．
(1) 求曲线y = f(x) 在点(0, -1) 处的切线方程；
(2) 证明：当a ≥1 时，f(x) + e ≥0．
7
(2016·新课标1 卷) 已知函数f x


= x-2


ex+ a x-1


2有两个零点x1，x2，求a 的取值范围．
8
(江苏水哥原创) (1) 当- 5π
4 ≤x ≤0 时，证明：xex≥sinx + cosx - 1；
(2) 若x ≥- 5π
4 且x ≠0 时，有ex-1


sinx+cosx-1
xex
-a


< 0，求实数a 的所有可能值的取值集
合.
121
第五章
导数篇
第5讲
含参不等式的两种基本解题方法
典例讲解· 掌握方法
题型1
导数恒为正负作为分界点
1
(2011• 湖南) 设函数f(x) = x - 1
x - alnx(a ∈R)．讨论函数f(x) 的单调性．
2
(2017• 新课标1) 已知函数f(x) = ae2x+ (a - 2)ex- x．讨论f(x) 的单调性；
3
(长郡中学2021 届高三月考) 设函数f x


= x2 - xlnx + 2，若存在区间a,b


，1
2 ,+∞



，使得
f x


在a,b


上的值域为k a+2


,k b+2




，则k 的取值范围是(
)
A.
1, 9+2ln2
4




B.
1, 9+2ln2
4


C.
1, 9+2ln2
10




D.
1, 9+2ln2
10



题型2
根据含参讨论产生的图形作为分类依据
4
(2021 长郡中学一模) 已知函数f(x) = lnx - a 1- 1
x


+ 1(a ∈R)．
(1) 讨论函数f(x) 的单调性；
(2) 若f(x) > 0 在(1, +∞) 上恒成立，求整数a 的最大值．
题型3
零点问题的分参讨论
5
(2020• 新课标1 文科) 已知函数f(x) = ex- a(x + 2)．
(1) 当a = 1 时，讨论f(x) 的单调性；
(2) 若f(x) 有两个零点，求a 的取值范围．
6
(2016• 新课标1) 已知函数f(x) = (x - 2)ex+ a(x - 1)2有两个零点．求a 的取值范围.
7
(2017• 新课标1) 已知函数f(x) = ae2x+ (a - 2)ex- x．
(1) 讨论f(x) 的单调性；
(2) 若f(x) 有两个零点，求a 的取值范围．
8
(长沙一中、附中六校联考) 函数f(x) = ax - ln(x + 1)，g(x) = sinx，且f(x) ≥0 恒成立．
(1) 求实数a 的集合M ；
(2) 当a ∈M 时，判断f(x) 图象与g(x) 图象的交点个数，并证明．(参考数据：ln2 ≈0.69，e
π
2 -1 ≈
1.77)
题型4
复杂算式的含参零点问题先因式分解
名校冲刺
实战教辅
122
9
(雅礼中学2021 届高三月考) 已知函数f(x) = ex- ax + sinx - 1．
(1) 若函数f(x) 在(0, +∞) 上为增函数，求实数a 的取值范围；
(2) 当1 < a < 2 时，证明：函数g(x) = (x - 2)f(x) 有且仅有3 个零点．
巩固练习· 融会贯通
1. 已知函数f(x) = ax2+ lnx - (2 + a)x．
(1) 讨论f(x) 的单调性；
(2) 若f(x) ≥-ax 在区间(1,2) 上恒成立，求实数a 的取值范围．
2. 已知函数f(x) = xsinx - 1．
(1) 判断函数f(x) 在- π
2 ，π
2




