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§7.4 空间直线、平面的平行
课标要求 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.2.掌握直线与平
面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用.
1.线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果平面外一条直线
与此平面内的一条直
线平行，那么该直线
与此平面平行
a⊄α
b⊂α
a∥b}
⇒a∥α
性质定理
一条直线与一个平面
平行，如果过该直线
的平面与此平面相
交，那么该直线与交
线平行
a∥α
a⊂β
α ⋂β =b}
⇒a∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判
定
定
理
如果一个平面内
的两条相交直线
与另一个平面平
行，那么这两个
平面平行
a⊂β
b⊂β
a⋂b= P
a∥α
b∥α }
⇒β∥α
性
质
定
理
两个平面平行，
如果另一个平面
与这两个平面相
交，那么两条交
线平行
α ∥β
α ⋂γ =a
β ⋂γ =b}
⇒a∥b
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.( × )
(2)若直线a 与平面α 内无数条直线平行，则a∥α.( × )
(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.( × )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也互相平行.( × )
2.如果直线a∥平面α，那么直线a 与平面α 内的( )
A.一条直线不相交
B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交
D.任意一条直线都不相交
答案 D
解析 因为直线a∥平面α，直线a 与平面α 无公共点，因此直线a 与平面α 内的任意一条直线都不相交.
3.设有两条不同的直线m，n 和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是( )
A.若m∥α，n∥α，则m∥n
B.若m∥α，m∥β，则α∥β
C.若m∥n，m∥α，则n∥α
D.若α∥β，m⊂α，则m∥β
答案 D
解析 若m∥α，n∥α，则m，n 可以平行、相交或异面，故A 错误；
若m∥α，m∥β，则α∥β 或α，β 相交，故B 错误；
若m∥n，m∥α，则n∥α 或n⊂α，故C 错误；
若α∥β，m⊂α，则m∥β，故D 正确.
4.如图是长方体被一平面截后得到的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH 的形状为 .
答案 平行四边形
解析 ∵平面ABFE∥平面DCGH，
又平面EFGH∩平面ABFE=EF，
平面EFGH∩平面DCGH=HG，
∴EF∥HG.同理EH∥FG，
∴四边形EFGH 是平行四边形.
1.掌握三种平行关系的转化
2.灵活应用以下结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB∥CD，AB=2，CD=4，E 为PC 的中点.
求证：BE∥平面PAD.
证明 方法一 如图，取PD 的中点F，连接EF，FA.
由题意知EF 为△PDC 的中位线，
∴EF∥CD，且EF=1
2CD=2.
又∵AB∥CD，AB=2，CD=4，∴AB
EF，
∴四边形ABEF 为平行四边形，
∴BE∥AF.
又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
方法二 如图，延长DA，CB 相交于H，连接PH，
∵AB∥CD，AB=2，CD=4，
∴HB
HC = AB
CD =1
2，
即B 为HC 的中点，
又E 为PC 的中点，∴BE∥PH，
又BE⊄平面PAD，PH⊂平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
方法三 如图，取CD 的中点H，连接BH，HE，
∵E 为PC 的中点，
∴EH∥PD，
又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴EH∥平面PAD，
又由题意知AB
DH，
∴四边形ABHD 为平行四边形，∴BH∥AD，
又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD，
∴BH∥平面PAD，
又BH∩EH=H，BH，EH⊂平面BHE，
∴平面BHE∥平面PAD，
又BE⊂平面BHE，∴BE∥平面PAD.
命题点2 直线与平面平行的性质
例2 如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，M 是PC 的中点，在DM 上取一
点G，过G 和PA 作平面交BD 于点H.
求证：PA∥GH.
证明 如图所示，连接AC 交BD 于点O，连接OM，
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点，
又M 是PC 的中点，
∴PA∥OM，
又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD=GH，∴PA∥GH.
思维升华 (1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点).
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α).
③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.
跟踪训练1 如图，四边形ABCD 为长方形，点E，F 分别为AD，PC 的中点.设平面PDC∩平面PBE=l.
证明：
(1)DF∥平面PBE；
(2)DF∥l.
证明 (1)取PB 的中点G，连接FG，EG，
因为点F 为PC 的中点，
所以FG∥BC，FG=1
2BC，
因为四边形ABCD 为长方形，
所以BC∥AD，且BC=AD，
所以DE∥FG，DE=FG，
所以四边形DEGF 为平行四边形，
所以DF∥GE，
因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE，所以DF∥平面PBE.
(2)由(1)知DF∥平面PBE，
又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE=l，
所以DF∥l.
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 (1)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E，F 分别是棱B1C1，AC，BC 的中点.证明：AD∥平面
C1EF.
证明 连接BD.
