文档文本内容
第 06 讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................1
第二部分：高考真题回顾........................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................3
高频考点一：相互独立事件的判断与概率........................................................3
高频考点二：条件概率......................................................................................4
高频考点三：全概率公式的应用.......................................................................6
第四部分：新定义题...............................................................................................8
第一部分：基础知识
知识点一：相互独立事件
对任意两个事件 与 ，如果 成立，则称事件 与事件 相互独立(mutually
independent)，简称为独立．
性质1：必然事件 、不可能事件 与任意事件相互独立
性质2：如果事件 与 相互独立，则 与 ， 与 ， 与 也相互独立
则： ， ，
知识点二：条件概率
1、定义：一般地，设 ， 为两个随机事件，且 ，我们称 为在事件 发生
的条件下，事件 发生的条件概率，简称条件概率．
2、乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件 与 ，若 ，则 ．
我们称上式为概率的乘法公式．
3、条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设 ，则
① ；
②如果 和 是两个互斥事件，则 ；
③设 和 互为对立事件，则 ．
④任何事件的条件概率都在0和1之间，即： .
知识点三：全概率公式
1、定义：一般地,设 , , 是一组两两互斥的事件, ,且 ，
,则对任意的事件 ,有 ,我们称此公式为全概率公式.
2、全概率公式的理解
全概率公式的直观意义：某事件 的发生有各种可能的原因 （ ）,并且这些原因两两互
斥不能同时发生，如果事件 是由原因 所引起的，且事件 发生时， 必同时发生，则 与
有关，且等于其总和 .
“全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率 ,或已知各原因 发生的概率
及在 发生的条件下 发生的概率 .通俗地说，事件 发生的可能性，就是其原因 发
生的可能性与已知在 发生的条件下事件 发生的可能性的乘积之和.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面
三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件 ：所选盒中有中国结，事件 ：所选盒中有记事本，事件
：所选盒中有笔袋，则（ ）
A．事件 与事件 互斥 B．事件 与事件 相互独立
C．事件 与事件 互斥 D．事件 与事件 相互独立
2．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有 3种题库， 题库有5000道题， 题库有
4000道题， 题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成 题库的正确率是0.92， 题库的正
确率是0.86， 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
3．（2024·天津·高考真题） 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到 的概率为
；已知乙选了 活动，他再选择 活动的概率为 ．第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：相互独立事件的判断与概率
典型例题
例题1．（2024·广东广州·模拟预测）掷出两枚质地均匀的骰子，记事件 “第一枚点数小于3”，事件
“第二枚点数大于4”，则 与 关系为（ ）
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
例题2．（24-25高二上·湖北·阶段练习）抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记录骰子朝上面的点
数，若用 表示红色骰子的点数，用 表示绿色骰子的点数，用 表示一次试验结果，设事件
；事件 ：至少有一颗点数为5；事件 ；事件 .则下列说法正确的是（ ）
A．事件 与事件 为互斥事件 B．事件 与事件 为互斥事件
C．事件 与事件 相互独立 D．事件 与事件 相互独立
例题3．（多选）（24-25高三上·陕西安康·开学考试）一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号
分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件 “摸出的两个球的编号之和小于5”，
事件 “摸出的两个球的编号都大于2”，事件 “摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）
A．事件 与事件 是互斥事件 B．事件 与事件 是对立事件
C．事件 与事件 是相互独立事件 D．事件 与事件 是互斥事件
例题4．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学
问题，满分100分.结束后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段： ，
，……，[90,100)，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数；
(2)活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道数学
问题难度相当，被答对的可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率.练透核心考点
1．（24-25高二上·山西·开学考试）小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道
题的概率分别为 ， ， ，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为 ，则他三道题
都答错的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·河北邢台·期中）甲､乙两社团各有3名男党员､3名女党员，从甲､乙两社团中各随机选
出1名党员参加宪法知识比赛.设事件 为“从甲社团中选出的是男党员小凡”，事件 为“从乙社团中选
出的是男党员”，事件 为“从甲､乙两社团中选出的是2名男党员”，事件 为“从甲､乙两社团中选出
的是1名男党员和1名女党员”，则下列说法不正确的是（ ）
A． 与 相互独立 B． 与 相互独立
C． 与 相互独立 D． 与 互斥
3．（多选）（24-25高二上·广西柳州·开学考试）抛掷质地均匀的骰子两次，事件 “第一次出现偶数
点”，事件 “第二次出现奇数点”，事件 “两次都出现偶数点”，则（ ）
A．A包含C B．A与B相互独立
C．B与C互为对立事件 D．B与C互斥但不对立
4．（24-25高二上·吉林·阶段练习）某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题.
第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个
问题回答正确得30分，回答错误得 分.规定：每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关
成功.若某位选手回答前两个问题正确的概率都是 ，回答第三个问题正确的概率是 ，且各问题回答正确
与否相互之间没有影响，则该选手仅回答正确两个问题的概率是 ；该选手闯关成功的概率是 .