的单调性，并说明理由；
(2) 当x ∈[0，π] 时，试判断函数y = f(x) 的零点个数，并说明理由．
3. (2021• 新高考2) 已知函数f(x) = (x - 1)ex- ax2+ b．讨论f(x) 的单调性.
4. (2020• 新课标Ⅲ) 已知函数f(x) = x3- kx + k2．
(1) 讨论f(x) 的单调性；
(2) 若f(x) 有三个零点，求k 的取值范围．
5. (2019• 新课标Ⅲ) 已知函数f(x) = 2x3- ax2+ 2．
(1) 讨论f(x) 的单调性；
(2) 当0 < a < 3 时，记f(x) 在区间[0，1] 的最大值为M ，最小值为m，求M - m 的取值范围．
6. (2018• 新课标1) 已知函数f(x) = 1
x - x + alnx．讨论f(x) 的单调性.
7. (2017• 新课标Ⅲ) 已知函数f(x) = lnx + ax2+ (2a + 1)x．
(1) 讨论f(x) 的单调性；
(2) 当a < 0 时，证明：f(x) ≤- 3
4a - 2．
8. (2017• 全国) 已知函数f(x) = ax3- 3(a + 1)x2+ 12x．
(1) 当a > 0 时，求f(x) 的极小值；
(2) 当a ≤0 时，讨论方程f(x) = 0 实根的个数．
9. (2022• 乙卷) 已知函数f(x) = ax - 1
x - (a + 1)lnx．
(1) 当a = 0 时，求f(x) 的最大值；
(2) 若f(x) 恰有一个零点，求a 的取值范围．
10. (2023 届长沙同升湖实验学校高三第二次月考) 已知函数f(x) = xlnx．
123
第五章
导数篇
(1) 若函数g(x) = f(x) + ax2- (a + 2)x(a > 0)，试研究函数g(x) 的极值情况；
(2) 记函数F(x) = f(x) - x
ex 在区间(1,2) 内的零点为x0，记m(x) = min f(x), x
ex


，若m(x) = n(n ∈
R) 在区间(1, +∞) 内有两个不等实根x1，x2(x1< x2)，证明：x1+ x2> 2x0．
名校冲刺
实战教辅
124
第6讲
双变量问题的三板斧之换元与同构思想
典例讲解· 掌握方法
题型1
换元法的基本思想
1
解不等式
8
(x+1)3 +
10
x+1 ≥x3+ 5x
题型2
构造函数技巧之同量同侧原则
2
(2021• 全国模拟) 已知a < 5 且ae5= 5ea，b < 4 且be4= 4eb，c < 3 且ce3= 3ec，则(
)
（1）c < b < a
B．b < c < a
C．a < c < b
D．a < b < c
分析:根据题意，设f(x) = ex
x ，对三个式子变形可得f(a) = f(5)，f(b) = f(4)，f(c) = f(3)，求出
f(x) 的导数，分析其单调性，可得f(x) 的大致图象，分析可得答案．
3
(2020• 新课标1) 若2a+ log2a = 4b+ 2log4b，则(
)
（1）a > 2b
B．a < 2b
C．a > b2
D．a < b2
4
(2021 新课标全国卷1 改编) 已知函数f(x) = x(1 - lnx)．
(1) 讨论f(x) 的单调性；
(2) 设a，b 为两个不相等的正数，且blna - alnb = a - b，证明：f
1
a