因为E，F 分别是棱AC，BC 的中点，所以EF∥AB.
因为EF⊂平面C1EF，AB⊄平面C1EF，
所以AB∥平面C1EF.
因为D，F 分别是棱B1C1，BC 的中点，所以BF∥C1D，BF=C1D，
所以四边形BDC1F 是平行四边形，则BD∥C1F.
因为C1F⊂平面C1EF，BD⊄平面C1EF，所以BD∥平面C1EF.
因为AB∩BD=B，AB，BD⊂平面ABD，
所以平面ABD∥平面C1EF，
因为AD⊂平面ABD，所以AD∥平面C1EF.
(2)如图所示，AA1，BB1为圆台的两条不同的母线，O1，O 分别为圆台的上、下底面圆的圆心.求证：
A1B1∥AB.
证明 ∵圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，
∴圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.
∴母线AA1与母线BB1的延长线必交于一点，
∴A，A1，B，B1四点共面.
∵圆O1∥圆O，且平面ABB1A1∩圆O1=A1B1，平面ABB1A1∩圆O=AB.
∴A1B1∥AB.
思维升华 (1)证明面面平行的常用方法
①利用面面平行的判定定理.
②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β).
③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ).
(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线.
跟踪训练2 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过BC 的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH 与B1C1不
重合).
(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G 分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，
∴平面ABC∥平面A1B1C1，
又∵平面BCHG∩平面ABC=BC，
且平面BCHG∩平面A1B1C1=GH，
∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.
(2)∵E，F 分别为AB，AC 的中点，
∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E 分别为A1B1，AB 的中点，A1B1
AB，
∴A1G
EB，
∴四边形A1EBG 是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF=E，A1E，EF⊂平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
题型三 平行关系的综合应用
例4 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点.
(1)当A1 D1
D1C1
为何值时，BC1∥平面AB1D1；
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求AD
DC 的值.
解 (1)当
A1 D1
D1C1
=1 时，BC1∥平面AB1D1.
如图，连接A1B 交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，
∴点O 为A1B 的中点.
在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
∴OD1∥BC1.
又OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1.
∴当
A1 D1
D1C1
=1 时，BC1∥平面AB1D1.
(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1=OD1.
因此BC1∥OD1，同理AD1∥DC1.
∴
A1 D1
D1C1
=
A1O
OB ，A1 D1
D1C1
= DC
AD .
又A1O
OB =1，∴DC
AD =1，即AD
DC =1.
思维升华 解决面面平行问题的关键点
(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在
应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于
“模式化”.
(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.
跟踪训练3 如图，在四棱锥A-BCDE 中，N 是BC 的中点，四边形BCDE 为平行四边形.试探究在线段
AE 上是否存在点M，使得MN∥平面ACD？若存在，请确定M 点的位置，并给予证明；若不存在，请
说明理由.
解 在线段AE 上存在点M，且M 为AE 的中点，使得MN∥平面ACD.
证明如下：
取AD 的中点G，连接CG，GM，如图.
因为M 为AE 的中点，
所以GM∥DE，且GM=1
2DE.
因为N 为BC 的中点，且四边形BCDE 为平行四边形，所以CN∥DE，且CN=1
2DE，
所以GM∥CN，且GM=CN，
所以四边形CNMG 为平行四边形.
所以GC∥MN.
因为GC⊂平面ACD，MN⊄平面ACD，
所以MN∥平面ACD.
课时精练
[分值：90 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.已知两个不同的平面α，β 和两条不同的直线m，n，下面四个命题中，正确的是( )
A.若m∥n，n⊂α，则m∥α
B.若m∥α，n∥α 且m⊂β，n⊂β，则α∥β
C.若m∥α，n⊂α，则m∥n
D.若m⊥α，m⊥β，则α∥β
答案 D
解析 对于A，若m∥n，n⊂α，则m∥α 或m⊂α，故A 错误；
对于B，当m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β 且m 与n 相交时，α∥β，故B 错误；
对于C，若m∥α，n⊂α，则m∥n 或m 与n 异面，故C 错误；
对于D，由线面垂直的性质可以证得，故D 正确.
2.如图，已知P 为四边形ABCD 外一点，E，F 分别为BD，PD 上的点，若EF∥平面PBC，则( )
A.EF∥PA
B.EF∥PB
C.EF∥PC
D.以上均有可能
答案 B
解析 由线面平行的性质定理可知EF∥PB.