高频考点二：条件概率
典型例题
例题1．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一
次，已知两人的命中率分别为 和0.6，若已知目标已被击中，且是被甲击中的概率为0.8，则 （ ）A． B． C． D．
例题2．（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）某公司计划招聘一名技术人员，招聘方式如下：应聘者
从公司准备的6道题目中依次选择任意2道题解答，2道题全答对就录用，否则不予录用．已知应聘者甲
会做其中的4道题，记事件 为“第一题答对”，事件 为“第二题答错”，事件 为“甲被录用”，则
（ ）
A． B． C． D．
例题3．（多选）（23-24高二下·陕西西安·期末）一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球
5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中
随机取出2个球，分别用 ， 表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用 ， 表示
事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（
）
A． B．
C． D．
例题4．（2024·江西新余·模拟预测）小金、小郅、小睿三人下围棋，已知小金胜小郅、小睿两人的胜率均
为 ，小郅胜小睿的胜率为 ，比赛采用三局两胜制，第一场比赛等概率选取一人轮空，剩余两人对弈，
胜者继续与上一场轮空者比赛，另一人轮空.以此类推，直至某人赢得两场比赛，则其为最终获胜者.
(1)若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？
(2)求最终小金获胜的概率.
(3)若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率（请用两种方法解答）.
练透核心考点
1．（23-24高三上·湖南·阶段练习）在“最强大脑”的双英对抗赛中，甲、乙两人同时挑战100秒记忆力项目，根据以往甲、乙两人同场对抗挑战该项目的记录统计分析，在对抗挑战中甲挑战成功的概率 ，乙
挑战成功的概是 ，甲、乙均未挑战成功的概率 ，则在甲挑战成功的条件下，乙挑战成功的概率为
（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（24-25高三上·江苏南通·开学考试）随机事件 满足 ，则下
列说法正确的是（ ）
A．事件 互不独立
B．
C．
D．
3．（24-25高三上·上海·阶段练习）从一副去掉大小王的52张扑克牌中无放回地任意抽取两次.在第一次抽
到 的条件下，第二次也抽到 的概率为 .（结果用最简分数表示）
4．（24-25高二下·全国·课后作业）“端午节”是我国四大传统节日之一，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢
庆娱乐和饮食为一体的民俗大节，其民间活动也是丰富多彩，有赛龙舟、凤舟、吃粽子、饮雄黄、悬艾
叶、驱五毒等等．某市为迎接端午，组织各式活动，其中赛龙舟竞争最为激烈，最终两队争夺赛事第一，
若夺标赛为“三局两胜制”，甲队在每局比赛中获胜的概率为 ，且每场比赛结果相互独立，则在甲队获
得冠军的条件下，甲、乙两队进行了3局比赛的概率为 ．
高频考点三：全概率公式的应用
典型例题
例题1．（24-25高二下·全国·课后作业）某人参加抽奖游戏，现有三叠外形、大小、图案均相同的卡片，
分别有10张、15张、20张，若每叠中有2张中奖卡片，则随机选择一叠卡片抽取，中奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（多选）（24-25高三上·江苏南京·开学考试）对于随机事件A，B，若 ， ，
，则（ ）A． B． C． D．
例题3．（24-25高三上·上海·开学考试）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分
别为30000只、40000只、60000只和70000只，又知这四条流水线的产品合格率依次为0.95、0.96、0.97
和0.98，则从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是 .
例题4．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题，学生小万能完
整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概
率为 ，没有思路的题只能从4个选项中随机选一个答案．若小万从这8个题中任选1题，则他做对的概
率为 ．
练透核心考点
1．（24-25高二下·全国·课后作业）某医院针对某种疾病研制了新的特效药，可有效减轻症状，缩短病
程．现将该药品投入临床试验，若不使用新药，病人3天可痊愈的概率为0.3，若使用新药，则3天痊愈的
概率为0.9，假设临床病人有0.7的概率选择新药，若某病人3天痊愈，则该病人未使用新药的概率为（
）
A．0.3 B．0.21 C．0.125 D．0.09
2．（多选）（24-25高三上·江苏·开学考试）甲罐中有 个红球， 个白球，乙罐中有 个红球， 个白
球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球． 表示事件“从甲罐取出的球是红
球”， 表示事件“从甲罐取出的球是白球”， 表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确
的是（ ）
A． 为互斥事件 B．
C． D．
3．（2024·江苏南京·模拟预测）在概率论中，全概率公式指的是：设 为样本空间，若事件 两
两互斥， ，则对任意的事件 ，有
．若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，
乙盒中有 个白球 、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机
取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于 ，则 的最大值为
．4．（24-25高二下·全国·课后作业）“好时节，愿得年年，常见中秋月”，中秋节是我国的传统节日，又
称八月节、追月节等.中秋节起源于上古时代，普及于汉代，定型于唐朝初年，盛行于宋朝以后，每逢中秋
佳节，人们互相馈赠月饼，吃团圆饭，观灯赏月，寓意团团圆圆.现盘中有 块月饼，其中有 块是蛋黄月
饼，甲、乙、丙三人依次拿一块进行不放回抽取，求丙拿到蛋黄月饼的概率．
第四部分：新定义题
1．（2023·浙江杭州·二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，
在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我
们的序列状态是…， ， ， ， ，…，那么 时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态 ，即
．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为 ，且每局赌赢可以赢得1元，每
一局赌徒赌输的概率为 ，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束
赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的
本金为 ，赌博过程如下图的数轴所示．
当赌徒手中有n元（ ， ）时，最终输光的概率为 ，请回答下列问题：
(1)请直接写出 与 的数值．
(2)证明 是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当 时，分别计算 ， 时， 的数值，并结合实际，解释当 时， 的
统计含义．