= f
1
b


．
5
已知函数f(x) = x2+ πcosx −a 在（0，+∞）有两个零点x1,x2, 且x1< x2，求证：x1+ x2< π.
6
若对任意的x1，x2∈(m, +∞)，且x1< x2，都有x1lnx2-x2lnx1
x2-x1
< 2，则m 的最小值是(
)
A. 1
e
B. e
C. 1
D. 3
e
7
(2021• 湖南师大附中高二月考) 已知曲线f(x) = bex + x 在x = 0 处切线方程为ax - y + 1 =
0．
(1) 求a，b 的值；
125
第五章
导数篇
(2) 当x2> x1> 0 时，f(x1) - f(x2) < (x1- x2) (mx1+ mx2+ 1) 恒成立，求实数m 的取值范围．
题型3
函数构造之指对跨阶型同构思想
8
(2020 长郡高三寒假作业) 若x1 是方程xex = e2 的解，x2 是方程xlnx = e2 的解，则x1x2 =
．
9
(2021• 长郡中学15 校联考) 已知函数f(x) = ex- 1+lnx
x
，g(x) = (a + 1)ex- 1．
(1) 证明：ex- f(x) ≤1；(2) 若x > 0 时，g(x) ≤f(x) 恒成立，求实数a 的取值范围；
(2) 求f(x) 的最小值．
10
(2022• 新高考Ⅰ) 已知函数f(x) = ex- ax 和g(x) = ax - lnx 有相同的最小值．
(1) 求a；
(2) 证明：存在直线y = b，其与两条曲线y = f(x) 和y = g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右
的三个交点的横坐标成等差数列．
巩固练习· 融会贯通
1. 若1 < x < 2，则ln2+1
2
, x2+1
ex2
, 2x+1
e2x
的大小关系正确的是(
)
A. x2+1
ex2
> ln2+1
2
> 2x+1
e2x
B. x2+1
ex2
> 2x+1
e2x
> ln2+1
2
C. ln2+1
2
> 2x+1
e2x
> x2+1
ex2
D. ln2+1
2
> x2+1
ex2
> 2x+1
e2x
2. (2021• 乙卷) 设a = 2ln1.01，b = ln1.02，c =
1.04 - 1，则(
)
A. a < b < c
B. b < c < a
C. b < a < c
D. c < a < b
3. (2020• 新课标2) 若2x- 2
y < 3-x- 3
-y，则(
)
A. ln(y - x + 1) > 0
B. ln(y - x + 1) < 0
C. ln|x - y| > 0
D. ln|x - y| < 0
4. 若a + lna = 2b + lnb，则(
)
A. a < 2b
B. a > 2b
C. a > b2
D. a < b2
5. 若3a+ log3a = 9b+ 2log9b，则(
)
A. a > 2b
B. a < 2b
C. a > b2
D. a < b2
6. (2021• 蚌埠三模) 若log2a - a + a2= log2b - b + 4b2+ 1，则(
)
A. a > 2b
B. a < 2b
C. a > 2b + 1
D. b > 2a + 1
7. 已知实数x，y 满足log2x + e
-y < log2y + e-x，则下列结论一定正确的是(
)
名校冲刺
实战教辅
126
A. x > y
B. ln|x - y| < 0
C. ln|x - y + 1| > 0
D. ln|y - x + 1| > 0
8. (2021 春• 咸阳期末) 若对任意0 < x1 < x2 < a，有lnx1
x1
- lnx2
x2
< 1
x2
- 1
x1
成立，则a 的最大值为
．
9. (2021• 昆明一中高三开学考试) 已知函数f(x) = ex+ ax - 1，a ∈R．
(1) 判断函数f(x) 的单调性；
(2) 当x ∈(0,π) 时，不等式f(sinx) < f(x) 恒成立，求实数a 的取值范围．
10. 若对任意的x1，x2∈(m, +∞)，且x1< x2，都有lnx2-lnx1
x2-x1
< e，则m 的最小值是
．
11. (雅礼中学2021 届高三月考) 已知函数f x


= x-1


ex - a
2 x2，对于任意x1 ∈R，x2 ∈0，+∞


，不
等式f x1+x2


- f x1-x2


>-2x2恒成立，则整数a 的最大值为(
)
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
12. (2019 长郡中学高三寒假作业) 已知实数x1，x2满足x1e
x1= e3，x2(lnx2- 2) = e5，则x1x2= 　　．
13. 已知函数f(x) = 2x3lnx - (m - x)e
m
x -1，当x ≥e 时，f(x) ≥0 恒成立，则实数m 的取值范围为
(
)
A. (-∞，4e]
B. (-∞，3e]
C. (-∞，2e]
D.
-∞, 3e
2



14. (2021• 辽阳县一模) 已知函数f(x) = (x + m)ex．
(1) 若f(x) 在(-∞，1] 上是减函数，求实数m 的取值范围；
(2) 当m = 0 时，若对任意的x ∈(0, +∞)，nxln(nx) ≤f(2x) 恒成立，求实数n 的取值范围．
15. (2020• 山东新高考) 已知函数f(x) = aex-1- lnx + lna．
(1) 当a = e 时，求曲线y = f(x) 在点(1，f(1)) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2) 若f(x) ≥1，求a 的取值范围．
127
第五章
导数篇
第7讲
双变量问题的三板斧之极值点偏移
典例讲解· 掌握方法
题型1
常规型极值点偏移问题之对称化构造
1
(2010• 天津) 已知函数f(x) = xe-x(x ∈R)
(1) 求函数f(x) 的单调区间和极值；
(2) 若函数y = g(x) 图象与函数y = f(x) 图象关于直线x = 1 对称，证明：当x > 1 时，f(x) > g(x)；
(3) 如果x1≠x2，且f(x1) = f(x2)，证明x1+ x2> 2．
2
(2011• 辽宁) 已知函数f(x) = lnx - ax2+ (2 - a)x．
(1) 讨论f(x) 的单调性；
(2) 设a > 0，证明：当0 < x < 1
a 时，f
1
a +x