3.(2025·贵阳模拟)设l 为直线，α 为平面，则l∥α 的一个充要条件是( )
A.α 内存在一条直线与l 平行
B.l 平行α 内无数条直线
C.垂直于α 的直线都垂直于l
D.存在一个与α 平行的平面经过l
答案 D
解析 对于A 中，由α 内存在一条直线与l 平行，则l∥α 或l⊂α，所以A 不正确；
对于B 中，由l 平行α 内无数条直线，则l∥α 或l⊂α，所以B 不正确；
对于C 中，由垂直于α 的直线都垂直于l，则l∥α 或l⊂α，所以C 不正确；
对于D 中，如图所示，由l∥α，在直线l 上任取一点P 作直线a，使得a∥α，因为l∩a=P 且l，a⊂平面β，
所以α∥β，即充分性成立；反之，若存在一个与α 平行的平面经过l，根据面面平行的性质，可得l∥α，
即必要性成立，所以D 正确.
4.已知P 为△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α 分别交线段PA，PB，PC 于点A'，B'，C'，
若PA'∶AA'=2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC等于( )
A.2∶3
B.2∶5
C.4∶9
D.4∶25
答案 D
解析 ∵平面α∥平面ABC，
∴A'C'∥AC，A'B'∥AB，B'C'∥BC，
∴S△A'B'C'∶S△ABC=(PA'∶PA)2，
又PA'∶AA'=2∶3，∴PA'∶PA=2∶5，
∴S△A'B'C'∶S△ABC=4∶25.
5.(2024·衡水模拟)如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当
PA∥平面EBF 时，PF
FC 等于( )
A.2
3
B.1
4
C.1
3
D.1
2
答案 D
解析 连接AC 交BE 于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBF=FG，
所以PA∥FG，所以PF
FC = AG
GC .又AD∥BC，E 为AD 的中点，
所以AG
GC = AE
BC =1
2，所以PF
FC =1
2.
6.(2025·广州模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AM=2MA1，BN=2NB1，过MN 作一平面分别交底面
△ABC 的边BC，AC 于点E，F，则( )
A.MF∥EB
B.A1B1∥NE
C.四边形MNEF 为平行四边形
D.四边形MNEF 为梯形
答案 D
解析 由于B，E，F 三点共面，F∈平面BEF，
M∉平面BEF，EB 不过点F，故MF，EB 为异面直线，故A 错误；
由于B1，N，E 三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，NE 不过点B1，故A1B1，NE 为异面直线，故B
错误；
∵在平行四边形AA1B1B 中，AM=2MA1，
BN=2NB1，∴AM∥BN，AM=BN，
故四边形AMNB 为平行四边形，∴MN∥AB.
又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴MN∥平面ABC.
又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC=EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，
显然在△ABC 中，EF≠AB，∴EF≠MN，
∴四边形MNEF 为梯形，故C 错误，D 正确.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.下列说法不正确的有( )
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
答案 ABD
解析 若两条直线和同一平面所成的角相等，这两条直线可能平行，也可能异面，也可能相交，故A 错误；
若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，这两个平面可能平行，也可能相交，故B 错误；由线面
平行的性质定理可知C 正确；若两个平面垂直同一个平面，则两平面可以平行，也可以垂直，故D 错误.
8.已知三棱台ABC-A'B'C'，上、下底面边长之比为1∶2，棱AB，BC，AC 的中点分别为点M，P，N，则下
列结论错误的有( )
A.A'N∥PC'
B.A'P 与AC 为异面直线
C.AB∥平面A'C'P
D.平面A'MN∥平面BCC'B'
答案 AC
解析 对于A，因为A'N⊂平面A'C'CA，C'∈平面A'C'CA，P∉平面A'C'CA，且C'∉A'N，所以A'N，PC'是
异面直线，故A 错误；
对于B，因为AC⊂平面A'C'CA，A'∈平面A'C'CA，P∉平面A'C'CA，且A'∉AC，所以A'P 与AC 为异面直线，
故B 正确；
对于C，因为棱AB，BC 的中点分别为点M，P，所以AC∥MP，因为AC∥A'C'，所以MP∥A'C'，可得
AB∩平面A'C'PM=M，故C 错误；
对于D，因为AB，AC 的中点分别为点M，N，所以MN∥BC，因为MN⊄平面BCC'B'，BC⊂平面BCC'B'，
所以MN∥平面BCC'B'，因为AC∥A'C'，A'C'=1
2AC=NC，所以四边形A'C'CN 为平行四边形，可得
A'N∥C'C，因为A'N⊄平面BCC'B'，C'C⊂平面BCC'B'，所以A'N∥平面BCC'B'，因为MN∩A'N=N，MN，
A'N⊂平面A'MN，所以平面A'MN∥平面BCC'B'，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.如图，α∥β，△PAB 所在的平面与α，β 分别交于CD，AB，若PC=2，CA=3，CD=1，则AB= .
答案 5
2
解析 ∵α∥β，△PAB 所在的平面与α，β 分别交于CD，AB，
∴CD∥AB，则PC
PA =CD
AB ，
∴AB= PA ×CD
PC
=5×1
2
=5
2.
10.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H 分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC 的中点，N 是
BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件 ，就有MN∥
平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
答案 点M 与点H 重合(点M 在线段FH 上即可)
解析 连接HN，FH，FN(图略)，
则FH∥DD1，HN∥BD，FH∩HN=H，FH，HN⊂平面FHN，DD1，BD⊂平面B1BDD1，
∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，
则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M，N 分别是AB，PC 的中点.
(1)证明：MN∥平面PAD；(7 分)
(2)若平面PAD∩平面PBC=l，判断BC 与l 的位置关系，并证明你的结论.(6 分)
(1)证明 取CD 中点Q，连接MQ，NQ.
因为M，N，Q 分别为AB，PC，CD 的中点，
故MQ∥AD，NQ∥PD，
又MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
故MQ∥平面PAD，同理NQ∥平面PAD.
又MQ，NQ⊂平面MNQ，MQ∩NQ=Q，
故平面MNQ∥平面PAD，
又MN⊂平面MNQ，故MN∥平面PAD.
(2)解 BC∥l，证明如下.
因为四边形ABCD 为平行四边形，
故AD∥BC，
又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
故BC∥平面PAD.
又平面PAD∩平面PBC=l，BC⊂平面PBC，
故BC∥l.
12.(15 分)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD 为正方形，E 为棱AA1的中点，AB=2，AA1=3.
(1)求三棱锥A-BDE 的体积；(6 分)
(2)在DD1上是否存在一点P，使得平面PA1C∥平面EBD.如果存在，请说明P 点位置并证明；如果不存在，
请说明理由.(9 分)
解 (1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，
所以V 三棱锥A-BDE=V 三棱锥E-ABD=1
3AE·S△ABD
=1
3×3
2×1
2×2×2=1.
(2)当P 为棱DD1的中点时满足平面PA1C∥平面EBD，
连接AC，设AC∩BD=O，连接OE，CP，A1P，如图，
因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为AC 的中点，
又E 为棱AA1的中点，
所以OE∥A1C，又OE⊄平面PA1C，A1C⊂平面PA1C，所以OE∥平面PA1C，
又P 为棱DD1的中点，所以DP∥A1E 且DP=A1E，所以四边形DPA1E 为平行四边形，
所以DE∥A1P，
又DE⊄平面PA1C，A1P⊂平面PA1C，
所以DE∥平面PA1C，
又DE∩OE=E，DE，OE⊂平面EBD，
所以平面PA1C∥平面EBD.
每小题5 分，共10 分
13.如图所示，过三棱台上底面的一边A1C1，作一个平行于棱BB1的截面，与下底面的交线为DE，若D，E
分别是AB，BC 的中点，则
V 几何体A1B1C1- DBE
V 三棱台A1B1C1- ABC
等于( )
A.3
7
B.1
2
C.2
5
D.5
8
答案 A
解析 平面A1C1ED 与棱BB1平行，平面BCC1B1∩平面A1C1ED=C1E，平面ABB1A1∩平面A1C1ED=A1D，
所以BB1∥A1D，BB1∥C1E，
因为平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1C1∩平面A1C1ED=A1C1，平面ABC∩平面A1C1ED=DE，所以
A1C1∥DE，
故几何体A1B1C1-DBE 为棱柱，设棱柱的高为h，
故V 几何体A1B1C1- DBE=S△DBE·h，且S△DBE=S△A1B1C1，
又D，E 分别是AB，BC 的中点，
则S△ABC=4S△DBE，
由台体体积公式得1
3(S△DBE+S△ABC+√S△DBE·S△ABC)h=7
3S△DBE·h，
故
V 几何体A1B1C1- DBE
V 三棱台A1B1C1- ABC
=3
7 .
14.四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，如图所示，点E 是棱PD 上一点，PE=3
5PD，若⃗PF=λ⃗PC且满足BF∥
平面ACE，则λ= .
答案 1
3
解析 如图，连接BD，交AC 于点O，连接OE，由四边形ABCD 是正方形，得BO=OD，在线段PE 上取
点G，使得GE=ED，
由PE=3
5PD，得PG
PE =1
3，
连接BG，FG，则BG∥OE，
由OE⊂平面ACE，BG⊄平面ACE，
得BG∥平面ACE，
而BF∥平面ACE，BG∩BF=B，BG，BF⊂平面BGF，
因此平面BGF∥平面ACE，
又平面PCD∩平面ACE=EC，平面PCD∩平面BGF=GF，则GF∥EC，
所以λ= PF
PC = PG
PE =1
3.