> f
1
a -x


；
(3) 若函数y = f(x) 的图象与x 轴交于A，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x0，证明：f′ (x0) < 0．
3
已知f x


= 2lnx + ax2 a∈R


.
(1) 讨论函数f x


的单调性；
(2) 当a =- 1
e2 时，证明：函数f x


有且仅有两个零点x1,x2，且x1+ x2> 2e.
4
已知函数f(x) = xlnx - ax + a．
(1) 若x ≥1 时，f(x) ≥0，求a 的取值范围；
(2) 当a = 1 时，方程f(x) = b 有两个不相等的实数根x1,x2，证明：x1x2< 1．
题型2
极值点偏移之变更结论
5
已知函数f(x) = 1
2 x2- x - aex．
(1) 若f(x) 有两个不同的极值点，求a 的取值范围；
(2) 设m > 0,n > 0,m ≠n 且mlnn - nlnm = m - n，求证：mn > e4．
6
(2021 新课标I) 已知函数f(x) = x(1 - lnx)．
(1) 讨论f(x) 的单调性；
(2) 设a，b 为两个不相等的正数，且blna - alnb = a - b，证明：2 < 1
a + 1
b < e．
7
(2022• 甲卷) 已知函数f(x) = ex
x - lnx + x - a．
(1) 若f(x) ≥0，求a 的取值范围；
(2) 证明：若f(x) 有两个零点x1，x2，则x1x2< 1．
名校冲刺
实战教辅
128
巩固练习· 融会贯通
1. 已知函数f(x) = sinx
ex ，x ∈(0,π)．
(1) 求函数f(x) 的单调区间；
(2) 若x1≠x2，且f(x1) = f(x2)，证明：x1+ x2> π
2 ．
2. (2013 • 湖南高考) 已知函数f(x) = 1-x
1+x2 ex．
(1) 求f(x) 的单调区间；
(2) 证明：当f(x1) = f(x2) (x1≠x2) 时，x1+ x2< 0．
3. (2016• 新课标1 理) 已知函数f(x) = (x - 2)ex+ a(x - 1)2有两个零点．
(1) 求a 的取值范围；
(2) 设x1，x2是f(x) 的两个零点，证明：x1+ x2< 2．
4. 已知a ∈R，f(x) = x ⋅e-ax(其中e 为自然对数的底数)．
(1) 求函数y = f(x) 的单调区间；
(2) 若a > 0，函数y = f(x) - a 有两个零点x，x2，求证：x2
1 + x2
2> 2e．
5. (2023 届长郡中学高三月考试卷三) 已知函数f(x) = ex- mx2
2
,m ∈R．
(1) 讨论f(x) 极值点的个数；
(2) 若f(x) 有两个极值点x1，x2，且x1< x2，证明：f(x1) + f(x2) < 2e - m．
129
第五章
导数篇
第8讲
双变量问题的三板斧之比值代换
典例讲解· 掌握方法
题型1
比值代换构造技巧之直接法
1
已知函数f(x) = ax2- blnx 在点(1,f(1)) 处的切线为y = 1
(1) 求实数a,b 的值；
(2) 若0 < x1< x2，求证：x2-x1
lnx2-lnx1
< 2x2.
题型2
比值代换构造技巧之消参法
2
(2021• 武汉高三月考) 已知函数f(x) = xlnx - ax2- x，a ∈R．
(1) 若f(x) 存在单调递增区间，求a 的取值范围；
(2) 若x1，x2(x1< x2) 为f(x) 的两个不同极值点，证明：4lnx1+ lnx2> 3．
3
(长郡中学高二期末考试) 已知函数f(x) = x2lnx - ax + 1．
(1) 若f(x) ≥0 恒成立，求实数a 的取值范围；
(2) 若函数y = f(x) - ax3 + ax - 1 的两个非零零点为x1，x2，证明：x1x2 > e2．(e = 2.71828 ⋯为
自然对数的底数)．
4
(2023 届雅礼中学16 校高三第一次联考) 已知函数f(x) = ex-1 - ax(a ∈R) 在区间(0,2) 上有
两个不同的零点x1，x2．
(1) 求实数a 的取值范围；
(2) 求证：x1x2> 1
a ．
题型3
比值代换构造技巧之反客为主法
5
(2021 沈阳月考) 已知函数f(x) = ex- ax 有两个零点x1，x2，且x1< x2．
(1) 求证：a > e；
(2) 求证：x1+ x2> 2．
题型4
差值代换（不方便指化对时）
6
(2021 秋• 广州月考) 已知函数f(x) = ex- ax + x - b(a,b ∈R)．
(1) 讨论f(x) 的单调性；
(2) 当a = 3 时，函数f(x) 存在两个零点x1，x2(x1< x2)，求证：e
x1+ e
x2> 4．
名校冲刺
实战教辅
130
题型5
双变量+韦达消参
7
(2018• 新课标1) 已知函数f(x) = 1
x - x + alnx．
(1) 讨论f(x) 的单调性；
(2) 若f(x) 存在两个极值点x1，x2，证明：f(x1)- f(x2)
x1-x2
< a - 2．
题型6
放缩思想与双变量问题综合
8
(2021 长郡中学高三月考) 已知函数f(x) = lnx - x + a．
(1) 讨论函数f(x) 零点的个数；
(2) 若函数f(x) 存在两个零点x1，x2(x1< x2)，证明：2lnx1+ lnx2< 0.
题型7
整式构造的灵活应用（思维拓展）
9
(2018• 浙江) 已知函数f(x) =
x - lnx，若f(x) 在x = x1，x2(x1≠x2) 处导数相等.
证明：f(x1) + f(x2) > 8 - 8ln2；
10
已知函数f(x) = x(1 - lnx)．
(1) 讨论f(x) 的单调性；
(2) 设a，b 为两个不相等的正数，且blna - alnb = a - b，证明：2 < 1
a + 1
b < e．
巩固练习· 融会贯通
1. 若函数f(x) = x2- (a - 2)x - alnx，有两个零点x1，x2，求证：fx1+x2
2


> 0.
2. 已知函数f(x) = lnx - ax + b(a,b ∈R) 有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2< 1
a2 .
3. (2013• 陕西) 已知函数f(x) = ex，x ∈R．
(1) 求f(x) 的反函数的图象上的点(1,0) 处的切线方程；
(2) 证明：曲线y = f(x) 与曲线y = 1
2 x2+ x + 1 有唯一公共点．
(3) 设a < b，比较f a+b
2


与f(b)- f(a)
b-a
的大小，并说明理由．
4. (湖南师大附中2021 届高三月考) 已知函数f x


= lnx + a
2 x2- a+1


x
(1) 讨论函数f x


的单调性；
(2) 设x1，x2 0<x1<x2


是函数g x


= f x


+ x 的两个极值点，证明：g x1


- g x2


< a
2 - lna 恒成
立.
5. (2014• 湖南) 已知常数a > 0，函数f(x) = ln(1 + ax) -
2x
x+2 ．
131
第五章
导数篇
(1) 讨论f(x) 在区间(0, +∞) 上的单调性；
(2) 若f(x) 存在两个极值点x1，x2，且f(x1) + f(x2) > 0，求a 的取值范围．
6. (2021• 广州一模) 已知函数f(x) = xlnx - ax2+ x(a ∈R)．
(1) 证明：曲线y = f(x) 在点(1，f(1)) 处的切线l 恒过定点；
(2) 若f(x) 有两个零点x1，x2，且x2> 2x1，证明：x2
1+x2
2 > 4
e ．
7. (2021• 长沙市一中高考一模) 已知函数f(x) = xlnx - 1
2 kx2- x，g(x) = lnx - kx．
(1) 当k = 1 时，求g(x) 的最大值；
(2) 当0 < k < 1
e 时，
(ⅰ) 判断函数g(x) 的零点个数；
(ⅱ) 求证：f(x) 有两个极值点x1，x2，且f(x1)
x1
+ f(x2)
x2
>-1．
8. (2022• 雅礼中学高考数学二模) 已知f(x) = lnx - x2- 1
x ,0 < x1< x2．
(1) 求f(x) 的最大值；
(2) 求证：(ⅰ) 存在x0∈(x1，x2)，使得f(x0) = f(x1)- f(x2)
x1-x2
；
(ⅱ) 当存在x0∈(x1，x2)，使得f(x0) = f(x1)- f(x2)
x1-x2
时，有x1+ x2> 2x0．
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